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9.1随机抽样
本节课知识点目录：
简单随机抽样；
抽签法与随机数法。
总体均值和样本均值
分层抽样
获取数据的途径
一、简单随机抽样
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本
如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
【典型例题】
【例1】下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方法确定号码的后四位是2 709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．从8台电脑中逐个不放回地随机抽取2台，进行质量检验，假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取
D．从20个零件中一次性抽出3个进行质量检查
【例2】在简单随机抽样中，关于其中一个个体被抽中的可能性，下列说法正确的是（ ）
A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更大一些
B．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性更大一些
C．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等
D．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，各次抽取的可能性不一样
【例3】为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取20运动员的年龄进行统计分析．现有下列说法：①2000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的20名运动员是一个样本；④这个抽样方法可采用随机数表法抽样；⑤每个运动员被抽到的机会相等．其中，说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4】在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( )
A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大
B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小
C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等
D．与第几次抽样无关，与样本量也无关
【例5】．采用简单随机抽样法从全校1500名学生中选取20名学生，下列方法中不太适合的方法是（ ）．
A．抽签法 B．随机数表法
C．计算机随机函数法 D．计算器随机函数法
【例6】下列选项中，不是简单随机抽样的特点的是（ ）．
A．总体的个数N是有限的 B．不放回抽样
C．总体中的每个个体形状相同 D．总体中每个个体被选入样本的概率相同
【例7】采用简单随机抽样进行抽样检测，必须做的步骤是（ ）．
A．对每个个体进行编号 B．制作相应数量的号签
C．用随机数表产生随机数 D．用计算器的随机函数功能产生随机数
【例8】一个布袋中有6个质地、大小都相同的小球，从中不放回地随机抽取3个小球（每次抽取1个），则某一特定小球被抽到的可能性是______．
【对点实战】
1.下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B．可口可乐公司从仓库的1000瓶可乐中一次性抽取20瓶进行质量检查
C．从10个手机中不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编好号，对编号随机抽取）
D．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士参加抢险救灾
2.下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是（ ）
A．某单位有员工40人，其中男员工30人，女员工10人，要从中抽取8人调查吸烟情况
B．从20台电视机中抽取5台进行质量检查
C．中央电视台要对春节联欢晚会的收视率进行调查，从全国观众中选10000名观众
D．某公司在甲、乙、丙三地分别有120个、80个、150个销售点，要从中抽取35个调查收入情况
3.一个总体共有30个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为7的样本，则某个特定个体入样的可能性是______．
4.下列抽样的方式，属于简单随机抽样的是____．（选填序号）
①福利彩票用摇奖机摇奖；
②从无限多个个体中抽取个个体作为样本；
③从个个体中一次性抽取个个体作为样本；
④将个个体编号，把号签放在一个足够大的不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取个个体作为样本．
5.为了了解某班学生的会考合格率，要从该班70人中选30人进行考查分析，则70人的会考成绩的样本是______．
6.为了考察地里的西瓜是否成熟，从10亩地里随机采摘20个西瓜，测试成熟度．这个问题中，样本是______．
7.下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．环保局人员取河水进行化验
B．用抽签的方法产生随机数表
C．福利彩票用摇奖机摇奖
D．老师抽取数学成绩最优秀的2名同学代表班级参加数学竞赛
二、抽签法与随机数法
1.抽签法：先给总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将号签放在一个不透明容器中，充分搅拌后，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取n次，使与号签上的编号对应的个体进入样本，就得到一个容量为n的样本．
2．随机数法
(1)用随机试验生成随机数．
2.用信息技术生成随机数：①用计算器生成随机数；②用电子表格软件生成随机数；③用R统计软件生成随机数．
【典型例题】
【例1】某学校教务部门为了解高三理科学生数学的学习情况，利用随机数表对理科的800名学生进行抽样测试，先将800个学生进行编号001，002，…，799，800．从中抽取80个样本，根据提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
33 21 18 34 29 78 64 56 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．007 B．328 C．253 D．623
【例2】某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66674037 14640571 11056509 95866876 83203790
57160311 63149084 45217573 88059052 23594310
若从表中第1行第一个数字1开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ）
A．05 B．09 C．14 D．20
【例3】管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（ ）
A．2800 B．1800 C．1400 D．1200
【例4】中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，2022年2月4日北京冬奥会开幕式，以二十四节气的方式开始倒计时，惊艳全球.某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有32人，能说出三句或三句以上的有45人，据此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为（ ）
A．23 B．92 C．128 D．180
【例5】为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，现从全年级人中抽取人参加测试.首先由简单随机抽样剔除名学生，学生甲在这名学生之中，然后剩余的名学生再用分层抽样的方法抽取，把名学生随机分成组，每组人，学生乙被分在第四组，则（ ）
A．甲入选的概率为且乙入选的概率为
B．甲与乙入选的概率不相等且乙入选的概率小于甲入选的概率
C．这名学生入选的概率都相等，且为
D．这名学生入选的概率都相等，且为
【例6】利用简单随机抽样的方法，从n个个体中逐个抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率为，则______．
【例7】从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数，4个投中5次，3个投中6次，2个投中7次，1个投中8次.试估计该训练营投篮投中的比例为________.
【例8】从个体数为的总体中抽出一个样本量是的样本，每个个体被抽到的可能性是，则的值是______．
【对点实战】
1.用随机数表法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字；④选定读数的方向.这些步骤的先后顺序应为（ ）
A．②①③④ B．③④①②
C．①③④② D．④①③②
2.某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第1个零件编号是（ ）
A．36 B．16 C．11 D．14
3.我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类，全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类．题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献．《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1500石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得304粒夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．148石 B．149石 C．150石 D．151石
4.采用简单随机抽样法从一箱24盒牛奶中选取a盒进行检测，每盒牛奶被抽检到的概率是25%，则______．
5.将全班同学按学号编号，制作相应的卡片号签，放入同一个箱子里搅拌均匀，从中抽出15个号签，就相应的15名学生对看足球比赛的喜爱程度（很喜爱、喜爱、一般、不喜爱、很不喜爱）进行调查，该调查使用的是______法．
6.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽样时，先将800袋牛奶按000、001、…、799进行编号，如果从随机数表第8行第7列开始向右读，则抽取检测的第5袋牛奶的编号是（ ）．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
A．199 B．175 C．507 D．12
7.甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是（ ）．
A．先抽的概率大些
B．三人的概率相等
C．无法确定谁的概率大
D．以上都不对
三、总体均值和样本均值
1．总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝＝i为总体均值，又称总体平均数．
2．总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1,2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝iYi.
