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8.4.2空间中点线面位置关系
本节课知识点目录：
判断异面直线位置关系
异面直线的图像应用
判断直线与平面位置关系
直线与平面的位置关系应用
判断平面与平面位置关系
平面与平面的位置关系应用
综述：
一、空间两条直线的三种位置关系
1.
2.异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法(唯一一对平面法)
也可以通过如图①②③所示来表示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交．
求异面直线所成的角度：平移法，解三角形。
二、直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
三、平面与平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
一、判断异面直线：定义
【典型例题】
【例1】己知空间中两条不重合的直线，则“与没有公共点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例2】下列图形中，能确定直线a，b是异面直线的是( )
A．B．C． D．
【例3】若a，b为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是( )
A．l至少与a，b中一条相交
B．l至多与a，b中一条相交
C．l至少与a，b中一条平行
D．l必与a，b中一条相交，与另一条平行
【例4】若，，则直线，的位置关系是（ ）
A．平行或异面 B．平行或相交 C．相交或异面 D．平行、相交或异面
【例5】若、为异面直线，直线与平行，则与的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交
【例6】若直线，直线，则直线a与b的位置关系是
A．相交 B．异面 C．异面或平行 D．平行
【对点实战】
1.异面直线是指（ ）
A．空间中两条不相交的直线 B．平面内的一条直线与平面外的一条直线
C．分别位于两个不同平面内的两条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线
2.若异面直线分别在平面内，且，则直线l（ ）
A．与直线都相交
B．至少与中的一条相交
C．至多与中的一条相交
D．与中的一条相交，另一条平行
3.已知三条直线，，满足：与平行，与异面，则与（ ）
A．一定异面 B．一定相交 C．不可能平行 D．不可能相交
4.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ）
A．一定平行 B．一定异面 C．相交或异面 D．一定相交
5.若直线平面，直线，则（ ）
A． B．与异面 C．与相交 D．与没有公共点
二、异面直线的图像应用
【典型例题】
【例1】如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．GH和MN是平行直线；GH和EF是相交直线
B．GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线
C．GH和MN是相交直线；GH和EF是异面直线
D．GH和EF是异面直线；MN和EF也是异面直线
【例2】三棱锥的6条棱中，异面直线有（　　）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【例3】空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角的大小关系为（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余
【例4】如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是（ ）
A． B．
C． D．
【例5】空间中垂直于同一条直线的两条直线（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能
【例6】一条直线与两条平行线中的一条异面且垂直，则它与另一条的位置关系不可能的是（ ）
A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直
【例7】若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ ）
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
【例8】若直线a，b是异面直线，点O是空间中不在直线a，b上的任意一点，则（ ）
A．不存在过点O且与直线a，b都相交的直线
B．过点O一定可以作一条直线与直线a，b都相交
C．过点O可以作无数多条直线与直线a，b都相交
D．过点O至多可以作一条直线与直线a，b都相交
【对点实战】
1.空间中的两条直线若不平行，就一定相交 （ ）
A．对 B．错
2.如图，长方体的棱所在直线与直线为异面直线的条数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3.正方体的一条对角线与正方体的棱可组成n对异面直线，则n等于
A．2 B．3 C．6 D．12
4.已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则a与b是异面直线 B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面内，则a与b异面 D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
5.已知直线a，如果直线b同时满足：（1）与a异面；（2）与a所成的角是；（3）与a的距离为2021，这样的直线b有（ ）条．
A．2 B．3 C．4 D．无数条
6.知直线a，如果直线b同时满足：（1）与a异面；（2）与a所成的角是；（3）与a的距离为2021，这样的直线b有（ ）条．
A．2 B．3 C．4 D．无数条
7．在正方体的一个面所在的平面内任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数不可能是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
8.已知正方体记过点A且与三直线 、所成的角都相等的直线的条数为,过点 与三个平面 所成角都相等的直线的条数为则（ ）
A． B． C． D．
三、直线和平面的位置关系判断
【典型例题】
【例1】直线与平面不平行，则（ ）
A．与相交
B．
C．与相交或
D．以上结论都不对平行于同一个平面
【例2】已知点A∈直线l，又A∈平面，则（ ）
A． B． C． D．或
【例3】若直线不平行于平面，且，则（ ）
A．内的所有直线与异面 B．内的所有直线与都相交
C．内存在唯一的直线与平行 D．内不存在与平行的直线
【例4】已知直线a，b与平面，若a平行，b在内，则下列结论正确的是（ ）
A． B．a与b是异面直线 C． D．以上情况都有可能
【例5】若直线a，b是异面直线，，则b与平面的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C． D．平行或相交
【例6】若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是（ ）
A．内的所有直线均与直线a异面 B．内不存在与直线a平行的直线
C．直线a与平面有公共点 D．内的直线均与a平行
【对点实战】
1.若直线与平面有两个公共点，则与的位置关系是（ ）
A． B． C．与相交 D．
2.空间中，直线a与平面的位置关系不可能是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．直线在平面内
3.如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线（ ）
A．只和这个平面内的一条直线平行 B．只和这个平面内的两相交直线不相交
C．和这个平面内的任何一条直线都平行 D．和这个平面内的任何一条直线都不相交
4.若直线与平面平行，直线，则与位置关系：（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．没有公共点
5.平行于同一平面的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交或异面
6.若a,b是异面直线，且a∥平面α，则b和α的位置关系是
A．平行 B．相交
C．b在α内 D．平行、相交或b在α内
四、直线和平面位置关系应用
【典型例题】
【例1】若直线与平面相交于点，则下列说法不正确的是（ ）
A．平面内存在与垂直的直线
B．平面内存在与平行的直线
C．平面内存在与相交的直线
D．平面内存在与异面的直线
【例2】下列说法正确是（ ）
A．若直线上有无数个点不在平面内，则
B．若直线与平面垂直，则与平面内的任意一条直线无公共点
C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行
D．若直线与平面垂直，则与平面内的任意一条直线都垂直
【例3】已知直线m 平面α，P m，Q∈m，则（ ）
A．P α，Q∈α B．P∈α，Q α C．P α，Q α D．Q∈α
【例4】下列说法正确的是（ ）
A．若直线平行于平面内的无数条直线,则
B．若直线在平面外,则
C．若直线,则
D．若直线，则直线平行于内的无数条直线
【例5】若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是（ ）
A．直线a上的点到平面α的距离相等
B．直线a平行于平面α内的所有直线
