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湖南省普通高中学业水平考试要点解读
数 学
湖南省普通高中学业水平考试大纲专家组编写
二○○九年二月
目 录
数学1
第一章 集合与函数概念………………………………………
第二章 基本初等函数（I）……………………………………
第三章 函数的应用………………………………………………………
数学1检测卷………………………………………………………
数学2
第一章 简单几何体………………………………………………………
第二章 点、直线、平面之间的位置关系………………………………
第三章 直线与方程……………………………………………………
第四章 圆与方程………………………………………………………
数学2检测卷………………………………………………………
数学3
第一章 算法初步………………………………………………………
第二章 统计 ……………………………………………
第三章 概率 …………………………………………………
数学3检测卷………………………………………………………
数学4
第一章 三角函数………………………………………………………
第二章 平面向量………………………………………………………
第三章 三角恒等变换………………………………………………………
数学4检测卷………………………………………………………
数学5
第一章 解三角形………………………………………………………
第二章 数列……………………………………………………
第三章 不等式………………………………………………………
数学5检测卷………………………………………………………
学业水平考试数学检测卷（一）………………………………………………………
学业水平考试数学检测卷（二）………………………………………………………
数学1：
第一章 集合与函数概念
★学习目标
节 次
学 习 目 标
集合
知道集合的含义，了解集合之间的包含与相等的含义，知道全集与空集的含义，理解两个集合的并集与交集的含义及运算，理解补集的含义及求法，理解用Venn图表示集合的关系及运算，
函数及其表示
知道映射的概念，了解函数的概念，理解求简单函数的定义域和值域，理解函数的表示法，了解简单的分段函数及应用。
函数的基本性质
理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，理解奇偶性的含义，利用函数的图象理解和探究函数的性质。
★要点解读
本章主干知识：集合、子集、并集、交集、补集，函数的概念及表示法，函数的定义域和值域，函数的单调性、奇偶性和最值。
1．集合
集合是指定的某些对象的全体。集合中元素的特性有: 确定性（集合中的元素应该是确定的，不能模棱两可）、互异性（集合中的元素应该是互不相同的）、无序性（集合中元素的排列是无序的）.元素和集合的关系是属于不属于关系.表示集合的方法要掌握字母表示法、列举法、描述法及Venn图法。根据元素个数的多少集合可分为：有限集，无限集。
2．集合间的基本关系及基本运算
关系或运算
自然语言
符号语言
图形语言
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素。
A∩B
由所有属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合
A∪B
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合。
已知全集U, 集合AU，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作A相对于U的补集。
。
3．函数及其表示
（1）函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数。
（2）函数的三要素是：定义域、值域和对应关系。
（3）函数的表示：解析法、列表法、图象法。
4．函数的基本性质
（1）函数的最值：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有．
（2）函数的单调性：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1（3）函数的奇偶性是函数的整体性质，函数具有奇偶性的一个必要条件是定义域关于原点对称．偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称．
5．要注意区分一些容易混淆的符号
（1）与的区别：表示元素与集合之间的关系；表示集合与集合之间的关系．
（2）a与{a}的区别：a表示一个元素，{a}而表示只有一个元素a的集合．
（3）{0}与Φ的区别：是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，因此Φ{0}但不能写成Φ={0}，Φ{0}．
★学法指导
1．弄清元素的特征，从元素的分析上寻找解题的突破口
【方法点拨】集合中的元素具有“三性”：确定性、互异性和无序性，集合的关系、集合的运算等都是从元素的角度予以定义的。因此，求解集合问题时，应抓住元素的特征进行分析。【案例剖析】已知A＝{x| x≤3,x∈R}，a=, b=, 则（ ）
（A）a∈A且bA （B）aA且b∈A
（C）a∈A且b∈A （D）aA且bA
【解析】由于3=,所以a∈A，
又3=，所以bA，故选A.
【点评】：本题属于“知道”层次，能准确识别或再认集合中的元素；这类集合问题，元素的确定性是解决问题的入手点。
2．准确理解集合的相关概念，从集合的相关概念上寻找解题的突破口【方法点拨】概念抽象、符号术语多是集合单元的一个显著特点，交集、并集、补集的概念及子集、真子集、集合相等的定义等等。准确理解这些概念是求解集合问题的依据和突破口。
【案例剖析】 已知（ ）
A．{1,2} B. {2,4} C. {2} D. {4}
【解析】：对于选项A：{1,2}?C，选项B：{2,4}?B，选项D：{4}?B，只有C符合要求，故选C。
【点评】：（1）本题属于“了解”层次，考查考生的辨别、比较能力；（2）本题解答的关键是分析选项的元素特征，把握集合与集合的关系，运用子集的定义来直接判断。 　
3、正确掌握集合运算的内涵，从集合运算的转化上寻找解题的突破口
【方法点拨】明确AB=B、AB=B、AB与AB=的含义，根据问题的需要，可以转化为等价的关系式：、．A、B有公共元素与A、B没有公共元素
【案例剖析】设A={－4，0}，B=}，
　　（1）若AB=B，求 的值；
　　（2）若AB，求 的取值范围．
【解析】：（1）因为AB=B，所以，又A={－4，0}，而B至多只有两个根，因此应有A=B，故。
（2）由于，AB至少含有元素－4，因此不论 取何值AB，故。
【点评】：本题属于“理解”层次，解答这类问题的关键是集合运算关系的转化．
4．多角度审视函数概念，从函数的本质上寻找解题突破口
【方法点拨】体会用集合与对应的观点来理解函数概念，明确函数表达式可以是解析式，图象，也可以是表格，了解构成函数的三要素，会求简单函数的定义域和值域。
【案例剖析】求下列函数的定义域：
（1） （2）
【解析】：（1）对于，要求且，即；对于，要求，即，它等价于，即，再取两个函数定义域的公共部分，得所求函数定义域为：.
（2）两个分段区间是和，取它们的并集得所求函数的定义域为.
【点评】：本题属于“理解”层次，考查考生对所学过的内容能进行理性分析；本题的第（1）问：函数是由与的和构成的，应先分别求出各表达式的定义域，再取公共部分；第（2）是个分段函数，先确定函数在各段上自变量的取值范围，再取并集.
5．正确画图、准确识图、合理利用图形建立函数关系
【方法点拨】一方面，通过画图、识图、用图可以研究函数的解析式及其性质；另一方面，函数的解析式及其性质可以通过图象反映出来。
【案例剖析】如图，已知底角为的等腰梯形，底边长为7,腰长为，当一条垂直于底边（垂足为）的直线从左至右移动（与梯形有公共点）时，直线把梯形分成两部分，令，试写出左边部分的面积与的函数。
【解析】：过点分别作，，垂足分别是，。因为是等腰梯形，底角为，，所以，又，所以。
⑴当点在上时，即时，；
⑵当点在上时，即时，
⑶当点在上时，即时，
=。
所以，函数解析式为
【点评】：本题属于“理解”中简单应用层次，考查考生能运用所学过的知识分析生产实践中的数学问题；本题解题的关键是就直线所在的位置分类讨论左边部分的图形特征，然后根据图形形状求出面积。
6．以函数问题为主线，探究和发现数学规律
【方法点拨】数学规律的探索，既要会观察分析已有规律，又要不断发现和完善规律。费
【案例剖析】探究函数f（x）=x＋,x∈（0，+∞）的最小值,并确定取得最小值时x的值.列表如下：
x
…
0.5
1
1.5
1.7
1.9
2
2.1
2.2
2.3
3
4
5
7
…
y
…
8.5
5
4.17
4.05
4.005
4
4.005
4.02
4.04
4.3
5
5.8
7.57
…
请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题.
（1）根据上表分析函数f（x）=x＋（x＞0）在何区间上单调递增；当x为何值时？y有最小值.
（2）证明：函数f（x）=x＋（x＞0）在区间（0,2）上递减.
（3）思考：函数f（x）=x＋（x＜0）有最值吗？如果有,那么它是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果,不需证明）
【解析】（1）函数f（x）=x＋（x＞0）在区间（2,＋∞）上递增.
当x=2时,y最小=4。
（2）任取x1,x2∈（0, 2）且 x1＜x2于是,
f（x1）－f（x2）=（x＋）－（x2＋） = ①
∵ x, x∈（0, 2） 且 x＜x ∴ x－x ＜0；xx－4＜0； xx＞0
∴①式＞0　即f（x）－f（x）＞0，f（x）＞f（x）
∴f（x）在区间（0, 2）递减.
（3）f（x）在（－∞，0）∪（0, ∞）为奇函数.图象关于原点对称.
故当x=－2时,有最大值－4。
【点评】：（1）本题属于“理解”中简单应用层次，主要考查考生能运用所学知识进行简单探究的能力；（2）本题解题的关键是合理分析已给的各种数据，并由此发现和探究函数性质。
★阶梯练习；
A级
1．已知全集,，则( )
A. B. C. D.
2．图中阴影部分表示的集合是( )
A. B. C. D.
3．函数的定义域为（ ）
A．[1，2)∪(2，+∞） B．(1，+∞） C．[1，2) D．[1，+∞)
4．函数f(x)= ，则=（ ）
A. 1 B .2 C. 3 D.4
5. 下列五个关系式①{0}= ②=0 ③ {} ④0 ⑤{0}
其中正确的是
6.函数的定义域是 ；
7．已知全集U=R，集合，求：
（1） （2），
8．已知A＝｛x｜x2－8x＋15＝0｝，B＝｛x｜ax－1＝0｝，且BA，求实数a组成的集合。
B级
9．函数在区间 上的最小值是（ ）
A . 1 B. 3 C. －2 D. 5
10．下列说法错误的是（ ）
A.是偶函数 B. 偶函数的图象关于y轴成轴对称
C. 是奇函数 D. 奇函数的图象关于原点成中心对称
11．已知函数在区间上的最大值是4，则= 。
12．已知函数.
（1）证明在上是减函数;（2）当时，求的最大值和最小值.
13. 某厂准备投资100万生产A，B两种新产品，据测算，投产后的年收益，A产品是总投入的，B产品则是总投入开平方后的2倍．问应该怎样分配投入数，使两种产品的年总收益最大？
C 级
14．若函数，则=
15．已知是奇函数，又f(1)=2，f(2)<3, 求a,b,c的值
第二章 基本初等函数（I）
★学习目标
节 次
学 习 目 标
指数函数
了解有理指数幂的含义、幂的运算。理解指数函数的概念、图象及其意义、指数函数的单调性与特殊点，了解指数函数模型的应用。
对数函数
理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数函数的概念、图象、单调性与特殊点，知道指数函数与对数函数互为反函数，
幂函数
了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的图像，了解它们的变化情况。
★要点解读
本章主干知识：指数的概念与运算，指数函数、图象及其性质，对数的概念与运算，对数函数、图象及其性质，幂函数的概念
1．指数函数：（1）有理指数幂的含义及其运算性质：
①；②；③。
（2）函数叫做指数函数。
指数函数的图象和性质
0 < a < 1
a > 1
图 象
性
质
定义域
R
值域
(0 , +∞)
定点
过定点（0，1），即x = 0时，y = 1
（1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 < y < 1。
（2）0 < a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1。
单调性
在R上是减函数
在R上是增函数
对称性
和关于y轴对称
2．对数函数
（1）对数的运算性质：如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么：
①； ②；
③。
（2）换底公式：
(3)对数函数的图象和性质
0 < a < 1
a > 1
图
象
定义域
(0 , +∞)
值域
R
性
质
（1）过定点（1，0），即x = 1时，y = 0
（2）在R上是减函数
（2）在R上是增函数
（3）同正异负，即0 < a < 1 , 0 < x < 1或a > 1 , x > 1时，log a x > 0；
0 < a < 1 , x > 1或a > 1 , 0 < x < 1时，log a x < 0。
3．幂函数
函数叫做幂函数（只考虑的图象）。
★学法指导
1．弄清根式和分数指数幂的意义，掌握从指数转化上处理指数问题
【方法点拨】类比整数指数幂的运算性质理解分数指数幂的运算，根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算；
【案例剖析】化简下列各式（）

