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第三章 函数的概念与性质 章末总结（精讲）
目录
第一部分：本章知识框架
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求函数的定义域
重点题型二：求函数的值域
重点题型三：分段函数
重点题型四：函数图象的画法及应用
重点题型五：函数性质的应用
重点题型六：应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小
重点题型七：应用函数的单调性与奇偶性解函数不等式
第三部分：数学思想与方法
数形结合的思想
分类讨论的思想
转化与化归的思想
函数与方程的思想
第四部分：数学核心素养
直观想象
数学抽象
逻辑推理
重点题型一：求函数的定义域
典型例题
例题1．（2022·北京东城·高二期末）函数的定义域为___________.
例题2．（2022·江西·南昌市八一中学高二期末（文））已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则的定义域为　　
A． B． C． D．
例题4．（2022·全国·高一课时练习）若函数的定义域为，则实数取值范围是______.
题型归类练
1．（2022·湖南·高一课时练习）求函数的定义域．
2．（2022·陕西·西安铁一中滨河高级中学高三阶段练习（理））若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·福建三明·高二期末）“”是“函数的定义域为R”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是________．
重点题型二：求函数的值域
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的值域
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7）；
（8） （9）； （10）.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若函数定义域为，求的取值范围；
(2)若函数值域为，求的取值范围.
例题3．（2022·新疆·乌市八中高二期末（文））设，，若对于任意，总存在，使得 成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型归类练
1．（多选）（2022·江苏·高一）若函数的定义域为，值域为，则的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·四川成都·高二期末（理））下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，已知在上的值域为，则在R上的值域是（ ）
A．R B． C． D．
5．（2022·全国·高一课时练习）设的值域为，则实数的值组成的集合是___________．
6．（2022·全国·高三专题练习）若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有______个.
重点题型三：分段函数
典型例题
例题1．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知，则=（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
例题2．（2022·江苏·高一）已知函数，若，则实数＝（ ）
A． B． C．2 D．9
例题3．（2022·四川巴中·高一期末）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知实数函数，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例题5．（2022·辽宁·抚顺一中高二阶段练习）已知函数，若存在，使得在上单调，且在上的值域为，则的取值范围为______．
题型归类练
1．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知函数若，则（ ）
A．或1 B． C．1 D．3
2．（2022·新疆·三模（文））已知函数则，则（ ）
A．0或1 B．或1 C．0或 D．或
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
4．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，其中，若在上单调递减，则________；若，则_________.
5．（2022·全国·高一专题练习）求函数在－的最值.
6．（多选）（2022·湖南·长沙市南雅中学高二阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（ ）
A． B． C．0 D．1
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
(1)若，求m的值；
(2)若，求a的取值集合．
重点题型四：函数图象的画法及应用
典型例题
例题1．（2022·四川自贡·高一期中）已知函数
(1)画出函数的图象；
(2)求的值；
(3)写出函数的单调递增区间.
例题2．（2022·江苏·高一单元测试）设函数
(1)画出函数图像（画在答题卡上，标出关键点坐标）；
例题3．（2021·天津市红桥区教师发展中心高一期中）已知函数.
(1)根据绝对值和分段函数知识，将写成分段函数；
(2)在下面的直角坐标系中画出函数的图象，根据图象，写出函数的单调区间、值域．（不要求证明）；
(3)若在区间上，满足，求实数的取值范围.
题型归类练
1．（2021·河北·高一阶段练习）已知函数为定义在上的偶函数，其部分图象如图所示.
(1)请作出函数在上的图象；
(2)根据函数图象写出函数的单调区间及最值.
2．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期中（文））已知函数是上的偶函数，当时，
(1)当时，求解析式；
(2)画出函数的图象，并写出的值域.
3．（2021·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，
(1)求的值；
(2)求函数的解析式；
(3)把函数图象补充完整，并写出函数的单调递增区间．
重点题型五：函数性质的应用
角度1：单调性
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）已知函数，则的单调递增区间为______.
例题2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若则实数的取值范围是____．
例题3．（2022·全国·高一）已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
角度2：最大（小）值
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）在上的最小值为______．
例题2．（2022·全国·高一）已知函数 (，)在时取得最小值，则＝________.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为_______．
例题4．（2022·江苏·高一）设函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为______．
角度3：奇偶性
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）函数的图象关于_________对称．
例题2．（2022·湖南常德·高一期末）已知函数为奇函数，当时，，则___．
例题3．（2022·四川达州·高一期末（理））定义在上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
题型归类练
1．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调减区间为__________.