C．平面α内有无数条直线与直线a平行
D．平面α内存在无数条直线与直线a成90°角
【例6】已知是平面的一条斜线，直线，则（ ）
A．存在唯一的一条直线，使得 B．存在无限多条直线，使得
C．存在唯一的一条直线，使得 D．存在无限多条直线，使得
【例7】．已知a b为异面直线，则下列命题正确的是（ ）
A．过直线a b外一点P一定可以作一条与a b都平行的直线
B．过直线a b外一点P一定可以作一个与a b都平行的平面
C．过直线a一定可以作一个与直线b平行的平面
D．过直线a一定可以作一个与直线b垂直的平面
【对点实战】
1.已知平面平面，直线，直线，那么a与b的位置关系是（ ）
A．平行或相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行、异面或相交
2.若直线不平行于平面，且不在平面内，则下列结论成立的是（ ）
A．与内的所有直线异面
B．内不存在与平行的直线
C．内存在唯一的直线与平行
D．内的直线与都相交
3.已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线（ ）
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内
D．有无数条，不一定在平面α内
4.如图， 在正方体中， 点分别为的中点， 设过点的平面为， 则下列说法正确的是（ ）
A．在正方体中， 存在某条棱与平面平行
B．在正方体 中， 存在某条面对角线与平面平行
C．在正方体 中， 存在某条体对角线与平面平行
D．平面截正方体所得的截面为五边形
5，已知直线和平面，，则“”是“直线上存在不同两点到平面的距离相等”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6.下列说法正确的是（ ）
A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线，直线，则a∥α
D．若直线a∥b，，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
五、平面和平面位置关系判定
【典型例题】
【例1】平面与平面平行，且直线，下列命题中正确的是（ ）
A．与内的所有直线垂直 B．与内的所有直线异面
C．与内的所有直线平行 D．与内的无数条直线平行
【例2】在四棱台中，平面与平面的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行
C．不确定 D．异面
【例3】分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系不可能是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
【例4】已知三个平面，，，其中，，，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．b，c是异面直线 B．
C． D．
【例5】若平面平面，平面平面，则（ ）
A．
B．
C．与相交但不垂直
D．以上都有可能
【例6】已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么
A．α∥β B．α与β相交 C．α与β重合 D．α∥β或α与β相交
【例7】平面与平面平行的条件可以是（ ）
A．内有无穷多条直线与平行 B．直线，
C．直线，直线，且， D．内的任何直线都与平行
【对点实战】
1.若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面
2.已知是两个不同的平面，直线，则“中任意一条直线均不与l相交”是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3.已知是平面外的一条直线，则下列命题中真命题的个数是（ ）
①在内存在无数多条直线与直线平行； ②在内存在无数多条直线与直线垂直；
③在内存在无数多条直线与直线异面； ④一定存在过直线且与垂直的平面.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.下列命题正确的是（ ）
A．如果两个平面有无数个公共点，那么它们相交或重合
B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行
C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行
D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面内的两条直线平行
5.已知点是平面外一点，则下列判断错误的是（ ）
A．过只能作一条直线与平面垂直 B．过只能作一条直线与平面平行
C．过只能作一个平面与平面平行 D．过可作无数个平面与平面垂直
6.下列说法中，错误的是（ ）
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
六、平面和平面位置关系应用
【典型例题】
【例1】设是给定的平面，，是不在内的任意两点，则（ ）
A．一定存在过直线的平面与平面垂直
B．在内一定存在直线与直线平行
C．在内一定存在直线与直线相交
D．在内一定存在直线与直线垂直
【例2】若直线m与不重合的平面α、β所成的角相等为θ，则α与β________．
【例3】在空间中，给出下面四个命题，其中真命题的个数为___________.
①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直；
②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则；
③若直线与平面内的无数条直线垂直，则；
④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线.
【例4】若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线
B．若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线
C．已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥β
D．若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行
【例5】已知经过圆柱旋转轴的给定平面，，是圆柱侧面上且不在平面上的两点，则下列判断不正确的是（ ）
A．一定存在直线，且与异面
B．一定存在直线，且
C．一定存在平面，且
D．一定存在平面，且
【例6】已知，，是三个不同的平面，，.则下列命题成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【例7】已知是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【例8】
【对点实战】
1.以下四个命题正确的为（ ）
A．在空间中，与不共面的四点，，，距离相等的平面有4个
B．正方体12条棱中有48对异面直线
C．平行同一个平面的两条直线平行
D．如果两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们的交线垂直第三个平面．
2.已知直线，及平面，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，且，则
B．若，，且，则
C．若，，且，则
D．若，，且，则
3.设α，β，γ是三个不重合的平面，是直线，下列命题中正确的命题有（ ）
A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；
B．若α上有不共线的三点到β的距离相等，则βα；
C．若⊥α，β，则α⊥β；
D．若⊥α，，则βα.
4.下列命题正确的是___________．（填写所有正确命题的序号）
①过已知平面外的一条直线，一定能作出与已知平面平行的平面；
②过已知平面外的一条直线，一定能作出与已知平面垂直的平面；
③过已知平面外的一点，有且只有一个平面与已知平面平行；
④过已知平面外的一点，有且只有一个平面与已知平面垂直．
5.．（1）已知平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，试判断这条直线与该平面的位置关系；
（2）已知一个平面内有三点到另一平面距离相等，试判断这两个平面的位置关系．
8.4.2空间中点线面位置关系
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判断异面直线位置关系
异面直线的图像应用
判断直线与平面位置关系
直线与平面的位置关系应用
判断平面与平面位置关系
平面与平面的位置关系应用
综述：
一、空间两条直线的三种位置关系
1.
2.异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法(唯一一对平面法)
也可以通过如图①②③所示来表示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交．
求异面直线所成的角度：平移法，解三角形。
二、直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
三、平面与平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
一、判断异面直线：定义
【典型例题】
【例1】己知空间中两条不重合的直线，则“与没有公共点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由直线与没有公共点表示两条直线或者与是异面直线，再根据充分必要性判断.