3．样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝i为样本均值，又称样本平均数．
【典型例题】
【例1】数据，，，…，的平均数为，数据，，，…，的平均数为，则数据，，，…，，，，，…，的平均数为（ ）
A． B．
C． D．
【例2】从全校2000名小学女生中用随机数法抽取300名调查其身高，得到样本量的平均数为148.3cm，则可以推测该校女生的身高（ ）
A．一定为148.3cm B．高于148.3cm C．低于148.3cm D．约为148.3cm
【例3】为了了解某市100000户居民的日用电量，甲用简单随机抽样从该市抽取100户调查，得到日用电量的平均数为5.2千瓦时，乙用同样的方法抽查了300户，得到日用电量的平均数为5.5千瓦时，据此推断该市居民日用电量的平均数约为__________千瓦时.
【例4】支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（ ）
A．若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人
B．该医院青年患者所占的频率为
C．该医院的平均治愈率为28.7%
D．该医院的平均治愈率为31.3%
【例5】已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是（ ）
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第74个数据的平均数
【例6】9名评委对某参赛选手打分，记分员在去掉一个最高分和一个最低分后算出平均分为91，复核员在复核时发现只有8个评委的给分：92、89、88、93、91，89、92、94，还有一个评委的给分不见了，假设记分员的计算准确，则另一个分数为______．
【例7】已知2、4、、四个数的平均数是5，而5、7、、四个数的平均数是9，则的值是______．
【例8】小林初三第一学期的数学书面测验成绩如下：平时考试第一单元得分，第二单元得分，第三单元得分；期中考试得分，期末考试得分.如果按照平时、期中、期末的权重分别为、、计算，那么小林该学期数学书面测验的总评成绩应为多少分？
【对点实战】
1.某科研机构为评定新研发的水稻的亩产量，随机抽取了部分地块进行测试，得到的样本亩产量（单位：kg）分别为1120，1135，1128，1123，1128，1129，1126，则该次新研发的水稻亩产量的平均值的估计值为___________.
2.某校六年级男生分两批进行了体检，其中第一批体检中有100名男生，得出他们的平均身高为1.60m；第二批体检中有50名男生，得出他们的平均身高为1.57m，则该校六年级男生的平均身高为______．
3.某人对去莫干山旅游的游客人数进行了统计：10天中，有3天每天的游客人数为400人，有2天每天的游客人数为600人，有5天每天的游客人数为350人，求这10天中平均每天的游客人数.
4.．为了检查一批零件的质量，从中随机抽取10件，量得它们的长度（单位：毫米）如下：
10030、10100、10020、10070、10140、10080、9990、11200、10050、10100．
(1)请分别指出个体、样本和样本容量；
(2)试计算样本的平均数．
四、分层抽样
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样．
(1)每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
(2)如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为，，两层的总体平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为.
则＝＋.
＝＋.
(3)在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数估计总体平均数.
【典型例题】
【例1】某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且，全校参加登山的人数占总人数的．为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取（ ）
A．15人 B．30人 C．40人 D．45人
【例2】我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有北乡8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三个乡共征集487人，问从各乡征集多少人”.在上述问题中，需从南乡征集的人数大约是
A．112 B．128 C．145 D．167
【例3】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为
A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，20
【例4】某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为(　　)
A．280 B．320 C．400 D．1000
【例5】某学校高一年级人，高二年级人，高三年级人，先采用分层抽样的方法从中抽取名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为_________.
【例6】某公司生产甲、乙两种产品的数量之比为，现用分层抽样的方法抽出一个样本，已知样本中甲种产品比乙种产品多6件，则甲种产品被抽取的件数为_______.
【例7】某校有高一学生名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多人，则_______．
【对点实战】
1.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
2.某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格．由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C产品的数量是(　　)
产品类别 A B C
产品数量(件) 1 300
样本容量(件) 130
A．900件 B．800件
C．90件 D．80件
2.我市某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人，女生20人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男、女生分层抽取的学生进行某项调查，则两个班共抽取男生人数是__________．
3.某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且，全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数为______.
4.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取一个容量为40的样本，用分层抽样法应抽取50岁以上年龄段的职工___________人.
5.某公司青年、中年、老年员工的人数之比为10∶8∶7，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是0.2，则该公司青年员工的人数为__________．
6.某工厂有A，B，C三个车间，A车间有1000人，B车间有400人．若用分层抽样的方法得到一个样本容量为44的样本，其中B车间8人，则样本中C车间的人数为__________．
五、获取数据的途径
获取数据的基本途径有通过调查获取数据、通过试验获取数据、通过观察获取数据、通过查询获得数据等．
【典型例题】
【例1】下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．了解某一品牌家具的甲醛含量，选择普查
B．了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
C．了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择普查
D．了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查
【例2】．下列数据一般是通过试验获取的是（ ）
A．1988年上海市的降雨量 B．2020年新生人口数量
C．某校高一年级同学的数学测试成绩 D．某种特效中成药的配方量
【例3】下列调查中，适合普查的是（ ）
A．一批手机电池的使用寿命 B．中国公民保护环境的意识
C．你所在学校的男女同学的人数 D．了解全国人民对建设高铁的意见
【例4】下列调查方式较为合适的是（ ）
A．为了了解灯管的使用寿命，采用普查的方式
B．为了了解我市中学生的视力状况，采用抽样调查的方式
C．调查一万张面值为100元的人民币中有无假币，采用抽样调查的方式
D．调查当今中学生喜欢什么体育活动，采用普查的方式
【例5】下列调查：①每隔5年进行人口普查；②报社等进行舆论调查；③灯泡使用寿命的调查；④对入学报名者的学历检查；⑤从20台电视机中抽出3台进行质量检查，其中属于抽样调查的是（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．①③⑤
【例6】某科研团队研发出一批相同规格航空用耐热垫片，检测该批耐热垫片的品质时所获得的数据是______数据．（填“观测”或“实验”）
【例7】在2020年年末我国完成了农村贫困人口全部脱贫．为了统计农村贫困人口的数量，国家统计局采取的调查方式是______．（选填“普查”或“抽样调查”）
【例8】为了解某一城市全年的日平均气温情况﹐小王观察2月份每天的气温，得到本市日平均气温为；小英观察了1月份至3月份每天的气温，得到本市日平均气温为；小强观察了2月份、5月份、8月份、11月份每天的气温，得到本市日平均气温为．请你根据抽样调查的原则，判断他们三人观察到的结论谁更可靠？为什么？
【例9】某学校兴趣小组进行了一项关于当年校服流行颜色的调查，调查者在该学校附近的公交站询问学生喜欢的校服颜色并进行统计，根据这次统计结果，选出的服装颜色的众数是蓝白搭配．而当年学校发布的调查结果是灰白搭配．
(1)兴趣小组的调查结果是否代表该学校所有师生的看法？
(2)你认为这两种调查的差异是由什么引起的？
【对点实战】
1.下列说法错误的是（ ）
A．调查一个班级学生每周的体育锻炼时间适合用全面调查
B．实现简单随机抽样的常用方法有抽签法和随机数法
C．简单随机抽样是等概率抽样
D．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生是样本量
2.下列调查中，适合采用抽样调查方式的是（ ）
A．调查某市中学生每天体育锻炼的时间
B．调查某班学生对“众享教育”的知晓率
C．调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量
D．调查北京运动会100米参赛运动员兴奋剂的使用情况
3.为了了解参加运动会的2 000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析.就这个问题，下列说法中正确的有（ ）
①2 000名运动员是总体；
②每个运动员是个体；
③所抽取的20名运动员是一个样本；
④样本容量为20；
⑤这个抽样方法可采用随机数法抽样.
