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10.1.3--4古典概型及概率的性质
本节课知识点目录：
古典概型的判断
古典概型的计算。
综合性古典概型计算
互斥事件概率公式的应用
对立事件概率公式的应用
概率性质的综合应用
一、古典概型的判断
知识点二　古典概型
一般地，若试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
【典型例题】
【例1】判断正误．
（1）任何一个事件都是一个样本点．( )
（2）古典概型中每一个样本点出现的可能性相等．( )
（3）古典概型中的任何两个样本点都是互斥的．( )
【例2】下列是古典概型的是（ ）
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率
D．抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点
【例3】下列试验是古典概型的是（ ）
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
【例4】下列试验中，是古典概型的个数为（ ）
①种下一粒花生，观察它是否发芽；
②向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；
③从正方形内，任意取一点，点恰与点重合；
④从1，2，3，4四个数字中，任取两个数字，求所取两数字之一是2的概率；
⑤在区间上任取一个数，求此数小于2的概率．
A．0 B．1 C．2 D．3
【例5】下列有关古典概型的四种说法：
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；
④已知样本点总数为，若随机事件包含个样本点，则事件发生的概率.
其中所正确说法的序号是（ ）
A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④
【例6】下列概率模型中不是古典概型的为（ ）
A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小
B．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10人站成一排，其中甲，乙相邻的概率
【例7】袋中有大小相同的5个白球、3个黑球和3个红球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为样本点，有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？
【对点实战】
1.下列试验中是古典概型的是（ ）
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
2.下列概率模型，其中属于古典概型的是（ ）
A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D．一只使用中的灯泡寿命长短
3.下列事件属于古典概型的是（ ）
A．任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件
B．篮球运动员投篮，观察他是否投中
C．测量一杯水分子的个数
D．在4个完全相同的小球中任取1个
4.下列是古典概型的个数有（ ）
①已知且，从中任取一个数，则满足的概率
②同时掷两颗骰子，点数和为11的概率；
③近一周中有一天降雨的概率；
④10个人站成一排，其中甲在乙右边的概率．
A．1 B．2 C．3 D．4
5.向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？
6.某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中环、命中环……命中环和不中环.你认为这是古典概型吗？为什么？
二、古典概型的计算
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
【典型例题】
【例1】盒中装有形状、大小完全相同的个球，其中红色球个，黄色球个.若从中随机取出个球，则所取出的个球颜色相同的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【例2】甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中，则“a＝b”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例3】箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子，现从箱子中同时取出两只袜子，则取出的两只袜子正好可以配成一双的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例4】从集合中任取两个不同元素，则这两个元素相差的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【例5】从甲 乙 丙 丁4人中选3人当代表，则甲被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例6】小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时 小王都将笔杆和笔帽套在一起，但偶尔也会将笔杆和笔帽随机套在一起，则小王将两支笔的笔杆和笔帽的颜色混搭的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例7】饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【对点实战】
某社区防疫志愿者中有2人的工作是负责测量体温，有3人的工作是负责查验行程码.若则这5人中任选2人参加优秀志愿者评选，则选取的2人负责不同工作的概率为（ ）
A． B． C． D．
2.集合A=，，从A，B中各取一个数，则这两数之和等于5的概率是（ ）
A． B．
C． D．
3.．抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，，，则下列判断中错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
4.若某台电脑每秒生成一个数字1或2，则该电脑运行三秒后生成的数字之和能被3整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
5.从1，2，3，4，5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6.．“抛掷两枚骰子，所得的一个点数恰好是另一个点数的2倍”的概率为（ ）
A． B． C． D．
三、综合型古典概型计算
利用古典概型公式计算概率的步骤
(1)确定样本空间的样本点的总数n.
(2)确定所求事件A包含的样本点的个数m.
(3)P(A)＝.
【典型例题】
【例1】袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【例2】已知数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为
A． B． C． D．
【例3】盒中装有形状、大小完全相同的个球，其中红色球个，黄色球个.若从中随机取出个球，则所取出的个球颜色相同的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【例4】把一个骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为，，则使得关于的方程有2个互不相等的实数根的概率为________．
【例5】我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清代郑板桥的《题画竹》》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠.”现从1，2，3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成，则恰好能使得的概率是____________.
【例6】某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
【例7】新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有660人.
(1)求频率分布直方图中的值及所调查的总人数；
(2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的中位数和平均数（精确到0.1）；
(3)为了今后更好地完成当地的防疫工作，政府部门又按照分层抽样的方法，从评分在的居民中选出6人进行详细的调查，再从中选取两人进行面对面沟通，求选出的两人恰好都是评分在之间的概率.
【对点实战】
1.某地为方便群众接种新冠疫苗，开设了，，，四个接种点，每位接种者可去任一个接种点接种．若甲，乙两人去接种新冠疫苗，则两人不在同一接种点接种疫苗的概率为（ ）
A． B． C． D．
2.．先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，4能够构成等腰三角形的概率是( )
A． B． C． D．
3.“2021年全国城市节约用水宣传周”已于5月9日至15日举行，某市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式式样、内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源、防治水污染、节约用水的意识，为了解活动开展成效，该市的某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：[70，75]，（75，80]，（80，85]，（85，90]，（90，95]，（95，100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值，并求这300名业主评分的中位数；
(2)若先用分层抽样的方法从评分在（90，95]和（95，100]的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5名业主中任意选取2人作进一步访谈，求这2人中至少有1人的评分在（95，100]的概率．
4.为进一步加强中华传统文化教育，提高学生的道德素养，培养学生的民族精神，更好地让学生传承和发扬中国传统文化和传统美德，某校组织了一次知识竞赛．现对参加活动的1280名学生的成绩(满分100分)做统计，得到了如图所示的频率分布直方图．
请大家完成下面问题：
(1)求参赛同学的平均数与中位数(小数点后保留2位)(以每个区间的中点作为本区间的取值)；
(2)若从该校80分至100分之间的同学按分层抽样抽取一个容量为7的样本，再从该样本任选2人参加与其他学校之间的比赛，求抽到的两人至少一人来自90分至100分的概率．
5.饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础，全民积极维护饮用水水源安全，保障安全饮水.同时，国家提倡节约用水，各地积极开展节水 用水安全活动.为了提高节水用水意识，苏州市某校开展了了“节约用水，从我做起”主题竞赛活动，从参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分（同一组数据用该组区间的中点点值代表）；
(2)在该样本中中，若采用分层抽样方法，从成绩低于65分的学生中随机抽取6人调查他们的答题情况，再从这6人中随机抽取3人进行深入调研，求这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率.
6.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，现从参与调查的人群中随机选出20人的样本，并将这20人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示
(1)求样本中第3组人数；
(2)根据频率分布直方图，估计参与调查人群的样本数据的平均数和第80百分位数；
(3)若从年龄在的人中随机抽取两位，求至少有一人的年龄在内的概率.
