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第四章 指数函数与对数函数 章末总结（精讲）
目录
第一部分：本章知识框架
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：有关指数、对数的运算
重点题型二：数的大小比较问题
重点题型三：定义域问题
重点题型四：值域问题
重点题型五：指数（型）函数的图象与性质
重点题型六：对数（型）函数的图象与性质
重点题型七：函数与方程
重点题型八：函数模型及其应用
重点题型九：指数函数、对数函数与其它函数的交融
第三部分：数学思想与方法
数形结合的思想
分类讨论的思想
换元的思想
转化与化归的思想
第一部分：本章知识框架
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：有关指数、对数的运算
典型例题
例题1．化简求值：
(1);
(2)
例题2．（1）求值：；
（2）已知，求值：.
题型归类练
1．计算：
(1)
(2).
2．化简求值：
(1)；
(2)．
重点题型二：数的大小比较问题
典型例题
例题1．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
例题2．已知，，，则实数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
例题3．若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型归类练
1．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
重点题型三：定义域问题
典型例题
例题1．函数的定义域为________.
例题2．已知函数，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
题型归类练
1．求函数的定义域．
2．求下列函数的定义域：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
重点题型四：值域问题
典型例题
例题1．设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．
例题2．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数如果对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是__________．
例题3．已知函数为偶函数，如有．
(1)求k的值；
(2)对任意，存在使得成立，求实数a的取值范围．
例题4．求解下列问题：
(1)设函数，且，求的解析式及定义域．
(2)已知函数，若函数（且的图象所过定点的纵坐标为．
①求函数的定义域；
②求函数的值域．
题型归类练
1．求下列函数的值域:
(1)；
(2).
2．设定义在上的奇函数（且，）
(1)已知，函数，，求的值域；
求实数的取值范围．
3．已知函数，．
(1)当，且时，求函数的值域；
(2)若函数在的最小值为，求实数的值；
4．已知函数的定义域是，设
(1)求的解析式及定义域；
(2)若，求函数的最大值和最小值．
5．已知函数.
(1)若求的定义域；
(2)若的定义域为，求实数的取值范围；
(3)若的值域为，求实数的取值范围.
6．已知幂函数是奇函数，且f(x)在（0，+∞）为严格增函数
(1)求m的值，并确定f(x)的解析式；
(2)求，的最值
重点题型五：指数（型）函数的图象与性质
典型例题
例题1．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
例题3．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．（0，1） B． C． D．
例题4．（1）已知函数．
①求函数的定义域、值域；
②确定函数的单调区间．
（2）画出函数的图象，并依据图象指出它的相关性质．
例题5．已知函数（为常数）是定义在上的奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明；
(3)若函数满足，求实数的取值范围.
题型归类练
1．在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知表示a，b中的最小值，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，若函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数（，且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则=_______；
5．若函数与（且）的图象经过同一个定点，则的值是________.
6．已知函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______.
7．冬季来临，为了预防流行性感冒，某工厂对厂区进行药物喷洒消毒，厂区空气中每立方米的药物含量y(单位:克)随时间x(单位:小时)的变化情况如图所示，在药物的喷洒过程中，y与x成幂函数关系;药物喷洒完毕后，y与x的函数关系为y=(0(1)写出从药物喷洒开始，y与x的函数关系式;
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.0001克以下时，工人才可以进入厂区，那么从药物喷洒开始，至少需要经过多少小时后，工人才能回到厂区
8．已知函数(，且)是指数函数.
(1)求k，b的值；
(2)求解不等式.
重点题型六：对数（型）函数的图象与性质
典型例题
例题1．在同一直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的定义域为
D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
例题3．若函数在区间单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题4．已知函数，若是上的单调递增函数，则的取值范围是__________．
例题5．对于函数，解答下列问题：
(1)若函数定义域为，求实数的取值范围；
(2)若函数在内为增函数，求实数的取值范围．
例题6．已知函数，其中且
(1)求的值并写出函数的解析式；
(2)求函数的定义域，再判断并证明函数的奇偶性；
(3)已知在定义域上是单调递减函数，求使的的取值范围．
题型归类练
1．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知对于任意的，都有成立，且在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数(且）的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则__________．
4．已知f（x）＝在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________．
5．已知函数f（x）＝loga（3﹣ax）（a＞0，且a≠1）．
(1)求f（x）的定义域．
(2)是否存在实数a，使函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
6．已知函数，．
(1)求函数的定义域，并判断其在定义域上单调性无需证明；
(2)若对任意的，，恒成立，求的取值范围．
7．已知函数
(1)当时，判断函数的奇偶性并证明；
(2)解不等式
8．已知函数（且）是定义在上的偶函数，且，.
(1)求的解析式；
(2)判断函数的单调性，无需证明；
(3)对于任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
重点题型七：函数与方程
典型例题
例题1．若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．已知，若方程有四个不同的解，且，则的最大值是（ ）
A．﹣6 B．﹣9 C．﹣11 D．﹣12
例题3．已知函数为上的偶函数，当时，，若函数有3个零点，则实数的取值集合为__________．
例题4．已知函数，满足，且当时，都有．
(1)求的解析式，并画出的图象
(2)利用图象讨论方程实根情况.