A．④ B．①② C．②③ D．⑤
4.下列调查方式中合适的是( )
A．某单位将新购买的10台保险箱，全部进行质检
B．某班有40名同学，指定个子最高的3人参加“学生会”
C．某服装厂从5000件出口的服装中抽50件进行抽样调查
D．为了调查最近上映影片的一周内的票房情况，特选周六、周日两天进行调查
5.下列三项调查：①检测上海市空气质量；②防疫期间检测某校学生体温；③调查某款手机抗摔能力．其中适宜抽样调查的是______．（选填序号）
6.银行对公司万元存款的现钞的真假检验，采取的调查方法应该是______．
7.一单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工的收入情况，从中抽取一个容量为20的样本．按下述方法抽取：
①将160人从1至160编上号，再用白纸做成1~160号的签160个放入箱内拌匀，然后从中抽20个签与签号相同的20个人被选出．
②按的比例，从业务人员中抽取12人，从管理人员中抽取5人，从后勤人员中抽取3人．
(1)上述两种方法中，总体、个体、样本分别是什么？
(2)上述两种方法中各自采取何种抽取样本的方法？
(3)你认为哪种抽样方法较为合理？并说明理由．
8.在体育课体测1000 m跑步中，大多学生跑得气喘吁吁且成绩不理想．体育老师说：“看来，我们年级的学生体能方面问题比较大，需要加强训练．”请你从统计的角度来讨论下面的问题：
(1)在这个情境中，总体和样本分别是什么？
(2)你同意体育老师的说法吗？请说明理由．
9.一些期刊杂志社经常会请一些曾经高考落榜而在某方面的事业上取得成就的著名专家、学者，谈他们对高考落榜的看法，这些名人所讲的都是大同小异，不外乎“我也有过落榜的沮丧，但从长远看，它有益于我的人生”，“我是因祸得福，落榜使我走了另一条成功之路”等等.小明据此得出一条结论，上大学不如高考落榜，他的结论正确吗
9.1随机抽样
本节课知识点目录：
简单随机抽样；
抽签法与随机数法。
总体均值和样本均值
分层抽样
获取数据的途径
一、简单随机抽样
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本
如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
【典型例题】
【例1】下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方法确定号码的后四位是2 709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．从8台电脑中逐个不放回地随机抽取2台，进行质量检验，假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取
D．从20个零件中一次性抽出3个进行质量检查
【答案】C
【分析】依据简单随机抽样的定义及特点排除选项ABD，选项C正确.
【详解】根据简单随机抽样的特点，可知：
A不符合等可能性，故不是简单随机抽样；
B传送带上产品的数量不确定，故不是简单随机抽样；
D中的“一次性随机抽出3个”不是“逐个不放回地随机抽取3个”，故不是简单随机抽样.
答案：C.
【例2】在简单随机抽样中，关于其中一个个体被抽中的可能性，下列说法正确的是（ ）
A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更大一些
B．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性更大一些
C．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等
D．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，各次抽取的可能性不一样
【答案】C
【分析】根据简单随机抽样的概念即可得出答案.
【详解】在简单随机抽样中，总体中的每个个体在每次抽取时被抽到的可能性相同，
故选：C.
【例3】为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取20运动员的年龄进行统计分析．现有下列说法：①2000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的20名运动员是一个样本；④这个抽样方法可采用随机数表法抽样；⑤每个运动员被抽到的机会相等．其中，说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据题意，结合简单的随机抽样的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于①中，2000名运动员的年龄是总体，所以①不正确；
对于②中，每个运动员的年龄为个体，所以②不正确；
对于③中，所抽取的20名运动员的年龄是一个样本，所以③不正确；
对于④中，随机数表法常常哟用于总体的个体较少时，当总体中的个体数较多时，编号复杂，将总体“搅拌均匀”也比较困难，用随机数表法产生的代表性不合理，所以④不正确；
对于⑤中，在简单的随机抽样时，每个运动员被抽到的机会时相等的，所以⑤正确.
故选：A.
【例4】在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( )
A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大
B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小
C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等
D．与第几次抽样无关，与样本量也无关
【答案】C
【分析】抽样要保证公平性，即不论采用何种抽样，每一个个体被抽中的概率都是相同的，据此即可辨析作答．
【详解】在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性均相同，与第几次抽样无关，但和要抽取的样本量有关，样本量越大，被抽到的概率越大.
故选：C．
【例5】．采用简单随机抽样法从全校1500名学生中选取20名学生，下列方法中不太适合的方法是（ ）．
A．抽签法 B．随机数表法
C．计算机随机函数法 D．计算器随机函数法
【答案】A
【分析】利用简单随机抽样的特征判断.
【详解】解：因为是1500名学生中选取20名学生，
总体容量较大，样本容量较小，
所以抽签法不太适合，
故选：A
【例6】下列选项中，不是简单随机抽样的特点的是（ ）．
A．总体的个数N是有限的 B．不放回抽样
C．总体中的每个个体形状相同 D．总体中每个个体被选入样本的概率相同
【答案】C
【分析】简单随机抽样的特点是：总体的个数有限，不放回抽样，总体中每个个体被选入样本的概率相同．
【详解】简单随机抽样的特点是：总体的个数有限，不放回抽样，总体中每个个体被选入样本的概率相同．
不要求总体中的每个个体形状相同，
故选：C
【例7】采用简单随机抽样进行抽样检测，必须做的步骤是（ ）．
A．对每个个体进行编号 B．制作相应数量的号签
C．用随机数表产生随机数 D．用计算器的随机函数功能产生随机数
【答案】A
【分析】根据简单随机抽样进行抽样检测的步骤，直接选出答案即可
【详解】简单随机抽样的步骤如下：
1.明确界定总体范围，并收集总体中全部抽样单位；
2.确定样本规模；
3.将总体的每个单位编号，采用随机的方法任意抽取号码，直达抽足样本；
故根据题意，可得A正确.
