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第五章 三角函数 章末总结（精讲）
目录
第一部分：本章知识框架
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：三角函数的概念
重点题型二：扇形的弧长与面积
重点题型三：同角三角函数基本关系
重点题型四：利用诱导公式化简
重点题型五：三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
重点题型六：三角函数图象变换
重点题型七：根据图象求解析式
重点题型八：拼凑角
重点题型九：三角函数值域与最值
重点题型十：五点法作图问题
重点题型十一：三角函数中零点（根）个数问题
重点题型十二：三角函数中零点（根）的代数和问题
重点题型一：三角函数的概念
典型例题
例题1．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（文））若角的终边过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2013·江苏苏州·高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别交单位圆于两点．已知两点的横坐标分别是，．
（1）求的值；
（2）求的值．
例题3．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高一期末）已知角终边经过点，求
同类题型演练
1．（2022·陕西安康·高二期末（文））在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海·高一课时练习）在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，若两点横坐标分别为，求的值．
重点题型二：扇形的弧长与面积
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（ ）
A． B． C．1 D．2
例题2．（2022·河南开封·高二期末（理））斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图，矩形是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（ ）
A．11π B．12π C．15π D．16π
例题3．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）如图，扇形的半径为，扇形的圆心角为，是扇形的内接矩形，设．
(1)求扇形的弧长及面积；
(2)用表示矩形的面积，并求当为何值时，矩形面积最大及其最大值．
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为，圆心角为，则此弧田的面积为__________．
2．（2022·江苏省天一中学高一期末）若扇形的周长为定值，则当该扇形的圆心角______时，扇形的面积取得最大值，最大值为______.
重点题型三：同角三角函数基本关系
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·江西九江·高一期末）若，则的值是_____________．
同类题型演练
1．（2022·广东揭阳·高二期末）已知，则＝（ ）
A． B．2 C． D．6
2．（2022·上海市第十中学高一期末）已知：，，则__________.
重点题型四：利用诱导公式化简
典型例题
例题1．（2022·辽宁沈阳·高一期末）已知角的终边上的一点，则的值为___________.
例题2．（2022·宁夏·银川二中高一期末）（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）已知.
(1)若角是第三象限角，且，求的值；
(2)若，求的值.
2．（2022·陕西汉中·高一期末）（1）计算的值；
（2）已知角的终边过点（1，2），求的值．
重点题型五：三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
典型例题
例题1．（2022·河南濮阳·高一期末（理））已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上单调递增
例题2．（2022·河南南阳·高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））关于函数有下列四个结论：
①的值域为；
②在上单调递减；
③的图象关于直线于对称；
④的最小正周期为．
上述结论中，正确命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例题4．（2022·陕西汉中·高一期末）已知函数，下列说法正确的有（ ）
①函数最小正周期为；
②定义域为
③图象的所有对称中心为；
④函数的单调递增区间为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例题5．（多选）（2022·云南玉溪·高二期末）已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．在区间单调递增
C．的图像关于点对称 D．的图像关于直线对称
例题6．（多选）（2022·江西宜春·高一期末）已知函数，则 （ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递减
D．可以改写成
同类题型演练
1．（多选）（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的周期为 B．的一条对称轴为
C．是奇函数 D．在区间上单调递增
2．（多选）（2022·山东滨州·二模）设函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．在单调递减
C．的图象关于直线对称 D．的值城为
3．（多选）（2022·全国·高一课时练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．的图象向左平移个单位长度后关于原点对称
D．的图象的对称轴方程为
4．（多选）（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）．
A．函数的定义域为
B．函数的最小正周期为
C．函数的单调递增区间为，
D．函数的对称中心为，
5．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数，若为偶函数，在区间内单调，则的最大值为_________.
6．（2022·云南·昆明一中高三开学考试）若函数的图像关于直线对称，则___________.
7．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知函数的最小正周期为π，f（x）图象的一个对称中心为，则φ＝________．
重点题型六：三角函数图象变换
典型例题
例题1．（2022·河南·高三开学考试（文））将奇函数的图象向左平移个单位长度后，得到的曲线的对称轴方程为（ ）．
A． B．
C． D．
例题2．（多选）（2022·全国·高一课时练习）下列四种变换方式中能将函数的图象变为函数的图象的是（ ）
A．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
B．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍
C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度
D．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
例题3．（2022·山东淄博·高一期末）已知函数是奇函数，为了得到函数的图象，可把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
例题4．（2022·全国·高一课时练习）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若是函数的一个零点，则的最小值是______.