【解析】
【点评】：（1）本题属于“了解”层次，主要考查考生对有理指数幂的含义、幂的运算的识记了解情况；（2）解答这类问题的关键是先把根式转化成分数指数幂的最简形式，然后做幂的运算。
2．理解对数的概念及其运算性质，会利用对数运算性质化简、计算及求值
【方法点拨】一方面，要理解对数的概念和运算性质，理解对数式和指数式的互化，另一方面，计算、化简及求值首先寻找同底转化，当不同底时，要灵活运用换底公式处理。
【案例剖析】计算：
lg14－2lg+lg7－lg18 ⑵ ２25＋３64 （3），．
【解析】：（1）lg14-2lg+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(×2)
=lg2+lg7－2lg7+2lg3+lg7－2lg3－lg2=0
（2）２25＋３64＝２＋３＝２×２＋３×６＝22
（3）=
【点评】：（1）本题属于“理解”层次，要理解对数运算的基本公式，熟练掌握化简求值的常见技能；（2) 注意式与式之间的联系，对数式要化到最简形式.
3．理解指（对）数函数的概念与性质，从函数表达式的特征上寻找解题途径。
【方法点拨】能根据指（对）数函数表达式有意义和单调性求定义域和值域。解题时特别注意对数的真数大于零。
【案例剖析】求下列函数的定义域、值域：
（1） （2） （3）
【解析】：（1） ， ∴ ， 原函数的定义域是，
令， 则，
∴得，
所以，原函数的值域是：．
（2） ∴ 原函数的定义域是，
令 则， 在是增函数 ∴，
所以，原函数的值域是．
（3）．由于函数定义域是R
，故函数的值域是
【点评】：（1）本题属于“了解”层次，主要考查考生对函数定义域和值域掌握情况；（2）求函数的定义域的主要依据是：分式的分母不等于零；偶次方根的被开方数不小于零；对数式的真数必须大于零；指数、对数式的底必须大于零且不等于1。求函数的值域的常用方法有：配方法、换元法、均值不等式法及单调性法等.
4．掌握指（对）数函数单调性的应用
【方法点拨】利用指（对）数函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小，求某些函数的值或最值，解不等式。有些含字母参数的问题，要对参数范围进行讨论。
【案例剖析】已知f（x）=loga（a－ax）
（1）当0＜a ＜1时，求f（x）的定义域；
（2）判断f（2）是否大于零，并说明理由。
【解析】： （1）为使函数有意义，需满足a－ax＞0，即ax＜a，
∵0＜a ＜1，∴x＞1，故定义域为（1，+∞）。
（2）f（2）=loga（a－a2），loga1=0，
又1-（a－a2）= a2- a+1=（，
（a－a2）＜1，
当0＜a ＜1时，f（2）＞0
当a＞0 时，f（2）＜0。
【点评】：本题主要考查对数函数的单调性，解题时，指（对）数函数的底数对单调性的影响要了解透彻。
5．掌握有关指（对）数函数奇偶性的判定
【方法点拨】对于和指（对）数函数有关的函数的奇偶性的判定，首先看函数定义域是否关于原点对称,然后寻找与的关系,并由此判断函数的奇偶性.
【案例剖析】判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)= （a＞0且a≠1） （2）f(x)= lg（－1）
【解析】：（1）f(x)定义域为：，
∵f(-x)= === f(x)， 故f(x)为偶函数。
（2）
∵f（－x）=
∴f（x）是奇函数，
【点评】：判定和指（对）数函数有关的函数的奇偶性，关键是由的解析式向目标的解析式转化，解题要明确目标和方向。
★阶梯练习
A级
1．指数函数y=ax的图像经过点（2，16）则a的值是 （ ）
A． B． C．2 D．4
2．下列函数是幂函数的是（ ）
Ａ、 B、 C、 D、
3．计算（ ）
A. B. C. D.3
4．在区间上不是增函数的是 ( )
A. B. C. D.
5．函数的定义域是 ．
6．若lg2＝a，lg3＝b，则log512＝________．
7．计算：

8．设函数, 求满足=的x的值．

B级
9．方程的解为 （ ）
A、5或-2 B、5 C、-2 D、无解
10．已知函数的值为
11．函数在定义域内是减函数，则的取值范围是
12．已知，是一次函数，并且点在函数的图象上，点在函数的图象上，求的解析式．
13．画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x－１｜＝k无解？有一解？有两解？
C 级
14．函数在上的最大值与最小值之和为，则的值为 （ ）
A. B. C. 2 D. 4
15．已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）判断函数的单调性;
（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
第三章 函数的应用
★学习目标
节 次
学 习 目 标
函数与方程
知道函数的零点与方程根的联系，理解用二分法求方程的近似解
函数的模型及其应用
理解常见的函数模型及其应用
★要点解读
本章主干知识是：零点与方程根，用二分法求方程的近似解，函数的模型及其应用
1．函数与方程
（1）方程的根与函数的零点：如果函数在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间 (a , b) 内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根。
（2）二分法：二分法主要应用在求函数的变号零点当中，牢记二分法的基本计算步骤，即基本思路为：任取两点x1和x2，判断（x1，x2）区间内有无一个实根，如果f（x1）和f（x2）符号相反，说明（x1，x2）之间有一个实根，取（x1，x2）的中点x，检查f（x）与f（x1）是否同符号，如果不同号，说明实根在（x，x1）区间，这样就已经将寻找根的范围减少了一半了．然后用同样的办法再进一步缩小范围，直到区间相当小为止．
2．函数的模型及其应用
（1）几类不同增长的函数模型
利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
(2) 函数模型及其应用
建立函数模型解决实际问题的一般步骤：①收集数据；②画散点图，选择函数模型；③待定系数法求函数模型；④检验是否符合实际，如果不符合实际，则改用其它函数模型，重复②至④步；如果符合实际，则可用这个函数模型来解释或解决实际问题．
解函数实际应用问题的关键：耐心读题，理解题意，分析题中所包含的数量关系（包括等量关系和不等关系）．
★学法指导
1．函数零点的求法
【方法点拨】对于一些比较简单的方程，我们可以通过因式分解、公式等方法求函数的零点，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程与函数联系起来，并利用函数的图象和性质找出零点，从而求出方程的根。
【案例剖析】求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点．
【解析】：对求简单的三次函数的零点：一般原则是进行分解因式，再转化为求方程的根将零点求出．y＝x3－2x2－x＋2＝（x－2）（x－1）（x＋1），令y＝0可求得已知函数的零点为－1、1、2．
【点评】：本题主要考查考生对函数零点概念的理解，函数零点与方程的关系．
2．二分法求方程近似解
【方法点拨】对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值．
【案例剖析】借助计算器或计算机，用二分法求方程在区间（1，2）内的近似解（精确到0.1）。
【解析】：原方程即，令，用计算器或计算机作出函数、的对应值表（如下表）和图象（如下图）。
-2
-1
0
1
2
2.5820
3.0530
2.7918
1.0794
-4.6974
　　观察图或上表可知，说明这个函数在区间（1，2）内有零点。
　　取区间（1，2）的中点，用计算器可得。因为，所以。
　　再取（1，1.5）的中点，用计算器可算得。因为，所以。
　　同理，可得，。
　　由于|1.3125-1.25|＝0.0625＜0.1，此时区间的两个端点精确到0.1的近似值都是1.3，所以原方程精确到0.1的近似值为1.3。
【点评】：一般地，对于不能用公式法求根的方程f（x）＝0来说，我们用二分法求出方程的近似解．
3．利用给定函数模型解决实际问题
【方法点拨】这类问题是指在问题中明确了函数关系式，我们需要根据函数关系式来处理实际问题，有时关系式中带有需确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定之后，才能使问题本身获解．
【案例剖析】有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次是P和Q万元，它们与投入资金x（万元）的关系为：,,今投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？
【解析】： 设投入甲产品资金为x万元（，投入乙产品资金为(3－x)万元，总利润为y万元．则
=
当时，
答：对甲、乙产品各投资为1.5万元，获最大利润为万元。
【点评】：本题是给定函数求二次函数最值的应用问题，解答这类的问题关键是通过配方求二次函数的最值。
4．建立确定的函数模型解决实际问题
【方法点拨】通过观察图表，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机对数据进行处理，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题。
【案例剖析】2008年5月12日，四川汶川地区发生里氏8.0级特大地震．在随后的几天中，地震专家对汶川地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
强度（J）
1.6
3.2
4.5
6.4
震级（里氏）
5.0
5.2
5.3
5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量
(1)画出震级（）随地震强度（）变化的散点图；
（2）根据散点图，从下列函数中选取选取一个函数描述震级（）随地震强度（）变化关系：，
（3）四川汶川地区发生里氏8.0级特大地震时释放的能量是多少？（取）
【解析】：（1）散点图如下图：
（2）根据散点图，宜选择函数。
（3）根据已知，得解得：