故选：A
【例8】一个布袋中有6个质地、大小都相同的小球，从中不放回地随机抽取3个小球（每次抽取1个），则某一特定小球被抽到的可能性是______．
【答案】##
【分析】根据简单随机抽样的等可能性，即得解
【详解】因为简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性相同，均为，
所以某一特定小球被抽到的可能性是．
故答案为：
【对点实战】
1.下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B．可口可乐公司从仓库的1000瓶可乐中一次性抽取20瓶进行质量检查
C．从10个手机中不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编好号，对编号随机抽取）
D．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士参加抢险救灾
【答案】C
【分析】根据简单随机抽样的概念逐项判断即可.
【详解】A：从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本，因为平面直角坐标系中有无数个点，与简单随机抽样要求的总体的数量有限不符，故A不是简单随机抽样；
B：可口可乐公司从仓库的1000瓶可乐中一次性抽取20瓶进行质量检查，因为是一次性抽取，不是不放回地逐一抽取，故不是简单随机抽样；
C：从10个手机中不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编好号，对编号随机抽取），符合简单随机抽样的定义：从有限的总体中不放回的逐一抽取，故是简单随机抽样；
D：某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士参加抢险救灾，因为抽出的是“最优秀”的战士，不是随机抽取，故不是随机抽样.
2.下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是（ ）
A．某单位有员工40人，其中男员工30人，女员工10人，要从中抽取8人调查吸烟情况
B．从20台电视机中抽取5台进行质量检查
C．中央电视台要对春节联欢晚会的收视率进行调查，从全国观众中选10000名观众
D．某公司在甲、乙、丙三地分别有120个、80个、150个销售点，要从中抽取35个调查收入情况
【答案】B
【分析】根据简单随机抽样的定义，结合分层抽样的定义逐一判断即可.
【详解】因为选项A和D有明显的特征，可以用分层抽样的方法，选项C，由于全国人数太分散，不好对10000进行调查，所以选项B最适合用简单随机抽样方法抽样，
故选：B
3.一个总体共有30个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为7的样本，则某个特定个体入样的可能性是______．
【答案】
【分析】从N个个体的总体，随机抽样从中抽取一个容量为n的样本，则每个个体被抽到的可能性为．
【详解】由题意可得个特定个体入样的可能性是
故答案为：．
4.下列抽样的方式，属于简单随机抽样的是____．（选填序号）
①福利彩票用摇奖机摇奖；
②从无限多个个体中抽取个个体作为样本；
③从个个体中一次性抽取个个体作为样本；
④将个个体编号，把号签放在一个足够大的不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取个个体作为样本．
【答案】①④
【分析】根据简单随机抽样的特点逐个判断可得结论.
【详解】简单随机抽样是在有限个个体中逐个进行抽取，
故①是简单随机抽样，②不是简单随机抽样，③不是简单随机抽样，④是简单随机抽样.
故答案为：①④.
5.为了了解某班学生的会考合格率，要从该班70人中选30人进行考查分析，则70人的会考成绩的样本是______．
【答案】选中的30人的成绩
【分析】根据样本的概念即可求解.
【详解】由题可知，70人的会考成绩的样本是选中的30人的成绩.
故答案为：选中的30人的成绩.
6.为了考察地里的西瓜是否成熟，从10亩地里随机采摘20个西瓜，测试成熟度．这个问题中，样本是______．
【答案】20个西瓜的成熟度
【分析】根据样本的定义即可求得
【详解】由题，考察的总体是地里西瓜的成熟度，结合样本的定义，样本是抽取的20个西瓜的成熟度.
7.下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．环保局人员取河水进行化验
B．用抽签的方法产生随机数表
C．福利彩票用摇奖机摇奖
D．老师抽取数学成绩最优秀的2名同学代表班级参加数学竞赛
【答案】C
【分析】根据简单随机抽样的特征逐个判断即可.
【详解】对于A,个体数无限，错误；
对于B，有放回的抽样，错误；
对于C，简单随机抽样要求总体中的个体数有限，每个个体有相同的可能性被抽到，正确；
对于D，不是等可能的抽样，错误；
故选：C.
二、抽签法与随机数法
1.抽签法：先给总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将号签放在一个不透明容器中，充分搅拌后，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取n次，使与号签上的编号对应的个体进入样本，就得到一个容量为n的样本．
2．随机数法
(1)用随机试验生成随机数．
2.用信息技术生成随机数：①用计算器生成随机数；②用电子表格软件生成随机数；③用R统计软件生成随机数．
【典型例题】
【例1】某学校教务部门为了解高三理科学生数学的学习情况，利用随机数表对理科的800名学生进行抽样测试，先将800个学生进行编号001，002，…，799，800．从中抽取80个样本，根据提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
33 21 18 34 29 78 64 56 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．007 B．328 C．253 D．623
【答案】B
【分析】从开始，3位3位的数，得到前个编号，再舍去不在编号范围内和重复的编号，即可得解.
【详解】根据题意，从开始，3位3位的数，分别是：253，313，457，860，736，253，007，328，
其中不在编号内，舍去，第二个重复，舍去，得到的前6个样本编号是：253，313，457， 736， 007，328，所以得到的第6个样本编号是.
故选：B
【例2】某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66674037 14640571 11056509 95866876 83203790
57160311 63149084 45217573 88059052 23594310
若从表中第1行第一个数字1开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ）
A．05 B．09 C．14 D．20
【答案】B
【分析】利用随机数法的方式依次得出编号即可.
【详解】由题可得从表中第1行第一个数字1开始向右依次读取数据，得到的样本编号依次为14，05，11，09，……，所以第4个样本编号是09.
故选：B.
【例3】管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（ ）
A．2800 B．1800 C．1400 D．1200
【答案】C
【分析】由从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，可得所有池塘中有标记的鱼的概率，结合池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，按照比例即得解.
【详解】设估计该池塘内鱼的总条数为，
由题意，得从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，
所有池塘中有标记的鱼的概率为：，
又因为池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，
所以，解得，
即估计该池塘内共有条鱼.
故选：C.
【例4】中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，2022年2月4日北京冬奥会开幕式，以二十四节气的方式开始倒计时，惊艳全球.某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有32人，能说出三句或三句以上的有45人，据此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为（ ）
A．23 B．92 C．128 D．180
【答案】B
【分析】先计算100名学生中能说出一句或一句也说不出的人数，根据抽样比例计算即可
【详解】由题意，100名学生中能说出一句或一句也说不出的人数为人
故该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为人
故选：B
【例5】为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，现从全年级人中抽取人参加测试.首先由简单随机抽样剔除名学生，学生甲在这名学生之中，然后剩余的名学生再用分层抽样的方法抽取，把名学生随机分成组，每组人，学生乙被分在第四组，则（ ）
A．甲入选的概率为且乙入选的概率为
B．甲与乙入选的概率不相等且乙入选的概率小于甲入选的概率
C．这名学生入选的概率都相等，且为
D．这名学生入选的概率都相等，且为
【答案】C
【分析】根据随机抽样对于每个人都是公平的，可计算出这名学生每人入选的概率，即可得出合适的选项.