【详解】“直线与没有公共点”表示两条直线或者与是异面直线，所以“与没有公共点”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【例2】下列图形中，能确定直线a，b是异面直线的是( )
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】此题考查异面直线的判定，通过图形判断是否平行或有交点，若既不平行，又没有交点，则称为异面.
【详解】A中a、b两直线在平面内无交点，但可能在被平面遮住的部分有交点，故A错；
B中a、b两直线在平面内无交点，但在平面上方有一个交点，故B错；
C中a、b两直线在平面内无交点，在平面外也无交点且不平行，故C对；
D中a、b两直线在平面内有交点，故D不对.
故选：C.
【例3】若a，b为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是( )
A．l至少与a，b中一条相交
B．l至多与a，b中一条相交
C．l至少与a，b中一条平行
D．l必与a，b中一条相交，与另一条平行
【答案】A
【分析】此种类型的题可以通过举反例判断正误.
【详解】因为a，b为两条异面直线且，，，所以a与l共面，b与l共面.
若l与a、b都不相交，则a∥l，b∥l，a∥b，与a、b异面矛盾，故A对；
当a、b为如图所示的位置时，可知l与a、b都相交，故B、C、D错.
故选：A.
【例4】若，，则直线，的位置关系是（ ）
A．平行或异面 B．平行或相交 C．相交或异面 D．平行、相交或异面
【答案】D
【分析】利用条件，联系立方体即可得出结论.
【详解】解：如图所示，设平面为平面
若，，故，，，相交；
若，，故，，，异面；
若，，故，，，平行.
故选：D
【例5】若、为异面直线，直线与平行，则与的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交
【答案】D
根据异面直线所成角判断.
【详解】因为、为异面直线，所以、所成的角为锐角或直角，
因为直线与平行，所以与所成的角为锐角或直角，所以与的位置关系是异面或相交，
故选：D
【例6】若直线，直线，则直线a与b的位置关系是
A．相交 B．异面 C．异面或平行 D．平行
【答案】C
【分析】由题意，直线a∥α，可得直线与面没有公共点，故直线与面的线 没有公共点，由此关系即可得出直线a与b的位置关系．
【详解】由题意直线a∥α，直线b α，可得直线a，b一定没有公共点，故两直线的位置关系可以是异面或平行
故选C.
【点睛】
【对点实战】
1.异面直线是指（ ）
A．空间中两条不相交的直线 B．平面内的一条直线与平面外的一条直线
C．分别位于两个不同平面内的两条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线
【答案】D
【分析】根据异面直线的定义判断．
【详解】异面直线是既不平行也不相交的两条直线，即为不同在任何一个平面的两条直线，
故选：D．
2.若异面直线分别在平面内，且，则直线l（ ）
A．与直线都相交
B．至少与中的一条相交
C．至多与中的一条相交
D．与中的一条相交，另一条平行
【答案】B
利用空间中线线、线面、面面的位置关系，分析判断即可得答案.
【详解】因为，所以，
则与a平行或相交，与b平行或相交，
又为异面直线，所以不能与同时平行，即与可都相交，也可能与一条相交，
所以A、C、D错误，
故选：B
3.已知三条直线，，满足：与平行，与异面，则与（ ）
A．一定异面 B．一定相交 C．不可能平行 D．不可能相交
【答案】C
利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线的定义即可得出ABD错误，再利用反证法结合平行公理即可得到与不可能平行.
【详解】如图所示：
与可能异面，也可能相交，不可能平行．用反证法证明一定不平行，假设，又，则，这与已知与异面矛盾，所以假设不成立，故与不可能平行.
故选：C.
4.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ）
A．一定平行 B．一定异面 C．相交或异面 D．一定相交
【答案】C
根据空间两条直线的位置关系分别判断即可
【详解】解：在空间中分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是异面或相交，
故选：C
5.若直线平面，直线，则（ ）
A． B．与异面 C．与相交 D．与没有公共点
【答案】D
【分析】若直线平面，直线，则或与异面，然后可分析出答案.
【详解】若直线平面，直线，则或与异面，故与没有公共点
故选：D
二、异面直线的图像应用
【典型例题】
【例1】如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．GH和MN是平行直线；GH和EF是相交直线
B．GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线
C．GH和MN是相交直线；GH和EF是异面直线
D．GH和EF是异面直线；MN和EF也是异面直线
【答案】B
【分析】结合平行直线、异面直线、相交直线的知识判断出正确选项.
【详解】∵GH//A1B，而A1B//D1C，∴GH//D1C.又MN//D1C，∴GH//MN.
由异面直线的定义可知，GH与EF异面.延长EF，MN，二者可以相交，故EF与MN为相交直线.
故选：B.
【例2】三棱锥的6条棱中，异面直线有（　　）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【答案】B
【分析】结合异面直线的知识确定正确选项.
【详解】考虑三棱锥ABCD，可得直线AB与直线CD、直线AC与直线BD、
直线AD与直线BC均为异面直线，共三对．故选：B
【例3】空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角的大小关系为（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余
【答案】C
【分析】根据等角定理即可求解.
【详解】由等角定理可知：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
故选：C.
【例4】如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用正方体的性质、异面直线的定义即可判断出结论．
【详解】解：A 中，，B中，，C中，与为异面直线，D中，与相交．
故选：C．
【例5】空间中垂直于同一条直线的两条直线（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能
【答案】D
【分析】在正方体里对题干条件一一分析即可得到.
【详解】如图所示， ，，相交；
，，平行；
，，互为异面直线；
故选：D.
【例6】一条直线与两条平行线中的一条异面且垂直，则它与另一条的位置关系不可能的是（ ）
A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直
【答案】B
【分析】根据空间中直线的位置关系，分析判断，即可得答案.
【详解】若该直线与两平行线中另一条也平行，则三条直线都平行，不满足该直线与其中一条平行线垂直，
所以该直线与另一条线不可能平行，
故选：B
【例7】若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ ）
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
【答案】D
【分析】根据空间中直线的位置关系，结合已知条件，即可容易判断.
【详解】a和b是异面直线，b和c是异面直线，根据异面直线的定义可得：
可以是异面直线，如下所示：
也可以相交也可以平行
故选：.