同类题型演练
1．（2022·河南南阳·高一期末）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·贵州黔西·高二期末（理））已知函数，要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
3．（2022·河南·高二开学考试）将函数的图像向左平移个单位长度后得到偶函数的图像，则的最小值是______．
4．（2022·广东汕尾·高一期末）已知函数（），将图象上所有点向右平移个单位，得到奇函数的图象，则常数的一个取值为____.
重点题型七：根据图象求解析式
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）数学家傅里叶关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声等都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数模型描述的．已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的图象，对应的函数解析式是，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例题2．（2022·安徽·高三开学考试）如图，某港口一天从6时到18时的水深曲线近似满足函数.据此可知当天12时的水深为（ ）
A．3.5 B．4 C． D．
例题3．（2022·全国·高一课时练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到（，，）的图象如图，则的解析式为_____．
例题4．（2022·全国·高一课时练习）如图，函数的图象与轴的交点为，且其图象在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的横坐标分别为和.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数，求的值.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）气候变化是人类面临的全球性问题，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型．某校高一数学研究性学习小组同学研究课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数，如图，则（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．，
D．若是偶函数，则的最小值为2
2．（2022·全国·高一课时练习）气候变化是人类面临的全球性问题，随着各国二氧化碳排放，温室气体猛增，对生命系统形成威胁，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型，力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和目标．某校高一数学研究性学习小组研究的课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从到的温度变化，其变化曲线近似满足函数（，，），该函数图象如图，则（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．，
D．若是偶函数，则的最小值为2
3．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数（，）的图象，如图所示，则（ ）
A．
B．
C．对任意的都有
D．在上单调递减
4．（2022·全国·高一课时练习）如图，在海岸线TO一侧有一休闲游乐场，游乐场的其中一部分边界为曲线段TDBS，该曲线段是函数，的图象，图象的最高点为，则曲线段TDBS对应的函数解析式为___________.若曲线段TDBS上的入口D到海岸线TO的距离为千米，现准备从入口D修一条笔直的景观路到O，则景观路DO的长为___________千米.
重点题型八：拼凑角
典型例题
例题1．（2022·江苏苏州·高一期中）已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·江西·二模（理））已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高一课时练习）已知，则的值为__________．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）已知,则__．
2．（2022·全国·高一专题练习）若，则的值为_____．
3．（2022·山东青岛·高一期末）已知，则______．
重点题型九：三角函数值域与最值
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则（ ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为3，最小值为-1
C．的最大值为，最小值为
D．的最大值为，最小值为
例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知当时，函数取得最大值，其中，，则______．
例题3．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）已知函数．
(1)求的值及的最小正周期；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
同类题型演练
1．（2022·广西贵港·高二期末（文））已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·云南保山·高一期末）已知函数．
(1)求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；
(2)当时，求的值域．
3．（2022·广东·江门市第二中学高一期中）已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)当时求的范围；
(3)求在区间上的最大值和最小值．
重点题型十：五点法作图问题
典型例题
例题1．（2022·四川·雅安中学高一开学考试）已知函数，将函数的图象的横坐标伸长为原来的4倍，再向右平移个单位长度后得到函数的图象．
（1）在下列网格纸中画出函数在上的大致图象；
（2）求函数在上的单调递减区间．
例题2．（2022·甘肃·张掖市第二中学高一阶段练习）已知函数.
（Ⅰ）用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象简图；
（Ⅱ）请描述如何由函数的图象通过变换得到的图象.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数的图象关于直线对称，记函数.
（1）求函数的最小正周期和单调增区间；
（2）画出函数在区间上的大致图象.
2．（2022·湖北·高一期中）已知函数f(x)＝sin ωx＋cosωx(ω>0)的最小正周期为π.
（1）求ω的值，并在下面提供的直角坐标系中画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象；
(2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
重点题型十一：三角函数中零点（根）个数问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一单元测试）已知函数（，），最小正周期，．
(1)求函数的解析式及函数的单调递增区间；
(2)函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围．
例题2．（2022·河南南阳·高一期末）已知函数的部分图象如图所示，且.