【详解】由于随机抽样对于每个人都是公平的，因此，这名学生入选的概率都相等，且为.
ABD选项均错，C对.
故选：C.
【例6】利用简单随机抽样的方法，从n个个体中逐个抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率为，则______．
【答案】37
【分析】根据总数还有个，还要抽12个，求得概率，即可得解.
【详解】根据题意，抽取一个后，还要抽取12个，
总共还剩个，
所以每个个体被抽到的概率为，
所以，，
故答案为：
【例7】从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数，4个投中5次，3个投中6次，2个投中7次，1个投中8次.试估计该训练营投篮投中的比例为________.
【答案】0.6##
【分析】先求出投中的平均次数，即可得出所求.
【详解】10名学员投中的平均次数为＝6，所以投中的比例约为＝0.6.
故答案为：0.6.
【例8】从个体数为的总体中抽出一个样本量是的样本，每个个体被抽到的可能性是，则的值是______．
【答案】
【分析】表示出每个个体被抽到的可能性，然后列等式关系，即可求解.
【详解】由题意可知，从个体数为的总体中抽出一个样本量是的样本，则每个个体被抽到的可能性是，又每个个体被抽到的可能性是，所以，得.
故答案为：
【对点实战】
1.用随机数表法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字；④选定读数的方向.这些步骤的先后顺序应为（ ）
A．②①③④ B．③④①②
C．①③④② D．④①③②
【答案】C
【分析】根据随机数表的抽样方法和步骤，即可求解；
【详解】根据随机数表法的抽样方法和步骤，可知①将总体中的个体编号；③选定开始的数字；④选定读数的方向；②获取样本号码.
故选：C.
2.某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第1个零件编号是（ ）
A．36 B．16 C．11 D．14
【答案】C
【分析】根据随机数表的规则读取编号．
【详解】从题中给的随机数表第一行第3列开始从左往右开始读取，重复的数字只读一次，读到的小于40的编号分别为36，33，26，16，11．所以出来的第1个零件编号是36．
故选：A
3.我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类，全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类．题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献．《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1500石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得304粒夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．148石 B．149石 C．150石 D．151石
【答案】A
【分析】抽样调查中简单随机抽样，对象被抽到的概率是相同的， 304粒夹谷30粒，1500石米夹谷的比例是相同的，计算即可.
【详解】由题意可知这批米内夹谷约为（石）．
故选：A.
4.采用简单随机抽样法从一箱24盒牛奶中选取a盒进行检测，每盒牛奶被抽检到的概率是25%，则______．
【答案】
【分析】根据每个个体被抽到概率是相等的，得到，即可求解.
【详解】由题意，从一箱24盒牛奶中选取a盒进行检测，每盒牛奶被抽检到的概率是25%，
可得，解得.
故答案为：.
5.将全班同学按学号编号，制作相应的卡片号签，放入同一个箱子里搅拌均匀，从中抽出15个号签，就相应的15名学生对看足球比赛的喜爱程度（很喜爱、喜爱、一般、不喜爱、很不喜爱）进行调查，该调查使用的是______法．
【答案】抽签
【分析】根据调查过程的特点直接判断所使用的抽样方法.
【详解】抽签法分为编号、制签、取样三步，这里用了学生的学号作为编号，
后面的抽取过程符合抽签法的实施步骤，所以采用的是抽签法，
故答案为：抽签.
6.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽样时，先将800袋牛奶按000、001、…、799进行编号，如果从随机数表第8行第7列开始向右读，则抽取检测的第5袋牛奶的编号是（ ）．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
A．199 B．175 C．507 D．12
【答案】B
【分析】根据随机数表选取编号的方法，即可得答案.
【详解】找到第8行第7列的数开始向右读，前五个符合条件的是785、667、199、507、175,
故抽取检测的第5袋牛奶的编号是175,
故选:B
7.甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是（ ）．
A．先抽的概率大些
B．三人的概率相等
C．无法确定谁的概率大
D．以上都不对
【答案】B
【解析】根据抽签法，每个个体被抽取的概率相等判断.
【详解】∵甲、乙、丙三位选手抽到的概率是，
故选：B．
三、总体均值和样本均值
1．总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝＝i为总体均值，又称总体平均数．
2．总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1,2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝iYi.
3．样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝i为样本均值，又称样本平均数．
【典型例题】
【例1】数据，，，…，的平均数为，数据，，，…，的平均数为，则数据，，，…，，，，，…，的平均数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【分析】
利用平均数的计算公式计算.
【详解】由题意得：，，
所以
故选：D
【例2】从全校2000名小学女生中用随机数法抽取300名调查其身高，得到样本量的平均数为148.3cm，则可以推测该校女生的身高（ ）
A．一定为148.3cm B．高于148.3cm C．低于148.3cm D．约为148.3cm
【答案】D
【分析】由抽样调查的意义可以判断出结果.
【详解】由抽样调查的意义可以知道该校女生的身高约为148.3cm.
故选：D.
【例3】为了了解某市100000户居民的日用电量，甲用简单随机抽样从该市抽取100户调查，得到日用电量的平均数为5.2千瓦时，乙用同样的方法抽查了300户，得到日用电量的平均数为5.5千瓦时，据此推断该市居民日用电量的平均数约为__________千瓦时.
【答案】5.5
【分析】对甲乙的样本容量进行比较，得到结论.
【详解】由于乙抽取的样本量大于甲的，我们更愿意用他的调查结果估计该市的平均数.
故答案为：5.5
【例4】支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（ ）
A．若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人
B．该医院青年患者所占的频率为
C．该医院的平均治愈率为28.7%
D．该医院的平均治愈率为31.3%
【答案】ABC
【解析】【分析】
由分层抽样即可判断A选项；直接计算频率即可判断B选项；直接计算平均治愈率即可判断C、D选项.
【详解】对于A，由分层抽样可得，老年患者应抽取人，正确；
对于B，青年患者所占的频率为，正确；
对于C，平均治愈率为，正确；
对于D，由C知错误.
故选：ABC.
【例5】已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是（ ）
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第74个数据的平均数
【答案】AC
【解析】【分析】
举反例否定选项AB；依据第75百分位数的定义去判断选项CD.
【详解】易知.选项A正确；
当这100个数据均为9.3时，把这100个数据从小到大排列后，9.3不一定是第75个数据.选项B判断错误；
把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第76个数据的平均数.
则选项C判断正确，选项D判断错误.