【例8】若直线a，b是异面直线，点O是空间中不在直线a，b上的任意一点，则（ ）
A．不存在过点O且与直线a，b都相交的直线
B．过点O一定可以作一条直线与直线a，b都相交
C．过点O可以作无数多条直线与直线a，b都相交
D．过点O至多可以作一条直线与直线a，b都相交
【答案】D
【分析】设直线与点确定平面，由题意可得直线与平面相交或平行.分两种情形，画图说明即可.
【详解】点是空间中不在直线，上的任意一点，设直线与点确定平面，由题意可得，故直线与平面相交或平行.
(1)若直线与平面相交（如图1），记，
①若，则不存在过点且与直线，都相交的直线；
②若与不平行，则直线即为过点且与直线，都相交的直线.
（2）若直线与平面平行（如图2），则不存在过点且与直线，都相交的直线.
综上所述，过点至多有一条直线与直线，都相交.
故选：D.
【对点实战】
1.空间中的两条直线若不平行，就一定相交 （ ）
A．对 B．错
【答案】B
【分析】根据两条直线的位置关系确定正确选项.
【详解】两条直线若不平行，则可能相交或异面.
故选：B
2.如图，长方体的棱所在直线与直线为异面直线的条数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】画出图形，根据异面直线的定义即可数出.
【详解】如图，在正方体中与棱所在直线是异面直线的有 ，共6条．
故选：C.
3.正方体的一条对角线与正方体的棱可组成n对异面直线，则n等于
A．2 B．3 C．6 D．12
【答案】C
【详解】本题考查异面直线的判定．
点拨:12条棱中，去掉共面的，剩下就是异面直线．
解答：因为从正方体的一条对角线的一个顶点出发有三条棱，它们都与对角线共面，
故与对角线异面的直线条数为：12-3-3=6.
4.已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则a与b是异面直线 B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面内，则a与b异面 D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
【答案】D
【分析】直接利用直线和平面的位置关系和异面直线的定义判断A、B、C、D的结论．
【详解】已知，为不同的平面，，，为不同的直线，
对于A：若，，则与是异面直线或平行直线或相交直线，故A错误；
对于B：若与是异面直线，与是异面直线，则与也可能是异面直线或平行直线，故B错误；
对于C：若，不同在平面内，则与是异面直线或平行直线或相交直线，故C错误；
对于D：根据异面直线的定义，若，不同在任何一个平面内，则与是异面直线，故D正确．
故选：D
5.已知直线a，如果直线b同时满足：（1）与a异面；（2）与a所成的角是；（3）与a的距离为2021，这样的直线b有（ ）条．
A．2 B．3 C．4 D．无数条
【答案】D
【分析】根据题意画出图形分析可得出答案.
【详解】根据题意可作图如下，其中，
则平面内任意一条与平行的直线都满足要求，故这样的直线有无数条.
故选：D.
6.知直线a，如果直线b同时满足：（1）与a异面；（2）与a所成的角是；（3）与a的距离为2021，这样的直线b有（ ）条．
A．2 B．3 C．4 D．无数条
【答案】D
【分析】根据题意画出图形分析可得出答案.
【详解】根据题意可作图如下，其中，
则平面内任意一条与平行的直线都满足要求，故这样的直线有无数条.
故选：D.
33．在正方体的一个面所在的平面内任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数不可能是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【分析】根据异面直线的定义及直线的位置关系，逐一分析，即可得答案.
【详解】当直线在AB位置时，与其异面直线有，共4条，
当直线在位置时，除外，其他8条直线均与其异面，
当直线在GH位置时，，与其异面直线有共6条，
当直线在AH位置时，与其异面直线有，共7条，
所以不可能是5条，故选：D
7.已知正方体记过点A且与三直线 、所成的角都相等的直线的条数为,过点 与三个平面 所成角都相等的直线的条数为则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正方体的结构特征、空间中线线角、线面角定义,即可得到答案.
【详解】作图如下:
过点A与三条直线所成角都相等的直线有：,
过A作的平行线,过A作的平行线，过A作的平行线,共4条,故；
过点A与三个平面所成角都相等的直线分两类：
第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线;
第二类：在图形外部和每面所成角和另两个面所成角相等,有3条；
故.故选D
三、直线和平面的位置关系判断
【典型例题】
【例1】直线与平面不平行，则（ ）
A．与相交
B．
C．与相交或
D．以上结论都不对平行于同一个平面
【答案】C
【分析】利用空间中直线与平面的位置关系，即可判断.
【详解】解：因为空间中直线和平面的位置关系有三种，即直线和平面平行、直线和平面相交及直线在平面内，
因直线与平面不平行，所以直线与平面的位置关系是：直线与平面相交或．
故选：C．
【例2】已知点A∈直线l，又A∈平面，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】根据直线与平面的位置关系判断．
【详解】点A∈直线l，又A∈平面，则与平面至少有一个公共点，所以或．
故选：D．
【例3】若直线不平行于平面，且，则（ ）
A．内的所有直线与异面 B．内的所有直线与都相交
C．内存在唯一的直线与平行 D．内不存在与平行的直线
【答案】D
【分析】首先根据题意得到直线与平面相交，从而得到直线与平面内直线的位置关系为：相交和异面，再依次判断选项即可.
【详解】因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，
所以直线与平面内直线的位置关系为：相交和异面，
所以D正确.故选：D
【例4】已知直线a，b与平面，若a平行，b在内，则下列结论正确的是（ ）
A． B．a与b是异面直线 C． D．以上情况都有可能
【答案】D
【分析】根据线面平行的性质判断可得；
【详解】解：因为，，则，或与是异面直线或，
故选：D
【例5】若直线a，b是异面直线，，则b与平面的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C． D．平行或相交
【答案】D
利用线面的位置关系判断.
【详解】因为直线a，b是异面直线，且，
所以直线b不可能在平面内，
所以b与平面的位置关系是平行或相交，
故选：D．
【例6】若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是（ ）
A．内的所有直线均与直线a异面 B．内不存在与直线a平行的直线
C．直线a与平面有公共点 D．内的直线均与a平行
【答案】C
【分析】就直线、与相交分类讨论即可得正确选项.