例题5．已知函数，若方程有三个不等的实数根，则实数的取值范围是___________；若互不相等的实数满足，则的取值范围是___________.
题型归类练
1．已知函数函数有三个不同的零点，，，且，则（ ）
A． B．的取值范围为
C．a的取值范围为 D．的取值范围为
2．（多选）已知函数，若关于的方程恰有三个不同实数解，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
3．函数有且仅有1个零点，则m的取值范围为_______.
4．对于定义在上的函数，若存在实数，使得，则称是函数的一个不动点.已知，，.
(1)当时，求的不动点；
(2)若函数有两个不动点，，且.求实数的取值范围；
(3)若对，，使得，求实数的取值范围.
5．已知函数，其中，
（1）若函数在单调，则实数的范围是__________；
（2）若存在互不相等的三个实数，，，使得，则函数的值域为__________.
6．已知函数，若存在实数.满足，且，则___________，的取值范围是___________.
重点题型八：函数模型及其应用
典型例题
例题1．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（）
A．20 B．21 C．22 D．23
例题2．年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响，了解某些细菌 病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播 保护环境有极其重要的意义.某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究．经过分钟菌落的覆盖面积为，经过分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；现菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系有两个函数模型与可供选择.
（参考数据：，，，，，，）
(1)试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；
(2)在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过？（结果保留到整数）
题型归类练
1．（1）计算．
（2）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间t（单位：月）的关系为．若浮萍蔓延到、、所经过的时间分别是，写出一种满足的关系式，并说明理由．
2．2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：
1 2 3 4 5 6
（万个） 10 50 250
若该变异毒株的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择.
(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个. （参考数据：）
重点题型九：指数函数、对数函数与其它函数的交融
典型例题
例题1．已知函数，.
(1)证明：为偶函数；
(2)若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
例题2．已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求的解析式；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
例题3．已知函数在区间上有最大值和最小值设．
(1)求，的值；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围．
例题4．已知函数是偶函数．
(1)求的解析式；
(2)设函数，其中，若方程存在实数解，求实数的取值范围．
题型归类练
1．设函数（且）是奇函数．
(1)求常数的值；
(2)若，试判断函数的单调性，并加以证明；
(3)若已知，且函数在区间上的最小值为，求实数的值．
2．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”．
(1)证明：是函数的一个“翻倍区间”；
(2)判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由；
(3)已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围．
3．已知偶函数且图象过定点且定义域．
(1)求实数的值，及函数的解析式；
(2)当时，求函数的值域．
4．已知函数且的图像恒过定点，且点又在函数的图像上．
(1)若，求的值
(2)若函数在区间上的图像总在图像上方，求实数的取值范围．
第三部分：数学思想与方法
数形结合的思想
典型例题
例题1．已知函数，若有四个不等实根，且，求的取值范围（ ）
A．（－∞，－3） B．（－3，+∞）
C．[－，－3) D．[－，－3]
例题2．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围( )
A． B． C．(0，1) D．
例题3．若方程，且有两个不同实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题4．若函数零点为，函数零点为，则___________.
分类讨论的思想
典型例题
例题1．已知函数且.
(1)若，求的值；
(2)若在上的最大值为，求的值.
例题2．已知函数在区间[0，2]的最大值比最小值大，求实数的值.
例题3．已知且，
(1)求函数的解析式，并判断其奇偶性和单调性：
(2)当的定义域为时，解关于的不等式.
例题4．已知函数（且）.
(1)若，求的单调区间；
(2)若在区间上是增函数，求实数的取值范围.
换元的思想
典型例题
例题1．已知函数，且，求函数的值域．
例题2．已知函数（且）是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若，，且在上的最小值为，求实数的值.
例题3．设函数是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求的解析式；
(2)若，使得，求实数的取值范围.
转化与化归的思想
典型例题
例题1．已知函数，
(1)若方程在上有实数根，求实数的取值范围；
(2)当时，若对任意的总存在使成立，求实数的取值范围.
例题2．已知函数
(1)画出函数的图像，写出函数的单调区间；
(2)求满足的的值；
(3)如果方程有三个解，求实数的范围.
例题3．已知函数.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围；
(3)画出函数的图象，若函数的图象与直线有三个交点，求的取值范围．
例题4．已知函数.其中实数.
(1)若对任意都有值成立，求实数a的取值范围；
(2)当的值域为时，函数在区间上有三个零点，求的取值范围.
第四章 指数函数与对数函数 章末总结（精讲）
目录
第一部分：本章知识框架
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：有关指数、对数的运算
重点题型二：数的大小比较问题
重点题型三：定义域问题
重点题型四：值域问题
重点题型五：指数（型）函数的图象与性质
重点题型六：对数（型）函数的图象与性质
重点题型七：函数与方程
重点题型八：函数模型及其应用
重点题型九：指数函数、对数函数与其它函数的交融
第三部分：数学思想与方法
数形结合的思想
分类讨论的思想
换元的思想
转化与化归的思想
第一部分：本章知识框架
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：有关指数、对数的运算
典型例题
例题1．化简求值：
(1);
(2)
【答案】(1) (2)1
(1)原式= =
==.