故选：AC
【例6】9名评委对某参赛选手打分，记分员在去掉一个最高分和一个最低分后算出平均分为91，复核员在复核时发现只有8个评委的给分：92、89、88、93、91，89、92、94，还有一个评委的给分不见了，假设记分员的计算准确，则另一个分数为______．
【答案】91
【解析】【分析】
求出这8个分数的和，与比较可得．
【详解】，
而，
，
因此去掉的两个数和是182，观察这8个数最大和最小的数，去掉的两个数是88和94，不见的分是91．
故答案为：91
【例7】已知2、4、、四个数的平均数是5，而5、7、、四个数的平均数是9，则的值是______．
【答案】6
【解析】【分析】
根据平均数的概念列出方程组即可求解.
【详解】由题可知，，解得，则
故答案为：6.
【例8】小林初三第一学期的数学书面测验成绩如下：平时考试第一单元得分，第二单元得分，第三单元得分；期中考试得分，期末考试得分.如果按照平时、期中、期末的权重分别为、、计算，那么小林该学期数学书面测验的总评成绩应为多少分？
【答案】分
【解析】【分析】
计算出小林平时的平均成立，利用平均数公式可求得结果.
【详解】平时平均成绩为（分），
所以小林该学期数学书面测验的总评成绩应为（分）.
【对点实战】
1.某科研机构为评定新研发的水稻的亩产量，随机抽取了部分地块进行测试，得到的样本亩产量（单位：kg）分别为1120，1135，1128，1123，1128，1129，1126，则该次新研发的水稻亩产量的平均值的估计值为___________.
【答案】1127
【解析】【分析】
由均值定义计算．
【详解】该次新研发的水稻亩产量的平均值的估计值为.
故答案为：1127．
2.某校六年级男生分两批进行了体检，其中第一批体检中有100名男生，得出他们的平均身高为1.60m；第二批体检中有50名男生，得出他们的平均身高为1.57m，则该校六年级男生的平均身高为______．
【答案】1.59m
【解析】【分析】
利用平均数公式求解.
【详解】解：，
故答案为：1.59m
3.某人对去莫干山旅游的游客人数进行了统计：10天中，有3天每天的游客人数为400人，有2天每天的游客人数为600人，有5天每天的游客人数为350人，求这10天中平均每天的游客人数.
【答案】415人
【解析】【分析】
利用平均数计算公式直接计算即可.
【详解】(人).
答：这10天中平均每天的游客人数为415.
4.．为了检查一批零件的质量，从中随机抽取10件，量得它们的长度（单位：毫米）如下：
10030、10100、10020、10070、10140、10080、9990、11200、10050、10100．
(1)请分别指出个体、样本和样本容量；
(2)试计算样本的平均数．
【答案】(1)答案见解析．
(2)10178
【解析】【分析】
（1）根据个体、样本和样本容量的概念作答；
（2）由平均数定义计算．
(1)
每个零件的长度是个体，所抽取的10个零件的长度称为样本，样本容量为10．
(2)
平均数为．
四、分层抽样
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样．
(1)每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
(2)如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为，，两层的总体平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为.
则＝＋.
＝＋.
(3)在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数估计总体平均数.
【典型例题】
【例1】某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且，全校参加登山的人数占总人数的．为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取（ ）
A．15人 B．30人 C．40人 D．45人
【答案】D
【分析】由题知全校参加跑步的人数为，再根据分层抽样的方法求解即可得答案.
【详解】解：由题意，可知全校参加跑步的人数为，
所以．因为，所以．
因为按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本，
所以应从高三年级参加跑步的学生中抽取的人数为．
故选：D
【例2】我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有北乡8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三个乡共征集487人，问从各乡征集多少人”.在上述问题中，需从南乡征集的人数大约是
A．112 B．128 C．145 D．167
【答案】D
由题意利用分层抽样的方法结合抽样比即可确定需从南乡征集的人数.
【详解】由题意结合分层抽样的方法可知，需从南乡征集的人数为：
.
故选D.
【例3】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为
A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，20
【答案】A
【分析】由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.
【详解】用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，
样本容量为：，
抽取的高中生近视人数为：，
故选A.
【例4】某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为(　　)
A．280 B．320 C．400 D．1000
【答案】C
【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为，从中抽取名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为，得到要求的结果
【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，
青年、中年、老年职员的人数之比为，从中抽取名职员作为样本，
要从该单位青年职员中抽取的人数为：
每人被抽取的概率为，
该单位青年职员共有
故选
【例5】某学校高一年级人，高二年级人，高三年级人，先采用分层抽样的方法从中抽取名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为_________.
【答案】36、32、30
【分析】根据分层抽样三个年级的总人数所占比例及抽取总人数98，可求得每个年级抽取人数.
【详解】先将每个年级的人数凑整，得高一：人，高二：人，高三：人，
则三个年级的总人数所占比例分别为，，，
因此，各年级抽取人数分别为，，，
故答案为：36、32、30
【例6】某公司生产甲、乙两种产品的数量之比为，现用分层抽样的方法抽出一个样本，已知样本中甲种产品比乙种产品多6件，则甲种产品被抽取的件数为_______.
【答案】15
【分析】甲种产品被抽取的件数为，乙种产品被抽取的件数为，按照比例即可得出结果.
【详解】设甲种产品被抽取的件数为，则，解得.
故答案为：15
【例7】某校有高一学生名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多人，则_______．
【答案】
【分析】依题意可得，解之即得解.
【详解】依题意可得，解得.
故答案为1320
【对点实战】
1.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
【答案】C
【详解】抽取比例为,
，
抽取数量为20,故选C.
2.某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格．由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C产品的数量是(　　)
产品类别 A B C
产品数量(件) 1 300
样本容量(件) 130
A．900件 B．800件
C．90件 D．80件
【答案】B
【详解】设产品数量分别为件、件，
则由题意可得：，解得，故选B.
2.我市某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人，女生20人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男、女生分层抽取的学生进行某项调查，则两个班共抽取男生人数是__________．
【答案】11
【详解】甲班有男生30人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男生分层抽取20%的学生，故有30×20%+25×20%=6+5=11
故答案为11.
3.某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且，全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数为______.
【答案】
【分析】由题意求得样本中抽取的高三的人数为人进而求得样本中高三年级参加登山的人，即可求解.
【详解】由题意，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且，
所以样本中抽取的高三的人数为人，
又因为全校参加登山的人数占总人数的，
所以样本中高三年级参加登山的人数为，
所以样本中高三年级参加跑步的人数为人.
故答案为：.
4.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取一个容量为40的样本，用分层抽样法应抽取50岁以上年龄段的职工___________人.
【答案】
【分析】按照分层抽样规则计算可得；
【详解】解：依题意50岁以上年龄段的职工应该抽取人；
故答案为：
5.某公司青年、中年、老年员工的人数之比为10∶8∶7，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是0.2，则该公司青年员工的人数为__________．
【答案】200
【分析】先根据分层抽样的方法计算出该单位青年职工应抽取的人数，进而算出青年职工的总人数.