2．（2022·四川南充·高一期末）定义在上的奇函数在上是减函数，若，则实数的取值范围为___________.
3．（2022·广西桂林·高二开学考试（理））若函数在处取得最小值，则m＝（　　）
A． B． C．4 D．5
4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数在区间上的最小值为__________．
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为_____.
6．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·贵州·凯里一中高一期中）函数，若，则实数m的取值范围是____________．
8．（2022·全国·高一专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是_______.
9．（2022·全国·高一专题练习）已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．
10．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知幂函数为偶函数，
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的最大值为1，求实数的值.
重点题型六：应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小
典型例题
例题1．（2022·云南·高二期末）已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知偶函数的定义域为，当时，单调递增，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
题型归类练
1．（2022·全国·高一专题练习）若偶函数在上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·北京·海淀实验中学高一期中）设函数是定义在R上单调递减的奇函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．符号不确定
3．（2022·山东济南·二模）若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
重点题型七：应用函数的单调性与奇偶性解函数不等式
典型例题
例题1．（2022·河北张家口·高一期末）设奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或
例题2．（2022·河南南阳·高一期末）若定义域为R的函数满足，且，，有，则的解集为（　　）
A． B．
C． D．
题型归类练
1．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）已知，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽马鞍山·三模（理））已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·湖北·赤壁市车埠高级中学高一期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
数形结合的思想
1．已知定义在上的偶函数满足：①对任意的，且，都有成立；②.则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则不等式的整数解的个数是（ ）
A． B． C． D．
3．设函数为上的奇函数，且在上单调递减，若，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知定义在R上的函数是奇函数，且对任意的，且，都有，又，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
分类讨论的思想
1．二次函数在区间上有最大值4，最小值0.
(1)求函数的解析式；
(2)设，且在的最小值为，求的值.
2．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．
(1)补充完整图象并写出函数的增区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若函数，求函数的最小值．
3．已知函数
(1)当时，解关于的不等式
(2)函数在的最大值为0，最小值是-4，求实数和的值．
转化与化归的思想
1．已知函数f(x)对 x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；
(2)证明函数f(x)在R上的单调性；
(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.
2．已知定义在上的单调递增函数是奇函数，当时，.
(1)求的值及的解析式；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
函数与方程的思想
1．已知函数．
(1)解不等式：；
(2)求函数的值域．
2．求下列函数的值域：
（1）；
3．求下列两个函数的值域：
（1）；
直观想象
1．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)现已画出函数在x轴左侧的图象，如图所示，请补全函数的图象并求的值；
(2)求函数的解析式．
2．已知函数是奇函数．
(1)求的值；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
数学抽象
1．（多选）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令，以下结论正确的有（ ）
A． B．函数为奇函数
C． D．函数的值域为
2．（多选）德国数学家狄里克雷在年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围内的每一个，都有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为，当自变量取无理数时，函数值为.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（ ）
A． B．是奇函数
C．的值域是 D．
逻辑推理
1．设，已知，．
（1）若是奇函数，求的值；
（2）当时，证明：；
（3）设对任意的，及任意的，存在实数满足，求的范围．
2．设函数是定义在上的减函数，并且满足，
（1）求和的值
（2）如果，求的取值范围
第三章 函数的概念与性质 章末总结（精讲）
目录
第一部分：本章知识框架
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求函数的定义域
重点题型二：求函数的值域
重点题型三：分段函数
重点题型四：函数图象的画法及应用
重点题型五：函数性质的应用
重点题型六：应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小
重点题型七：应用函数的单调性与奇偶性解函数不等式
第三部分：数学思想与方法
数形结合的思想
分类讨论的思想
转化与化归的思想
函数与方程的思想
第四部分：数学核心素养
直观想象
数学抽象
逻辑推理
重点题型一：求函数的定义域
典型例题
例题1．（2022·北京东城·高二期末）函数的定义域为___________.
【答案】
由可知： ，故，
即函数的定义域为，
故答案为：
例题2．（2022·江西·南昌市八一中学高二期末（文））已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
因为函数的定义域为，故，
所以的定义域为，
故函数中的需满足：，
故，故函数的定义域为.
