资源简介

5.4.3正切函数的性质与图象（精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：正切函数的定义域与值域问题
角度1：正切函数的定义域
角度2：正切函数的值域
重点题型二：正切函数的单调性及其应用
角度1：求正切函数的单调区间
角度2：单调性的应用
重点题型三：正切函数的周期性与奇偶性
重点题型四：正切函数图象的对称性
重点题型五：与正切（型）函数有关的值域（最值）问题
重点题型六：正切函数图象与性质的综合应用
第四部分：高考（模拟）题体验
知识点一：正切函数的图象
知识点二：正切（型）函数的性质
正切函数 正切型函数
定义域 由
值域
周期性
奇偶性 奇函数 当时是奇函数
单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间
对称性 对称中心：；无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴
1．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高一期中）已知函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则的图像的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高一期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·云南昭通·高一期末）函数的定义域为___________.
5．（2022·河南省嵩县第一高级中学高一阶段练习）已知函数的图象关于点中心对称，则的一个值可以是___________.
重点题型一：正切函数的定义域与值域问题
角度1：正切函数的定义域
典型例题
例题1．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）函数的定义域为__________．
例题2．（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）函数的定义域为___________.
同类题型演练
1．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）函数的定义域为______．
2．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）函数的定义域为_____________________.
3．（2022·广东·阳江市第三中学高一期中）函数的定义域是______________
角度2：正切函数的值域
典型例题
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）函数，的值域为________．
例题2．（2022·全国·高一课时练习）求函数，的最大值和最小值.
同类题型演练
1．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）函数在上的最小值为__________.
2．（2022·全国·高一课前预习）求函数，的值域．
重点题型二：正切函数的单调性及其应用
角度1：求正切函数的单调区间
典型例题
例题1．（2022·上海市仙霞高级中学高一期中）函数的单调增区间是______.
例题2．（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）（1）求函数的单调递增区间；
同类题型演练
1．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）函数的一个单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·广东深圳·高三阶段练习）若函数的最小正周期为，则下列区间中单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南·高一课时练习）求函数的定义域和单调区间．
角度2：单调性的应用
典型例题
例题1．（多选）（2022·全国·高一课时练习）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·北京·高一期末）函数在区间上为增函数，则实数的一个取值可以为___________.
例题3．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则___________.
例题4．（2022·上海市奉贤中学高一期中）已知函数在内是严格减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·湖南·高一课时练习）利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)，；
(2)，．
2．（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是______．
重点题型三：正切函数的周期性与奇偶性
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课前预习）函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
例题2．（2022·全国·高一课时练习）函数的最小正周期是______．
例题3．（2022·上海·华东政法大学附属中学高一期中）函数，的最小正周期为，则实数______．
同类题型演练
1．（2022·江苏省镇江中学高一阶段练习）已知函数的最小正周期为，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·山西太原·高一期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的偶函数
C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的奇函数
3．（2022·上海·华师大二附中高一期中）函数，若，则的值为________
重点题型四：正切函数图象的对称性
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知，则“函数的图象关于原点对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例题2．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（多选）（2022·辽宁·沈阳市第三十中学高一期中）曲线的对称中心可能是（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（多选）（2022·江西·景德镇一中高一期中）函数的对称中心可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南省嵩县第一高级中学高一阶段练习）已知函数的图象关于点中心对称，则的一个值可以是___________.
3．（2022·河南驻马店·高一期中（文））函数的图象的对称中心为______．
4．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））函数图象的一个对称中心的坐标是______．
重点题型五：与正切（型）函数有关的值域（最值）问题
典型例题
例题1．（2022·江西·模拟预测（文））函数的最大值为________．
例题2．（2022·安徽·砀山中学高一期中）函数，的值域为______．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为_______________.
重点题型六：正切函数图象与性质的综合应用
典型例题
例题1．（2022·广东茂名·高一期末）已知函数，若在区间上的最大值是，则_______；若在区间上单调递增，则的取值范围是___________．
例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数．
（1）当时，求的最小正周期及单调区间；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）已知.