7.某校学生营养餐由A和两家配餐公司配送．学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了40名学生对两家公司分别评分．根据收集的80份问卷的评分，得到如图A公司满意度评分的频率分布直方图和B公司满意度评分的频数分布表：
评分分组 频数
， 2
， 8
， 14
， 14
， 2
(1)根据A公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数（结果保留一位小数）；
(2)从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给A公司评分的概率；
(3)请从统计角度，对A、两家公司做出评价．
四、互斥事件概率公式的应用
性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
【典型例题】
【例1】若，则互斥事件和B的关系是（ ）
A． B．A，B是对立事件
C．A，B不是对立事件 D．A=B
【例2】若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3】甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.7，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【例4】袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P（ξ≥8）等于（ ）
A． B． C． D．
【例5】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例6】某城市2017年的空气质量状况如下表所示：
污染指数 30 60 100 110 130 140
概率
其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A． B． C． D．
【例7】掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为______.
【例8】已知随机事件发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为（ ）
A．1 B． C． D．0
【对点实战】
1.甲 乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲不输的概率为0.7，则甲 乙下成和棋的概率为（ ）
A．0.5 B．0.7 C．0.9 D．0.4
2.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ）
A． B． C． D．1
3.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
4.如果事件A与B是互斥事件，且事件的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.7
5.中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为__________.
6.一枚硬币连掷三次，事件A为“三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为“至少两次正面向上”，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝__________________.
7.．若，为互斥事件，则
A． B．
C． D．
8.某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为,响第三声时被接的概率为,响第四声时被接的概率为,则电话在响前四声内被接的概率为(　　)
A． B． C． D．
五、对立事件概率公式的应用
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
【典型例题】
【例1】事件A与B是对立事件，且，则等于（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．1
【例2】若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)
【例3】从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【例4】从5个同类产品（其中3个正品，2个次品）中，任意抽取2个，下列事件发生概率为的是（ ）
A．2个都是正品 B．恰有1个是正品 C．至少有1个正品 D．至多有1个正品
【例5】已知，则函数在区间(1，+∞)上为增函数的概率为________.
【例6】一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率为________.
【例7】．已知两个事件和互斥，记事件是事件的对立事件，且，，则_____________．
【例8】事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P()＝________．
【对点实战】
1.下列说法正确的是
A．事件A, B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
B．事件A，B同时发生的概率一定比A, B中恰有一个发生的概率小
C．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
D．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
2.从一箱分为四个等级的产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到次品（一等品、二等品、三等品都属于合格品）”的概率为（ ）
A．0.7 B．0.65 C．0.3 D．0.05
3.围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
4.掷一个骰子的试验，事件表示“小于5的偶数点出现”，事件表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件发生概率为__________.
5.甲：、是互斥事件；乙：、是对立事件，那么
A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分但不必要条件
C．甲是乙的必要但不充分条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
6.随机猜测“选择题”的答案，每道题猜对的概率为0.25，则两道选择题至少猜对一道以上的概率约为
A． B．
C． D．
7.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是
A． B． C． D．
8.已知随机事件和互斥，且,.则
A． B． C． D．
六、概率性质的综合应用
性质5　如果A B，那么P(A)≤P(B)．
性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
【典型例题】
【例1】下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；②若为两个事件，则；③若事件两两互斥；④若满足且，则是对立事件.其中错误的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例2】从1，2，3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例3】设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（ ）
A．事件A B，则P（A）＜P（B）
B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立
C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥
D． P（A）+P（B）≤1
【例4】不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）
A．2张卡片都不是红色 B．2张卡片不都是红色
C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片至多有1张红色
【例5】从、、、这个数中一次随机地取个数，记所取的这个数的和为，则下列说法错误的是（ ）
A．事件“”的概率为
B．事件“”的概率为
C．事件“”与事件“”为互斥事件
D．事件“”与事件“”互为对立事件
【例6】袋中有12个除颜色外均相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是，试求从中任取一球，取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.
【例7】袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.
（1）求取球2次即终止的概率；
（2）求甲取到白球的概率.
【例8】下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1~5分五个档次．设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人．
y分 人数 x/分 5 4 3 2 1
5 1 3 1 0 1
4 1 0 7 5 1
3 2 1 0 9 3
2 1 b 6 0 a
1 0 0 1 1 3
(1)x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？x≥3的概率是多少？
(2)x=2的概率是多少？a＋b的值是多少？
【对点实战】
1.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)=（ ）
A． B． C． D．1
2.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至多有一个白球”中的哪几个（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
3.某人抛一颗质地均匀的骰子，记事件A=“出现的点数为奇数”，B=“出现的点数不大于3”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与B对立 B．
C．事件A与B互斥 D．
4.事件A,B的概率分别为,,且,则
A． B． C． D．无法判断
5.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为．
（1）求1张奖券中奖的概率；
（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
6.袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球 黄球 绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：
(1)袋中黑球 黄球 绿球的个数分别是多少？
(2)从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个得概率是多少？
(3)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
7.某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
命中环数 6 7 8 9 10
频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2
如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；
（1）命中10环；
（2）命中的环数大于8环；
（3）命中的环数小于9环；
（4）命中的环数不超过5环.
10.1.3--4古典概型及概率的性质
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古典概型的判断
古典概型的计算。
综合性古典概型计算
互斥事件概率公式的应用
对立事件概率公式的应用
概率性质的综合应用
一、古典概型的判断
知识点二　古典概型
一般地，若试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
【典型例题】
【例1】判断正误．
（1）任何一个事件都是一个样本点．( )
（2）古典概型中每一个样本点出现的可能性相等．( )
（3）古典概型中的任何两个样本点都是互斥的．( )
【答案】 × √ √
【详解】（1）一个事件可能是一个样本点，也可能包含多个样本点，故错误；
（2）古典概型中每一个样本点出现的可能性相等，故正确；
（3）古典概型中的任何两个样本点都是互斥的，故正确.
【例2】下列是古典概型的是（ ）
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率
D．抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点
【答案】C
【分析】根据古典概型的定义，逐项分析判断即可得解.
【详解】A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型；
B项中的样本点的个数是无限的，故B不是古典概型；
C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；
D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．
故选：C
【例3】下列试验是古典概型的是（ ）
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
【答案】C
【分析】根据古典概型的特征：①有限性；②等可能性即可判断.
【详解】根据古典概型的两个特征进行判断.
A项中两个基本事件不是等可能的，
B项中基本事件的个数是无限的，
D项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，
C项符合古典概型的两个特征.
故选：C
【例4】下列试验中，是古典概型的个数为（ ）
①种下一粒花生，观察它是否发芽；
②向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；
③从正方形内，任意取一点，点恰与点重合；
④从1，2，3，4四个数字中，任取两个数字，求所取两数字之一是2的概率；
⑤在区间上任取一个数，求此数小于2的概率．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据古典概型概率的定义，事件需满足：一、试验结果只有有限种可能；二、每个事件发生的可能性相同.根据定义判断几个选项即可判断是否为古典概型.