故选：C
例题3．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则的定义域为　　
A． B． C． D．
【答案】B
由题意，函数满足，即，
所以函数满足且，解得，
即函数的定义域为，故选B．
例题4．（2022·全国·高一课时练习）若函数的定义域为，则实数取值范围是______.
【答案】
函数的定义域为，即恒成立.
当时，易知成立.
当时，需满足：
综上所述：
故答案为
题型归类练
1．（2022·湖南·高一课时练习）求函数的定义域．
【答案】
由题意知，解得或，
所以定义域为.
2．（2022·陕西·西安铁一中滨河高级中学高三阶段练习（理））若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由条件可知：，所以，所以定义域为，
故选：C.
3．（2022·福建三明·高二期末）“”是“函数的定义域为R”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
因为函数的定义域为R，所以对任意恒成立.
i.时，对任意恒成立；
ii. 时，只需，解得：；
所以.
记集合,.
因为A B,所以“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件.
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是________．
【答案】
当时，，即定义域为R；
当，要使的定义域为R，则在上恒成立，
∴，解得，
综上，有，
故答案为：
重点题型二：求函数的值域
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的值域
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7）；
（8） （9）； （10）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）且；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.
解：（1）分式函数，
定义域为，故，所有，
故值域为；
（2）函数中，分母，
则，故值域为；
（3）函数中，令得，
易见函数和都是减函数，
故函数在时是递减的，故时，
故值域为；
（4），
故值域为且；
（5），
而，，
，，
即，故值域为；
（6）函数，定义域为，令，
所以，所以，对称轴方程为，
所以时，函数，故值域为；
（7）由题意得，解得，
则，
故，，，
由y的非负性知，，故函数的值域为；
（8）函数，定义域为，，故，即值域为；
（9）函数，定义域为，
故，所有，故值域为；
（10）函数，
令，则由知，，，
根据对勾函数在递减，在递增,
可知时，，故值域为.
方法点睛：
求函数值域常见方法：
（1）单调性法：判断函数单调性，利用单调性求值域（包括常见一次函数、二次函数、分式函数、对勾函数等）；
（2）换元法：将复杂函数通过换元法转化到常见函数上，结合图象和单调性求解值域；
（3）判别式法：分式函数分子分母的最高次幂为二次时，可整理成关于函数值的二次方程，方程有解，判别式大于等于零，即解得的取值范围，得到值域.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若函数定义域为，求的取值范围；
(2)若函数值域为，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)函数定义域为，
对任意都成立，
当时，显然不恒成立，不合题意；
当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得，
综上，实数的取值范围为
(2)函数值域为，
能取遍所有正数，
1：，解得，
2：， 符合题意
实数的取值范围为
例题3．（2022·新疆·乌市八中高二期末（文））设，，若对于任意，总存在，使得 成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
∵，
当时，，
当时，，
由，即，所以，
∴，故，
又因为，且，．
由递增，可得，
对于任意，总存在，使得成立，
可得，
可得
∴．
故选：C．
题型归类练
1．（多选）（2022·江苏·高一）若函数的定义域为，值域为，则的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】ABC
解：因为，开口向上，对称轴为
所以，当和时，函数值为，当时函数值为，
因为函数的定义域为，值域为，
所以，
所以的值可能的选项是：ABC
故选：ABC
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
令，则且
又因为，
所以，所以，
即函数的值域为，
故选：B.
3．（2022·四川成都·高二期末（理））下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
A.当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，当且仅当，即时，等号成立；故错误；
B. ，故错误；
C. ，故错误；
D. ，当且仅当，即时，等号成立，故正确
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，已知在上的值域为，则在R上的值域是（ ）
A．R B． C． D．
【答案】C
因为定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，
令，可得，
再令，可得，
又在上的值域为，因此在上的值域为
则在R上的值域是.
故选：C
5．（2022·全国·高一课时练习）设的值域为，则实数的值组成的集合是___________．
【答案】
因为函数的值域为[0，＋∞)，
设函数f(x)＝ax2＋2ax＋3，当时，显然不成立；
当，二次函数开口向下，有最大值，值域不为[0，＋∞)，不成立；
当，二次函数开口向上，要保证值域为[0，＋∞)，则最小值要小于等于0
，解得a≥3.
故答案为：[3，＋∞)
6．（2022·全国·高三专题练习）若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有______个.