（1）求的最小正周期；
（2）若是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足的值.
1．（2021·宁夏·银川一中模拟预测（文））函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的定义域为
C．的图象关于点对称 D．在上单调递增
3．（多选）（2021·山东潍坊·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若的最小正周期是，则
B．当时，的一个对称中心为
C．当时，
D．若在区间上单调递增，则的取值范围为
4．（2021·河南·三模）函数的最小正周期为___________.
5．（2021·宁夏·海原县第一中学二模（文））已知函数的最小正周期为，则ω=___________.
5.4.3正切函数的性质与图象（精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：正切函数的定义域与值域问题
角度1：正切函数的定义域
角度2：正切函数的值域
重点题型二：正切函数的单调性及其应用
角度1：求正切函数的单调区间
角度2：单调性的应用
重点题型三：正切函数的周期性与奇偶性
重点题型四：正切函数图象的对称性
重点题型五：与正切（型）函数有关的值域（最值）问题
重点题型六：正切函数图象与性质的综合应用
第四部分：高考（模拟）题体验
知识点一：正切函数的图象
知识点二：正切（型）函数的性质
正切函数 正切型函数
定义域 由
值域
周期性
奇偶性 奇函数 当时是奇函数
单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间
对称性 对称中心：；无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴
1．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高一期中）已知函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则的图像的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，
则有的周期，解得，
于是得，
所以的图像的对称中心横坐标方程满足，（），
解得，（）,可知为其一个对称中心.
故选：C
2．（2022·全国·高一）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意得，
函数在上单调递增且，
在上单调递增且，
因为，
所以，
所以.
故选：A.
3．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高一期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】根据正切函数性质可知，
当时，函数单调递增，
即，
故选：C.
4．（2022·云南昭通·高一期末）函数的定义域为___________.
【答案】
【详解】若使函数有意义，需满足：，
解得；
故答案为：
5．（2022·河南省嵩县第一高级中学高一阶段练习）已知函数的图象关于点中心对称，则的一个值可以是___________.
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：因为的图象关于点中心对称，所以，，
则，.
当时，
故答案为：
重点题型一：正切函数的定义域与值域问题
角度1：正切函数的定义域
典型例题
例题1．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）函数的定义域为__________．
【答案】
【详解】解：由题意得.
解得.
故答案为：
例题2．（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）函数的定义域为___________.
【答案】
【详解】解：由，有，
可得，，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）函数的定义域为______．
【答案】
【详解】令，，可得，，
故函数的定义域为．
故答案为：
2．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）函数的定义域为_____________________.
【答案】
【详解】由，解得
即函数的定义域为
故答案为：
3．（2022·广东·阳江市第三中学高一期中）函数的定义域是______________
【答案】
【详解】函数的定义域满足
即，所以函数的定义域为
故答案为：
角度2：正切函数的值域
典型例题
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）函数，的值域为________．
【答案】
【详解】y＝tan(π－x)＝－tan x，在上为减函数，所以值域为(－，1)．
故答案为：(－，1).
例题2．（2022·全国·高一课时练习）求函数，的最大值和最小值.
【答案】，
【详解】因为函数在上是增函数，
所以当时，，
当时，.
同类题型演练
1．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）函数在上的最小值为__________.
【答案】
【详解】正切函数在给定的定义域内单调递增，
则函数的最小值为.
2．（2022·全国·高一课前预习）求函数，的值域．
【答案】(1,].
【详解】由得,从而
,即,
所求函数的值域为(].
重点题型二：正切函数的单调性及其应用
角度1：求正切函数的单调区间
典型例题
例题1．（2022·上海市仙霞高级中学高一期中）函数的单调增区间是______.
【答案】
【详解】解：令，
得，
所以函数的单调增区间是.
故答案为：.
例题2．（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）（1）求函数的单调递增区间；
【答案】（1）（2）
【详解】（1）由，得
，
所以函数的增区间为，
同类题型演练
1．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）函数的一个单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为在区间上单调递增.