(2)原式=
.
例题2．（1）求值：；
（2）已知，求值：.
【答案】（1）81；（2）6.
（1）原式；
（2）由，而，
则，故.
题型归类练
1．计算：
(1)
(2).
【答案】(1)；(2).
(1)解：
.
(2)解：
.
2．化简求值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)3(2)0
(1)解：
；
(2)解：
.
重点题型二：数的大小比较问题
典型例题
例题1．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由于，
故，
故选：C
例题2．已知，，，则实数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，，
则，所以；
，，所以，则.
所以
故选：C.
例题3．若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：因为，所以，
故选：A.
题型归类练
1．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因为在上为增函数，且，
所以，
因为，所以，即，
令（），得，
所以在上递增，
所以，所以，
令，则，即，即，
所以，
故选：D
2．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题意可得：，
故，
故选：A
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
函数在上单调递增，，则，
函数在R上单调递减，，，而，
所以.
故选：D
重点题型三：定义域问题
典型例题
例题1．函数的定义域为________.
【答案】
由题意，要使函数有意义，则满足，
解得，即函数的定义域为.
故答案为：.
例题2．已知函数，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
要使有意义，则
即，解得，
所以函数的定义域为.
要使有意义，则，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：B.
题型归类练
1．求函数的定义域．
【答案】且
解：由得且，
∴函数的定义域为且.
2．求下列函数的定义域：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
(1)要使函数有意义，需满足，解得
故函数定义域为
(2)要使函数有意义，需满足，即，解得
故函数定义域为
(3)要使函数有意义，需满足，即
故函数定义域为
(4)要使函数有意义，需满足，即，解得
故函数定义域为
重点题型四：值域问题
典型例题
例题1．设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．
【答案】
解：由，得，
即，
，，
则，
，则，即．
故答案为：
例题2．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数如果对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是__________．
【答案】
若对于，，使得，则等价为
是定义在上的奇函数，，当时，，则当时，，
，，，则满足，解得.
故答案为：
例题3．已知函数为偶函数，如有．
(1)求k的值；
(2)对任意，存在使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)因为函数为偶函数，所以，
，
即k的值为1.
(2)由（1）知，，
因为对任意，存在使得成立，
所以，设，，
，，所以根据对勾函数的性质可得在上单调递增，
即，
所以在上有解，即在上有解．
即，
设，因为，所以值域为，
所以，即．
例题4．求解下列问题：
(1)设函数，且，求的解析式及定义域．
(2)已知函数，若函数（且的图象所过定点的纵坐标为．
①求函数的定义域；
②求函数的值域．
【答案】(1)，定义域为(2)①；②
(1)依题意函数，且，
，，
，此时，
所以，定义域为.
(2)①过定点，则，
所以，
，即的定义域为.
②
，
由于，所以，，
所以的值域为.
题型归类练
1．求下列函数的值域:
(1)；
(2).
【答案】(1)；(2).
(1)设，
所以，又在上是增函数，
所以，即，
所以函数的值域为.
(2)因为，
所以能取到所有正实数.
对于，在时值域为，
所以函数的值域为.
2．设定义在上的奇函数（且，）
(1)已知，函数，，求的值域；
求实数的取值范围．
【答案】(1)
(1)解：∵是定义域为上的奇函数，
故，得，
此时，，，
即是上的奇函数．
又，即，
解得或（舍去），
∴，
令，
易知在上为增函数，∴，
∴，
当时，有最大值；
当时，有最小值-2，
故的值域是．
3．已知函数，．
(1)当，且时，求函数的值域；
(2)若函数在的最小值为，求实数的值；
【答案】(1)(2)
(1)当时，；
令，则当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，，的值域为.
(2)令，则当时，，
，对称轴为；
当，即时，在上单调递增，，
解得：（舍）；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得：（舍）或；
当，即时，在上单调递减，，
解得：（舍）；
综上所述：.
4．已知函数的定义域是，设
(1)求的解析式及定义域；
(2)若，求函数的最大值和最小值．
【答案】(1)g（x）=22x-2x+2，定义域为[0，1]
(2)最大值为-3，最小值为-4
(1)解：因为函数，
所以f（2x）=22x,f（x+2）=2x+2，
所以g（x）=f（2x）-f（x+2）=22x-2x+2，
∵f（x）=2x的定义域是[0，3]，
∴，
解得0≤x≤1，
∴g（x）的定义域为[0，1]．
(2)由（1）得g（x）=22x-2x+2，
设2x=t，则t∈[1，2]，
∴g（t）=t2-4t=，
∴g（t）在[1，2]上单调递减，
∴g（t）max=g（1）=-3，g（t）min=g（2）=-4．
∴函数g（x）的最大值为-3，最小值为-4．
5．已知函数.
(1)若求的定义域；
(2)若的定义域为，求实数的取值范围；
(3)若的值域为，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
(1)若，则，
所以，解得
因此定义域为；
(2)若的定义域为，则对恒成立.