【详解】由题意，从中抽取100名员工作为样本，需要从该单位青年职工中抽取（人）.因为每人被抽中的概率是0.2，所以青年职工共有（人）.
故答案为：200.
6.某工厂有A，B，C三个车间，A车间有1000人，B车间有400人．若用分层抽样的方法得到一个样本容量为44的样本，其中B车间8人，则样本中C车间的人数为__________．
【答案】
【分析】根据题意，先确定分层抽样的抽样比，求出样本中车间的人数，进而可求出车间的人数.
【详解】因为车间有400人，样本中车间8人，所以抽样比为，
因此车间抽取的人数为，
所以样本中车间的人数为.
故答案为：16
五、获取数据的途径
获取数据的基本途径有通过调查获取数据、通过试验获取数据、通过观察获取数据、通过查询获得数据等．
【典型例题】
【例1】下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．了解某一品牌家具的甲醛含量，选择普查
B．了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
C．了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择普查
D．了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查
【答案】D
【分析】根据抽样调查和普查的定义，逐个选项判断调查方式是否合理即可.
【详解】对于A，了解某一品牌家具的甲醛含量，选择抽样调查更符合经济效益，所以，A错误；
对于B，了解神舟飞船的设备零件的质量情况，安全是最重要的，应该采取普查，所以，B错误；
对于C，了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择抽样调查更符合经济效益，所以，C错误；
对于D，了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查比较符合经济效益，所以，D正确.
故选：D
【例2】．下列数据一般是通过试验获取的是（ ）
A．1988年上海市的降雨量 B．2020年新生人口数量
C．某校高一年级同学的数学测试成绩 D．某种特效中成药的配方量
【答案】D
【分析】根据数据特点求解.
【详解】解：A，B，C，直接统计即可；D. 某种特效中成药的配方的数据只能通过试验获得.
故选：D
【例3】下列调查中，适合普查的是（ ）
A．一批手机电池的使用寿命 B．中国公民保护环境的意识
C．你所在学校的男女同学的人数 D．了解全国人民对建设高铁的意见
【答案】C
【分析】根据抽样调查和普查的特点即可判断.
【详解】由题调查一批手机电池的使用寿命，中国公民保护环境的意识，了解全国人民对建设高铁的意见适合用抽样调查，调查所在学校的男女同学的人数适合普查.
故选：C.
【例4】下列调查方式较为合适的是（ ）
A．为了了解灯管的使用寿命，采用普查的方式
B．为了了解我市中学生的视力状况，采用抽样调查的方式
C．调查一万张面值为100元的人民币中有无假币，采用抽样调查的方式
D．调查当今中学生喜欢什么体育活动，采用普查的方式
【答案】B
【分析】根据实际情况选择合适的调查方式即可判断.
【详解】对A，为了了解灯管的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故A错误；
对B，为了了解我市中学生的视力状况，采用抽样调查的方式，故B正确；
对C，调查一万张面值为100元的人民币中有无假币，采用抽样普查的方式，故C错误；
对D，调查当今中学生喜欢什么体育活动，采用抽样普查的方式，故D错误.
故选：B.
【例5】下列调查：①每隔5年进行人口普查；②报社等进行舆论调查；③灯泡使用寿命的调查；④对入学报名者的学历检查；⑤从20台电视机中抽出3台进行质量检查，其中属于抽样调查的是（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．①③⑤
【答案】B
【分析】利用普查、抽样调查的意义对给定命题逐个判断作答.
【详解】对于①，每隔5年进行人口普查，是普查，不是抽样调查；
对于②，报社等进行舆论调查，调查范围广，是抽样调查；
对于③，灯泡使用寿命的调查，调查具有破坏性，是抽样调查；
对于④，对入学报名者的学历检查，是普查，不是抽样调查；
对于⑤，从20台电视机中抽出3台进行质量检查，是抽样调查.
故选：B
【例6】某科研团队研发出一批相同规格航空用耐热垫片，检测该批耐热垫片的品质时所获得的数据是______数据．（填“观测”或“实验”）
【答案】实验
【分析】分析数据获取的途径或方式即可分辨是“观测”还是“实验”数据.
【详解】若需要检测该批耐热垫片的品质，则需要通过在特定的条件或环境下实验获得数据，故获得的数据为实验数据.
故答案为：实验.
【例7】在2020年年末我国完成了农村贫困人口全部脱贫．为了统计农村贫困人口的数量，国家统计局采取的调查方式是______．（选填“普查”或“抽样调查”）
【答案】普查
【分析】根据普查和抽样调查的概念判断即可．
【详解】解：为了得到较为全面、可靠的信息，所以国家统计局采取的调查方式是普查，
故答案为：普查．
【例8】为了解某一城市全年的日平均气温情况﹐小王观察2月份每天的气温，得到本市日平均气温为；小英观察了1月份至3月份每天的气温，得到本市日平均气温为；小强观察了2月份、5月份、8月份、11月份每天的气温，得到本市日平均气温为．请你根据抽样调查的原则，判断他们三人观察到的结论谁更可靠？为什么？
【答案】小强的结论更可靠，理由见解析
【分析】根据抽样的性质，分析可得小王观测的样本不够大、小英观察调查结果局限于春季，没有代表性，分析即可得答案.
【详解】小强的结论更可靠．因为小王观测的是一个月的气温情况，选取的样本不够大，没有代表性；
小英观察了三个月的气温情况，但因为他的调查结果局限于春季，不能推广到全年，结论也不可靠；
小强虽然也只观察了四个月的气温情况，但他所选择的月份分别代表了春、夏、秋、冬的气温，所以小强观察到的结论更可靠．
【例9】某学校兴趣小组进行了一项关于当年校服流行颜色的调查，调查者在该学校附近的公交站询问学生喜欢的校服颜色并进行统计，根据这次统计结果，选出的服装颜色的众数是蓝白搭配．而当年学校发布的调查结果是灰白搭配．
(1)兴趣小组的调查结果是否代表该学校所有师生的看法？
(2)你认为这两种调查的差异是由什么引起的？
【答案】(1)不能代表该学校所有师生的看法
(2)调查样本容量的大小及代表性
【分析】（1）由于统计数据不具有一般性，分析即可得答案
（2）根据样本容量的大小及代表性，分析即可得答案.
(1)
不能代表该学校所有师生的看法.