(1)求的解析式；
(2)若方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
同类题型演练
1．（2022·江西景德镇·高一期末）已知.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)当时，关于x的方程有两个解，求a的取值范围.
2．（2022·河北承德·高一阶段练习）已知函数的部分图像如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若函数在上有两个零点，求的取值范围．
3．（2022·辽宁·葫芦岛市第六高级中学高一阶段练习）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若函数在上有两个零点，求m的取值范围．
重点题型十二：三角函数中零点（根）的代数和问题
典型例题
例题1．（2022·四川凉山·高一期末）已知函数（，），周期，.
(1)求的解析式及成立的的取值范围；
(2)函数在上有两个不同的零点，，求实数的取值范围及的值.
同类题型演练
1．（2022·北京外国语大学附属上海闵行田园高级中学高一期中）已知函数 .
(1)求 的最小正周期;
(2)求函数 的严格单调增区间;
(3)若方程 在区间 上有两个相异的实数根 ， 求实数 的取值范围和 的值.
2．（2022·山东济宁·高一期中）已知函数，任意相邻两个对称轴之间的距离为，
(1)求的值并求函数的对称轴方程、单调递增区间；
(2)若方程在上有两个不同的实根，求a的取值范围和的值．
第五章 三角函数 章末总结（精讲）
目录
第一部分：本章知识框架
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：三角函数的概念
重点题型二：扇形的弧长与面积
重点题型三：同角三角函数基本关系
重点题型四：利用诱导公式化简
重点题型五：三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
重点题型六：三角函数图象变换
重点题型七：根据图象求解析式
重点题型八：拼凑角
重点题型九：三角函数值域与最值
重点题型十：五点法作图问题
重点题型十一：三角函数中零点（根）个数问题
重点题型十二：三角函数中零点（根）的代数和问题
重点题型一：三角函数的概念
典型例题
例题1．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（文））若角的终边过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】角的终边过点，则,
所以，.
故选：B.
例题2．（2013·江苏苏州·高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别交单位圆于两点．已知两点的横坐标分别是，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
试题解析：由题意，得 2分
（1） 6分
（2）由（1）得 9分
又则 10分
14分
例题3．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高一期末）已知角终边经过点，求
【答案】7
【详解】因为角终边经过点，则
又
同类题型演练
1．（2022·陕西安康·高二期末（文））在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，.
故选：B.
2．（2021·上海·高一课时练习）在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，若两点横坐标分别为，求的值．
【答案】
【详解】因锐角终边分别与单位圆相交于两点，依题意得点，r=1，
由三角函数定义得，
于是得，
，
所以的值是.
重点题型二：扇形的弧长与面积
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，
所以，
扇形面积，
当时，有最大值，此时圆心角，
故选：D
例题2．（2022·河南开封·高二期末（理））斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图，矩形是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（ ）
A．11π B．12π C．15π D．16π
【答案】B
【详解】不妨设正方形的边长为，则，解得，
所以图中斐波那契螺旋线的长度为．
故选：B．
例题3．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）如图，扇形的半径为，扇形的圆心角为，是扇形的内接矩形，设．
(1)求扇形的弧长及面积；
(2)用表示矩形的面积，并求当为何值时，矩形面积最大及其最大值．
【答案】(1)；
(2)（）；当时，矩形面积最大，其最大值为
(1)，
(2)，所以，
因为扇形的圆心角为，所以
，，
所以=（）
当
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为，圆心角为，则此弧田的面积为__________．
【答案】
【详解】依题意，等腰底边，高，则的面积为，
而扇形的面积为，则有阴影部分的面积为，
所以此弧田的面积为.
故答案为：
2．（2022·江苏省天一中学高一期末）若扇形的周长为定值，则当该扇形的圆心角______时，扇形的面积取得最大值，最大值为______.
【答案】 2
【详解】设扇形的半径为，则扇形的弧长为
故
扇形的面积
由二次函数的性质，当时，面积取得最大值为
此时，
故答案为：2，
重点题型三：同角三角函数基本关系
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，故，所以，，且，即.
所以，所以.