当时， （J）
【点评】：函数模型的选择一方面要分析题中的实际意义，另一方面，要考虑函数的本身特点。
★阶梯练习
A级
1．函数f(x)=2x+7的零点为 （ ）
A、7 B、 C、 D、-7
2．方程的一个实数解的存在区间为 （ ）
A、（0，1） B、（0.5，1.5） C、（-2，1） D、（2，3）
3．设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）
A B C D 不能确定
4．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又沿原路返回b千米（b5．方程的实数解的个数为________________。
6．某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比，且比例系数为a，其余费用与船的航行速度无关，约为每小时b元，若该船以速度v千米/时航行，航行每千米耗去的总费用为 y （元），则y与v的函数解析式为________．
7．已知函数的图象是连续不断的，有如下的，对应值表：
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
－3.51
1.02
2.37
1.56
－0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
函数在哪几个区间内有零点？为什么？
8．一个体户有一种货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2．4%，如果月末售出可获利120元，但要付保管费5元，问这种货是月初售出好，还是月末售出好？

B级
9．函数在区间（1，2）内的函数值为（ ）
A、大于等于0 B、等于0 C、大于0 D、小于0
10．有一块长为20厘米,宽为12厘米的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子。则盒子的容积V与x的函数关系式是 。
11．老师今年用7200元买一台笔记本。电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一。三年后老师这台笔记本还值
12．证明：函数在区间（2，3）上至少有一个零点。
13．有一片树林现有木材储蓄量为7100 cm3，要力争使木材储蓄量20年后翻两番，即达到28400 cm3．（1）求平均每年木材储蓄量的增长率．（2）如果平均每年增长率为8%，几年可以翻两番？
C 级
14．若方程有两个实数解，则的取值范围是（ ）
A B C D
15．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2 万件、1.3 万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（其中为常数）已知4月份该产品的产量为1.37万件， 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由
数学1模块检测
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟。满分100分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
2．下列计算正确的是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
3．下列函数在其定义域内为增函数的是 （ ）
A． B． C． D．
4．函数的值域是（ ）

5．已知集合，则下列式子表示正确的有 （ ）
① ② ③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知的图象恒过（1，1）点，则的图象恒过( )
A．（－3，1） B．（5，1） C．（1，－3） D．（1，5）
7．以下四个命题中不正确的是（ ）
A．是奇函数； B. 是偶函数；
C.是非奇非偶函数； D.是奇函数
8．四个数：，，，中最小的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9．已知a>1,函数y＝ax与y＝loga（-x）的图像可能是（ ）
A B C D
10．今有一组实验数据如下：
T
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
Y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是：
A． B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11．式子 值是____________．
12．若函数对一切实数都有，则实数的取值范围是 .
13．函数的 零点个数为______________ .
14．我国的人口约13亿，如果今后能将人口数平均增长率控制在1%，那么经过x年后我国人口数为y亿，则y与x的关系式为_____。
15．以下五个函数中：①，②，③，④，⑤，幂函数的是 （填写符合的序号）
三、解答题：本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．(本小题满分6分)
设全集U为R,已知A={x|15},求（1）AB (2)AB (3)(CUA)(CUB)
17．(本小题满分8分)
(1) 求函数的定义域；
（2）计算：
18．(本小题满分8分) 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如右图：
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数S和时间t的函数解析式.
19．(本小题满分8分) 已知函数（为常数，且），满足有唯一解
(1)求函数的解析式 (2)的值。
20．(本小题满分10分) 已知函数。
（1）求证：不论为何实数总是为增函数；
（2）确定的值，使为奇函数；
（3）当为奇函数时，求的值域。
数学2：
第一章 空间几何体
★学习目标
节次
学 习 目 标
空间几何体的结构、三视图和直观图
了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，理解简单空间图形的三视图的画法及三视图的识别, 理解斜二测法画空间图形的直观图,了解用平行投影与中心投影画空间图形的视图与直观图。
空间几何体的表面积和体积
了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式，会求简单组合体的表面积和体积。
★要点解读
本章主干知识 常见几何体及其简单组合体的结构特征；平行投影、中心投影和几何体的视图、直观图，斜二测法，柱、锥、台、球的表面积和体积公式。
1．棱柱、棱锥、棱（圆）台的本质特征
⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面平行且全等），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都平行且相等）。
⑵棱锥：①有一个面（即底面）是多边形，②其余各面（即侧面）是有一个公共顶点的三角形。
⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点，②两底面是平行且相似的多边形。
⑷圆台：①平行于底面的截面都是圆，②过轴的截面都是全等的等腰梯形，③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点。
2．中心投影、平行投影及空间几何体的三视图、直观图
⑴一点发出的光照射下形成的投影叫中心投影。
⑵平行光线照射下形成的投影叫平行投影，投影线正对着投影面时，叫正投影，否则叫斜投影。
⑶平行投影下的正投影包括斜二测法和三视图。三视图的正视图、左视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线即正投影（被遮挡的轮廓线要画虚线）。
3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是
若干个小矩形拼成的一个大矩形，
若干个全等的等腰三角形，
若干个全等的等腰梯形

4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式

⑴ S圆锥表=πr（r+l）← S圆台表=π（r上2+r下2+r上l+ r下l） → S圆柱表=2πr（r+l）

⑵ V圆锥 = πr2 h ← V圆台=π（r上2+ r下2+ r上r下）h → V圆柱=πr2h
⑶ 球面无法展开铺平,用无限逼近法得: S球=4πR2 ， V球 = πR3
★学法指导
1、抓几何体的本质特征
【方法点拨】从掌握柱、锥、台、球的本质结构特征入手进行分析，才能作出正确判断。
【案例剖析】下列命题中正确命题的个数（ ）
⑴有两个面平行，其余各个面都是平面四边形的几何体叫棱柱
⑵有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱
⑶有两个面平行，其余各个面都是梯形的几何体叫棱台
⑷用一个平面去截棱锥，棱锥的底面和截面之间的部分叫棱台
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【解析】由以下图象可知⑴⑵⑶⑷均不正确,故选D答案.

【点评】：本题属于“知道”层次，考查识别几何体，要从本质特征入手。
2．正确认识三视图，寻找斜高和高是计算出单个几何体表面面积与体积的关键
【方法点拨】正确地转换三视图与直观图，找出棱长与斜高、高的位置及长度关系是关键。
【案例剖析】 一个几何体的三视图如图所示，尺寸单位：cm ，试画出该几何体的直观图，并求出其侧面积和体积。
【解析】：由三视图得该几何体的直观图
如右下图，是一个正四棱锥。
底面正方形边长AB=4
斜高PE=PF=
∴高PO==
∴侧面积S=4××4×=8（cm2）
体积 V=×42×=（cm3）
【点评】：本题属于“综合运用”层次，要防止将视图中的看作侧棱PA、PB的长。
3． 组合体的表面积及体积
【方法点拨】计算组合体的表面积和体积时，⑴分析清楚由哪几个几何体构成，⑵是否空心：内外表面积及体积的加减问题，⑶内外接与切的问题，⑷多个球的组合，先以各个球心连成多面体进行考察，再转化。
【案例剖析】如图1，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°
AD∥BC，AD=2，AB=3，BC=6，把直角梯形ABCD绕
底边AD旋转一周得到一个旋转体，
求：⑴旋转体的表面积，⑵旋转体的体积。
【解析】：⑴如图2，旋转体的表面积有内外部分，
S表＝π×32＋2π×3×6＋π×3×5
＝60π（平方单位）
⑵旋转体的体积V＝π×32×6－π×32×4＝42π（立方单位）
【点评】：本题属于“综合运用”层次，依题意画出旋转体，分清内外空心部分即可。
★阶梯练习
A级
1.一个正方体内有一个内切球,作出正方体的对角面,所得截面图形是 ( )

2．不共线的四点可以确定平面的个数可能为 （ ）
A． 1或2个 B．2或3个　 　C．3或4个　 　D．1或4个
3.如图, 过球的一条半径OP的中点O1 ，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的面积与球的表面面积之比为 ( )
A. 3：16 B. 9：16 C. 3：8 D. 9：32

4. 右上图，水平放置的三角形的直观图，D＇是A＇B＇边上的一点且D＇A＇= A＇B＇，A＇B＇∥Y＇轴, C＇D＇∥X＇轴，那么C＇A＇、C＇B＇、C＇D＇三条线段对应原图形中的线段CA、CB、CD中 （ ）
A．最长的是CA，最短的是CB B．最长的是CB，最短的是CA
C．最长的是CB，最短的是CD D．最长的是CA，最短的是CD
5．斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长AB=6的正三角形，侧棱AA1=10，且侧棱AA1与底面的两边AB、AC均成60°的夹角，则这个三棱柱的侧面面积等于（ ）
A．90 B. 60+60 C. 45+60 D. 120
6.如图，正四面体ABCD的棱长为6，P、Q分别是AC的中点、AD的三分之一点，则截面BPQ分正四面体上下两部分的体积之比等于
7.如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水。若放入一个半径为r的实心钢球，水面升高的高度为r，则 R：r等于
8．已知正三棱锥的底面边长为a，高为a，则正三棱锥的侧面面积等于（用a的式子表示）

B级
9． 若长方体的一条对角线与长、宽所成的角分别是45°、60°，且长方体的高为3，则该长方体的表面面积是 （ ）
A. 18+36 B. 18+36 C. 36+36 D. 9+36
10．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D—ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．正四棱台上下底面面积分别为16和81，有一平行于底面的截面面积为36，则截面截得棱台的高上下两段的比为（ ）
A．1∶1 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶4
12．正六棱台的两底边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的侧面积等于
13．长方体木头ABCD－A1B1C1D1，AB=BC=4，BB1=3，过A、B1、D1三点的平面将长方体切割去一个角，求剩下的几何体的表面积.