① 当，即，
若，符合题意；
若，，不符题意.
②当时，由题意得，解得.
综上所述，；
(3)若的值域为, 则对能取到全部正实数，
① 当，即，
若，不符合题意；
若，，符合题意.
②当时，由题意得，解之得.
综上所述，.
6．已知幂函数是奇函数，且f(x)在（0，+∞）为严格增函数
(1)求m的值，并确定f(x)的解析式；
(2)求，的最值
【答案】(1)，
(2)，
(1)因为幂函数 ，在（0，+∞）为严格增函数
所以，即，
解得，又，所以或，
当时，，满足，因此是奇函数；
当时， ，显然是偶函数；
所以，；
(2)因为，所以，
令，因为，所以，
所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因此；
又当时，；当时，，因此
重点题型五：指数（型）函数的图象与性质
典型例题
例题1．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
当时，，函数单调递增，且图象向下平移个单位，故AB错误；
当时，，函数单调递减，且图象向下平移个单位，故C 正确D错误；
故选：C
例题2．幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：因为幂函数在上单调递增，
所以，解得，所以，
故令得，所以
所以的图象过定点
故选：D
例题3．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．（0，1） B． C． D．
【答案】D
由题意，函数在上单调递减，
需满足 ，解得 ，
故选：D
例题4．（1）已知函数．
①求函数的定义域、值域；
②确定函数的单调区间．
（2）画出函数的图象，并依据图象指出它的相关性质．
【答案】（1）①定义为，值域为；②在上是减函数，在上是增函数；（2）答案见解析.
（1）①设，
由及的定义域都是，故函数的定义为．
∵，
∴，又，故原函数值域为．
②函数在上增函数，即对任意且，有，
而，即，
所以原函数在上是减函数，同理：原函数在上是增函数.
（2），图象和性质如下，
①对称性：对称轴为；
②单调性：在上单调递减，在上单调递增；
③定义域为R，值域：.
例题5．已知函数（为常数）是定义在上的奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明；
(3)若函数满足，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)
(1)解：因为是定义在上的奇函数，所以，
即，即，所以，即；解得，
所以
(2)解：函数是上的减函数
证明：在上任取,，设，
因为，所以，则，
所以
即
所以在上单调递减
(3)解：因为是定义在上的奇函数
所以可化为
又在上单调递减，
所以
解得
题型归类练
1．在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：函数的是指数函数，且，排除选项C，
如果，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：，
所以B正确；
对称轴在x轴左侧，C不正确；
如果，二次函数有一个零点，所以D不正确．
故选：B．
2．已知表示a，b中的最小值，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由题意，
结合指数函数的图像可知，选项C的图像正确
故选：C
3．已知函数，若函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因函数在R上是严格减函数，则函数在上单调递减，
并且有，于是得，解得：，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
4．函数（，且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则=_______；
【答案】27
解：因为函数（，且）的图象恒过定点，
所以由指数型函数性质得，
因为在幂函数的图象上
所以，解得，
所以，.
故答案为：
5．若函数与（且）的图象经过同一个定点，则的值是________.
【答案】25
函数图象过定点，函数图象过定点，
依题意，，解得，则
所以的值是25.
故答案为：25
6．已知函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______.
【答案】
解：令，
因为函数在区间上是严格增函数，又在R上单调递增，
所以在区间上是增函数，
因为的单调增区间为，
所以，
所以．
故答案为：.
7．冬季来临，为了预防流行性感冒，某工厂对厂区进行药物喷洒消毒，厂区空气中每立方米的药物含量y(单位:克)随时间x(单位:小时)的变化情况如图所示，在药物的喷洒过程中，y与x成幂函数关系;药物喷洒完毕后，y与x的函数关系为y=(0(1)写出从药物喷洒开始，y与x的函数关系式;
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.0001克以下时，工人才可以进入厂区，那么从药物喷洒开始，至少需要经过多少小时后，工人才能回到厂区
【答案】(1)
(2)至少需要经过1.1小时后工人才能回到厂区
(1)解：由于在药物的喷洒过程中，与成幂函数关系，
故设，将点代入得：
，解得，
则当，；
药物的喷洒后，又将点代入中，
，解得，
所以则当时，.
综合；
(2)由题，应该在药物喷洒完成，药物释放一定时间方可进入厂区，
所以有，即解得，
8．已知函数(，且)是指数函数.
(1)求k，b的值；
(2)求解不等式.
【答案】(1)，(2)答案见解析
(1)解：因为(，且)是指数函数，
所以，，
所以，；
(2)解：由（1）得(，且)，
①当时，在R上单调递增，
则由，
可得，解得；
②当时，在R上单调递减，
则由，
可得，解得，
综上可知，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
重点题型六：对数（型）函数的图象与性质
典型例题
例题1．在同一直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，C符合；
当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.
故选：C.
例题2．已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的定义域为
D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
【答案】A
对A，当时，解有，故A正确；
对B，当时，，此时，，
此时值域为，故B错误；
对C，由A，的定义域为，故C错误；
对D，若在区间上单调递增，此时在上单调递增，所以对称轴，解得，但当时，在处无定义，故D错误.