【详解】对于①，对于花生有“发芽”和“不发芽”两种情况，而这两种情况发生的概率一般不相等，因而不满足古典概型各事件发生的概率相等这一要求，所以①错误；
对于②，向上抛一枚质地不均匀的硬币，正面向上和反面向上的概率不相等，因而不满足古典概型各事件发生的概率相等这一要求，所以②错误；
对于③，从正方形内，任意取一点，该点的位置有无数种可能，因而不满足古典概型的基本事件可以列举这一要求，故③错误；
对于④，从1，2，3，4四个数字中，任取两个数字，求所取两数字之一是2，满足古典概型概率的要求，所以④正确；
对于⑤，在区间上任取一个数，此数小于2有无数种可能，因而不是古典概型.
综上可知，正确的为④，
故选：B
【例5】下列有关古典概型的四种说法：
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；
④已知样本点总数为，若随机事件包含个样本点，则事件发生的概率.
其中所正确说法的序号是（ ）
A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④
【答案】D
根据古典概型的基本概念及概率公式，即可得出结论
【详解】②中所说的事件不一定是样本点，所以②不正确；
根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确.
故选:D.
【例6】下列概率模型中不是古典概型的为（ ）
A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小
B．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10人站成一排，其中甲，乙相邻的概率
【答案】C
【分析】根据古典概型的特点，即可判断出结果.
【详解】解：古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等.
显然A B D符合古典概型的特征，所以A B D是古典概型；
C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.
故选：C.
【例7】袋中有大小相同的5个白球、3个黑球和3个红球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为样本点，有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？
【答案】(1)11种，以球的编号为样本点的概率模型为古典概型
(2)答案见解析，不是古典概型
【分析】根据古典概型的特征：等可能性即可得出答案.
(1)
由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．
又因为所有球大小相同．
因此，每个球被摸到的可能性相等，
即以球的编号为样本点的概率模型为古典概型．
(2)
由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，
分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”．
因为所有球的大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为.
又因为有5个白球，所以一次摸球摸中白球的可能性为.
同样，摸中黑球、红球的可能性均为.
显然这三个样本点出现的可能性不相等，
故以颜色为样本点的概率模型不是古典概型．
【对点实战】
1.下列试验中是古典概型的是（ ）
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
【答案】B
【分析】利用古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性进行判断．
【详解】解：古典概型满足两个条件：
随机实验所有可能的结果是有限的；②每个基本结果发生的概率是相同的．
在A中，这个试验的基本事件共有“发芽”，“不发芽”两个，而“发芽”或“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，故不是古典概型；
在B中，观察球的颜色，满足古典概型的两个条件，故B是古典概型；
在C中，实验的结果是无穷的，故不是古典概型；
在D中，不满足基本事件是等可能的，故不是古典概型．
故选：B．
2.下列概率模型，其中属于古典概型的是（ ）
A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D．一只使用中的灯泡寿命长短
【答案】C
【分析】根据古典概型的特征依次判断即可.
【详解】A不属于，原因：所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；
B不属于，原因：命中0环，1环，2环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；
C属于，原因：显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；
D不属于，原因：灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性．
故选：C.
3.下列事件属于古典概型的是（ ）
A．任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件
B．篮球运动员投篮，观察他是否投中
C．测量一杯水分子的个数
D．在4个完全相同的小球中任取1个
【答案】D
根据古典概率的特征，逐项判断，即可得出结果
【详解】判断一个事件是否为古典概型，主要看它是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.
A选项，任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和对应的概率不全相等，如点数之和为与点数之和为发生的可能性显然不相等，不属于古典概型，故A排除；
B选项，“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等，不属于古典概型，故B排除；
C选项，杯中水分子有无数多个，不属于古典概率，故C排除；
D选项，在4个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且包含的基本事件共有4个，符合古典概型，故D正确.
故选：D.
4.下列是古典概型的个数有（ ）
①已知且，从中任取一个数，则满足的概率
②同时掷两颗骰子，点数和为11的概率；
③近一周中有一天降雨的概率；
④10个人站成一排，其中甲在乙右边的概率．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
根据古典概型依次判断即可.
【详解】因为古典概型的两个特点，一是结果有限个，二是每个结果等可能.
所以①为几何概型，②③④为古典概型.
故选：C
5.向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？
【答案】不是古典概型；答案见解析．
根据古典概型的特征：等可能性、有限性即可判断.
【详解】∵试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，
虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，
但这个试验不满足古典概型的第一个条件．
故试验不是古典概型.
6.某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中环、命中环……命中环和不中环.你认为这是古典概型吗？为什么？
【答案】不是古典概型，理由见解析.
根据古典概型的两个特征判断即可.
【详解】古典概型的特征：①基本事件的总个数有限个；②每个基本事件等可能发生.
因为试验的所有可能结果只有个，而基本事件命中环、命中环……命中环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.
所以不是古典概型.
二、古典概型的计算
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
【典型例题】
【例1】盒中装有形状、大小完全相同的个球，其中红色球个，黄色球个.若从中随机取出个球，则所取出的个球颜色相同的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将个球进行编号，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记个红色球分别为、、，记个黄色球分别为、，
从这个球中随机抽取个，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共个，
其中，事件“所取出的个球颜色相同”包含的基本事件有：、，，，共4个.
故所求概率为.
故选：C.
【例2】甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中，则“a＝b”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率求解.
【详解】解：甲乙猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件是种，
则“a＝b”的基本事件有：，故5种，
所以“a＝b”的概率为，
故选：C
【例3】箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子，现从箱子中同时取出两只袜子，则取出的两只袜子正好可以配成一双的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出试验的样本空间，再求有利事件个数，最后用概率公式计算即可.
【详解】两只红色袜子分别设为，，两只黑色袜子分别设为，，这个试验的样本空间可记为，共包含6个样本点，记为“取出的两只袜子正好可以配成一双”，则，包含的样本点个数为2，所以.
故选：B
【例4】从集合中任取两个不同元素，则这两个元素相差的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】一一列出所有基本事件，然后数出基本事件数和有利事件数，代入古典概型的概率计算公式，即可得解.
【详解】解：从集合中任取两个不同元素的取法有、、、、、共6种，其中满足两个元素相差的取法有、、共3种.故这两个元素相差的概率为.
故选：B.
【例5】从甲 乙 丙 丁4人中选3人当代表，则甲被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出基本事件的总数以及事件甲被选中包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.
【详解】总的基本事件包括（甲，乙，丙），（甲，丙，丁），（甲，乙，丁），（乙，丙，丁）共4个，甲被选中的基本事件有（甲，乙，丙），（甲，丙，丁），（甲，乙，丁），共3个，
故甲被选中的概率为.