C 级
14．有一个几何体由8个面围成，每一个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B，C，D在同一个平面内，ABCD是边长为30cm的正方形.说明这个几何体的结构特征，画出其直观图和三视图，并求出它的表面积和体积.
15．已知一个圆锥的高为6cm，母线长为10cm。求：
⑴圆锥的体积； ⑵圆锥的内切球的体积； ⑶圆锥的外接球的表面积。
　
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
★学习目标
节次
学 习 目 标
空间点、直线、平面间的位置关系
了解空间点、线、面的位置关系的四个公理和一个定理。
直线、平面平行的判定与性质
理解线线平行、线面平行、面面平行的判定与性质，运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
直线、平面垂直的判定与性质
理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质，运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
空间角、距离的概念和简单计算
理解空间角的概念，会进行简单计算。
★要点解读
本章主干知识 空间中点、直线、平面之间的位置关系，“线线、线面、面面的平行与垂直”的判定与性质，空间角的概念和简单计算。
1．平面
平面的性质：公理1的作用“直线在平面上的依据”、公理2的作用“确定一个平面的依据，用其证明点、线共面”、公理3的作用“判定两个平面相交的依据，用其证明点在直线上——两平面的公共点一定在交线上”。
2．空间两直线的位置关系和异面直线的概念与画法
空间中两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面。
相交的两条直线与平行的两条直线都是共面的，异面直线“不同在任何一个平面内”的不共面性，指这两条直线永远不具备确定平面的条件，因此，常用平面衬托法画两条异面直线，图1；
在两个平面内的两条直线可能是“相交直线、平行直线、异面直线”三种位置关系。图2
3．空间直线和平面的位置关系
直线与平面相交、直线在平面内、直线与平面平行
直线在平面外——直线和平面相交或平行，记作aα包括a∩α=A和a∥α
4．空间平面与平面的位置关系
⑴平面与平面平行、平面与平面相交
⑵如果平面α∥βα内任意直线a∥β，即面面平行线面平行。但任意直线aα、bβ
不都有a∥b，即“面面平行线线平行”是指平面α、β与第三个平面γ的两条交线平行
5．关于平行、垂直及异面直线所成的角
⑴定理“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补”说明平移不改变角的大小，只改变角的顶点的位置。所以求异面直线所成的角，要先平移找角，后求角。
⑵若直线a∥b，b∥c a∥c（公理4）。
⑶垂直于同一个平面的所有直线（即平面的垂线）互相平行；
⑷垂直于同一条直线的所有平面（即直线的垂面）互相平行；
注意：
⑴若直线l∥平面α，则l与α内任意直线都平行吗？
只与α内哪样的直线平行呢？ 图3
⑵若直线l⊥平面α，则l与α内任意直线都垂直吗？
b一定与α内任意直线都垂直！图4

★学法指导
1. 关于符号语言、文字语言和图形语言的转换，以及平面向空间的转换
【方法点拨】注意结合长方体中直线与平面的各种可能位置关系来考虑问题。
【案例剖析】已知直线a、b和平面α，下面推论错误的是（ ）
A．若 B.若
C.若 D. 若
【解析】结合长方体中的线面位置关系进行思辨，将符号语言转换成空间位置关系，答案选D。
【点评】：本题属于“理解”层次，要能准确将符号语言转换得空间位置关系。
2．截面问题
【方法点拨】截面是用平面将几何体完全切割开后所得的平面图形（顶点是切割面与棱的交点、边是切割面与表面的交线）。先定形状——边是否平行（垂直），图是否对称，再计算边长（角度）等。
【案例剖析】已知正三棱柱的棱长都是a， 过底面一边和上、下底面中心连线的中点作截面，求此截面的面积.
【解析】如图，∵上下底面平行 ∴截面与上下底面的交线互相平行 即 B1C1∥MN
又正三棱柱有对称性B1M=C1N ∴经过B1C1和O1O的中点G的截面B1C1NM是一个等腰梯形
∵OG是△EDD1的中位线 ∴ED=2OD=2×a=a
∴等腰梯形B1C1NM的高ED1==a
又∵AE：AD=（a-a）：a= ∴ MN=BC=a
∴截面B1C1NM的面积S=（a+a）a=a2
【点评】：本题属于“理解”层次，“先判断并论证截面图的形状，再计算”是解这类题的基本步骤。
3．平行与垂直问题的相互转化及证明
【方法点拨】平行公理和“线线平行、线面平行、面面平行” 的判定与性质是证明平行问题的主要依据；“线线垂直、线面垂直、面面垂直” 的判定与性质是证明垂直问题的主要依据。
【案例剖析】如图，已知在四棱锥P—ABCD中，
底面ABCD是平行四边形，点E、F在PC上，
且PE：EF：FC=1：1：1，问在PB上是否存在
一点M，使平面AEM∥平面BFD，并请说明理由。
【解析】要平面AEM∥平面BFD，先看能否找到
一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，
由已知得 PE=EF=FCE是PF的中点，在PB上
取M为PB的中点时可知 EM就是△PBF的中位线
EM∥FB ⑴ 又连接AC交BD于O点，∵ABCD是平行四边形 ∴点O是AC的中点
∴OF是△ACE的中位线OF∥AE　　⑵
而EM、AE是平面AEM内的两条相交直线，OF、FB是平面BFD内的两条相交直线
由⑴⑵可得 EM∥平面BFD，AE∥平面BFD ∴ 平面AEM∥平面BFD， 故存在点M就是PB的中点。
【点评】：本题属于“理解”层次，证明平行问题经常用到中位线的平行性、平行四边形对边平行等，然后采用“线线平行、线面平行、面面平行”进行相互转化与证明。
4. 求空间角和平面图形翻折成空间图形的问题
【方法点拨】三类空间角的几何求法：先一边作一边论证平行或垂直，作出角后指出某某角为所求的角，再连线成三角形计算求角。翻折问题：抓住折叠前与折叠后的图形中“长度和角度特别是直角”的不变量进行分析。
【案例剖析】如图，已知矩形ABCD中，AB=4a ，BC=3a ，沿对角线BD将Rt△ABD折起，使点A到A1点，且A1点在平面BCD上的射影刚好落在边CD上。
⑴求证：BC⊥A1D， ⑵求证：平面A1BC⊥平面A1BD，⑶求二面角A1—BD—C的正弦值。

【解析】⑴∵ ABCD是矩形 ∴BC⊥CD 已知A1点在平面BCD上的射影O刚好落在边CD上
即A1O⊥平面BCD，而BC平面BCD A1O⊥BC
∴ BC垂直于平面A1CD内的两条相交直线CD、A1O BC⊥平面A1CD BC⊥A1D
⑵由上得 A1D⊥BC 又由已知得 ∠BAD=∠BA1D=90° A1D⊥A1B
∴A1D垂直于平面A1BC内的两条相交直线BC、A1B A1D⊥平面A1BC
又A1D平面A1 BD 平面A1BC⊥平面A1BD
⑶过O作OE⊥BD于E点 连接A1E，∵A1O⊥平面BCDA1O⊥BDBD⊥平面A1OE
BD⊥A1E， ∴∠A1EO是二面角A1—BD—C的平面角
∵在Rt△BA1D中，A1E=a ，在Rt△CA1D中，A1O=a
∴ 在Rt△A1EO中，sin∠A1EO = =
【点评】：本题属于“综合运用”层次。线线角的关键是平行找角；线面角的关键是找射影时指出垂线的垂足落在哪个三角形的边上，才能去解对应的三角形；二面角的关键是作出平面角。
★阶梯练习
A级
1．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ）
A、[0o，90o] B、（0o，90o） C、[0o，180o] D、[0o，180o)
2．若直线上有两个点在平面外，正确结论是（ ）
A、直线在平面内 B、直线在平面外
C、直线上所有点都在平面外 D、直线与平面相交
3．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，则正方体的过P、Q、R的截面图形的面积是 （ ）
A. B.
C. D.
4．直线l与平面(内的两条直线都垂直，则直线l与平面(的位置关系是 （ ）
A、平行 B、垂直 C、在平面(内 D、无法确定
5．不同直线和不同平面，给出下列命题
① 若 ② 若
③ 若 ④ 若
其中假命题有（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
6．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,则点A到△A1BD所在平面的距离=（ ）
A、1 B、 C、 D、
7．如果△ABC的三个顶点到平面的距离相等且不为零，那么△ABC的(　 )
A、三边均与平行 B、三边中至少有一边与平行
C、三边中至多有一边与平行 D、三边中至多有两边与平行
8．正三棱锥中相对的两条棱所成的角= 。
B级
9．已知直线a，如果直线b同时满足下列二个条件：
①直线b与a是异面直线；②b与a所成的角为定值θ。
那么这样的直线b有（ ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、无数条
10．已知a和b是两条异面直线，下列结论正确的是 ( 　)
A、过不在a 、b上的任意一点，可作一个平面与a 、b都平行
B、过不在a 、b上的任意一点，可作一条直线与a 、b都相交
C、过不在a 、b上的任意一点，可作一条直线与a 、b都平行
D、过a有且只有一个平面与b平行
11．已知一条与平面(相交的线段，长度为10cm，两端点到平面(的距离分别是2cm，3cm，这条线段与平面(所成角是 .
12．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
①若AC=BD，则四边形EFGH的形状是 ；
②若则四边形EFGH的形状是 ．
13．过直线l外一点A作直线l的垂线有 条；过A点作直线l的垂面有 个；过A点作直线l的平行线有 条；过A点作直线l的平行平面有 个。
C 级
14．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，如图，P在AB上，Q在B1C1上，且AP＝B1Q，N是PQ的中点，M是正方形ABB1A1的中心．求证：⑴MN∥平面B1D1；⑵MN∥A1C1．