故选：A.
例题3．若函数在区间单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为在单调递减，
所以，函数在单调递减，且函数值非负，
所以函数在是单调递增且，
故 ，解得，
故选：C
例题4．已知函数，若是上的单调递增函数，则的取值范围是__________．
【答案】
因函数是上的单调递增函数，因此有，解得，
所以.
故答案为：
例题5．对于函数，解答下列问题：
(1)若函数定义域为，求实数的取值范围；
(2)若函数在内为增函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
(1)函数定义域为，即恒成立，
当时，不恒成立，不满足题意，
当时，则，解得：，
综上，实数的取值范围为；
(2)若函数在内为增函数，
则在为减函数，且在的函数值为正，
，解得：，故实数的取值范围是．
例题6．已知函数，其中且
(1)求的值并写出函数的解析式；
(2)求函数的定义域，再判断并证明函数的奇偶性；
(3)已知在定义域上是单调递减函数，求使的的取值范围．
【答案】(1)，；
(2), 奇函数，证明见解析；
(3)
(1)由，
，解得 ，.
(2)由得，，解得，
所以函数的定义域为，该定义域关于原点对称，
又 ，
即，所以函数在上为奇函数.
(3)由在定义域上单调递减，，得，又，所以.
题型归类练
1．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因为，，
所以，
故函数是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除AB，
当时，，排除选项C，
故选：D
2．已知对于任意的，都有成立，且在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为，所以关于对称，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，
因为，所以，即，所以，
即，解得，
故选：C.
3．已知函数(且）的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则__________．
【答案】
解：由题意函数的图象恒过定点，故得，
又点也在函数的图象上，
，解得，
故答案为：．
4．已知f（x）＝在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】（－4，4]
二次函数的对称轴为x＝，
由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，
即解得－4故答案为：（－4，4]
5．已知函数f（x）＝loga（3﹣ax）（a＞0，且a≠1）．
(1)求f（x）的定义域．
(2)是否存在实数a，使函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
(1)由题意可得3﹣ax＞0，即ax＜3，
因为a＞0，所以解得．
故f（x）的定义域为；
(2)假设存在实数a，使函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为2．
设函数g（x）＝3﹣ax，由a＞0，得﹣a＜0，
所以g（x）在区间[1，2]上为减函数且g（x）＞0恒成立，
则g（2）＞0，解得0＜a，
又因为f（x）在区间[1，2]上单调递减，
所以a＞1，即，
又因为f（x）在区间[1，2]上的最大值为2，
所以f（x）max＝f（1）＝loga（3﹣a）＝2，
整理得a2+a﹣3＝0，解得．
因为，所以，
所以存在实数，使函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为2．
6．已知函数，．
(1)求函数的定义域，并判断其在定义域上单调性无需证明；
(2)若对任意的，，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)，单调递增；
(2)
(1)，
，
，
在上单调递增；
(2)由题意：，而，，
对于恒成立，
，令，，
即对于恒成立，
令，
．
即的取值范围为．
7．已知函数
(1)当时，判断函数的奇偶性并证明；
(2)解不等式
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)答案见解析
(1)当时，是奇函数，
当时，的定义域满足，解得
所以的定义域为 ，
因为
所以是奇函数
(2)由，则，即，
不等式等价于，
，
①当即时， ；
②当即时，不等式的解集为 ；
③当即时， ，
综上所述：当时，；
当时，不等式的解集为；
当时， .
8．已知函数（且）是定义在上的偶函数，且，.
(1)求的解析式；
(2)判断函数的单调性，无需证明；
(3)对于任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)在上单调递增，在上单调递减
(3)
(1)∵函数是定义在上的偶函数，
∴，
整理得，∴，
又∵，可得，
∴或，∴.
(2)函数在上单调递增，在上单调递减
（任取，且，则
当时，，即，所以在上单调递减，
当时，，即，所以在上单调递增，）
(3)由（2）知，函数在上为增函数，在上单调递减，
∴，
故对于任意的，存在，使得成立，
即存在，，
等价于存在，使得成立，
∴，即，
又函数在上单调递减，
∴在上的最小值为，
∴，即实数的取值范围为.
重点题型七：函数与方程
典型例题
例题1．若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为在区间上为单调递减函数，
所以，即，
解得.
故选：B.
例题2．已知，若方程有四个不同的解，且，则的最大值是（ ）
A．﹣6 B．﹣9 C．﹣11 D．﹣12
【答案】C
解：作出函数 的图象如图所示：
因为方程 有四个不同的解，，，，且，
，关于对称，即，，
则，即，
则，即，则，
故，
当时，，解得，
当时，，解得，
故，
又函数，在时为减函数，
故时，取最大值为，
故选：C
例题3．已知函数为上的偶函数，当时，，若函数有3个零点，则实数的取值集合为__________．
【答案】
解：设，则，所以，
因为为上的偶函数，所以，所以，
所以，
当时，由有且只有1个正实根，
可得，结合函数图象可得，
由偶函数图象对称性知也符合题意，
综上可得；
故答案为：
例题4．已知函数，满足，且当时，都有．
(1)求的解析式，并画出的图象
(2)利用图象讨论方程实根情况.