故选：D.
【例6】小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时 小王都将笔杆和笔帽套在一起，但偶尔也会将笔杆和笔帽随机套在一起，则小王将两支笔的笔杆和笔帽的颜色混搭的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为，，，与之相同颜色的笔帽分别为，，，利用古典概型的概率能求出小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率．
【详解】解：设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为，，，与之相同颜色的笔帽分别为，，，
将笔和笔帽随机套在一起，基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有6个基本事件，
小王将两支笔和笔帽的颜色混搭包含的基本事件有：
，，，，，，，，，共有3个基本事件，
小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是．
故选：C
【例7】饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用古典概型的概率求解.
【详解】解：点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，
则样本空间{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，
记“3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B”为事件，则{（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知．故选：B．
【对点实战】
某社区防疫志愿者中有2人的工作是负责测量体温，有3人的工作是负责查验行程码.若则这5人中任选2人参加优秀志愿者评选，则选取的2人负责不同工作的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率
【详解】设负责测量体温的志愿者分别为，负责查验行程码的志愿者分别为，
则从中选2人的情况有，共10种，
其中2人负责不同工作的情况有，共6种，所以所求概率.
故选：C
2.集合A=，，从A，B中各取一个数，则这两数之和等于5的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依据古典概型公式解之即可.
【详解】从A，B中各取一个数，则这两数之和可能为
，，
共有6个可能的结果，其中两数之和等于5的有2个，
则从A，B2.中各取一个数，这两数之和等于5的概率是
故选：B
3.．抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，，，则下列判断中错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】把抛掷两枚硬币的情况均列举出来，利用古典概型的计算公式，把，，算出来，判断四个选项的正误.
【详解】两枚硬币，记为与，则抛掷两枚硬币，一共会出现的情况有四种，A正B正，A正B反，A反B正，A反B反，则，，，所以A错误，BCD正确
故选：A
4.若某台电脑每秒生成一个数字1或2，则该电脑运行三秒后生成的数字之和能被3整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意写出三秒后生成数字的可能组合，判断能被3整除的情况，由古典概型的概率求法求概率即可.
【详解】由题设，三秒后生成的数字可能为、、、、、、、，其中能被3整除的数有、，
∴电脑运行三秒后生成的数字之和能被3整除的概率为.
故选：C
5.从1，2，3，4，5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出基本事件的总数以及所取两数均为偶数包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.
【详解】从中抽取两个数基本事件有：
共种，
所取的两个数均为偶数的有，共种，
所以所取两数均为偶数的概率为，
故选：A.
6.．“抛掷两枚骰子，所得的一个点数恰好是另一个点数的2倍”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出基本事件总数，列举出一个点数恰好是另一个点数的2倍包含的基本事件个数，再由古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】抛掷两枚骰子，基本事件总数，
其中所得的一个点数恰好是另一个点数的2倍包含的基本事件有：
，，，，，，共6个，
“抛掷两枚骰子，所得的一个点数恰好是另一个点数的2倍”的概率为：
．故选：A．
三、综合型古典概型计算
利用古典概型公式计算概率的步骤
(1)确定样本空间的样本点的总数n.
(2)确定所求事件A包含的样本点的个数m.
(3)P(A)＝.
【典型例题】
【例1】袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由古典概型的概率计算方法求解即可.
【详解】由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有：
共4个基本事件，
根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，
故选：C.
【例2】已知数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
分析：由题意首先求得实数x的值，然后列出所有可能的结果，从中挑选满足题意的结果结合古典概型计算公式即可求得最终结果.
详解：由数据1，2，3，4，x（0可得2+=x，所以x=，从这5个数中任取2个，结果有：
共10种，这2个数字之积大于5的结果有：，共5种，所以所求概率为.本题选择B选项.
【例3】盒中装有形状、大小完全相同的个球，其中红色球个，黄色球个.若从中随机取出个球，则所取出的个球颜色相同的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将个球进行编号，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
记个红色球分别为、、，记个黄色球分别为、，
从这个球中随机抽取个，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共个，
其中，事件“所取出的个球颜色相同”包含的基本事件有：、，，，共4个.
故所求概率为.
故选：C.
【例4】把一个骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为，，则使得关于的方程有2个互不相等的实数根的概率为________．
【答案】
【分析】
依据古典概型去求解即可解决.
【详解】
若方程有2个互不相等的实数根，则，
一个骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为，，记为，所有可能共36种，
其中满足题意的有，，，，，，，，，，，，，，，，，共17种.
故使得关于的方程有2个互不相等的实数根的概率为．
故答案为：
【例5】我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清代郑板桥的《题画竹》》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠.”现从1，2，3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成，则恰好能使得的概率是____________.
【答案】##0.6
【分析】
列举基本事件，直接求概率即可.
【详解】
随机选取2个不同的数字组成,共有
而，，3，4，5，6，
，，2，4，5，6，
，，2，3，5，6，
，，2，3，4，6，
，，2，3，4，5，共有25种，
其中
1，2，3，4，5，6这6个数字中满足的数对有：
，，4，5；
，；
，；
，；
共15种，
所求概率为．
故答案为：．
【例6】某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
【答案】（1）32.25岁；37.5；（2）（i）；（ii）10.
【分析】
(1) 根据频率分布直方图，利用组中值乘以相应的频率，即可的这人的平均年龄；设第80百分位数为，计算从左到右频率和为或计算从右到左频率和为，即可求出；
(2)（i）由题意可得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，根据古典概型计算方法求解即可；
（ii）根据方差的计算原理计算合并后方差即可.
【详解】
解：（1）设这人的平均年龄为，则
（岁）.
设第80百分位数为，
方法一：由，解得.
方法二：由，解得.
（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，
对应的样本空间为：
，共15个样本点.
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则
，共有9个样本点.
所以，.
（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
则，
，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.
【例7】新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有660人.
(1)求频率分布直方图中的值及所调查的总人数；
(2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的中位数和平均数（精确到0.1）；
(3)为了今后更好地完成当地的防疫工作，政府部门又按照分层抽样的方法，从评分在的居民中选出6人进行详细的调查，再从中选取两人进行面对面沟通，求选出的两人恰好都是评分在之间的概率.
【答案】(1)，1200人
(2)中位数为82.9，平均数为80.7
(3)
【分析】
（1）根据所有矩形的面积和等于1列式可求出，利用评分在的人数可求出所调查的总人数；
（2）根据频率分布直方图可求出本次评测分数的中位数和平均数；
（3）根据分层抽样以及古典概型概率公式可求出结果.
(1)
由频率分布直方图知
即，解得
设总共调查了人，则，解得，
即调查的总人数为1200人；
(2)
因为，
所以中位数位于区间，设中位数为，则，
解得：，所以中位数为82.9，
所以估计本次考试成绩的中位数为82.9.