【答案】9
由题：函数解析式为，值域为，
考虑集合
则自变量必须在三个集合中每个集合里至少取一个元素形成定义域，
在中至少取一个元素共3种取法，在中只有一种取法，
在中至少取一个元素共3种取法，
则由乘法原理得不同的定义域有种情况，
所以“孪生函数”共有9个.
故答案为：9
重点题型三：分段函数
典型例题
例题1．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知，则=（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】B
.
故选：B
例题2．（2022·江苏·高一）已知函数，若，则实数＝（ ）
A． B． C．2 D．9
【答案】C
函数，
，则，
即，解可得：.
故选：C
例题3．（2022·四川巴中·高一期末）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因为且在上单调递增，
所以，解得，即
故选：B
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知实数函数，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题意，实数函数，
当时，则且，
可得，，
所以，解得；
当时，则且，
可得，，
所以，此时无解，
综上可得，实数的值为.
故选：A.
例题5．（2022·辽宁·抚顺一中高二阶段练习）已知函数，若存在，使得在上单调，且在上的值域为，则的取值范围为______．
【答案】
由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增．
因为在上单调，
所以或．
若，则，故．
当时，令函数，
易知在上单调递增，则，即，不符合题意．
若，则，故．
当时，令函数，
根据对称性可知，，
则．
故答案为：
题型归类练
1．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知函数若，则（ ）
A．或1 B． C．1 D．3
【答案】B
根据题意得或，
解得
故选：B
2．（2022·新疆·三模（文））已知函数则，则（ ）
A．0或1 B．或1 C．0或 D．或
【答案】D
当时，函数单调递增，有，
当时，，当且仅当时取等号，即时取等号，
因此有，
令，则，因此，或，
当时，即，显然，因此，
当时，即，显然，因此，
综上所述：或，
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
【答案】 ##
由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.
4．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，其中，若在上单调递减，则________；若，则_________.
【答案】
解：因为在上单调递减
即，解得：
当，即时，由
得：，无解
当，即时，由
得：，解得：或（舍去）
所以
故答案为：，.
5．（2022·全国·高一专题练习）求函数在－的最值.
【答案】最大值是，最小值是.
在上递增，
对称轴是，
在上递减，在上递增，
，，，，
所以当时，函数最大值是；当时，函数最小值是.
6．（多选）（2022·湖南·长沙市南雅中学高二阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】AB
解：由题意可得，解得，
∴整数a的取值为或．
故选：AB
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
(1)若，求m的值；
(2)若，求a的取值集合．
【答案】(1)3或-2
(2)
(1)当时，，
解得或（舍去）；
当时，，
解得.
∴m的值为3或-2.
(2)对任意实数，，
，，
解得.
∴a的取值集合是.
重点题型四：函数图象的画法及应用
典型例题
例题1．（2022·四川自贡·高一期中）已知函数
(1)画出函数的图象；
(2)求的值；
(3)写出函数的单调递增区间.
【答案】(1)图像见解析；(2)；(3)和.
(1)
(2)；
(3)由(1)得到的图像可知，f(x)的单调递增区间为和.
例题2．（2022·江苏·高一单元测试）设函数
(1)画出函数图像（画在答题卡上，标出关键点坐标）；
【答案】(1)图象见解析；(2)答案见解析.
(1) -2 -1 0 1 2
3 2 3 2 3
图象如下图示：
例题3．（2021·天津市红桥区教师发展中心高一期中）已知函数.
(1)根据绝对值和分段函数知识，将写成分段函数；
(2)在下面的直角坐标系中画出函数的图象，根据图象，写出函数的单调区间、值域．（不要求证明）；
(3)若在区间上，满足，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)图象见解析；单调增区间，单调减区间；值域为
(3)
(1).
(2)的图象如下图所示：
由图可知：的单调增区间为，单调递减区间，值域为：.
(3)由（2）可知：在区间上单调递增，
由得，
解得：.
题型归类练
1．（2021·河北·高一阶段练习）已知函数为定义在上的偶函数，其部分图象如图所示.
(1)请作出函数在上的图象；
(2)根据函数图象写出函数的单调区间及最值.
【答案】(1)答案见解析
(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，，最大值为2，最小值为-2.