故选：A.
例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
所以,
故选:A.
例题3．（2022·江西九江·高一期末）若，则的值是_____________．
【答案】
【详解】解：因为，
所以，即，
解得，
所以，
故答案为：
同类题型演练
1．（2022·广东揭阳·高二期末）已知，则＝（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】A
【详解】因为
所以
故选：A
2．（2022·上海市第十中学高一期末）已知：，，则__________.
【答案】
【详解】解：由，两边平方得：，
即，
因为，
所以，
所以，
两式联立得，
所以，
故答案为：
重点题型四：利用诱导公式化简
典型例题
例题1．（2022·辽宁沈阳·高一期末）已知角的终边上的一点，则的值为___________.
【答案】
【详解】因为角的终边上的一点，所以，
所以.
故答案为：.
例题2．（2022·宁夏·银川二中高一期末）（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由知
原式=
（2）
又
原式===
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）已知.
(1)若角是第三象限角，且，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
（1）解：.
因为，所以，
又角是第三象限角，所以，
所以.
（2）解：因为，所以.
2．（2022·陕西汉中·高一期末）（1）计算的值；
（2）已知角的终边过点（1，2），求的值．
【答案】（1）；（2）3.
【详解】（1）
（2）∵角的终边过点（1，2），，
．
重点题型五：三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
典型例题
例题1．（2022·河南濮阳·高一期末（理））已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上单调递增
【答案】C
【详解】由图象可得：A=2，最小正周期为，所以，
又
又,所以，所以.
对于A，，
所以是f(x)的一个对称中心，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，令，
解得：，令，
所以D正确.
故选：C.
例题2．（2022·河南南阳·高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，
将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，
因为函数为偶函数，则，
解得，
，则当时，取最小值.
故选：A.
例题3．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））关于函数有下列四个结论：
①的值域为；
②在上单调递减；
③的图象关于直线于对称；
④的最小正周期为．
上述结论中，正确命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】，由得，
所以，
对于①：令则，又在上单调递增，所以当时，，当时，，
所以f（x）的值域为[，2]，故①正确；
对于②：当时，，且在上单调递减，又令且单调递增，所以f（x）在[0，]上单调递减，故②正确；
对于③：因为，，而，所以f（x）的图象关于直线x＝对称不成立，故③不正确；
对于④：因为，且的最小正周期是，所以 f（x）的最小正周期为π，故④正确.
故选：C.
例题4．（2022·陕西汉中·高一期末）已知函数，下列说法正确的有（ ）
①函数最小正周期为；
②定义域为
③图象的所有对称中心为；
④函数的单调递增区间为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】对①，函数，可得的最小正周期为，所以①正确；
对②，令，解得，
即函数的定义域为，所以②错误；
对③，令，解得，所以函数的图象关于点对称，所以③正确；
对④，令，解得，故函数的单调递增区间为，所以④正确；
故①③④正确；
故选：C
例题5．（多选）（2022·云南玉溪·高二期末）已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．在区间单调递增
C．的图像关于点对称 D．的图像关于直线对称
【答案】ACD
【详解】对于A：.
因为为偶函数，所以为偶函数.故A正确；
对于B：当时，.
因为在上递增，在上单减，所以在区间不单调.故B错误；
对于C：因为，所以的图像关于点对称.故C正确；
对于D：因为，所以的图像关于直线对称.故D正确；
故选：ACD.
例题6．（多选）（2022·江西宜春·高一期末）已知函数，则 （ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递减
D．可以改写成
【答案】BC
【详解】因为.
对于A选项，函数的最小正周期为，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，当时，，
所以，函数在区间上单调递减，C对；
对于D选项，，D错.
故选：BC.
同类题型演练
1．（多选）（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的周期为 B．的一条对称轴为
C．是奇函数 D．在区间上单调递增
【答案】AD
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到函数.
A. 的最小正周期为，所以该选项正确；
B. 令，函数图象的对称轴不可能是，所以该选项错误；
C. 由于，所以函数不是奇函数，所以该选项错误；
D. 令，当时，，所以在区间上单调递增，所以该选项正确.
故选：AD
2．（多选）（2022·山东滨州·二模）设函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．在单调递减
C．的图象关于直线对称 D．的值城为
【答案】AD
【详解】依题意，，则的最小正周期为，A正确；
当时，令，，
而函数在上单调递减，在上单调递减，因此，在上单调递增，B不正确；
因，，即图象上的点关于直线对称点不在的图象上，C不正确；
当时，，则，
当时，，因此，的值城为，D正确.