【答案】(1)，图象见解析
(2)答案见解析
(1)解：由，得，
又当时，都有，则，，所以，
所以联立方程求解得，
，
函数的图象如图所示：
.
(2)解：由函数的图象可知：
当或时，方程有1个实根；
当或时，方程有2个实根；
当时，方程有3个实根.
例题5．已知函数，若方程有三个不等的实数根，则实数的取值范围是___________；若互不相等的实数满足，则的取值范围是___________.
【答案】 ，
解：因为函数，
画出分段函数的图象，如图所示：
由图象知，若方程有三个不等的实数根，则实数的取值范围是，
令互不相等的实数，，满足，，
则，，，，
则，
又，
所以，．
故答案为：；，．
题型归类练
1．已知函数函数有三个不同的零点，，，且，则（ ）
A． B．的取值范围为
C．a的取值范围为 D．的取值范围为
【答案】D
有三个不同的零点，即方程有三个不同的解，
的图象如图所示，结合图象可得，，，
由二次函数的对称性，可得，
故的取值范围为，
故选：D.
2．（多选）已知函数，若关于的方程恰有三个不同实数解，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
作出函数的图象，如图所示，
关于的方程恰有三个不同实数解，
则与有三个交点，且横坐标分别为，
当时，对称轴的方程为，且，
结合图象，可得且，即，
当时，，且，
所以，则，可得，
所以，
令，
可得，
因为，可得且，则，
即，所以函数在区间上为单调递增函数，
所以，
又由，所以，
即的取值范围为，
结合选项，取值可能是和.
故选：AB.
3．函数有且仅有1个零点，则m的取值范围为_______.
【答案】或
∵函数有且仅有1个零点，
∴函数的图象与直线有一个交点，
由图可得或，
∴或.
故答案为：或.
4．对于定义在上的函数，若存在实数，使得，则称是函数的一个不动点.已知，，.
(1)当时，求的不动点；
(2)若函数有两个不动点，，且.求实数的取值范围；
(3)若对，，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)和(2)(3)
(1)当时,.
由,得方程,即.
所以的不动点为和.
(2)由,得方程.
由题知,方程有两个根,所以.
令,得.
因为,所以.
所以,所以
满足.
所以实数的取值范围为.
(3)(3)设,因为,所以.
则.
当.
因为对,使得.
所以,在上恒成立.
即,在上恒成立.
所以,即实数的取值范围为.
5．已知函数，其中，
（1）若函数在单调，则实数的范围是__________；
（2）若存在互不相等的三个实数，，，使得，则函数的值域为__________.
【答案】
（1）当时，，在单调递增，当时，，其对称轴为，所以在
上单调递增，若函数在单调，则，
解得.
（2）若存在互不相等的三个实数，，，使得，
则的图象如图所示：
则，即，解得或(舍去).
对于函数，令，，所以，
其对称轴为，所以在上单调递减，所以，则函数的值域为.
故答案为：，.
6．已知函数，若存在实数.满足，且，则___________，的取值范围是___________.
【答案】 1
作出函数的图象，如图，
因为，
所以由图可知，，即，，且，
，
在上单调递增，
，
即的取值范围是.
故答案为：1；
重点题型八：函数模型及其应用
典型例题
例题1．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（）
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】D
设经过天“进步“的值是“退步”的值的10000倍,
则，
即，
,
故选：D．
例题2．年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响，了解某些细菌 病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播 保护环境有极其重要的意义.某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究．经过分钟菌落的覆盖面积为，经过分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；现菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系有两个函数模型与可供选择.
（参考数据：，，，，，，）
(1)试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；
(2)在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过？（结果保留到整数）
【答案】(1)应选模型为，理由见解析；
(2)
(1)的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢，
应选模型为；
则，解得：，，又，
函数模型为；
(2)由题意得：，即，，
，，
至少经过培养基中菌落面积能超过.
题型归类练
1．（1）计算．
（2）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间t（单位：月）的关系为．若浮萍蔓延到、、所经过的时间分别是，写出一种满足的关系式，并说明理由．
【答案】（1）3；（2）．（或），理由见解析
（1）
（2）将点的坐标代入函数的解析式，得，所以函数的解析式为．
由题意可得，，，
∵，∴，
即，所以．
也可由，知.
2．2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：
1 2 3 4 5 6
（万个） 10 50 250
若该变异毒株的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择.
(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个. （参考数据：）
【答案】(1)选择函数更合适，解析式为(2)11个单位
(1)若选，将，和，代入得
，解得
得
将代入，，不符合题意
若选，将，和，代入得
，解得
得
将代入得，符合题意
综上：所以选择函数更合适，解析式为
(2)解：设至少需要个单位时间，
则，即
两边取对数：
因为，所以的最小值为11
至少经过11个单位时间不少于1亿个
重点题型九：指数函数、对数函数与其它函数的交融
典型例题
例题1．已知函数，.