15．已知矩形ABCD的边长AB＝6cm，BC＝4cm，在CD上截取CE＝4cm，以BE为棱将矩形折起，使△BC′E的高C′F⊥平面ABED，求：
⑴点C′到平面ABED的距离； ⑵二面角C′—AB—C的正切值； ⑶点C′到边AD的距离．



第三章 直线与方程
★学习目标
节次
学 习 目 标
直线的倾斜角及斜率，两直线平行与垂直的判定与性质
了解直线的倾斜角及斜率的概念, 理解过两点的直线的斜率公式, 会判断两直线的平行与垂直。
直线方程
理解直线方程的三种形式, 两直线交点坐标的求法。
两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行线间的距离
理解两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行线间的距离。
★要点解读
本章主干知识 直线的倾斜角和斜率，过两点的直线的斜率公式．直线方程，两条直线位置关系及平行与垂直的判定.两点间距离公式，点到直线的距离公式，两条平行线间的距离.
1. 直线的倾斜角和直线的斜率
⑴坐标平面内的直线都有倾斜角，且一条直线的倾斜角是唯一的，倾斜角的范围为[0°，180°）；
直线的斜率有存在和不存在两种：当直线的倾斜角θ≠90°时，存在斜率k＝tanθ，
当直线的倾斜角θ＝90°时，不存在斜率。
⑵经过两个定点 P1(x1,y1) , P2(x2,y2) 的直线：
若x1≠x2，则直线P1P2 的斜率存在，k=tanθ=
若x1＝x2，则直线P1P2的斜率不存在，其倾斜角为900。
2．直线方程的适用范围
⑴一般式Ax+By+C=0 (A、B不同时为0)：对坐标平面内的任何直线都适用 。
⑵点斜式Y- Y0=k（X- X0）、斜截式Y=kX+b 不能表示无斜率（垂直于x 轴）的直线.
⑶两点式=不能表示平行或重合于两坐标轴的直线.
⑷截距式+=1不能表示平行或重合于两坐标轴的直线及过原点的直线