由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02 0.04 0.14 0.20 0.35 0.25，
所以，设平均数为，
则.
所以所以估计本次考试成绩的平均数为.
(3)
用分层抽样的方法应该从评分在抽出2人，记编号为1，2，从评分在抽出4人，记编号为3，4，5，6，.则样本空间为Ω＝{{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}}．
用A表示抽出的2人恰好来自于评分在，则A={{1，2} }．
所以选出的两人恰好都是评分在之间的概率为.
【对点实战】
1.某地为方便群众接种新冠疫苗，开设了，，，四个接种点，每位接种者可去任一个接种点接种．若甲，乙两人去接种新冠疫苗，则两人不在同一接种点接种疫苗的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意列出甲，乙两人去，，，四个接种点接种新冠疫苗的所有选择，然后再求出甲，乙两人不在同一个接种点接种的情况有多少种，从而可求出概率.
【详解】
甲，乙两人去，，，四个接种点接种新冠疫苗的所有选择共有16种，
分别为：，，，，，，，，，，，，，，，；
其中两人不在同一个接种点接种的情况有12种，从而有.
故选：C．
2.．先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，4能够构成等腰三角形的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用乘法原理求出基本事件总数，然后按照分类讨论的方法求出a，b，4能够构成等腰三角形的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】
由乘法原理可知，基本事件的总数是36，
结合已知条件可知，
当时，符合要求，有1种情况；
当时，符合要求，有1种情况；
当时，符合要求，有2种情况；
当时，符合要求，有6种情况；
当时，符合要求，有2种情况；
当时，符合要求，有2种情况，
所以能构成等腰三角形的共有14种情况，
故a，b，4能够构成等腰三角形的概率.
故选：D.
3.“2021年全国城市节约用水宣传周”已于5月9日至15日举行，某市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式式样、内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源、防治水污染、节约用水的意识，为了解活动开展成效，该市的某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：[70，75]，（75，80]，（80，85]，（85，90]，（90，95]，（95，100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值，并求这300名业主评分的中位数；
(2)若先用分层抽样的方法从评分在（90，95]和（95，100]的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5名业主中任意选取2人作进一步访谈，求这2人中至少有1人的评分在（95，100]的概率．
【答案】(1)0.040，85；
(2)
【分析】
(1)根据所有小矩形的面积之和为1，求出a，再根据中位数的定义求中位数；(2)由频率分布直方图，知评分在的有人，评分在有人，利用古典概型的概率公式求出事件发生的概率.
(1)
第三组的频率为，
又第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为.
前三组的频率之和为，
这名业主评分的中位数为.
(2)
由频率分布直方图，知评分在的人数与评分在的人数的比值为.
采用分层抽样法抽取人，评分在的有人，评分在有人.
不妨设评分在的人分别为；评分在的人分别为，
则从人中任选人的所有可能情况有：
，，，，，，，，，共种.
其中选取的人中至少有人的评分在的情况有：
，，，，，，共种.
故这人中至少有人的评分在的概率为.
4.为进一步加强中华传统文化教育，提高学生的道德素养，培养学生的民族精神，更好地让学生传承和发扬中国传统文化和传统美德，某校组织了一次知识竞赛．现对参加活动的1280名学生的成绩(满分100分)做统计，得到了如图所示的频率分布直方图．
请大家完成下面问题：
(1)求参赛同学的平均数与中位数(小数点后保留2位)(以每个区间的中点作为本区间的取值)；
(2)若从该校80分至100分之间的同学按分层抽样抽取一个容量为7的样本，再从该样本任选2人参加与其他学校之间的比赛，求抽到的两人至少一人来自90分至100分的概率．
【答案】(1)平均数为分，中位数为分
(2)
【分析】
（1）先利用频率和为1求出，分别套公式求平均数和中位数；
（2）列举基本事件，利用古典概型求概率．
(1)
由题意得，可得，
所以，平均数为分，
由，，
则中位数位于，
若中位数为x，则，可得分．
(2)
由（1）知：与的样本比例为5∶2，
所以7个个体有5个取自，2个取自，
若中5个分别为a，b，c，d，e，中2个分别为x，y，
则从中抽取2人的所有组合为{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，ax，ay，bx，by，cx，cy，dx，dy，ex，ey，xy}，有21种情况，
其中两人至少来一人自为{xy，ax，ay，bx，by，cx，cy，dx，dy，ex，ey}，11种情况；
所以抽到的两人至少一人来自90分至100分的概率为．
5.饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础，全民积极维护饮用水水源安全，保障安全饮水.同时，国家提倡节约用水，各地积极开展节水 用水安全活动.为了提高节水用水意识，苏州市某校开展了了“节约用水，从我做起”主题竞赛活动，从参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分（同一组数据用该组区间的中点点值代表）；
(2)在该样本中中，若采用分层抽样方法，从成绩低于65分的学生中随机抽取6人调查他们的答题情况，再从这6人中随机抽取3人进行深入调研，求这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率.
【答案】(1)0.035，71
(2)
【分析】
（1）根据小矩形的面积之和等于1列方程即可得的值，利用平均数的计算公式即可得平均数；
（2）先根据分层抽样求出成绩低于55分的有1人，成绩位于的有5人，求出基本事件的总数以及这3人中至少有1人的成绩低于55分包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.
(1)
根据频率分布直方图得，
解得，
这组样本数据的平均数为，
所以
(2)
根据频率分布直方图得到，成绩在内的频率分别为，
所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的6人，
成绩在内的有1人，记为，
成绩在内的有5人，分别记为，
从这6人中随机抽取3人，所有可能的结果为
，，共20种，
这3人中至少有1人的成绩在内的有
共10种，
这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率为.
6.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，现从参与调查的人群中随机选出20人的样本，并将这20人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示
(1)求样本中第3组人数；
(2)根据频率分布直方图，估计参与调查人群的样本数据的平均数和第80百分位数；
(3)若从年龄在的人中随机抽取两位，求至少有一人的年龄在内的概率.
【答案】(1)7.
(2)41.5；51.
(3)
【分析】
（1）频率分布图进行数据分析先求出a，再求第3组人数；
（2）直接套公式求出平均数和第80百分位数；
（3）列举基本事件，利用古典概型求概率.
(1)
由频率分布图进行数据分析可得：
，解得：.
所以样本中第3组人数为：.
(2)
由频率分布图进行数据分析可得：
样本数据的平均数为；
前3组的频率和为：.
前4组的频率和为：.
故第80百分位数位于第4组，设为a，则，解得：.
所以样本数据的平均数为41.5，第80百分位数约为51.
(3)
记事件A：至少有一人的年龄在内
年龄在的有2人，设为a、b；年龄在的有3人，设为1、2、3；
从5人中任选2人，有：ab、a1、a2、a3、b1、b2、b3、12、13、23共10种情况.