(1)证明：为偶函数；
(2)若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(1)证明：定义域为，
，
即为，
则为偶函数；
(2)解：
，
当时，，
令，则，，
当时，即，在上单调递增，
所以时，，解得，
当时即，时，，
解得：不成立；
当时，即，在上单调递减，所以时，，
解得不成立．
故存在满足条件的．
例题2．已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求的解析式；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
(1)因为函数为奇函数，
所以，即，
所以，
所以，
可得，函数.
(2)∵，
所以在上单调递减，且为奇函数，
由，得，
所以，
设，，
则，又，
所以，即，
故实数m的取值范围.
例题3．已知函数在区间上有最大值和最小值设．
(1)求，的值；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)的对称轴为在直线，开口向上，
在区间上是增函数，
，解得．
(2)由(1)可得，则，
，
在上有解，
即在上有解，
在上有解，
令，则，
，，记，
不等式在上有解，
小于在上的最大值即可，
在上先减后增，
，，
，
．
例题4．已知函数是偶函数．
(1)求的解析式；
(2)设函数，其中，若方程存在实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
(1)是偶函数，
，，
即对恒成立，
即对恒成立，
对恒成立，
不恒为0，，
．
(2)方程存在实数解，即方程存在实数解，
又对数函数在上单调递增，
即方程存在实数解，
令，则，
方程化为，
即关于t的方程存在正数解，
∵m＞0，＞1，∴t＞2，t－2＞0，
∴方程存在正数解，即函数y＝m与函数，t＞2图像有交点.
，当且仅当，即时，等号成立，
∴根据对勾函数的图像性质可知，
即实数的取值范围为.
题型归类练
1．设函数（且）是奇函数．
(1)求常数的值；
(2)若，试判断函数的单调性，并加以证明；
(3)若已知，且函数在区间上的最小值为，求实数的值．
【答案】(1)1
(2)在R上递增，证明见解析
(3)m
(1)∵（且）是奇函数．
∴，即，解得．
(2)∵（且），
当时，在R上递增．
理由如下：设，则
，
由于，则，即，
，即，
则当时，在R上递增．
(3)∵，∴，
即，
解得或（舍去）．
∴
令，
∵，
∴，
∴
当时，，解得，不成立舍去．
当时，，解得m，满足条件，
∴m．
2．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”．
(1)证明：是函数的一个“翻倍区间”；
(2)判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由；
(3)已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
(3)
(1)证明：由函数在上单调增函数知，的值域为，
故是函数的一个“翻倍区间”；
(2)假设存在一个“翻倍区间”，由函数是上的单调增函数，有
解得，，
由知所有“翻倍区间”为；
(3)由函数有“翻倍区间”知，为上的单调增函数，
而，
可得，解得，
由知可得，是方程的两个根，
等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根，
即方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根，
则有或，
解得或，
综上，实数的取值范围为．
3．已知偶函数且图象过定点且定义域．
(1)求实数的值，及函数的解析式；
(2)当时，求函数的值域．
【答案】(1) ；；
(2)
(1)函数且过定点，
，
又函数 为偶函数，那么 ，
，且定义域为 ， ，
；
(2)，， ，
解得：，
令，则，
函数
，
当，函数为增函数，
当即 时，取最小值，
当即时，取最大值，
故函数的值域为 ．
4．已知函数且的图像恒过定点，且点又在函数的图像上．
(1)若，求的值
(2)若函数在区间上的图像总在图像上方，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)，
当时，，
则函数图像恒过定点，
又在函数图像上，
则，得
由，则，
令，则，
即，，
，，
即，得．
(2)，
函数在区间上的图像总在直线图像上方，
则在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，则，
函数的对称轴为，
，即，在区间上单调递增，
，
则，
又，；
，即，
函数在上单调递减，在区间上单调递增，
则，
则，
又，所以；
，即，在区间上单调递减，
，即，
又，无解，
综上所述，实数的取值范围为．
第三部分：数学思想与方法
数形结合的思想
典型例题
例题1．已知函数，若有四个不等实根，且，求的取值范围（ ）
A．（－∞，－3） B．（－3，+∞）
C．[－，－3) D．[－，－3]
【答案】C
作出函数和的图象如下图所示：
由于二次函数的图象关于直线对称，所以，，
由，得，即，
所以，，可得，
由图象知，当时，直线与函数的图象有四个交点，
所以，，即，即，
，得，
由于函数在区间上为减函数，
.
故选：C.
例题2．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围( )
A． B． C．(0，1) D．
【答案】C
∵有3个零点，
∴有三个实根，
即直线与的图像有三个交点.
作出图像，
由图可知，实数的取值范围是(0，1).
故选：C.
例题3．若方程，且有两个不同实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意可知，方程有两个不同实数根，
等价于函数与的图象有两个不同的交点，
当时，如图所示，
由图可知，当时，函数与的图象有两个不同的交点，满足题意
当时，如图所示
由图可知，当时，函数与的图象有且仅有一个交点，
不满足题意,
综上所示，实数的取值范围为．
故选：D．
例题4．若函数零点为，函数零点为，则___________.