故选：AD
3．（多选）（2022·全国·高一课时练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．的图象向左平移个单位长度后关于原点对称
D．的图象的对称轴方程为
【答案】ACD
【详解】A：，A正确；
B：，，所以在上不单调，所以B错误；
C：的图象向左平移个单位长度得到：
，为奇函数，C正确.
D：由，得，D正确.
故选：ACD
4．（多选）（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）．
A．函数的定义域为
B．函数的最小正周期为
C．函数的单调递增区间为，
D．函数的对称中心为，
【答案】AD
【详解】由得，
所以函数的定义域为，故A正确；
函数的最小正周期为，故B错误；
由得，
函数的单调递增区间为，故C错误；
由得,
所以函数的对称中心为，故D正确.
故选：AD.
5．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数，若为偶函数，在区间内单调，则的最大值为_________.
【答案】4
【详解】由于函数为偶函数，则满足，故直线为函数图像的一条对称轴，所以，，则，，又，即，解得，又，当时，在单调递增，满足要求，所以，故的最大值为4.
故答案为：4
6．（2022·云南·昆明一中高三开学考试）若函数的图像关于直线对称，则___________.
【答案】
【详解】解：因为函数的图像关于直线对称，
所以函数在时取得最值，
所以，结合辅助角公式得：，即，
整理得：，解得.
故答案为：
7．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知函数的最小正周期为π，f（x）图象的一个对称中心为，则φ＝________．
【答案】
【详解】因为，所以，得ω＝1．因为f（x）图象的一个对称中心为，所以，所以，，得，．因为，所以，．
故答案为：.
重点题型六：三角函数图象变换
典型例题
例题1．（2022·河南·高三开学考试（文））将奇函数的图象向左平移个单位长度后，得到的曲线的对称轴方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为为奇函数，
所以，，
所以．
令，得．
故选：B.
例题2．（多选）（2022·全国·高一课时练习）下列四种变换方式中能将函数的图象变为函数的图象的是（ ）
A．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
B．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍
C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度
D．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
【答案】AC
【详解】，
对于A，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到的图象，故A正确；
对于B，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，故B错误；
对于C，将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，得到的图象，再向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；
对于D，将函数的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，再向左平移个单位长度，得到的图象，故D错误．
故选：AC．
例题3．（2022·山东淄博·高一期末）已知函数是奇函数，为了得到函数的图象，可把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】因为是奇函数，所以，即，
因为，所以，所以，
因为，
所以可把函数的图象向右平移个单位长度.
故选：D.
例题4．（2022·全国·高一课时练习）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若是函数的一个零点，则的最小值是______.
【答案】
【详解】由题意，可知函数的图象向左平移个单位长度，
可得函数的图象，所以.
因为是函数的一个零点，所以，
即，所以，
因此有或，
解得或.
因为，所以当时，的最小值是；
当时，的最小值是.
综上，的最小值是.
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·河南南阳·高一期末）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象，
再将所得图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
因为，所以为偶函数，所以，
解得，又，所以的最小值为．
故选：D．
2．（2022·贵州黔西·高二期末（理））已知函数，要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】B
【详解】由于，
故只需将函数的图象向左平移个单位长度，即得到，
也即的图象，
故选：B
3．（2022·河南·高二开学考试）将函数的图像向左平移个单位长度后得到偶函数的图像，则的最小值是______．
【答案】##
【详解】由题意，得，
因为为偶函数，所以，，
解得，，又，
所以当时，取得最小值．
故答案为：.
4．（2022·广东汕尾·高一期末）已知函数（），将图象上所有点向右平移个单位，得到奇函数的图象，则常数的一个取值为____.
【答案】（满足都正确）
【详解】将图象上所有点向右平移个单位，得：
，
又为奇函数，
，
即，
，
解得：，
常数的一个取值为.
故答案为：（满足都正确）.