至少有一人的年龄在内包括：ab、a1、a2、a3、b1、b2、b3共7种情况.
故所求概率为.
7.某校学生营养餐由A和两家配餐公司配送．学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了40名学生对两家公司分别评分．根据收集的80份问卷的评分，得到如图A公司满意度评分的频率分布直方图和B公司满意度评分的频数分布表：
评分分组 频数
， 2
， 8
， 14
， 14
， 2
(1)根据A公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数（结果保留一位小数）；
(2)从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给A公司评分的概率；
(3)请从统计角度，对A、两家公司做出评价．
【答案】(1)73.3
(2)
(3)答案见解析
【分析】
（1）由频率分布直返图，根据中位数的估计方法，直接求得答案；
（2）求得得分高于90分的问卷在两组中的分布情况，列出抽取两份所有可能的情况，
再列出两份问卷都是给A评分的可能情况，根据古典概型的概率公式求得答案；
（3）根据统计图表，估计中位数，平均数以及方差的大小，即可说明.
(1)
设A公司调查的40份问卷的中位数为，
则有,
解得：
所以，估计该公司满意度得分的中位数为73.3 ；
(2)
满意度高于90分的问卷共有6份，其中4份评价A公司，
设为，，，，2份评价公司，设为，．
从这6份问卷中随机取2份，所有可能的结果有：
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，共有15种．
其中2份问卷都评价A公司的有以下6种：
，，，，，，，，，，，．
设两份问卷均是评价A公司为事件，则有．
(3)
由所给两个公司的调查满意度得分知：
A公司得分的中位数低于公司得分的中位数，A公司得分集中在，这组，
而公司得分集中在，和，两个组，
A公司得分的平均数数低于公司得分的平均数，A公司得分比较分散，
而公司得分相对集中，即A公司得分的方差高于公司得分的方差．
四、互斥事件概率公式的应用
性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
【典型例题】
【例1】若，则互斥事件和B的关系是（ ）
A． B．A，B是对立事件
C．A，B不是对立事件 D．A=B
【答案】B
【分析】根据概率性质，，即可判断与的关系.
【详解】由题意，事件与是互斥事件，则，
则，是对立事件.
故选：B
【例2】若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答.
【详解】因随机事件，互斥，则，
依题意及概率的性质得，即，解得，
所以实数的取值范围是.故选：C
【例3】甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.7，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】A
【分析】将甲不输棋的事件进行分拆，再利用互斥事件概率的加法公式即可得解.
【详解】甲不输棋的事件A是甲胜乙的事件B与甲乙下成平局的事件C的和，显然B，C互斥，
而，又，于是得，
所以甲胜的概率是0.2.
故选：A
【例4】袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P（ξ≥8）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可根据互斥事件的性质先求出得分小于8分的概率.
【详解】袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，
取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量ξ，
由题意得得分小于8分的只有两种情况：
取到1红3黑，计6分，取到4黑，计4分，
根据互斥事件概率得：
则ξ≥8的概率.
故选：B.
【例5】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，可知甲获胜情况有三种：第一局胜、第二局胜，第一局胜、第二局负、第三局胜，第一局负、第二局胜、第三局胜，由互斥事件概率加法运算即可求解.
【详解】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜，甲在每局比赛中获胜的概率为，
则甲获胜有以下三种情况：
第一局胜、第二局胜，则甲获胜概率为；
第一局胜、第二局负、第三局胜，则甲获胜概率为；
第一局负、第二局胜、第三局胜，则甲获胜概率为；
综上可知甲获胜概率为，
故选：D.
【例6】某城市2017年的空气质量状况如下表所示：
污染指数 30 60 100 110 130 140
概率
其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可.
【详解】由表知空气质量为优的概率是，
由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为，
所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率，
故选：A
【例7】掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为______.
【答案】
【分析】根据对立事件的概率公式以及互斥事件的概率的加法公式可得结果.
【详解】依题意可知，事件与事件为互斥事件，且，，
所以.
故答案为：.
【例8】已知随机事件发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【详解】事件与事件是对立事件，，
故选：C．
【对点实战】
1.甲 乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲不输的概率为0.7，则甲 乙下成和棋的概率为（ ）
A．0.5 B．0.7 C．0.9 D．0.4
【答案】A
【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．
【详解】解：甲不输包含甲、乙两人下成和棋与甲获胜，
且甲、乙两人下成和棋与甲获胜是互斥事件，
甲、乙下成和棋的概率．
故选：A
2.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
利用互斥事件和的概率等于概率的和计算结果.
【详解】从中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子两个事件，这两个事件是互斥事件，设两粒是同一色为事件，同为黑子为事件，同为白子为事件，
则.
故选：C
【点睛】
3.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．
【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，
∴P(A)，P(B)，
又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，
所以事件A和事件B为互斥事件，
则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为
P（A∪B）＝P(A)+P(B)，
故选：A．
4.如果事件A与B是互斥事件，且事件的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】C
根据互斥事件概率的加法公式即可求解.
【详解】因为事件A与B是互斥事件，所以，
又因为，所以.
故选：C
5.中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为__________.
【答案】
【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解.
【详解】设“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，则，.∵A，B是互斥事件，∴.
6.一枚硬币连掷三次，事件A为“三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为“至少两次正面向上”，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝__________________.
【答案】1
【分析】由题事件A，B，C之间是互斥的，且又是一枚硬币连掷三次的所有结果，可得结论
【详解】事件A，B，C之间是互斥的，且又是一枚硬币连掷三次的所有结果，所以P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.
7.．若，为互斥事件，则
A． B．
C． D．
山西省2018-2019学年高一上学期期末数学试题（2）
【答案】B
【详解】因为A,B互斥，但A,B不一定对立，所以
8.某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为,响第三声时被接的概率为,响第四声时被接的概率为,则电话在响前四声内被接的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设“电话响第一声被接”为事件A,“电话响第二声被接”为事件B,“电话响第三声被接”为事件C,“电话响第四声被接”为事件D,则A,B,C,D两两互斥,从而P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.故选B.
点睛：本题的难点在于把电话在响前四声内被接这个事件分解为哪几个互斥事件，根据题意，它可以分解为四个互斥事件, P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D).
五、对立事件概率公式的应用
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
【典型例题】
【例1】事件A与B是对立事件，且，则等于（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．1
【答案】A
【分析】由对立事件的概率计算公式即可得解.
【详解】因事件A与B是对立事件，且，则，
所以等于0.4.故选：A
【例2】若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)
【答案】B
根据随机事件概率的性质，计算出所求的概率.
【详解】由随机事件概率的性质得P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β).