3．两条直线“平行或垂直”的判定
直线l1∥l2 或重合倾斜角α1=α2有斜率时k1=k2 ，或都无斜率；
直线l1∥l2 有斜率时k1=k2且y轴上的截距不同，或都无斜率且x轴上的截距不同；
直线l1⊥l2 有斜率时k1×k2=-1，或一条有斜率k1=0另一条无斜率。
若 且若A1、A2、B1、B2都不为零。
①l1//l2； ②l1l2 A1A2+B1B2=0；
③l1与l2相交； ④l1与l2重合；
4．对称问题及中点公式
⑴若两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）关于直线l：y=kx+b对称：
①P1P2中点在l上：=k+b ， ②P1P2⊥l：×k=-1
⑵若两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）关于点M（x0，y0）对称：M是P1P2的中点（也叫中心）
x0= ，y0=
5．两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的距离公式│P1P2│=
两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的中点坐标公式M（，）
6．点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式d1=
平行直线Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0的距离公式d2=
★学法指导
求直线的斜率和倾斜角的方法
【方法点拨】求斜率：①已知直线上两点，由k=求出；②已知倾斜角θ，由k=tanθ求出；③已知直线方程，将方程化成斜截式y=kx+b，则x项的系数就是斜率k。也可能无斜率。
求倾斜角的方法：先求斜率k，再由k= tanθ求出倾斜角θ.要注意讨论，无斜率则θ=90°。
【案例剖析】在下列叙述中：
①一条直线的倾斜角为θ，则它的斜率k= tanθ；
②若直线的斜率k=-1，则它倾斜角为135°；
③经过A（-1，0），B（-1，3）两点的直线的倾斜角为90°；
④过点P（2，-3）、倾斜角为135°的直线方程为x-y-5=0；
⑤直线y=1的倾斜角为45°。
以上所有正确命题的序号是
【解析】①当θ=90°时无斜率k，故错误； ②与③正确；④k=tan135°=-1，故错误；
⑤其实斜率k=0，则倾斜角为0°，故错误。 答案：②③
【点评】：本题属于“理解”层次，会多途径求直线的斜率和倾斜角。
斜率、截距存在与否、为0与否等需要分类讨论
【方法点拨】依据条件设直线方程时，要注意讨论存在性，再依次求解。
【案例剖析】求经过两条直线x+3y-10=0和x-2y=0的交点，且到原点的距离为4的直线方程。
【解析】错解 由方程组， 解得两直线交点的坐标为A（4，2）
设所求直线方程为y-2=k(x-4) 即 kx-y-4k+2=0
则原点到该直线的距离d==4
得（2k-1）2=4(k2+1) ∴k=-
∴所求直线方程为y-2=-(x-4) 即 3x+4y-20=0
正解一: 同上两条直线交点的坐标为A（4，2）
当斜率存在时，设所求的直线方程为y-2=k(x-4) 同上得直线方程为3x+4y-20=0
当斜率不存在时，过交点A（4，2）的直线方程为x-4=0
∴所求直线方程为3x+4y-20=0 和 x-4=0
正解二: 过两条直线交点的直线系方程可设为x+3y-10 + m(x-2y)=0
即(1+m)x+(3-2m)y-10=0
则原点到该直线的距离d==4
去分母,两边平方,整理得 4m2-8m+3=0 ∴m=或
∴所求直线方程为3x+4y-20=0 和 x-4=0
【点评】：本题属于“理解”层次，对直线的可能位置作出分析后需要分类讨论时，必须分情况考虑，防止漏解.
3、“数形结合”的思想
【方法点拨】数形结合就是把“数、式子”变形后和图形中的“角、斜率、距离”等相联系，使式子具有一定的几何意义，这样数形结合进行思辨往往更直观、更简捷。
【案例析】已知实数x、y满足y= ，求：
⑴的取值范围 ； ⑵的最大值和最小值。
【解析】⑴将实数x、y满足y=变形为：（x-1）2+y2=1，且0≤y≤1，可把（x、y）看作是上半圆上的动点A ，且分式可看作是两点A（x、y）、B（1、-1）连线的斜率k
如图，点A在半圆上移动时，可得=k的范围：-∞＜k≤kBO 或 kBC≤k＜+∞
即-∞＜k≤-1 或 1 ≤k＜+∞
∴的取值范围为（-∞，-1][1，+∞）
⑵∵==│AP│
看作两点A（x、y）、p(-2，1) 之间的距离
则最大距离为│CP│=，最小距离为-1
∴最大值为，最小值为-1
【点评】：本题属于“综合应用”层次，抓住式子的几何意义进行转化，也是解代数问题的重要方法之一。
4. 两条直线平行和垂直的讨论
【方法点拨】当直线方程中的系数含有字母时，关于两条直线“平行与垂直”的讨论方法
方法一 分有斜率和无斜率两种情况进行讨论，见要点3。
方法二 若无分式或分母不含字母系数，由直线方程的一般式直接求解：
直线l1∥l2A1B2-A2B1=0，且A1C2-A2C1≠0 , 直线l1⊥l2 A1A2+B1B2=0
【案例剖析】已知两条直线l1: (m+3n-1)x+(m-1)y-2m+2=0，l2: (m-3n+2)x+(m+1)y-m+1=0，分别求下列条件下的m，n的值。 ⑴直线l1⊥l2 ，且直线l1经过点（0，-1）； ⑵直线l1∥l2 ，且坐标原点到这两条直线的距离相等。
【解析】⑴∵直线方程中不含分母，直接得
直线l1⊥l2即 (m+3n-1)(m-3n+2)+ (m-1)(m+1)=0
且直线l1经过点（0，-1）得 (m+3n-1)×0+(m-1)×（-1）-2m+2=0
∴ m=1 , n=1 或 m=1 , n= 0
⑵直线l1∥l2 得(m+3n-1)(m+1)- (m-3n+2)(m-1)=0 ①
且 (m+3n-1)（-m+1）- (m-3n+2)（-2m+2）≠0 ②
∵坐标原点到这两条直线的距离相等
当m=1时l1无斜率，l2有斜率；当m=-1时l2无斜率，l1有斜率，两直线不能平行；
当m≠1时l1、l2有斜率 , 又要平行，则l1、l2 在y轴上的截距相反：
-2= 得 m=- 代入①得n=
又代入②检验知，m=-，n= 使②成立 ∴ m=-，n=为所求。
【点评】：本题属于“理解”层次，判定两条直线的平行与垂直，主要是考虑两直线斜率的关系，但要讨论无斜率的情况，也有避免分情况讨论的，如方法二即是。
5. 对称的应用
【方法点拨】⑴在直线上求一点P,使P到两定点的距离之和最小；⑵在直线上求一点P,使P到两定点的距离之差最大；⑶光线反射问题。以上问题都要应用对称的知识来解。
【案例剖析】已知点P在直线l:x-y=0上，两点A（-2，1），B（1，2），
⑴ 求使|PA|+|PB|取得最小值的点P的坐标； ⑵ 求使|PA|-|PB|取得最大值的点P的坐标
【解析】⑴如图，∵A、B两点在直线l的同侧，点A（-2，1）关于直线l:x-y=0对称的点A′坐标为（1，-2），则连线A′B与直线l:x-y=0的交点P1（1，1）
由对称性知，直线l:x-y=0上的任意点P都有|PA|=|PA′|
由于三角形中两边之和大于第三边，如图可知，对称轴l:x-y=0上的任意点P都有
|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|=4
∴点P为P1（1，1）点时使|PA|+|PB|取得最小值4。
⑵ 连接AB延长交直线l于点P2（，），
由于三角形中两边之差小于第三边，如图可知，
直线l:x-y=0上的任意点P都有|PA|-|PB|≤|AB|=
∴点P为P2（，）点时使|PA|-|PB|取得最大值。
【点评】：本题属于“理解”层次，对称的应用很广泛，而求对称点是关键。
6. 求直线方程
【方法点拨】求直线方程的常见方法有：
⑴ 先找经过的点、截距、斜率，代入某种直线方程 ；
⑵ 或先设某种形式的方程（如点斜式、斜截式等），再由已知求系数——待定系数法。
【案例剖析】在直角三角形中，已知直角顶点A（1，1），一条直角边所在直线的方程为x-y=0，斜边的中点为D(4,2)，求其它两边所在直线的方程。
【解析】∵已知一条直角边所在直线的方程为x-y=0， ∴另一直角边斜率为-1，且经过直角顶点A（1，1），得其所在的直线方程为y-1=- (x-1)
⑴若斜边所在的直线无斜率，又已知斜边的中点为D(4,2)，则其所在的直线方程为x=4，
∴斜边所在直线的方程为x=4，与两直角边所在直线的方程联立
得交点B（4，4），C（4，-2），这时与已知点D(4,2)是斜边BC的中点相矛盾！
⑵若斜边所在的直线有斜率，设斜边的直线方程为y-2=k(x-4)，与两直角边的直线方程联立，
得交点即顶点: B(，) ，C(，)
∵斜边BC中点为D(4,2)，由中点公式得+=8 及+ =4 解得k=3
∴斜边所在的直线方程为y-2=3(x-4) ， 即 3x-y-10=0
∴其它两边即斜边的直线方程为3x-y-10=0 和另一直角边的直线方程为x+y-2=0
【点评】：本题属于“理解”层次，先设某种形式的直线方程，再联立其它方程来求解，是解析法的一种重要手段。
★阶梯练习
A级
1. 过点P(2, 3)与Q(1, 5)的直线PQ的倾斜角的正切值为（ ）
A、2 , B、–2 , C、, D、–
2. 若直线l1: ax+2y–1=0与直线l2: x+(a–1)y+a2=0平行，则a=（ ）
A、–1 B、2 C、–1或2 D、0或1
3. 若直线的斜率为-2，则其倾斜角的正弦值为（ ）
A、 B、± C、 D、-
4. 已知直线1：3x＋4y=6和2：3x-4y=-6，则直线1和2的倾斜角的关系是（ ）
A、互补 B、互余 C、相等 D、互为相反数
5. 如图，直线l1, l2, l3的斜率分别为k1, k2, k3，则成立的是 （ ）
A、k1C、k36. 经过点P(x0, y0)且与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程是（ ）
A、B(x–x0)–A(y–y0)=0 B、B(x–x0)–A(y–y0)+C=0
C、B(x+x0)–A(y+y0)=0 D、B(x+x0)–A(y+y0)+C=0
7. k是直线l的斜率，θ是直线l的倾斜角，若30°≤θ<120°，则k的取值范围是（ ）
A、-≤k≤ B、≤k≤1 C、k＜-或k≥ D、k≥
8. 若直线过点P(0,2)，且在x轴上的截距是2,则该直线的倾斜角是 .
9. 已知直线l1和l2关于直线y=x对称，若直线l1的斜率为，则直线l2的斜率为 ，倾斜角为 .
B级
10. 原点在直线上的射影为点P(－2，3),则直线的方程是（ ）
A、x＋2y=0 B、2x＋3y＋13=0
C、x－2y＋5=0 D、2x－3y＋13=0
11. 若点(4，a)到直线4x-3y=1的距离不大于3，则a的取值范围是（ ）
A、 B、(0，10) C、 D、(-∞，0((10，＋∞)
12. 已知三点A（1，-1），B（4，P），C（P，0）共线，则P=_________.
13. 若直线l的倾斜角是连接P(3, –5), Q(0, –9)两点的直线的倾斜角的2倍，则直线l的斜率为 .
C 级
14. 已知M(2, –3), N(–3,–2)，直线l过点P(1, 1)，且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是 .
15. 若两平行直线3x–2y–1=0和6x+ay+c=0之间的距离是，求的值.
第四章 圆与方程
★学习目标
节次
学 习 目 标
圆的方程
理解圆的标准方程和一般方程。
直线与圆、圆与圆的位置关系
理解直线与圆以及圆与圆的位置关系，直线和圆的方程的简单应用。
空间直角坐标系，两点间的距离公式
理解坐标法，知道空间直角坐标系的概念，用空间直角坐标系刻画点的位置，空间两点间的距离公式。
★要点解读
本章主干知识 圆的标准方程和一般方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，直线和圆的方程的简单应用。坐标法和空间直角坐标系刻画点的位置，两点间的距离公式。
1. 确定圆的三要素：圆心坐标a、b和半径r；一般方程中D、E、F且D2+E2-4F＞0。
2. 直线与圆的位置关系的判定 圆心到直线的距离——圆心距
⑴若 ⑵若 ⑶若
△法利用直线与圆的方程联立方程组来判断和求解。
3. 经过一点M（x0，y0）作圆（x-a）2+（y-b）2=r2的切线
⑴点M在圆上时，切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）= r2
⑵点M在圆外时，有2条切线、2个切点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），方程（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）= r2不是切线方程，而是经过2个切点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线方程。
4. 直线被圆所截得的弦长公式
│AB│=2（垂径分弦定理）
==
5. 圆与圆的位置关系
设两个大小不等的圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，圆心距︱O1O2︱=d .则共有五种位置关系如下：
d＞r1+r2 外离； d= r1+r2 外切；
︱r1-r2︱＜d＜r1+r2 相交； d=︱r1-r2︱内切；
0≤d＜︱r1-r2︱内含；
若大小相同的两个圆，则只有外离、外切、相交、重合四种位置关系。
6. 空间直角坐标系，两点之间的距离公式
⑴ xoy平面上的点的坐标的特征A（x，y，0）：竖坐标z=0
xoz平面上的点的坐标的特征B（x，0，z）：纵坐标y=0
yoz平面上的点的坐标的特征C（0，y，z）：横坐标x=0
x轴上的点的坐标的特征D（x，0，0）：纵、竖坐标y=z=0
y轴上的点的坐标的特征E（0，y，0）：横、竖坐标x=z=0
z轴上的点的坐标的特征E（0，0，z）：横、纵坐标x=y=0
⑵│P1P2│=
★学法指导
求圆的方程
【方法点拨】三种方法求圆的方程：
⑴若圆过已知的两点或三点，可设圆的一般方程；⑵若与圆心、半径有关，可设圆的标准方程；
⑶圆的直径式方程（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0 。
【案例剖析】已知圆心为C的圆经过两点A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆C的方程.
【解析】方法一 ∵圆心C与A、B两点的距离相等，
则C在线段AB的垂直平分线y+=（x-）上
∵圆心在直线l：x-y+1=0上，
联立方程x-y+1=0 和y+=（x-）
得圆心C（-3， -2）
则 半径r===5 ∴ 所求圆的方程为（x+3）2+（y+2）2 =25
方法二∵圆过A、B两点，设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 圆心C的坐标为（-， -）
由已知得 ∴D= 6 ，E= 4，F= -12
∴ 所求圆的方程为x2+y2+6x+4y-12=0
【点评】：本题属于“理解”层次，设圆的方程用待定系数法求a、b、r或D、E、F是主要方法。
关于圆的切线
【方法点拨】判定直线与圆相切的方法：联立方程由△=0，或圆心距d=r, 或要点3的结论。
【案例剖析】经过点P(2，1) 引圆x2+y2=4的切线，求：⑴切线方程，⑵切线长。
【解析】⑴ ∵将点P(2，1)代入圆方程右边得x2+y2=5＞4，∴点P(2，1)在圆外，可引两条切线
设切线方程为y－1=k(x－2) 即：kx－y－2k＋1=0
∵圆心(0,0)到切线的距离是2 解得k=－
∴切线方程为 即：3x+4y－10=0
另一条切线方程为x=2 （无斜率） ∴所求切线方程为3x+4y－10=0和x=2
⑵切线长===1
【点评】：本题属于“理解”层次，圆外一点P（x0,y0）向圆引的两条切线，切线长=。
3. 关于直线与圆的位置关系及利用圆的性质求弦长和最值问题
【方法点拨】判定直线与圆的位置关系主要用“△法和圆心距d—半径r法” 两种方法，另外，“直线经过圆内一点也是判定直线与圆相交”的一种重要方法。
【案例剖析】已知直线l：kx-y-3k=0；圆M：x2+y2-8x-2y+9=0， (1)求证：直线l与圆M必相交； (2)当圆M截直线l所得弦最长时，求k的值； ⑶当圆M截直线l所得弦最短时，求k的值。
【解析】(1)证明：方法一∵圆的方程化为（x-4）2+（y-1）2=8 得 圆心C(4,1) 半径r=2
则圆心C到直线l的距离d==＜r
(-2k≤k2+1，2k≤k2+1 恒成立，则 -1≤≤1 恒成立) ∴直线l与圆M必相交.
方法二直线方程化为l：y=k(x-3)，对任意k，可知直线l总过定点P(3,0)，
把P点代入圆方程右边得（3-4）2+（0-1）2=2＜8，可知定点P (3,0)在圆内
∴直线l与圆M必相交.
(2) ∵直线l过圆内定点P (3,0)，要圆M截直线l所得弦最长，由弦长公式│AB│=2知
半径r=2为定值，当d最小时，弦长│AB│最长，
∴d=0即直线l过圆心C(4,1)，弦长│AB│=2r ∴k==1
⑶∵直线l过圆内定点P (3,0)，要圆M截直线l所得弦最短，由弦长公式│AB│=2知
半径r=2为定值，当d最大时，弦长│AB│最短，
∴d=│PC│=最大时，弦长│AB│最短=2，此时PC⊥l，由(2)知 kPC=1
∴k=-1时，圆M截直线l所得弦最短。
【点评】：本题属于“理解”层次，掌握通性通法，利用圆的性质解出相关问题。
4. 圆与圆的位置关系、两个圆的公共弦所在的直线方程
【方法点拨】(1)判定圆与圆的位置关系主要用“联立方程组法和圆心距d法”两种方法，另外，“一个圆经过另一个圆内的一点也是判定两圆相交”的一种重要方法；
(2)两个相交圆O1: x2+y2+D1x+E1y+F1=0 , O2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0的公共弦所在直线的方程是：（D2-D1）x +（E2-E1）y+F2-F1=0(由两圆的方程相减得到)
【案例剖析】已知两圆O1: x2+y2+2x-4y-11=0 , O2: x2+y2-2x+2y+1=0. (1)判定两圆的位置关系, (2)若相交,求公共弦长.
【解析】(1)将圆的方程化为(x+1)2+(y-2)2=16 , (x-1)2+(y+1)2=1.则得圆心O1 (-1,2), O2 (1,-1) ,半径r1=4 , r2=1, 圆心距|O1O2| ==＜5 =4+1= r1+ r2 又|O1O2| =＞3= r1- r2 ∴两圆相交.
(2)由上知两圆相交 ∴两圆的方程相减得 2x-3y-6=0 就是两圆相交的公共弦所在直线的方程
方法一∵联立方程2x-3y-6=0 和x2+y2-2x+2y+1=0 得交点的坐标
A（，），B（，）
∴公共弦长│AB│==
方法二∵2x-3y-6=0就是两圆相交的公共弦所在直线的方程
则圆心O2 (1,-1)到公共弦所在直线的距离d=
∴公共弦长│AB│=2
【点评】：本题属于“理解”层次，用方程组或圆心距来判定两个圆的位置关系是两种重要方法。
5．求空间点的坐标
【方法点拨】找点的坐标的方法：(1)该点到yoz平面、zox平面、xoy平面的距离(找垂线段)及正负方向，(2)该点若为两已知点的中点，用中点公式求其坐标。
点P（x，y，z）关于坐标平面xoy对称的点P1（x，y，-z）
点P（x，y，z）关于坐标平面yoz对称的点P2（-x，y，z）
点P（x，y，z）关于坐标平面zox对称的点P3（x，-y，z）
点P（x，y，z）关于x轴对称的点P4（x，-y，-z）
点P（x，y，z）关于y轴对称的点P5（-x，y，-z）
点P（x，y，z）关于z轴对称的点P6（-x，-y，z）
【案例剖析】 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB=a、C1C=2a，E、F分别为AB、B1C1的中点。
⑴建立空间直角坐标系，写出A、B、C、A1、B1、C1、E、F各点的坐标。
⑵求出EF的距离。
【解析】方法一 图1 (1)正三棱柱ABC—A1B1C1中，∵底面△ABC是正三角形，侧棱A1 A⊥底面
∴ 以AB的中点E点为坐标系的原点, 取A1B1边的中点D，则ED⊥AB，EC⊥AB，分别以EC、EB、ED为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系。则八个点的坐标分别是
E(0，0，0) ，A(0，-a，0) ，B(0，a，0) ， C（a，0，0），
A1(0，-a，2a)，B1 (0，a，2a)， C1（a，0，2a），F(a，a，2a)
(2)EF的距离=a