重点题型七：根据图象求解析式
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）数学家傅里叶关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声等都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数模型描述的．已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的图象，对应的函数解析式是，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】由图象可知，函数的最小正周期为，
则，所以．
因为，且函数在附近单调递增，
所以，则，
因为，所以．
故选：C．
例题2．（2022·安徽·高三开学考试）如图，某港口一天从6时到18时的水深曲线近似满足函数.据此可知当天12时的水深为（ ）
A．3.5 B．4 C． D．
【答案】A
【详解】由图象可知函数的最小值为2，所以，得，
周期，
所以，得，
所以，
因为函数图象过点，
所以，
所以，
所以或，
所以或，
因为，所以，
所以，
所以，
故选：A
例题3．（2022·全国·高一课时练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到（，，）的图象如图，则的解析式为_____．
【答案】
【详解】由题图可知，，函数的最小正周期为，所以，所以．
又，所以，所以（），解得（）．
因为，所以，所以．将函数的图象向右平移个单位长度后可得到函数的图象，
故．
故答案为：.
例题4．（2022·全国·高一课时练习）如图，函数的图象与轴的交点为，且其图象在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的横坐标分别为和.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数，求的值.
【答案】(1)(2)
（1）解：由题意，知，∴，得，
∴，即.∵，∴或.
当时，函数在上先取得最小值，后取得最大值，不符合题意，∴，
∴函数的解析式为.
（2）解：由题意得，∵是奇函数，∴，
∴，得，又，∴.
当时，，
满足，∴为奇函数，∴满足题意.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）气候变化是人类面临的全球性问题，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型．某校高一数学研究性学习小组同学研究课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数，如图，则（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．，
D．若是偶函数，则的最小值为2
【答案】ACD
【详解】根据题图可知，所以，根据题图可知，B选项错误．，，又因为，所以，因为，所以，所以，A选择正确．
，
，
所以，C选项正确．
是偶函数，所以，，，所以当时，取得最小值2，D选项正确.
故选ACD．
2．（2022·全国·高一课时练习）气候变化是人类面临的全球性问题，随着各国二氧化碳排放，温室气体猛增，对生命系统形成威胁，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型，力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和目标．某校高一数学研究性学习小组研究的课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从到的温度变化，其变化曲线近似满足函数（，，），该函数图象如图，则（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．，
D．若是偶函数，则的最小值为2
【答案】ACD
【详解】根据题图可知得所以．
根据题图可知，，B错误．
，，，即．又，所以，所以，解得，A正确．
，，所以，C正确．
因为是偶函数，所以，，得，，所以当时，取最小值，为2，D正确．
故选：ACD．
3．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数（，）的图象，如图所示，则（ ）
A．
B．
C．对任意的都有
D．在上单调递减
【答案】ABD
【详解】由题图知的最小正周期，则，所以．将代入得，
则（），得（）．
因为，所以，故A，B正确．
，当时，，不满足对任意的都有，C错误．
因为，所以，故在上单调递减，D正确．
故选：ABD．
4．（2022·全国·高一课时练习）如图，在海岸线TO一侧有一休闲游乐场，游乐场的其中一部分边界为曲线段TDBS，该曲线段是函数，的图象，图象的最高点为，则曲线段TDBS对应的函数解析式为___________.若曲线段TDBS上的入口D到海岸线TO的距离为千米，现准备从入口D修一条笔直的景观路到O，则景观路DO的长为___________千米.
【答案】 且
【详解】由题中图象知：A=2，.
当x= -1时，，
所以，，解得，，又，
所以，则曲线段TDBS对应的函数解析式为，.
因为D到海岸线TO的距离为千米，设，显然，
所以，即，
所以，或，，解得，或，，
又，所以，即，而另一点D与S重合，排除，
所以.
故答案为：且，
重点题型八：拼凑角
典型例题
例题1．（2022·江苏苏州·高一期中）已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，可得：，所以，
故选：C
例题2．（2022·江西·二模（理））已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，且，，
可得，且 ，
解得，，
所以，
又因为，，
解得.
故选：C.
例题3．（2022·全国·高一课时练习）已知，则的值为__________．
【答案】
【详解】因为，
所以．
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）已知,则__．
【答案】
【详解】∵，
∴
.
故答案为：.