【详解】因为直线a不平行于平面，故或与相交，
若，则内的直线均与a共面，A错，内有无数条直线与平行，也有无数条直线与相交，故B、D错误，
而直线a与平面有无数个公共点，故C正确.
若与相交，此时直线a与平面有一个公共点，故C正确.
故选：C.
【对点实战】
1.若直线与平面有两个公共点，则与的位置关系是（ ）
A． B． C．与相交 D．
【答案】A
【分析】根据直线与平面之间的位置关系即可得出选项.
【详解】若直线与平面有两个公共点，
则直线在平面内，即.
故选：A
2.空间中，直线a与平面的位置关系不可能是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．直线在平面内
【答案】C
【分析】根据线面、线线位置关系确定正确选项.
【详解】由于异面是两条直线的位置关系，不是直线与平面的位置关系，所以直线a与平面的位置关系不可能是异面.
故选：C.
3.如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线（ ）
A．只和这个平面内的一条直线平行 B．只和这个平面内的两相交直线不相交
C．和这个平面内的任何一条直线都平行 D．和这个平面内的任何一条直线都不相交
【答案】D
由线面平行的性质逐项判断即可得解.
【详解】若一条直线和一个平面平行，则该直线与平面内的无数条直线平行，故A错误；
该直线与平面内的所有直线平行或者异面，故B、C错误，D正确.
故选：D.
4.若直线与平面平行，直线，则与位置关系：（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．没有公共点
【答案】D
根据直线与平面平行的性质可判断.
【详解】若直线与平面平行，直线，则直线与可能平行或异面，不可能相交，即没有公共点.
故选：D.
5.平行于同一平面的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交或异面
【答案】D
【分析】根据线面平行的位置关系及线线位置关系的分类及定义，可由已知两直线平行于同一平面，得到两直线的位置关系．
【详解】解：若，且，则与可能平行，也可能相交，也有可能异面
故平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行或相交或异面，
故选：D．
6.若a,b是异面直线，且a∥平面α，则b和α的位置关系是
A．平行 B．相交
C．b在α内 D．平行、相交或b在α内
【答案】D
【详解】试题分析：因为a,b是异面直线，且a∥平面α，当直线a∥平面α，直线b在平面α内，∴a∥b，或a与b异面，那么结合线面的位置关系和异面直线的概念可知，则b和α的位置关系是平行、相交或b在α内．故选D.
考点：本题主要是考查线面的位置关系的运用．
点评：解决该试题的关键是理解线面平行的判定定理和性质定理，然后根据异面直线的概念可知直线b与平面α的位置关系．
四、直线和平面位置关系应用
【典型例题】
【例1】若直线与平面相交于点，则下列说法不正确的是（ ）
A．平面内存在与垂直的直线
B．平面内存在与平行的直线
C．平面内存在与相交的直线
D．平面内存在与异面的直线
【答案】B
【分析】由直线与平面的位置关系和直线与直线的位置关系逐个分析判断即可
【详解】对于A，若直线在平面内的射影为直线，则在平面内与直线的直线与直线垂直，所以A正确，
对于B，若平面内存在与平行的直线，则由线面平行的判定定理可得直线与平面平行，与已知矛盾，所以B错误，
对于C，在平面内过点的直线都与直线相交，所以C正确，
对于D，在平面内不过点的直线都与直线异面，所以D正确，
故选：B
【例2】下列说法正确是（ ）
A．若直线上有无数个点不在平面内，则
B．若直线与平面垂直，则与平面内的任意一条直线无公共点
C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行
D．若直线与平面垂直，则与平面内的任意一条直线都垂直
【答案】D
【分析】利用平面的基本性质，根据各选项中的线面关系，判断正误即可.
【详解】A：若直线上有无数个点不在平面内，则或直线与平面相交于一点，错误；
B：若直线与平面垂直，则与平面内过垂足的直线都有公共点，错误；
C：若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条与这个平面平行或在该平面内，错误；
D：若直线与平面垂直，由线面垂直的性质知：与平面内的任意一条直线都垂直，正确；
故选：D.
【例3】已知直线m 平面α，P m，Q∈m，则（ ）
A．P α，Q∈α B．P∈α，Q α C．P α，Q α D．Q∈α
【答案】D
【分析】根据点、线、面之间的位置关系直接进行判断.
【详解】根据题意知Q∈α，点P可能在平面内也可能在平面外.
故选：D
【例4】下列说法正确的是（ ）
A．若直线平行于平面内的无数条直线,则
B．若直线在平面外,则
C．若直线,则
D．若直线，则直线平行于内的无数条直线
【答案】D
【分析】根据直线与平面的位置关系,直线与平面平行的判定定理逐个判断可得答案.
【详解】对于,若直线平行于平面内的无数条直线,则或,故不正确;
对于,若直线在平面外,则或与相交,故不正确;
对于,若直线,则或,故不正确;
对于,若直线，则直线平行于内的无数条直线,是正确的.
故选:D
【例5】若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是（ ）
A．直线a上的点到平面α的距离相等
B．直线a平行于平面α内的所有直线
C．平面α内有无数条直线与直线a平行
D．平面α内存在无数条直线与直线a成90°角
【答案】B
【分析】根据直线与平面平行的性质可依次判断各个选项得到结果.
【详解】若，则直线上任意一点到平面的距离均相等，正确；
若，则平面内存在无数条平行直线与直线平行，但与其平行直线相交的直线与直线异面，故错误，正确；
若，则在平面内垂直于直线的平行直线的直线与直线成角，这样的直线有无数条，正确.
故选：
【例6】已知是平面的一条斜线，直线，则（ ）
A．存在唯一的一条直线，使得 B．存在无限多条直线，使得
C．存在唯一的一条直线，使得 D．存在无限多条直线，使得
【答案】B
【分析】根据题意，作出图形，结合直线与直线，直线与平面位置关系，即可得出结果.
【详解】因为是平面的一条斜线，直线，画出图形如下：
显然在平面内必存在直线与直线垂直，
且平面内有无数条直线与直线平行，
故存在无限多条直线，使得.