【答案】2
令，得：；令，得：；
所以分别为和与的图像交点的横坐标，如图所示：
所以，.
因为和互为反函数，所以和的图像关于y=x对称，所以A、B两点关于y=x对称.
又A、B两点均在的图像上，所以，所以2.
故答案为：2
分类讨论的思想
典型例题
例题1．已知函数且.
(1)若，求的值；
(2)若在上的最大值为，求的值.
【答案】(1)；(2)或.
(1)因为的定义域为关于原点对称，
，
所以为奇函数，故.
(2)，
若，则单调递减，单调递增，
可得为减函数，
当时，，
解得：，符合题意；
若，则单调递增，单调递减，
可得为增函数，
当时，
解得：，符合题意，
综上所述：的值为或.
例题2．已知函数在区间[0，2]的最大值比最小值大，求实数的值.
【答案】或
当时，在上单调递减，
，得，
又；
当时，在上单调递增，
，得 ，
又；
综上所述，或.
例题3．已知且，
(1)求函数的解析式，并判断其奇偶性和单调性：
(2)当的定义域为时，解关于的不等式.
【答案】(1) ,为奇函数.; 当时,在上单调递增; 当时,在上单调递减
(2)时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为
(1)设，则，所以
所以
由，故为奇函数.
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以当时,在上单调递增
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时,在上单调递减
(2)的定义域为，所以解得
由为奇函数，则由，可得
由当时,在上单调递增，则，解得或
所以当时，不等式的解集为
当时,在上单调递减，则解得
所以当时，不等式的解集为
例题4．已知函数（且）.
(1)若，求的单调区间；
(2)若在区间上是增函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)减区间为，增区间为(2)
(1)当时，，
由得：或，
所以函数的定义域为，
令，则，
因为在上递减，在上递增，在上递增，
所以函数的减区间为，增区间为.
(2)令，易知，且，则函数的图象为开口向上，
对称轴为的抛物线，
①当时，要使函数在区间上是增函数，
则在上单调递减，且，
则，解得；
②当时，要使函数在区间上是增函数，
则在上单调递增，且，
即，解得，符合题意，所以.
综上①②所述：实数的取值范围为.
换元的思想
典型例题
例题1．已知函数，且，求函数的值域．
【答案】
解：∵，∴，
∴，
令，则，且，易知在[1，4]上单调递增，
∴，即，
即函数的值域为.
例题2．已知函数（且）是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若，，且在上的最小值为，求实数的值.
【答案】(1)；
(2).
(1)解：因为函数为奇函数，则，
即，整理可得对任意的恒成立，
则，解得.
(2)解：当时，由（1）可知，
因为函数、均为上的增函数，所以，，即，
令，则，
所以，，
令，其中，
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即时，函数在上单调递增，
此时，，不合乎题意；
②当时，即当时，，解得，合乎题意；
③当时，即当时，函数在上单调递减，
此时，，解得，不合乎题意.
综上所述，.
例题3．设函数是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求的解析式；
(2)若，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)因为函数是定义在上的奇函数，所以，且，
设，则，所以，所以，
所以.
(2)若，使得，由（1）知即，使得，
令，则转化为在有解，
令，
设，则，
因为，所以，所以，即
在时是单调递增函数，所以，
所以，
所以实数的取值范围是.
转化与化归的思想
典型例题
例题1．已知函数，
(1)若方程在上有实数根，求实数的取值范围；
(2)当时，若对任意的总存在使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)方程在上有实数根，即在上有实数根，
即函数的图像与直线 在上有交点，
在单调递减，所以，
所以，解得，
故所求实数的取值范围是 .
(2)若对任意的，总存在使成立，
只需函数的值域为函数的值域的子集.
的值域为
下求的值域.
当时，为常数，不符合题意舍去；
当时，需，解得 ，
当时，需，解得 ，
综上，的取值范围为
例题2．已知函数
(1)画出函数的图像，写出函数的单调区间；
(2)求满足的的值；
(3)如果方程有三个解，求实数的范围.
【答案】(1)作图见解析，递增区间为和，递减区间为；
(2)，，(3)
(1)
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减增；
所以函数的递增区间为和，递减区间为；
(2)当时，
由得，符合题意.
当时，
由得，符合题意.
当时，
由得，符合题意.
所以满足的的值为：，，
(3)当时，
再结合（1）所画函数图像得.
例题3．已知函数.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围；
(3)画出函数的图象，若函数的图象与直线有三个交点，求的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)图象见解析，
(1)解：由题意可得，则.
(2)解：当时，由，得，解得，此时；
当时，由，可得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
(3)解：作出函数的图象如下图所示：
由图象可知，当时，函数的图象与直线有三个交点，
因此，实数的取值范围是.
例题4．已知函数.其中实数.
(1)若对任意都有值成立，求实数a的取值范围；
(2)当的值域为时，函数在区间上有三个零点，求m的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)即，
整理得在上恒成立
又，
当且仅当，即时等号成立
故；
(2)因为函数的值域为
则，得（负值舍去）
故，
作出，的图像如下：
令，
则，
，
要函数在区间上有三个零点，
则或
解得.

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