方法二 图2 ，以A点为坐标系的原点, 分别以AB、A A1为y轴、z轴，建立空间直角坐标系。
(1) 八个点的坐标分别是 A(0，0，0) ，B(0，a，0) ， C（a，a，0），A1(0，0，2a)，
B1 (0，a，2a)， C1（a，a，2a），E(0，a，0) ，F(a，a，2a)
(2) EF的距离=a
【点评】：本题属于“知道”层次，①建立空间直角坐标系——依据几何体的特征，寻找三条两两垂直的直线或二条垂直，再作第三条与它们都垂直，可比喻为找长方体房间的一个墙角。②“点的坐标x、y、z”分别是点到yoz平面、zox平面、xoy平面的垂线段即“长、宽、高”。故可利用“等长、等宽、等高”来找对应点的坐标。
★阶梯练习
A级
1、两圆x2+y2-4x+6y=0和x2+y2-6x=0的连心线方程是（ ）
A、x+y+3=0 B、2x-y-5=0 C、3x-y-9=0 D、4x-3y+7=0
2、到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是（ ）
A、x+y=4 B、 x+y=16
C、x+y=2 D、
3、以（1,1）和（2,-2）为一条直径的两个端点的圆的方程为（　）
A、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ－＝0 B、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ＝0
C、ｘ2＋ｙ2＋3ｘ－ｙ＝0 D、ｘ2＋ｙ2－3ｘ－ｙ－＝0
4、方程ｘ2＋ｙ2＋ａｘ＋2ａｙ＋2ａ2＋ａ－1＝0表示圆，则ａ的取值范围是（　）
A、ａ＜－2或ａ＞ B、－＜ａ＜2 C、－2＜ａ＜ D、－2＜ａ＜0
5、已知圆的方程是，则点P（1，2）满足( )
A、是圆心 B、在圆上 C、在圆内 D、在圆外
6、如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)所表示的曲线关于y=x对称，成立的是（ ）
A、D=E B、D=F C、E=F D、D=E=F
7、如果直线l将圆平分，且直线l不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（ ）
A、[0，2] B、[0，1] C、 D、
8、点P（x0，y0，z0）关于y轴的对称点的坐标为 。
B级
9、若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m=（ ）
A、0或2 B、2 C、 D、无解
10、方程y=－表示的曲线是( )
A、一条射线 B、一个圆 C、两条射线 D、半个圆
11、已知x2+y2+4x－2y-4=0，则x2+y2的最大值为( )
A、3+ B、3- C、 D、
12、圆x+y－4x+2y－5=0，与直线x+2y－5=0相交于P、P两点，则=__ __。
13、若方程x+y+Dx+Ey+F=0表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=___ __

C 级
14、直线L过点(-5,-10)，且在圆x＋y=25上截得的弦长为5,求直线L的方程.
15、已知方程表示一个圆。
⑴求t的取值范围；
⑵求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程
数学2检测
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知点P(-2，3)，则点P关于原点对称的点的坐标（ ）
A、（-2，-3） B、（2，3） C、（2，-3） D、（-3，2）
2．已知点A（0，6），B（-8，0），原点到直线AB的距离=（ ）
A． B． C． D．
3．以下四个正方体中,P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则P、Q、R、S四点共面的图是（ ）

4. 已知直线l经过第一、二、四象限，倾斜角为θ，y轴上截距为b，则正确的是（ ）
A. bsinθ﹤0 B. bcosθ﹤0 C. bsinθ≤0 D. bcosθ≤0
5．直线3x-2y=4的斜截式方程是( )
A、y=x-2 B、y=x+2 C、 D、
6．空间中三个不同的平面把空间分成的区域可能有 ( ) 个
A 4或6 B 6或7 C 7或8 D 以上都有可能
7.在正四面体P—ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A. BC∥平面PDF B. DF⊥平面PAE
C. 平面PDF⊥平面ABC D. 平面PAE⊥平面ABC
8．若直线kx-y=k-2与直线ky-x=k的交点位于第二象限，则k的取值范围是（ ）
A. (-1,1) B. (-∞,-1) ∪(1,+ ∞)
C. (-1,0) D. (-∞, 0) ∪(1,+ ∞)
9．关于直线a、b与平面α、β，有下列四个命题：
①若a∥α，b∥β且α∥β，则a∥b ②若a⊥α，b⊥β且α⊥β,则a⊥b
③若a⊥α，b∥β且α∥β，则a⊥b ④若a∥α，b⊥β且α⊥β,则a∥b
其中真命题的序号是( )
A、①② B、②③ C、③④ D、④①
10．光线从点P（-3，3）射到Y轴上，经Y轴反射后经过点Q（-1，-5），则光线从P到Q走过的路程为( )
A.10 B.5+ C.4 D.2
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.用数学符号语言将“直线l既经过平面α内的一点A，也经过平面α外的一点B”记作
.
12． 已知空间直角坐标系中，A是x轴上的一点，点B（-1，1，0），且∣AB∣=，则点A的坐标是 .
13．给出下列四个命题：
① 过点M (–1, 2)的直线方程表示为y–2=k(x+1)；
② 过点M (–1, 2)且在x轴、y轴上截距相等的的直线方程是x+y–1=0；
③ 过点M(–1, 2)且与直线l: Ax+By+C=0(AB≠0)垂直的直线方程是B(x+1)-A(y–2)=0；
④ 若点M(–1, 2)不在直线l: Ax+By+C=0(AB≠0)上，则过点M且与l平行的直线方程是
A(x+1)+B(y–2)=0；
以上命题中，真命题的序号是 。
14． 已知实数x、y满足x2+y2=1，则 的最大值为 ，最小值为 。
15． 圆(x+1) 2+ (y+1) 2=16上的点到直线3x-4y-2=0的距离的最大值为 ，最小值为 。
三、解答题： (共40分)
16. （8分） 已知两条直线l1: x–2y+4=0和l2: 3x+y–2=0的交点是P，求：
⑴点P到直线a：3x–4y+5=0的距离； ⑵经过点P，且与直线b：2x–4y-3=0垂直的直线方程。
17．（8分）如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，O是底面ABCD的中心，E是C1C的中点。⑴求异面直线OE与BC所成角的余弦值； ⑵求直线OE与平面BCC1B1所成角的正切值； ⑶求证：对角面AA1C1C与对角面BB1D1D垂直。