根据统计样本可知，此统计数据不具有一般性，因而不能代表该学校所有师生的看法．
(2)
一方面是由样本的代表性所引起的，另一方面兴趣小组的调查样本远远小于学校的调查样本．调查样本容量的大小及代表性能影响统计的结果．
【对点实战】
1.下列说法错误的是（ ）
A．调查一个班级学生每周的体育锻炼时间适合用全面调查
B．实现简单随机抽样的常用方法有抽签法和随机数法
C．简单随机抽样是等概率抽样
D．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生是样本量
【答案】D
【分析】结合抽样方法的相关概念进行判断.
【详解】对于选项A，一个班级的学生相对较少，适合用全面调查，得出的结论较为准确；
对于选项B，抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样方法；
对于选项C，简单随机抽样中每个个体被抽到的可能性是相等的，是等概率抽样；
对于选项D，被抽取的200名学生是样本，不是样本量.
故选：D
2.下列调查中，适合采用抽样调查方式的是（ ）
A．调查某市中学生每天体育锻炼的时间
B．调查某班学生对“众享教育”的知晓率
C．调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量
D．调查北京运动会100米参赛运动员兴奋剂的使用情况
【答案】A
【分析】抽样调查适用总量较大且个体差异不大的情况﹒
【详解】调查某市中学生每天体育锻炼的时间，总体人数多，要节约调查成本并取得具有代表性的调查结论，应使用抽样调查的方式，故A项符合题意．
调查某班学生对“众享教育”的知晓率，总体小，可采用普查的方式，故B项不符合题意．
调查一架战机各零部件的质量，由于调查结果意义重大，应采用普查的方式，故C项不符合题意．
调查参赛运动员兴奋剂的使用情况，由于调查结果直接影响到比赛结果及个人荣誉，意义重大，应采用普查的方式，故D项不符合题意．
故选：A
3.为了了解参加运动会的2 000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析.就这个问题，下列说法中正确的有（ ）
①2 000名运动员是总体；
②每个运动员是个体；
③所抽取的20名运动员是一个样本；
④样本容量为20；
⑤这个抽样方法可采用随机数法抽样.
A．④ B．①② C．②③ D．⑤
【答案】AD
【分析】对于①2 000名运动员的年龄是总体，对于②每个运动员的年龄是个体，对于③所抽取的20名运动员的年龄是一个样本
【详解】总体为2 000名运动员的年龄，每个运动员的年龄是个体，所抽取的20名运动员的年龄是一个样本.样本容量为20.总体没有明显分层，可以采用简单随机抽样的随机数法抽样.故④⑤正确.
答案：④⑤
故选：AD.
4.下列调查方式中合适的是( )
A．某单位将新购买的10台保险箱，全部进行质检
B．某班有40名同学，指定个子最高的3人参加“学生会”
C．某服装厂从5000件出口的服装中抽50件进行抽样调查
D．为了调查最近上映影片的一周内的票房情况，特选周六、周日两天进行调查
【答案】C
【详解】对A，险箱的质检具有破坏性，虽然总量不多，但不宜用普查方式，故错误；
对B，“个子高的学生”不具有代表性，故错误；
对C，总量比较多，用样本数据来代表总体，故正确；
对D，选择周六、日，不具有代表性，故错误；
故选：C
5.下列三项调查：①检测上海市空气质量；②防疫期间检测某校学生体温；③调查某款手机抗摔能力．其中适宜抽样调查的是______．（选填序号）
【答案】①③
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解：①检测北京市空气质量，适合抽样调查；
②防疫期间检测某校学生体温，适合普查；
③调查某款手机抗摔能力，适合抽样调查；
故答案为：①③．
6.银行对公司万元存款的现钞的真假检验，采取的调查方法应该是______．
【答案】普查
【分析】根据普查的定义可得出结论.
【详解】由于万元的现钞数量不大，且需要找出这些现钞中的假钞，故必须用普查的方式.
故答案为：普查.
7.一单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工的收入情况，从中抽取一个容量为20的样本．按下述方法抽取：
①将160人从1至160编上号，再用白纸做成1~160号的签160个放入箱内拌匀，然后从中抽20个签与签号相同的20个人被选出．
②按的比例，从业务人员中抽取12人，从管理人员中抽取5人，从后勤人员中抽取3人．
(1)上述两种方法中，总体、个体、样本分别是什么？
(2)上述两种方法中各自采取何种抽取样本的方法？
(3)你认为哪种抽样方法较为合理？并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)①采用的是抽签法，②采用的是分层抽样法
(3)分层抽样法较为合理，理由见解析
【分析】（1）根据总体、个体、样本的定义可得；
（2）根据抽样方法可直接判断；
（3）根据不同工种的员工的工资存在明显差异可判断.
(1)
总体是该单位160名职工的收入，个体是该单位每名职工的收入，样本是该单位抽取的20名职工的收入．
(2)
①采用的是抽签法，②采用的是分层抽样法．
(3)
分层抽样法较为合理，理由如下：由于要了解职工收入情况，不同工种的员工的工资存在明显差异，所以采用分层抽样较为合理．
8.在体育课体测1000 m跑步中，大多学生跑得气喘吁吁且成绩不理想．体育老师说：“看来，我们年级的学生体能方面问题比较大，需要加强训练．”请你从统计的角度来讨论下面的问题：
(1)在这个情境中，总体和样本分别是什么？
(2)你同意体育老师的说法吗？请说明理由．
【答案】(1)答案见解析；
(2)同意，理由见解析.
【分析】(1)根据总体和样本的基本概念即可判断；
(2)从统计的角度分析体育老师的说法即可.
(1)
总体是同年级的每一名学生在体测1000 m中的成绩表现情况(或者该体育老师所任教的班级的全体学生在体测1000 m中的成绩表现情况)，样本是参与该次1000 m体测的每一名学生的成绩表现情况．
(2)
同意，1000 m体测成绩要求是国家根据同龄人群的身体表现设定的一个集体标准，或者说是一个根据以往同龄人1000 m体测成绩产生的一个统计量，这个统计量可以作为判断某些个体或群体在总体中的相对情况，即如果低于这个值，可以认定体能方面存在问题.
9.一些期刊杂志社经常会请一些曾经高考落榜而在某方面的事业上取得成就的著名专家、学者，谈他们对高考落榜的看法，这些名人所讲的都是大同小异，不外乎“我也有过落榜的沮丧，但从长远看，它有益于我的人生”，“我是因祸得福，落榜使我走了另一条成功之路”等等.小明据此得出一条结论，上大学不如高考落榜，他的结论正确吗
【答案】错误的
【分析】根据题意，得到通过研究一些期刊杂志社报道过的一些成功人士就得出结论是片面的，所以得到的结论时错误的.
【详解】小明的结论是错误的，在众多的高考落榜生中，走出另外一条成功之路的是少数，
小明通过研究一些期刊杂志社报道过的一些成功人士就得出结论是片面的，
因为他的抽样不具有代表性，所以小明得到的结论时错误的.
故答案为：错误的

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