(1)画图如图：
(2)根据函数图象，的单调递增区间为，，
的单调递减区间为，，
的最大值为2，
的最小值为-2.
2．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期中（文））已知函数是上的偶函数，当时，
(1)当时，求解析式；
(2)画出函数的图象，并写出的值域.
【答案】(1)
(2)图象见解析，值域为
(1)当时，，则，
为上的偶函数，，
即当时，.
(2)由（1）得：，
当时，；当时，；
结合二次函数性质可得图象如下图所示，
的值域为.
3．（2021·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，
(1)求的值；
(2)求函数的解析式；
(3)把函数图象补充完整，并写出函数的单调递增区间．
【答案】(1)
(2)
(3)图象见解析；单调递增区间为和
(1)是上的奇函数，，
，；
(2)当时，，，
；
又，；
(3)图象如下图所示：
结合图象可知：的单调递增区间为和.
重点题型五：函数性质的应用
角度1：单调性
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）已知函数，则的单调递增区间为______.
【答案】
，
解得.
函数的对称轴为，开口向下，
根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间为.
故答案为：
例题2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若则实数的取值范围是____．
【答案】
由题意可知，函数在上单调递增，
则，
即且，即且，
解得且或，即
故答案为：.
例题3．（2022·全国·高一）已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
依题意奇函数是定义在区间上的增函数，
，
.
故选：B
角度2：最大（小）值
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）在上的最小值为______．
【答案】0
解: 根据题意在上为增函数，
则在上的最小值为．
故答案为：0.
例题2．（2022·全国·高一）已知函数 (，)在时取得最小值，则＝________.
【答案】36
f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在(0，]上单调递减，
在(，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝时取得最小值，
由题意知＝3，∴a＝36.
故答案为：
例题3．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为_______．
【答案】2
设，则，
所以原函数可化为：，
由二次函数性质，当时，函数取最大值2.
故答案为：2.
例题4．（2022·江苏·高一）设函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
由，则，
因为，所以，
则，
又，当且仅当时等号成立，所以，
所以，即实数m的取值范围是，
故答案为：
角度3：奇偶性
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）函数的图象关于_________对称．
【答案】原点
要使函数有意义，则，得，
解得或，则定义域关于原点对称．
此时，则函数，
，
函数是奇函数，图象关于原点对称
例题2．（2022·湖南常德·高一期末）已知函数为奇函数，当时，，则___．
【答案】
解：为奇函数，当时，，
.
故答案为：.
例题3．（2022·四川达州·高一期末（理））定义在上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
因为为的偶函数，又，在上单调递增，
所以，函数在在上单调递减，
所以当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
又当或或时，，
所以的解集为，
故选：A.
题型归类练
1．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调减区间为__________.
【答案】##
函数是由函数和组成的复合函数，
，解得或，
函数的定义域是或，
因为函数在单调递减，在单调递增，
而在上单调递增，
由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间．
故答案为：.
2．（2022·四川南充·高一期末）定义在上的奇函数在上是减函数，若，则实数的取值范围为___________.
【答案】
解：是定义在上的奇函数，且在上是减函数
在定义域上是减函数，且
，即
故可知，即可解得
实数的取值范围为.
故答案为：
3．（2022·广西桂林·高二开学考试（理））若函数在处取得最小值，则m＝（　　）
A． B． C．4 D．5
【答案】C
，
∵ ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
∴在x=4时，取得最小值，m=4；
故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数在区间上的最小值为__________．
【答案】
∵函数
∴函数在区间上为单调增函数
∴当时，函数取得最小值，为.
故答案为：.
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为_____.
【答案】
∵是定义在R上的奇函数，∴，
又∵，，∴，∴时，，
设，则，则，则，
即当x＞0时，，∴f（x）在上单调递减，
∴在上的最大值为．
故答案为：
6．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在上的最大值是．
，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在上的最小值是，
若，，恒成立，则，即，
所以，所以实数k的取值范围是．
故选:D．
7．（2022·贵州·凯里一中高一期中）函数，若，则实数m的取值范围是____________．
【答案】
因为
所以是偶函数，作出的图象如下：
由得，，
∴．
故答案为：
8．（2022·全国·高一专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是_______.