18．（8分）已知直线l：y=x+2，一个圆的圆心C在x轴上且该圆与y轴相切，该圆经过点A（-1，2）。 求：⑴圆C的方程； ⑵直线l被圆截得的弦长。
19．（8分）一个正三棱锥P—ABC的三视图如图所示，尺寸单位：cm .
求⑴正三棱锥P—ABC的表面积； ⑵正三棱锥P—ABC的体积。

20.（8分）已知圆C：x2+y2-8y+12=0和直线：mx+y+2m=0.
(1) 当m为何值时，直线与圆C相切；
(2) 当直线与圆C相交于A、B两点，且时，求直线的方程。
数学3：
第一章 算法初步
★学习目标
节 次
学 习 目 标
算法与程序框图
知道算法的思想和含义，理解程序框图的三种基本逻辑结构。
基本算法语句
了解条件语句、循环语句，理解输入语句、输出语句、赋值语句
算法案例
知道辗转相除法、更相减损术、秦久韶算法与进位制
★要点解读
本章主干知识：算法的含义、程序框图、基本算法语句，辗转相除法、更相减损术、秦久韶算法、与进位制。
1．算法的含义
在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．算法的特点：有限性（一个算法的步骤是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.）、确定性（算法的每一步骤和次序应当是确定的）、有效性(算法的每一步骤都必须是有效的)。
2. 程序框、流程线的名称与功能
图形符号
名称
功能


起止框（终端框）
表示一个算法的起始和结束
输入输出框
表示一个算法输入和输出的信息
处理框（执行框）
赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”.
流程线
连接程序框
连接点
连接程序框图的两部分
3．算法的基本逻辑结构和基本算法语句
（1）、三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构
（2）、基本算法语句：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句
（3）、循环语句分WHILE型语句和UNTIL型语句，设计循环语句程序时要注意：①循环语句中的变量一般需要进行一定的初始化操作；②循环语句在循环的过程中需要有“结束”的机会；③循环的过程中变量的变化规律。
4．算法案例
学习辗转相除法与更相减损术、秦久韶算法、进位制时，必须了解其历史背景，理解解题原理，掌握解题步骤.
★学法指导
1．规范基本语句一般格式
【方法点拨】输入语句中提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。输出语句显示算法的输出结果功能，输出语句输出常量、变量或表达式的值或字符。赋值语句将表达式所代表的值赋给变量，赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量和算式。
【案例分析】 判断下列给出的语句是否正确，将错误的语句改正过来？
（1）、INPUT （2）、INPUT （3）、PRINT
（4）、 （5）、 （6）、
【解析】：（1）、错，变量之间应该用“，”隔开，而不是”；”
（2）、错，INPUT后面只能是变量，不能是表达式，应改为：INPUT
（3）、错，PRINT语句不能用赋值号“=”，应改为：PRINT
（4）、错，赋值号左边只能是变量，右边是一个常数或表达式，本题显然将左右互换了，应改为
（5）、错，不能给一个表达式赋值
（6）、错，一个赋值语句只能给
一个变量赋值应改为：
【点评】：本题属于“理解”层次，输入语句、输出语句、赋
值语句都有一般格式，任何细微错误都会导致整个程序无法运行。
2．理解流程图所表达的含义
【方法点拨】：理解流程图所表达的含义，一方面，给出程序
框图能指出功能，另一方面，根据框图能得到输出的结果。
【案例分析】 阅读图①的程序框图，若输入的n是100，
则输出的变量s和T的值依次是_____、　　
【解析】：由程序框图知，S=100+98+96+……+2=2550
T=99+97+95+……+1=2500 图①
【点评】：本题属于“理解”层次，关键点在于理解流程图所蕴含的实际意义。
3、掌握循环语句的功能
【方法点拨】两种循环语句中判断和循环的顺序，以及变量的初始值和控制循环的条件是决定结果的关键点.
【案例分析】某位同学用WHILE型语句和UNTIL型语句分别设计了一个求的值的程序，程序如下：
WHILE型 UNTIL型

试判断是否正确？
【解析】：在WHILE型程序里面i=1 、sum=1，控制循环的条件为i<=100，按此算法最后得到的结果应为，所以应将sum=1改为sum=0；
在UNTIL型程序里面i=1 、sum=0，控制循环的条件为i>=100，按此算法最后得到的结果应为，应将i>=100改为i>100.
【点评】：本题属于“理解”层次，循环语句一定要注意检验起始和末尾。
4．注重算法的实践应用
【方法点拨】用算法处理应用问题的基本思路是：分析实际问题－－建立数学模型－－写算法步骤－－画程序框图－－编制算法程序。体现算法“逐渐精确”的过程，这是算法解决实际问题的步骤。
【案例分析】2006年1月份开始实施的《个人所得税法》规定：全月总收入不超过1600元的免征个人工资、薪金所得税，超过1600元部分需征税，设全月总收入金额为x元，前三级税率如下表所示：
级数
全月应纳税金额x-1600
税率
1
不超过500元部分
5%
2
超过500元至2000元部分
10%
3
超过2000元至5000元部分
15%
……
……
……
当月工资薪金所得不超过3600元，计算个人所得税的一个算法框图如右图，则输出①输出②分别为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】：由题意知 ①得到的答案为
②得到的答案处为 所以选D
【点评】：本题属于“理解”层次，考查条件结构的简单应用，解答的关键点是根据程序框图写出分段函数的解析式。
★阶梯练习
A级
1．下列不能看成算法的是（ ）
A 从长沙到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达
B 做红烧肉的菜谱
C 方程x2-1=0有两个实根
D求1+2+3+4+5的值，先计算1+2=3,再由于3+3=6，6+4=10，10+5=15，最终结果为15
2. 将两个数a=8,b=17交换,使a=17,b=8,下面语句正确一组是 ( )
A. B. C. D.
3 用二分法求方程的近似根的算法中要用到的算法结构（ ）
A 顺序结构 B 条件结构 C 循环结构 D 以上都用
4. 右边为一个求20个数的平均数的程序,
在横线上应填充的是 ( )
A. i>20 B. i<20
C. i>=20 D. i<=20
5. 将389 化成四进位制数的末位是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
6. 用秦九韶算法计算多项式
当时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是：　　、　　次
7. 执行程序语句A=20, A=-A+10, 最后A的值为　　
8. 用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果。
B级
9．下图程序运行后输出的结果为 ( )
A. 50 B. 5 C. 25 D. 0
10. 三个数72,120,168 的最大公约数是
11.图中程序运行后输出的结果为_______
12． 把求的程序补充完整。 13. 设计一个计算1+2+3+…+100的值的算法

C 级
14.用秦九韶算法计算多项式在时的值时，求 的值。
i=1
s=1
n=0
Do s<=560
s=s+i
i=i+1
n=n+1
WEND
PRINT n+1
END
15.求满足1+2+3+4+……+n>560的最小自然数n。
画出执行该问题的程序框图；
以下是解决该问题的一个程序，但有几处错误，找出错误并在右边改正。
第二章 统计
★学习目标
节 次
学 习 目 标
随机抽样
了解随机抽样的必要性和重要性；理解用简单随机抽样方法从总体中抽取样本； 了解分层抽样和系统抽样方法。
用样本估计总体
理解列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图.了解样本数据标准差的意义和作用；了解合理选取样本、从样本数据中提取基本的数字特征，并能做出合理的解释；理解用样本的频率分布估计总体分布、用样本的数字特征估计总体的数字特征；理解随机抽样的基本方法和样本估计总体的基本思想的实际应用。
变量间的相关关系
了解散点图的作法；了解利用散点图直观认识变量之间的相关关系；知道最小二乘法； 了解根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
★要点解读
本章主干知识：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样；样本频率分布估计总体分布；样本数字特征估计总体数字特征；散点图和线性回归方程，变量间的相关关系。
1．三种抽样的联系与区别
抽样分为简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，其中简单随机抽样分为抽签法、随机数法，三者抽样的区别与联系是：
（1）联系：简单随机抽样和系统抽样都是一种等概率抽样；分层抽样时，在每一层内进行抽样时可根据具体情况，采用简单随机抽样或系统抽样
（2）区别：一般当总体个数较多时，常采用系统抽样，当总体由差异明显的几部分组成时，常用分层抽样，一般地，实现简单随机抽样。
2．样本频率分布估计总体分布、样本数字特征估计总体数字特征
（1）样本频率分布估计总体分布包括频率分布直方图、折线图与茎叶图。
（2）样本数字特征估计总体数字特征包括平均数，中位数、众数、方差和标准差。
3．变量间的相关关系
现实世界中两个变量的关系中更多的是相关关系而不是确定性关系，现在广泛采用的最小二乘法所用的思想是找到使散点到直线在垂直方向上的距离的平方和最小的直线，用这个方法，对的求解最简单。
★学法指导
1．明确各种抽样的特点
【方法点拨】简单随机抽样、系统抽样、分层抽样中，个数不多时一般用简单随机抽样，一般当总体个数较多时，常采用系统抽样，当总体由差异明显的几个部分组成时，常用分层抽样，
【案例分析】　某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（ ）
A、15, 5, 25 B、15, 15, 15
C、 10, 5, 30 D、15, 10, 20
【解析】：　因为300：200：400=3：2：4，于是将45分成3：2：4的三部分。设三部分各抽取的个体数分别为3x,2x,4x,由3x+2x+4x=45，得x=5，故抽取的人数分别为15，10，20，故选D。
【点评】：本题属“了解”层次，三种抽样方法有其适应的不同范围，解题时应充分理解题意，合理使用抽样方法．

2．频率分布直方图与条形图的理解与应用
【方法点拨】频率分布直方图非常直观地表明了样本数据的分布情况，利用各小长方形的面积=频率；各小长方形的面积之和=1即可。
【案例分析】如图③，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：

图③
（1）这一组的频数、频率分别

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