2．（2022·全国·高一专题练习）若，则的值为_____．
【答案】
【详解】∵，∴，
即，
所以.
故答案为：.
3．（2022·山东青岛·高一期末）已知，则______．
【答案】
【详解】，
由.
故答案为：
重点题型九：三角函数值域与最值
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则（ ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为3，最小值为-1
C．的最大值为，最小值为
D．的最大值为，最小值为
【答案】C
【详解】因为函数，
设，，
则，
所以，，
当时，；当时，.
故选：C
例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知当时，函数取得最大值，其中，，则______．
【答案】##
【详解】由题知当，，
即，，函数有最大值，
此时．
故答案为：
例题3．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）已知函数．
(1)求的值及的最小正周期；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)，最小正周期
(2)最大值为2，最小值为
（1），所以，的最小正周期为
（2）
因为，则，故当，即时取最大值，当，即时，取最小，
同类题型演练
1．（2022·广西贵港·高二期末（文））已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为的最小正周期为，
所以，即，
将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的图象，
当时，，
当时，即时，函数取得最大值，最大值为；
当时，即，函数取得最小值，最小值为，
所以函数的值域为.
故选：A.
2．（2022·云南保山·高一期末）已知函数．
(1)求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；
(2)当时，求的值域．
【答案】(1)最小正周期为，图象的对称轴方程为，
(2)
(1)
，
所以的最小正周期为，
由，得，
所以图象的对称轴方程为
(2)
由，得，
所以，
所以，
所以，
所以的值域
3．（2022·广东·江门市第二中学高一期中）已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)当时求的范围；
(3)求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)最小正周期为；
(2)；
(3)最大值为1，最小值为.
(1)，；
(2)对于函数单调递增，
，；
(3)由（2）知，令，
则对于，根据正弦函数的图象得：
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，；当时，；
重点题型十：五点法作图问题
典型例题
例题1．（2022·四川·雅安中学高一开学考试）已知函数，将函数的图象的横坐标伸长为原来的4倍，再向右平移个单位长度后得到函数的图象．
（1）在下列网格纸中画出函数在上的大致图象；
（2）求函数在上的单调递减区间．
【答案】（1）答案见解析；（2）和．
【详解】（1）将函数的图像的横坐标伸长为原来的4倍，
得到的图像，
再向右平移个单位后，得到的图象，
列表如下：
0
0 2 0
故函数在上的大致图像如下图所示：
（2）令（），
得（），
令，得，
令，得，
故函数在上的单调递减区间为和．
例题2．（2022·甘肃·张掖市第二中学高一阶段练习）已知函数.
（Ⅰ）用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象简图；
（Ⅱ）请描述如何由函数的图象通过变换得到的图象.
【答案】（Ⅰ）图象见解析；（Ⅱ）答案不唯一，见解析.
【详解】（Ⅰ）列表如下：
函数在一个周期内的图象简图如下图所示：
（Ⅱ）总共有种变换方式，如下所示：
方法一：先将函数的图象向左平移个单位，将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的倍，可得到函数的图象；
方法二：先将函数的图象向左平移个单位，将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，可得到函数的图象；
方法三：先将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，将所得图象向左平移个单位，再将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的倍，可得到函数的图象；
方法四：先将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位，可得到函数的图象；
方法五：先将函数的图象上每个点的纵坐标伸长为原来的倍，将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位，可得到函数的图象；
方法六：先将函数的图象上每个点的纵坐标伸长为原来的倍，将所得图象向左平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，可得到函数的图象.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数的图象关于直线对称，记函数.
（1）求函数的最小正周期和单调增区间；
（2）画出函数在区间上的大致图象.
【答案】（1），单调增区间是.（2）图见解析
【详解】（1）由题意知，
根据函数的图象关于直线对称，
得，
即，
又，所以，则，
则
，
则函数的最小正周期，
令，得，
故函数的单调增区间是.
（2）列表如下：
0 0 1
2 1 1 3 2
故在区间上的大致图象是：
2．（2022·湖北·高一期中）已知函数f(x)＝sin ωx＋cosωx(ω>0)的最小正周期为π.
（1）求ω的值，并在下面提供的直角坐标系中画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象；
(2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
【答案】(1)2 ，图象见解析；(2)见解析.