【答案】
因为奇函数，且在上是增函数，，
则在上是增函数，且，
不等式化为： 或 ，解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：
9．（2022·全国·高一专题练习）已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．
【答案】，
解析： 以代替条件等式中的，则有，
又，分别是上的奇函数和偶函数，
故．
又，
联立可得，．
10．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知幂函数为偶函数，
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的最大值为1，求实数的值.
【答案】(1)
(2)或
(1)因为为幂函数
所以
因为为偶函数
所以 故的解析式.
(2)由（1）知，
当即时，，即
当即时，即
综上所述：或
重点题型六：应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小
典型例题
例题1．（2022·云南·高二期末）已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由题设，，又在上单调递增，
∴.
故选：C.
例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知偶函数的定义域为，当时，单调递增，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因为为偶函数，所以，．又当时，单调递增，且，所以，即．
故选：B．
题型归类练
1．（2022·全国·高一专题练习）若偶函数在上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
为偶函数，；
在上是减函数，，
即.
故选：B.
2．（2022·北京·海淀实验中学高一期中）设函数是定义在R上单调递减的奇函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．符号不确定
【答案】B
因为函数是定义在R上单调递减的奇函数，
所以由可得，所以，即，
故选：B
3．（2022·山东济南·二模）若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因为，所以二次函数的对称轴为，
又因为，所以，
又，所以.
故选：B.
重点题型七：应用函数的单调性与奇偶性解函数不等式
典型例题
例题1．（2022·河北张家口·高一期末）设奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
为奇函数，；
又在上单调递增，，在上单调递增，；
，即；
当时，，；当时，，；
的解集为或.
故选：D.
例题2．（2022·河南南阳·高一期末）若定义域为R的函数满足，且，，有，则的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题设知：关于直线x＝2对称且在上单调递减．
由，得：，
所以，解得．
故选：A
题型归类练
1．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）已知，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为的定义域为,关于原点对称，且，
所以是偶函数，
故由可得，
当时，是增函数，
所以，解得，
故选：B
2．（2022·安徽马鞍山·三模（理））已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
偶函数在上单调递增，则在上单调递减，而，
因，则当时，，即，解得，
当时，，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B
3．（2022·湖北·赤壁市车埠高级中学高一期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
当时，的对称轴为，故在上单调递增.函数在x=0处连续
又是定义域为的奇函数，故在上单调递增.
因为，由，可得，
又因为在上单调递增，所以有，解得.
故选：D
数形结合的思想
1．已知定义在上的偶函数满足：①对任意的，且，都有成立；②.则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题意得，偶函数在上单调递增，在上单调递减，且,
作出函数的大致图像如下：
不等式等价于或，
数形结合可知不等式的解集为：
故选：A.
2．设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则不等式的整数解的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
根据题目描述，可得的大致图像如上图所示，在上单调递减，在上单调递减，，
所以或或
解得或．综上，原不等式的解集为，
即整数解的个数是．
故选：D
3．设函数为上的奇函数，且在上单调递减，若，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
为上的奇函数，且在区间上为减函数，，
，在内为减函数，作出函数的大致图像，
由，得，
由图可知，不等式的解集为
故选：A
4．已知定义在R上的函数是奇函数，且对任意的，且，都有，又，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由题可得函数是奇函数，在上单调递减，在上单调递减，过点，由此作出函数图像如下
所以即看哪些点在二四象限或坐标轴上
故不等式的解为.
故选：C.
分类讨论的思想
1．二次函数在区间上有最大值4，最小值0.
(1)求函数的解析式；
(2)设，且在的最小值为，求的值.
【答案】(1)
(2)的值为或
(1)依题意，二次函数，开口向上，对称轴，
所以，
所以.
(2)，开口向上，对称轴，
当时，.
当时，（舍去）.
当时，.
综上所述，的值为或.
2．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．
(1)补充完整图象并写出函数的增区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若函数，求函数的最小值．
【答案】(1)图见解析，递增区间为和
(2)
(3)
(1)解：因为函数是定义在上的偶函数，所以函数的图象关于轴对称，
由对称性即可补充完整图象，如图所示：
由图可知，函数的递增区间为和；
(2)解：根据题意，当时，，所以，
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
所以，
(3)解：当时，，对称轴为，
当，即时，在上递增，所以；
当，即时，在上递减，所以；
当，即时，在上递减，在上递增，所以，
综上，函数的最小值．
3．已知函数
(1)当时，解关于的不等式
(2)函数在的最大值为0，最小值是-4，求实数和的值．
【答案】(1)；
(2)或.