故选：B
【例3】从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，根据所给的抽到一等品的概率，即可得出抽到的不是一等品的概率．
【详解】∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，
事件{抽到一等品}，，
∴抽到不是一等品的概率是．
故选D．
【例4】从5个同类产品（其中3个正品，2个次品）中，任意抽取2个，下列事件发生概率为的是（ ）
A．2个都是正品 B．恰有1个是正品 C．至少有1个正品 D．至多有1个正品
【答案】C
【分析】由5个产品中3个正品2个次品的分布，5个中产品任取2个有10种取法，取2个次品只有一种取法，概率为，那么其对立事件的概率就是．从而得到结论．
【详解】易得两个都是次品的概率是，故发生概率为的事件是“两个都是次品”的对立事件，即“至少有1个正品”
故选：C.
【例5】已知，则函数在区间(1，+∞)上为增函数的概率为________.
【答案】
【分析】由于，所以基本事件总数，然后分和讨论函数区间(1，+∞)上为增函数的情况，从而可求得其概率
【详解】解：∵，
∴基本事件总数.用(a，b)表示a，b的取值.
若函数在区间(1，+∞)上为增函数，则①当时，，
符合条件的只有，即；
②当时，需满足，符合条件的有，共4种.
∴函数在区间(1，+∞)上为增函数的概率
故答案为：
【例6】一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率为________.
【答案】0.96
【分析】根据事件之间的关系，若A＝“甲熔丝熔断”，B＝“乙熔丝熔断”，则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.根据概率公式，即可得解.
【详解】设A＝“甲熔丝熔断”，B＝“乙熔丝熔断”，
则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96.
故答案为：0.96
【例7】．已知两个事件和互斥，记事件是事件的对立事件，且，，则_____________．
【答案】.
先计算，再根据计算得到答案.
【详解】得，且事件与互斥，则
故答案为：
【例8】事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P()＝________．
【答案】
【详解】分析：由已知中事件A、B互斥，由它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，可求，进而根据对立事件概率减法公式得到答案.
详解：事件A、B互斥，且P(A)＝2P(B)，它们都不发生的概率为
解得，,.故答案为.
【对点实战】
1.下列说法正确的是
A．事件A, B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
B．事件A，B同时发生的概率一定比A, B中恰有一个发生的概率小
C．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
D．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
【答案】C
分析每一个答案，清楚对立事件和互斥事件的概念，可得答案.
【详解】对于A，当A、B为对立事件时，A, B中至少有一个发生的概率和A，B中恰有一个发生的概率相等；故A错；
对于B，若A、B是相等事件，此时A、B恰有一个发生为不可能事件，概率为0，故B错；
C答案正确，故D答案错误；
故选C
2.从一箱分为四个等级的产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到次品（一等品、二等品、三等品都属于合格品）”的概率为（ ）
A．0.7 B．0.65 C．0.3 D．0.05
【答案】D
【分析】利用概率的加法公式以及对立事件的概率即可求解.
【详解】“抽到次品”的概率：
.
故选：D
3.围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算2粒都是黑子或2粒都是白子的概率，而取出的2粒颜色不同的对立事件是2粒都是黑子或2粒都是白子，利用对立事件的概率公式求得答案.
【详解】2粒都是黑子或2粒都是白子的概率为，
取出的2粒颜色不同的概率为.
故选：D.
4.掷一个骰子的试验，事件表示“小于5的偶数点出现”，事件表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件发生概率为__________.
【答案】.
【分析】先表示出的事件，并求出它发生的概率，再求出事件发生的概率，求出事件发生概率.
【详解】,事件表示“小于5的点数出现”,则事件表示“大于等于5的点数出现”，所以，根据和事件的运算公式可知事件发生概率为.
5.甲：、是互斥事件；乙：、是对立事件，那么
A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分但不必要条件
C．甲是乙的必要但不充分条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
【答案】C
【详解】分析:根据互斥事件和对立事件的概念，根据充分条件和必要条件的概念分析解答.
详解：当、是互斥事件时，、不一定是对立事件，所以甲是乙的非充分条件.
当、是对立事件时，、一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件.
所以甲是乙的必要非充分条件.
故选C.
6.随机猜测“选择题”的答案，每道题猜对的概率为0.25，则两道选择题至少猜对一道以上的概率约为
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求得两道选择题都猜错的概率，再根据对立事件概率的计算公式求解.
【详解】每道题猜对的概率为0.25=，则猜错的概率为，
由独立事件概率的计算公式得：两道选择题都猜错的概率，
所以至少猜对一道以上的概率为1-，
故选A.
7.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
事件“至少出现一次6点向上”的对立事件是“出现零次6点向上”，由此借助对立事件的概率进行求解．
【详解】由题事件“至少出现一次6点向上”的对立事件是“出现零次6点向上”
所以至少出现一次6点向上的概率
故选A.
8.已知随机事件和互斥，且,.则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果.
【详解】与互斥

本题正确选项：
六、概率性质的综合应用
性质5　如果A B，那么P(A)≤P(B)．
性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
【典型例题】
【例1】下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；②若为两个事件，则；③若事件两两互斥；④若满足且，则是对立事件.其中错误的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可判断①；根据和事件的概率公式即可判断②；根据随机事件概率的性质，即可判断③；若满足且，是对立事件，可判断④.
【详解】对于①：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；故①正确；
对于②：若为两个事件，则；故②不正确；
对于③：若事件两两互斥，若，则，故③不正确；
对于④：对于几何概型而言，若事件满足，，则不一定 是对立事件，
故④错误.
所以错误的命题有个，
故选：D
【例2】从1，2，3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设事件A“摸出的数为偶数”，事件B“摸出的数能被5整除”，则由题意可得，从而可求出的值
【详解】设事件A“摸出的数为偶数”，事件B“摸出的数能被5整除”，
则，
所以.
故选:B.
【例3】设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（ ）
A．事件A B，则P（A）＜P（B）
B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立
C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥
D． P（A）+P（B）≤1
【答案】C
【分析】根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概率与性质进行判断．
【详解】若事件B包含事件A，则P（A）≤P（B），故A错误；
若事件A、B互斥，则P（AB）＝0，
若事件A、B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B错误，C正确；
若事件A，B相互独立，且P（A），P（B），则P（A）+P（B）＞1，故D错误．
故选：C．
【例4】不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）
A．2张卡片都不是红色 B．2张卡片不都是红色
C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片至多有1张红色
【答案】A
根据互斥事件和对立事件定义，逐项验证.
【详解】不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，
一次任意取出2张卡片，
则选项A事件“2张卡片都不是红色”与事件“2张卡片都为红色”
是互斥而不对立，所以正确；
选项B事件“2张卡片不都是红色”与事件“2张卡片都为红色”
是对立事件，所以不正确；
选项C事件“2张卡片至少有一张红色”包含事件“2张卡片都为红色”，
所以事件“2张卡片至少有一张红色”与事件“2张卡片都为红色”
不是互斥事件，所以错误；
选项D事件“2张卡片至多有1张红色”与事件“2张卡片都为红色”
是对立事件，所以错误.