故选：B
【例7】．已知a b为异面直线，则下列命题正确的是（ ）
A．过直线a b外一点P一定可以作一条与a b都平行的直线
B．过直线a b外一点P一定可以作一个与a b都平行的平面
C．过直线a一定可以作一个与直线b平行的平面
D．过直线a一定可以作一个与直线b垂直的平面
【答案】C
【分析】A、用反证法说明a，b为异面直线时，过a，b外一点P引条直线l与a、b不能都平行；
B、当a，b为异面直线时，过两直线外一点P作平面，该平面可能与a，b都平行，这样的平面也可能不存在；
C、当a，b为异面直线时，过a作与b平行的平面有且只有一个；
D、当a，b为异面直线时，过a作一个平面可能与b垂直也可能与b不垂直.
【详解】对于A：当a，b为异面直线，假设过a，b外一点P引一条直线l与a，b都平行，即l∥a， l∥b，则a∥b，这与a、b是异面直线相矛盾，∴假设不成立.故A错误；
对于B：a，b为异面直线，∴a，b不平行.∴过P作a的平行线有且只有一条，设为c，过P作b的平行线有且只有一条设为d，则a、b的平行线只能组成一个平面，设为平面A.
①如果c恰好和b相交或者d与a相交，即当a或者b正好在A平面内时，过P且与a、b都平行的平面不存在；②如果c不与b相交或者d不与a相交，过P且与a、b都平行的平面有且只有一个.故B错误；
对于C：∵a、b为异面直线，∴a、b不平行，在a上任取一点P，过点P作直线c∥b，c是唯一的.又a∩c=P，∴由a、c确定的平面α也是唯一的，∴b∥α，∴.C正确.
对于D：∵a、b为异面直线，但a与b不一定垂直，过a作一个平面可能与b垂直，也可能与b平行，故D错误.
故选：C.
【对点实战】
1.已知平面平面，直线，直线，那么a与b的位置关系是（ ）
A．平行或相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行、异面或相交
【答案】D
【分析】根据空间直线的位置关系判断．
【详解】平面平面，直线，直线，间可能相交，可能平行，也可能异面．如正方体中，上下底面都与平面平行，上下底面两个正方形的边所在直线都与平面平行，这些直线间，，，与异面．
故选：D．
2.若直线不平行于平面，且不在平面内，则下列结论成立的是（ ）
A．与内的所有直线异面
B．内不存在与平行的直线
C．内存在唯一的直线与平行
D．内的直线与都相交
【答案】B
【分析】作出示意图，可判断AD选项的正误，利用反证法可判断BC选项的正误.
【详解】因为直线与平面不平行，也不在内，所以直线与平面相交，设，
假设内存在直线，使得，由于，，则，与题设条件矛盾，
故内不存在与平行的直线，B对，C错；
如下图所示：
直线与平面内所有过点的直线都相交，直线与平面内所有不过点的直线都异面，
AD选项均错.
故选：B.
3.已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线（ ）
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内
D．有无数条，不一定在平面α内
【答案】B
【分析】通过假设过点且平行于的直线有两条与，由平行公理可得，这与矛盾.
【详解】假设过点P且平行于的直线有两条与，∴且，
由平行公理得，这与两条直线与相交与点相矛盾.
故选：B.
4.如图， 在正方体中， 点分别为的中点， 设过点的平面为， 则下列说法正确的是（ ）
A．在正方体中， 存在某条棱与平面平行
B．在正方体 中， 存在某条面对角线与平面平行
C．在正方体 中， 存在某条体对角线与平面平行
D．平面截正方体所得的截面为五边形
【答案】D
【分析】根据题意可得 交平面于点， 交平面于点， 交平面于点，
故不存在某条棱与平面平行，即可以判断选项A错误；
由六个面的12条面对角线与平面都相交，即可判断选项B错误；
体对角线全部与面相交，即可判断选项C错误；
补全图形可得平面截正方体所得的截面为五边形，即可以判断选项D正确.
【详解】对于选项A，交平面于点，平面，
都不与平面平行，交平面于点，平面，
都不与平面平行， 交平面于点，平面，
都不与平面平行，故A错误；
观察几何体可知六个面的12条面对角线与平面都相交，故B错误；
四条体对角线全部与面都相交，故C错误.
如下图，取中点为，易得，取中点为，连接，易得，
再取中点为，连接，则，，
是平面与正方体底面的交线，延长，与的延长线交于，连接，交于，
则可得五边形即为平面交正方体的截面，
故D正确；
故选：D.
5，已知直线和平面，，则“”是“直线上存在不同两点到平面的距离相等”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】当直线和平面相交或者时，直线上都存在不同两点到平面的距离相等，根据这一条即可判断出选项.
【详解】若，则直线上存在不同两点到平面的距离相等；但若“直线上存在不同两点到平面的距离相等”时，直线和平面不一定平行，也可能相交，即当直线和平面相交或者时，直线上都存在不同两点到平面的距离相等，故“”是“直线上存在不同两点到平面的距离相等”的充分不必要条件.
故选：A.
6.下列说法正确的是（ ）
A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线，直线，则a∥α
D．若直线a∥b，，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
【答案】D
根据直线与平面平行的判定及相关性质，一一验证各选项即可得出答案.
【详解】解：A项，若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l可能平行于平面α，也可能位于平面α内，故A项错误；
B项，直线a在平面α外，则直线a与平面α可能平行，也可能相交，故B错误；
C项，直线，所以a可能与平面α相交或与平面α平行,故C项错误；
D项，直线a∥b,,当a∥α时,直线a与平面α内所有与直线b平行的直线平行；当时,除了直线a本身,直线a与平面α内所有与直线b平行的直线平行,因此直线a平行于平面α内的无数条直线,故D项正确.
故选：D.
五、平面和平面位置关系判定
【典型例题】
【例1】平面与平面平行，且直线，下列命题中正确的是（ ）
A．与内的所有直线垂直 B．与内的所有直线异面
C．与内的所有直线平行 D．与内的无数条直线平行
【答案】D
由面面平行的定义和性质，结合空间两直线的位置关系，即可判断．
【详解】由于平面与平面平行，且直线，
则，没有公共点，，内的直线也没有公共点，
它们可以平行或异面，
则，，错误，正确．
故选：．
【例2】在四棱台中，平面与平面的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行
C．不确定 D．异面
【答案】A
【分析】根据棱台的定义即可得出结果.
【详解】解：如图所示，由棱台的定义可知，平面与平面一定相交.