(1)不等式为，即，
由可得；由可得或，
故原不等式解集为.
(2)因为
由于，由题意或，
若时， 则，且或，
当时，，不满足题意，舍去；
当时，；
若，则，且或
当时，，
当，符合题意；
当，与题设矛盾，故舍去；
当时，；
综上所述：或，符合题意.
转化与化归的思想
1．已知函数f(x)对 x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；
(2)证明函数f(x)在R上的单调性；
(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析；
(2)函数为R上的减函数，证明见解析；
(3)．
(1)因为函数的定义域为R，
令，所以，即，
令，所以，即，
所以函数为奇函数．
(2)不妨设，所以，而，所以，，即，故函数为R上的减函数．
(3)由（1）可知，函数为奇函数，而，所以，故原不等式可等价于，而函数为R上的减函数，所以，又，所以，而，当且仅当时取等号，所以，即实数m的取值范围为．
2．已知定义在上的单调递增函数是奇函数，当时，.
(1)求的值及的解析式；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
(1)当时，，则；
为上的奇函数，，，
.
(2)由得：，
为上的增函数，，
即在上恒成立，
当，即时，不恒成立，不合题意；
当时，，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
函数与方程的思想
1．已知函数．
(1)解不等式：；
(2)求函数的值域．
【答案】(1).
(2).
(1)由题意，，又
∴，即，
∴或，故解集为.
(2)令，可得，
当时，有；
当时，有，又为一元二次方程且在内有实数解，
∴，解得：且，
综上，，
∴的值域为．
2．求下列函数的值域：
（1）；
【答案】（1）；
（1）由题，得，
整理，得，
当时，；
当时， 方程有实根，，
即，解得，或，
综上，所以值域为：.
3．求下列两个函数的值域：
（1）；
【答案】（1）；
（1）函数化为，
可知关于的该方程一定有解，
当时，，满足题意，
当时，则，
解得且，
综上，，
的值域为；
直观想象
1．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)现已画出函数在x轴左侧的图象，如图所示，请补全函数的图象并求的值；
(2)求函数的解析式．
【答案】(1)作图见解析，-3
(2)
(1)图象如图：
．
(2)因为为奇函数，则，
设，则，，
，
故的解析式为
2．已知函数是奇函数．
(1)求的值；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
【答案】(1)-3
(2)
(1)设，则，所以．
又因为为奇函数，所以，
于是时，，
所以．
(2)函数的图像如图所示：
要使在上单调递增，结合的图象知，
所以，
故实数a的取值范围是．
数学抽象
1．（多选）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令，以下结论正确的有（ ）
A． B．函数为奇函数
C． D．函数的值域为
【答案】AD
对于A，，故A正确.
对于B，取，则，而，
故，所以函数不为奇函数，故B错误.
对于C，则，故C错误.
对于D，由C的判断可知，为周期函数，且周期为，
当时，则
当时，则，
当时，，
当时，，
故当时，则有，故函数的值域为，故D正确.
故选：AD．
2．（多选）德国数学家狄里克雷在年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围内的每一个，都有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为，当自变量取无理数时，函数值为.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（ ）
A． B．是奇函数
C．的值域是 D．
【答案】ACD
由题意可知，.
对于A选项，，则，A选项正确；
对于B选项，当，则，则，
当时，则，则，
所以，函数为偶函数，B选项错误；
对于C选项，由于，所以，函数的值域为，C选项正确；
对于D选项，当时，则，所以，，
当时，，所以，，D选项正确.
故选：ACD.
逻辑推理
1．设，已知，．
（1）若是奇函数，求的值；
（2）当时，证明：；
（3）设对任意的，及任意的，存在实数满足，求的范围．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
（1）由题意，函数时奇函数，可得，可得，
当时，函数，可得,
所以为奇函数，满足题意，所以．
（2）当时，令，
则
，
所以．
（3）先求的值域，
由，可得，得到，
即，解得．
所以．
又由任意的，当时，可得，
所以，所以，
即．
2．设函数是定义在上的减函数，并且满足，
（1）求和的值
（2）如果，求的取值范围
【答案】（1）；（2）.
解：（1）令，则，∴
又即：∴
（2）∴
∴，又由，又由是定义在上的减函数，得：
，解得：.
∴的取值范围为.

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