故选：A.
【例5】从、、、这个数中一次随机地取个数，记所取的这个数的和为，则下列说法错误的是（ ）
A．事件“”的概率为
B．事件“”的概率为
C．事件“”与事件“”为互斥事件
D．事件“”与事件“”互为对立事件
【答案】B
【分析】列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可判断A、B选项的正误，利用互斥事件的概念可判断C选项的正误，利用对立事件的概念可判断D选项的正误，综合可得出结论.
【详解】从、、、这个数中一次随机地取个数，所有的基本事件有：、、、、、，共种，
事件“”包含的基本事件有：、，共个，则；
事件“”包含的基本事件有：、、、，则；
由互斥事件的定义可知，事件“”与事件“”为互斥事件；
事件“”包含的基本事件有：，事件“”包含的基本事件有：、、、、，
由对立事件的定义可知，事件“”与事件“”互为对立事件.
综上所述，A、C、D选项正确，B选项错误.
故选：B.
【例6】袋中有12个除颜色外均相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是，试求从中任取一球，取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.
【答案】取到黑球、黄球、绿球的概率分别是
记事件“取到红球”，事件“取到黑球”，事件“取到黄球”，事件“取到绿球”，根据题意，得到，，的方程组，从而解得答案.
【详解】记事件“取到红球”，事件“取到黑球”，事件“取到黄球”，事件“取到绿球”，且事件两两互斥，
根据已知，得解得.
所以取到黑球、黄球、绿球的概率分别是.
【例7】袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.
（1）求取球2次即终止的概率；
（2）求甲取到白球的概率.
【答案】（1）；（2）
（1）第二次终止即：第一次摸到黑球第二次摸到白球；
（2）根据规则，甲取到白球必须可能是第1,3,5次出现白球，且在摸到白球之前乙摸到黑球，结合树状图求解.
【详解】（1）设事件A为“取球2次即终止”.即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，借助树状图求出相应事件的样本点数：
因此，.
（2）设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.借助树状图求出相应事件的样本点数：
所以
.
【例8】下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1~5分五个档次．设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人．
y分 人数 x/分 5 4 3 2 1
5 1 3 1 0 1
4 1 0 7 5 1
3 2 1 0 9 3
2 1 b 6 0 a
1 0 0 1 1 3
(1)x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？x≥3的概率是多少？
(2)x=2的概率是多少？a＋b的值是多少？
【答案】(1)，，；(2)，3.
【分析】（1）求出事件“x=4”、“x=4且y=3”的人数，再用古典概率求解，求出“x=3”、“x=5”的概率，利用互斥事件概率公式计算作答.
（2）利用对立事件的概率公式求出事件“x=2”的概率，进而求出a+b的值.
(1)
由数表知，x=4的事件有14人，其概率为：，
x=4且y=3的事件有7人，其概率为：且，
x≥3的事件是x=3的事件，x=4的事件，x=5的事件的和，它们互斥，而，
，
因此，.
(2)
x=1的事件概率为，x=2的事件的对立事件是x=1的事件与x≥3的事件的和，它们互斥事件，
则有，
而，即有，解得，
所以x=2的概率是，a＋b的值是3.
【对点实战】
1.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)=（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】写出事件包含的基本事件，可得概率．
【详解】A包含向上的点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A∪B包含了向上的点数是1，2，3，5的情况.故P(A∪B)=.
故选：B．
2.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至多有一个白球”中的哪几个（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
【答案】C
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义求解.
【详解】从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件有：白白，红红，黑黑，红白，红黑，白黑，共6种，
当两球都为白球时，
与两球都不是白球，不能同时发生，故互斥，同时两个事件的和不是必然事件，故不对立，故①正确；
与两球恰有一个白球；不能同时发生，故互斥，同时两个事件的和不是必然事件，故不对立，故②正确；
与两球至多有一个白球” 不能同时发生，故互斥，同时两个事件的和是必然事件，故对立，故③错误.
故选：C
3.某人抛一颗质地均匀的骰子，记事件A=“出现的点数为奇数”，B=“出现的点数不大于3”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与B对立 B．
C．事件A与B互斥 D．
【答案】D
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．
【详解】因为骰子的点数1至6共6个正整数，因此事件和可能同时发生（如出现点数1），也可能同时不发生（如出现点数6），因此它们不互斥也不对立，A，B，C均错，
但，，D正确.
故选：D．
4.事件A,B的概率分别为,,且,则
A． B． C． D．无法判断
【答案】D
因为事件A,B的关系并不明确,所以无法判断.
【详解】因为不知道事件A,B的关系,所以无法判断,
故选：D.
5.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为．
（1）求1张奖券中奖的概率；
（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,且、、两两互斥,利用互斥事件的概率加法公式求解即可；
（2）“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”的对立事件为“1张奖券中特等奖或中一等奖”,则利用互斥事件的概率公式求解即可
【详解】（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,
设“1张奖券中奖”为事件,则,
因为、、两两互斥,所以
故1张奖券中奖的概率为
（2）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件,则事件与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,
所以,
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为
6.袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球 黄球 绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：
(1)袋中黑球 黄球 绿球的个数分别是多少？
(2)从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个得概率是多少？
(3)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
【答案】(1)黑球 黄球 绿球的分别有3、2、4个.(2)0.6(3)
【分析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球 黄球 绿球为事件，，，由已知列出的方程组，求解可求得，从而可得答案；
（2）由（1）知黑球 黄球个数分别为3，2， 则有从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个得概率是；
（3）求出从9个球中取出2个球的样本空间中共有的样本点，再求出两个球同色的样本点可得答案.
(1)
解：从中任取一球，分别记得到黑球 黄球 绿球为事件，，，由于，，为互斥事件，
根据已知，得，解得，
所以，任取一球，得到黑球 黄球 绿球的概率分别是，，.
所以黑球的个数为个，黄球的个数为个，绿球的个数为个，
所以袋中黑球 黄球 绿球的个数分别是3、2、4个.
(2)解：由（1）知黑球 黄球个数分别为3，2，
所以从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个得概率是.
(3)解：从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，
其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个，
于是，两个球同色的概率为，则两个球颜色不相同的概率是.
7.某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
命中环数 6 7 8 9 10
频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2
如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；
（1）命中10环；
（2）命中的环数大于8环；
（3）命中的环数小于9环；
（4）命中的环数不超过5环.
【答案】（1）0.2 （2）0.5 （3）0.5 （4）0
利用频率表以及互斥事件的概率公式得出（1），（2），（3）对应的概率，由对立事件的概率公式得出（4）的概率.
【详解】解：用x表示命中的环数，由频率表可得.
（1）；
（2）（或）；
（3）；
（4）.

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