故选：A.
【例3】分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系不可能是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
【答案】B
【分析】根据两个平面平行的定义可知两个平行平面没有公共点，由此可知两条直线没有公共点，不可能相交，故正确，
【详解】因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，
所以分别在两个平行平面内的两条直线没有公共点，不可能相交，故正确，
又分别在两个平行平面内的两条直线可能平行、异面和垂直.
故选：B.
【例4】已知三个平面，，，其中，，，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．b，c是异面直线 B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据空间位置关系直接判断.
【详解】，，同理，，又，，且，
故，，故选：B.
【例5】若平面平面，平面平面，则（ ）
A．
B．
C．与相交但不垂直
D．以上都有可能
【答案】D
【分析】以正方体为模型可得D正确.
【详解】在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.
【例6】已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么
A．α∥β B．α与β相交 C．α与β重合 D．α∥β或α与β相交
【答案】D
【详解】试题分析：由题意当两个平面平行时符合平面α内有无数条直线都与平面β平行，
当两平面相交时，在α平面内作与交线平行的直线，也有平面α内有无数条直线都与平面β平行．
故为D．
【例7】平面与平面平行的条件可以是（ ）
A．内有无穷多条直线与平行 B．直线，
C．直线，直线，且， D．内的任何直线都与平行
【答案】D
【分析】由题意利用平面与平面平行的判定和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】解：当内有无穷多条直线与平行时，与可能平行，也可能相交，故A错误．
当直线，时，与可能平行也可能相交，故B错误．
当直线，直线，且，，如果，都平行，的交线时满足条件，但是与相交，故C错误．
当内的任何直线都与 平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故D正确；
故选：D．
【对点实战】
1.若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面
【答案】D
【分析】根据两直线分别在两平行平面内，可得两直线无交点，进而可得出结果.
【详解】因为两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线无交点，
因此两直线平行或异面.
故选D
2.已知是两个不同的平面，直线，则“中任意一条直线均不与l相交”是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分性和必要性的定义判断即可.
【详解】中任意一条直线均不与l相交不能推出；
可以推出中任意一条直线均不与l相交，
故“中任意一条直线均不与l相交”是的必要不充分条件.
故选：B.
3.已知是平面外的一条直线，则下列命题中真命题的个数是（ ）
①在内存在无数多条直线与直线平行； ②在内存在无数多条直线与直线垂直；
③在内存在无数多条直线与直线异面； ④一定存在过直线且与垂直的平面.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据线线、线面、面面的位置关系对4个命题逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】①，当与相交时，内不存在直线与直线平行，①错误.
②，在内存在无数多条直线与直线垂直，正确.
③，在内存在无数多条直线与直线异面，正确.
④，当与相交且线面角时，不存在过直线且与垂直的平面，④错误.
所以真命题有个.
故选：B
4.下列命题正确的是（ ）
A．如果两个平面有无数个公共点，那么它们相交或重合
B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行
C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行
D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面内的两条直线平行
【答案】A
【分析】根据平面的基本性质及推论（公理1，2，3及推论），逐一分析四个命题的真假，可得答案．
【详解】对于A，如果两个平面有无数个公共点，如果公共点共线则它们相交或如果公共点不共线则它们重合，故A正确；
对于B，把一条直线平移与另一直线相交，那么两条相交直线确定一个平面，所以只有一个，而不是无数个，故B错误；
对于C，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条直线与这个平面平行或在平面内，故C错误；
对于D，将同一平面的两条相交直线中的一条平移到另一平面，则这两条直线不平行，故D错误.
故选:A.
5.已知点是平面外一点，则下列判断错误的是（ ）
A．过只能作一条直线与平面垂直 B．过只能作一条直线与平面平行
C．过只能作一个平面与平面平行 D．过可作无数个平面与平面垂直
【答案】B
【分析】将点和面放置在正方体中，视平面为正方体中的平面，结合正方体中的线面关系对选项进行判定，取出反例说明不正确的，正确的证明一下即可．
【详解】解：如图在正方体中，过只能作直线与平面垂直，故A对；过直线由无数个平面，则过可作无数个平面与平面垂直，故D对；
由平面平面，在平面中，由无数条直线过点，故过由无数条直线与平面平行，故B错：
过只能作平面一个平面与平面平行，故C对.
故选：B．
6.下列说法中，错误的是（ ）
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
【答案】A
【分析】根据空间线面间的位置关系判断．
【详解】平行于同一直线两个平面可能平行，也可能相交，A错；
平行于同一平面的两个平面平行，B正确；
由面面平行的性质定理知一个平面与两个平行平面相交，交线平行，一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，CD正确．
故选：A．
六、平面和平面位置关系应用
【典型例题】
【例1】设是给定的平面，，是不在内的任意两点，则（ ）
A．一定存在过直线的平面与平面垂直
B．在内一定存在直线与直线平行
C．在内一定存在直线与直线相交
D．在内一定存在直线与直线垂直
【答案】AD
【分析】根据空间中的线面关系、面面关系逐一判断即可.
【详解】对于A，当直线AB与垂直时，过AB的所有平面都与垂直；
当直线AB与不垂直时（无论相交还是平行），设A，B在平面内的射影为点和，
则直线和平行，且它们都垂直于平面，直线和所在的平面与垂直，正确；
对于B，当与相交时，内不存在直线与平行，否则直线AB与平行，故B错误；
对于C，当与平行时，内所有直线与都没有交点，故C错误；
对于D，选项A中确定的平面与平面的交线记为m，则平面内所有与m垂直的直线都与平面垂直，于是也和直线AB垂直，故D正确．
故选：AD．
【例2】若直线m与不重合的平面α、β所成的角相等为θ，则α与β________．
【答案】平行或相交.
【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系结合图形可得答案.
【详解】如下图正方体中，直线平面，直线平面，平面平面；
如下图是直线与平面所成的角，是直线与平面所成的角，
，平面与平面相交，
所以直线m与不重合的平面α、β所成的角相等为θ，则α与β平行或相交，
故答案为：平行或相交.
【例3】在空间中，给出下面四个命题，其中真命题的个数为___________.
①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直；
②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则；
③若直线与平面内的无数条直线垂直，则；
④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线.
【答案】.
