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不等式相关解题技巧
（基本不等式链、权方和不等式、两类糖水不等式）
技法01 基本不等式链的应用及解题技巧
例1．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
由基本不等式链: , 可得（R），
对于AB
由可变形为，，
解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
对于C
【法一】由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确
【法二】由 ,得 ,
又因为 ,所以 ,即 .
【法三】 ,
又因为 ,所以 .
【答案】：BC．
1．（2023·湖北·模拟预测）（多选）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式及其变形公式和“1”的灵活运用即可求解.
【详解】解：对A选项：，，，
，即（当且仅当时等号成立），故A选项正确；
对B选项：，而成立，
成立，故B选项正确；
对C选项：，
（当且仅当时等号成立），故C选项正确；
对D选项：，（当且仅当时等号成立），
，故D选项错误.
故选：ABC.
2．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）（多选）若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，B，D，利用基本不等式即可求得答案；对于C，利用，求出，结合的范围，利用二次函数的性质即可求得.
【详解】对于A，，即，当且仅当时等号成立，所以A正确；
对于B， ，，
又，则，当且仅当时等号成立，所以B错误；
对于C，，，所以，
则，并且时等号成立.，所以C正确；
对于D，，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立， 所以D正确.
故选：ACD.
3．（2023·江苏模拟）（多选）已知实数x，y满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据基本不等式可判断ABC；将题设配方可得，结合进行求解即可判断D.
【详解】对于A，由
当且仅当时等号成立，即，故A错误；
对于B，由，得，
即，
当且仅当时等号成立，即，故B正确；
对于C，由，得，
当且仅当时等号成立，即，故C正确；
对于D，由，得，
即，即，故D正确.
故选：BCD.
技法02 权方和不等式的应用及解题技巧
例2．（2023·浙江模拟）已知，且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．9 D．
因为，所以
由权方和不等式 可得
当且仅当，即时，等号成立．
【答案】C
1．（2023·四川·校联考一模）已知正数x，y满足，则的最小值是 .
【答案】
【分析】将转化为，然后利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，即，
因为正实数，所以，，
所以，
当且仅当等号成立.
故答案为：.
2．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）设且，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】结合已知条件并由乘“1”法将变形为，再由基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，，
所以，
因为，
所以由基本不等式得，
当且仅当即时，等号成立，
综上所述：的最小值是.
故答案为：.
3．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知正数x，y满足，若恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先对关系式进行恒等变换, 进一步整理得 , 最后利用基本不等式的应用求出结果.
【详解】已知正数 满足 ,
所以 ,所以:
则:
，当且仅当时，取等号；
要使 恒成立, 只需满足 即可,
故 .
故答案为: .
技法03 普通型糖水不等式的应用及解题技巧
例3-1．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【法一】由糖水不等式的倒数形式， , 则有:
【法二】，故B正确；
因为，所以有，故A错误；
，故C正确；
，故D正确．
【答案】BCD
例3-2．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a【法一】
,
又 ，
用排除法, 选 A 。
【法二】 ，
若,
但 ,
综上所述，.
【法三】
由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
【答案】A
1．（2022·江苏阶段练习）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假设全部溶于水），糖水会更甜，于是得出一个不等式：，称之为“糖水不等式”，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，则与大小关系不随m的变化而变化
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】ACD
【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A；作差比较即可判断B；若，则，再根据“糖水不等式”即可判断C；利用不等式的性质即可判断D.
【详解】解：对于A，根据“糖水不等式”，若，则，故A正确；
对于B，，因为，，
所以，故，即，故B错误；
对于C，若，则，
根据“糖水不等式”， ，即，故C正确；
对于D，若，则，
所以，
所以，即，故D正确.
故选：ACD
若等比数列前 项和为 , 比较 与 的大小
【答案】
【解析】
;
故 。
证明: 中,
【解析】在 中, 根据正弦定理可知:
同理可得: ,
技法04 对数型糖水不等式的应用及解题技巧
例4．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【法一】对数型糖水不等式
因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 , 且 .
所以 , 即 , 选 A.
【法二】普通型糖水不等式
由已知条件 , 可得 . 同公式 (2) 的证明过程, 可以得到 , 即 .
所以 , 即 .
, 即 , 所以 , 即 .
综上, , 选 A.
比较 的大小？
【解析】根据对数型糖水不等式得
2. 比较大小: 与 ？
【答案】
【法一】 。
【法二】 。
【法三】对数型糖水不等式直接可得
3．（2022·安徽黄山·统考一模）下列不等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】A选项，用分析法证明，分析出即证，两边平方后得到，即证，A正确；
B选项，两边取对数后，构造，，求导得到其单调性，得证；
C选项，结合正弦二倍角公式，即证，构造，，求导后得到其单调性，从而得到，C错误；
D选项，两边取对数后即证，构造，，求导后得到其单调性，从而证明出，D正确.
【详解】要证，即证，两边平方得：
，即证，即证，显然成立，故，A正确；
要证，两边取对数得：，即证，
构造，，
在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，即，所以，B正确；
因为，
其中，要证，即证，即，
构造，，
在上恒成立，
所以在上单调递增
故，即，C错误；
D选项，两边取对数得：，
构造，，
，
令，
则在上恒成立，故在上单调递增，
故，即，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
故，结论得证，D正确.
故选：C
【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中BCD三个选项比较大小，都需要变形后，构造出适当函数进行比较大小.不等式相关解题技巧
（基本不等式链、权方和不等式、两类糖水不等式）
技法01 基本不等式链的应用及解题技巧
例1．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
由基本不等式链: , 可得（R），
对于AB
由可变形为，，
解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
对于C
【法一】由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确
【法二】由 ,得 ,
又因为 ,所以 ,即 .
【法三】 ,
又因为 ,所以 .
【答案】：BC．
1．（2023·湖北·模拟预测）（多选）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）（多选）若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·江苏模拟）（多选）已知实数x，y满足，则（ ）
A． B． C． D．
技法02 权方和不等式的应用及解题技巧
例2．（2023·浙江模拟）已知，且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．9 D．
因为，所以
由权方和不等式 可得
当且仅当，即时，等号成立．
【答案】C
1．（2023·四川·校联考一模）已知正数x，y满足，则的最小值是 .
2．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）设且，则的最小值是 ．
3．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知正数x，y满足，若恒成立，则实数a的取值范围是 ．
技法03 普通型糖水不等式的应用及解题技巧
例3-1．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【法一】由糖水不等式的倒数形式， , 则有:
【法二】，故B正确；
因为，所以有，故A错误；
，故C正确；
，故D正确．
【答案】BCD
例3-2．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a【法一】
,
又 ，
用排除法, 选 A .
【法二】 ，
若,
但 ,
综上所述，.
【法三】
由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
【答案】A
1．（2022·江苏阶段练习）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假设全部溶于水），糖水会更甜，于是得出一个不等式：，称之为“糖水不等式”，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，则与大小关系不随m的变化而变化
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
2. 若等比数列前 项和为 , 比较 与 的大小.
3. 证明: 中,
技法04 对数型糖水不等式的应用及解题技巧
例4．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【法一】对数型糖水不等式
因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 , 且 .
所以 , 即 , 选 A.
【法二】普通型糖水不等式
由已知条件 , 可得 . 同公式 (2) 的证明过程, 可以得到 , 即 .
所以 , 即 .
, 即 , 所以 , 即 .
综上, , 选 A.
1. 比较 的大小？
2. 比较大小: 与 ？
3．（2022·安徽黄山·统考一模）下列不等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．

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