【详解】(1)函数可化为f(x)＝sin.
因为T＝π，所以＝π，即ω＝2，
所以f(x)＝sin.
列表如下：
x 0 π
y 1 0 －1 0
画出图象如图所示．
(2)将函数y＝sinx(x∈R)图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin (x∈R)的图象．
再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，可得函数f(x)＝sin (x∈R)的图象．
重点题型十一：三角函数中零点（根）个数问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一单元测试）已知函数（，），最小正周期，．
(1)求函数的解析式及函数的单调递增区间；
(2)函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
（1）解：由题意，函数，最小正周期，且，
可得，且，可得，
又由，所以，所以．
令，解得，
所以函数的单调递增区间为．
（2）解：作出函数在上的图象，
列表如下：
0
2 0
函数在上的图象，如图所示，
因为函数在上有两个不同的零点，即直线与函数的图象在上有两个交点，结合图象可得．
例题2．（2022·河南南阳·高一期末）已知函数的部分图象如图所示，且.
(1)求的解析式；
(2)若方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
（1）解：由图知，
，
即
，
即，
，
；
（2）解：方程可转化为，
即，，
设，
可转化为有两个不同的实数根，
和的图象有两个不同的交点，
如图，由图观察可知，的取值范围是，
故的取值范围是.
同类题型演练
1．（2022·江西景德镇·高一期末）已知.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)当时，关于x的方程有两个解，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)
，
由正弦函数的单调性可得：，
解得：，
的单减区间为：；
(2)令，由得，
函数在单调递增，单调递减，
所以，
则，
要使方程在上有2个解，
只需方程在上有2个解，
所以.
2．（2022·河北承德·高一阶段练习）已知函数的部分图像如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若函数在上有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)由图可知，
由，得，
得．
因为，所以，
得，
又，所以，
故．
(2)由题意可知，的图像与直线有两个交点．
因为，所以．
因为，，所以，
得，故的取值范围为．
3．（2022·辽宁·葫芦岛市第六高级中学高一阶段练习）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若函数在上有两个零点，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
(1)由图可得，，将点的坐标代入解析式可得，
结合图象可得，，又因为，所以．
将点的坐标代入解析式可得，
结合图象可得，，则，，
又因为，所以，
故．
(2)当时，，
令，函数在上单调递增，在上单调递减，
，，．
若函数在上有两个不相等的实数根，
故m的取值范围为
重点题型十二：三角函数中零点（根）的代数和问题
典型例题
例题1．（2022·四川凉山·高一期末）已知函数（，），周期，.
(1)求的解析式及成立的的取值范围；
(2)函数在上有两个不同的零点，，求实数的取值范围及的值.
【答案】(1)，；
(2)答案见解析.
(1)由题可知，，
∴，又，
∴，
∴；
由，得，
∴，
∴；
(2)作出函数在上图像
x 0
2 0 ﹣2 ﹣1
函数零点即函数与图象交点横坐标，
如图可得，
当时，；当时，.
同类题型演练
1．（2022·北京外国语大学附属上海闵行田园高级中学高一期中）已知函数 .
(1)求 的最小正周期;
(2)求函数 的严格单调增区间;
(3)若方程 在区间 上有两个相异的实数根 ， 求实数 的取值范围和 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)的取值范围为，当时，，当时，
(1)
所以最小正周期
(2)由
解得
所以的单调增区间为
(3)因为，
由图可知，的取值范围为
因为在区间上的图象关于对称，
所以当时，
因为在区间上的图象关于对称，
所以当时，
2．（2022·山东济宁·高一期中）已知函数，任意相邻两个对称轴之间的距离为，
(1)求的值并求函数的对称轴方程、单调递增区间；
(2)若方程在上有两个不同的实根，求a的取值范围和的值．
【答案】(1)2，对称轴方程为，，，
(2)的取值范围是，
(1)
因为任意相邻两个对称轴之间的距离为，∴周期，
，即，
由，解得，
∴对称轴方程为，
由，得：，
所以的增区间为，，
(2)因为，，
方程即，
令，
方程的根的个数也即函数，图象交点的个数，
由图象可知，方程有两个实根需满足，所以．
即的取值范围是.
由图象，根据对称性可知，.

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