【分析】由平面外两点的连线与平面垂直时，过两点有无数个平面与平面垂直，可判定①不正确；由只有当不共线的三点在平面的同侧时，才能得到，可判定②不正确；根据线面垂直的定义，可判定③不正确；根据两异面直线的射影的情况，可判定④不正确.
【详解】对于①中，当平面外两点的连线与平面垂直时，此时过两点有无数个平面与平面垂直，所以①不正确；
对于②中，只有当不共线的三点在平面的同侧时，才能得到，所以②不正确；
对于③中，只有直线与平面内的任意直线垂直时，才能得到，所以③不正确；
对于④中，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确，
综上可得，正确命题的个数为0个.
故答案为：
【例4】若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线
B．若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线
C．已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥β
D．若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行
【答案】B
【分析】根据线线、线面、面面关系，逐一判断即可.
【详解】解：对于A：m，n可为相交直线，故A不正确；
对于B：若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线，故B正确；
对于C：n可以平行β，也可以在β内，故C不正确；
对于D：m，n也可能异面，故D不正确．
故选：B.
【例5】已知经过圆柱旋转轴的给定平面，，是圆柱侧面上且不在平面上的两点，则下列判断不正确的是（ ）
A．一定存在直线，且与异面
B．一定存在直线，且
C．一定存在平面，且
D．一定存在平面，且
【答案】D
【分析】根据空间位置关系可直接判断.
【详解】由已知得直线与平面可能平行，也可能相交，
所以一定存在直线，且与异面，A选项正确；
一定存在直线，且，B选项正确；
一定存在平面，且，C选项正确；
当直线与平面相交时，不存在存在平面，且，D选项错误；
故选：D.
【例6】已知，，是三个不同的平面，，.则下列命题成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】根据线面以及面面关系，逐项分析判断即可得解.
【详解】对A，平面和可以相交，
对B，根据定理，一个平面和另外两个平行平面相交，则交线平行，故B正确；
对C，平面内的一条直线和令一个平面内的一条直线垂直，
不能证明线面垂直，即不能证明面面垂直，故C错误，
对D，若两个面垂直，第三个平面和该两个面相交，交线并不一定垂直，故D错误.
故选：B
【例7】已知是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】根据线线、线面、面面平行与垂直的位置关系，对各选项逐一分析即可得答案.
【详解】解：对A：若，则或与相交，故选项A错误；
对B：若，则或与相交或与异面，故选项B错误；
对C：若，则，故选项C正确；
对D：若，则或与相交，故选项D错误；
故选：C.
【例8】
【对点实战】
1.以下四个命题正确的为（ ）
A．在空间中，与不共面的四点，，，距离相等的平面有4个
B．正方体12条棱中有48对异面直线
C．平行同一个平面的两条直线平行
D．如果两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们的交线垂直第三个平面．
【答案】D
【分析】直接利用点和面的位置关系，异面直线的定义，线面的位置关系判断即可
【详解】解：对于A，在空间四边形中，到四个顶点距离相等的平面有：过四面体的高的中点与高垂直的平面，这样的平面有4个，还有过对棱公垂线中点且与公垂线垂直的平面，为、这样的平面有3个，所以在空间中，与不共面的四点，，，距离相等的平面有7个，所以A错误；
对于B，正方体12长棱中有对异面直线，所以B错误；
对于C，平行于同一平面的两条直线平行或相交或异面，所以C错误；
对于D，如果两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们的交线都垂直于这两个平面与第三个平面的交线，所以它们的交线垂直第三个平面，所以D正确，
故选：D
2.已知直线，及平面，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，且，则
B．若，，且，则
C．若，，且，则
D．若，，且，则
【答案】D
【分析】利用线面平行、垂直的判定定理，面面平行、垂直的判定定理，即可得出结论．
【详解】若，，且，∴，，∴，故A不正确；
若，，且，则或，故B不正确；
若，，且，则有可能，不一定，所以C不正确；
若，，且可以判断是正确的，故D正确，
故选：D．
3.设α，β，γ是三个不重合的平面，是直线，下列命题中正确的命题有（ ）
A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；
B．若α上有不共线的三点到β的距离相等，则βα；
C．若⊥α，β，则α⊥β；
D．若⊥α，，则βα.
【答案】CD
【分析】由直线与平面，平面与平面的位置关系可判定选项.
【详解】解：若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可相交可平行，可垂直，所以A不正确；
若α上有不共线的三点到β的距离相等，则βα或β与α相交，所以B不正确；
若⊥α，β，则β内存在与平行的直线，且⊥α，由面面垂直的判定定理可知则α⊥β，所以C正确；
若⊥α，，且β，α不重合，所以βα，所以D正确.
故选：CD.
4.下列命题正确的是___________．（填写所有正确命题的序号）
①过已知平面外的一条直线，一定能作出与已知平面平行的平面；
②过已知平面外的一条直线，一定能作出与已知平面垂直的平面；
③过已知平面外的一点，有且只有一个平面与已知平面平行；
④过已知平面外的一点，有且只有一个平面与已知平面垂直．
【答案】②③
利用直线与平面的位置关系，结合面面平行、面面垂直的关系即可得出结果.
【详解】若直线与已知平面相交，则过该直线无法作出与已知平面平行的平面，故①错；
过平面外的一点，可以作出无数个平面与已知平面垂直，故④错；只有②③正确．
故答案为：②③
5.．（1）已知平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，试判断这条直线与该平面的位置关系；
（2）已知一个平面内有三点到另一平面距离相等，试判断这两个平面的位置关系．
【答案】（1）平行或相交；（2）平行或相交.
【分析】（1）分平面外的一条直线上有两点在平面的同侧或异侧时判断；
（2）分平面内的三点在另一平面的同侧或平面内有两个点在另一平面的同侧，另一个点在另一个平面的异侧时判断.
【详解】（1）当平面外的一条直线上有两点在平面的同侧时,直线与平面平行,
当平面外的一条直线上有两点在平面的异侧时,直线与平面相交,
综上：这条直线与该平面的平行或相交；
（2）当平面内的三点在另一平面的同侧时，这两个平面平行；
当平面内有两个点在另一平面的同侧，另一个点在另一个平面的异侧时，这两个平面相交；
综上：这两个平面平行或相交.

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