所以
所以的单调递增区间为.
当时: 区间为：.
故选：A.
2．（2022·广东深圳·高三阶段练习）若函数的最小正周期为，则下列区间中单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数的最小正周期为，且其增区间为，
对于函数，其最小正周期为，可得，则，
由，解得，其中，
所以，的单调递增区间为，
所以，函数在上递减，在上不单调，在上递增，在上递减.
故选：C
3．（2022·湖南·高一课时练习）求函数的定义域和单调区间．
【答案】定义域为，单调递减区间为，无单调递增区间；
【详解】解：因为，所以，令，解得，所以函数的定义域为；
令，解得，所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
角度2：单调性的应用
典型例题
例题1．（多选）（2022·全国·高一课时练习）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】对于A，因为，函数在上单调递增，所以．故A正确；
对于B, ．故B不正确；
对于C，，．又，函数在上单调递增，所以，即．故C不正确；
对于D，，．
又，函数在上单调递增，
所以，即．故D正确.
故选：AD.
例题2．（2022·北京·高一期末）函数在区间上为增函数，则实数的一个取值可以为___________.
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：因为正切函数的单调递增区间为，，
又函数在区间上为增函数，
所以.
故答案为：（答案不唯一）
例题3．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则___________.
【答案】##-0.25
【详解】因为函数在上单调递减，
所以，，则，
又因为函数在上的最大值为，
所以，即，
所以.
故答案为：
例题4．（2022·上海市奉贤中学高一期中）已知函数在内是严格减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数存在减区间，则
由，可得，
由题意函数在内是严格减函数，
可得且满足，解得.
故选：B.
同类题型演练
1．（2022·湖南·高一课时练习）利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)，；
(2)，．
【答案】(1)
(2)
(1)因为在上单调递增，
而，
所以
(2)因为在上单调递增，
因为，
而，
所以，
即.
2．（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：因为，所以，
所以，解得，即．
故答案为：
重点题型三：正切函数的周期性与奇偶性
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课前预习）函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
【答案】D
【详解】∵的周期为，定义域为
加上绝对值符号后，周期未改变，
又，
∴为偶函数.
故选：D．
例题2．（2022·全国·高一课时练习）函数的最小正周期是______．
【答案】##
【详解】由正切函数的图象与性质知：与的最小周期均为，
与的图象如图所示，

所以函数与最小正周期也一样，
函数的最小正周期是，
的最小正周期也是．
故答案为：
例题3．（2022·上海·华东政法大学附属中学高一期中）函数，的最小正周期为，则实数______．
【答案】##0.5
【详解】由题可知，，
∴.
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·江苏省镇江中学高一阶段练习）已知函数的最小正周期为，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由题意，.
故选：B
2．（2022·山西太原·高一期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的偶函数
C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的奇函数
【答案】C
【详解】解：的最小正周期为,
令，
所以函数的定义域关于原点对称.
又，
所以函数是奇函数.
故选：C
3．（2022·上海·华师大二附中高一期中）函数，若，则的值为________
【答案】0
【详解】因为，且，
所以，得，
所以，
故答案为：0
重点题型四：正切函数图象的对称性
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知，则“函数的图象关于原点对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】的图象关于原点对称，故，
因为可以推出，
但推不出，
所以“函数的图象关于原点对称”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
例题2．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得，
所以的对称中心为，取时，得.
故选：A
例题3．（多选）（2022·辽宁·沈阳市第三十中学高一期中）曲线的对称中心可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】由，，
得，，
当时，，故D正确；
当时，，故B正确；
当时，，故C正确；
由得，故A不正确.
故选：BCD
同类题型演练
1．（多选）（2022·江西·景德镇一中高一期中）函数的对称中心可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】对于函数，令，求得，，
∴函数的对称中心为，，
取，得对称中心为；
取，得对称中心为；
不可能是，.
故选：BC．
2．（2022·河南省嵩县第一高级中学高一阶段练习）已知函数的图象关于点中心对称，则的一个值可以是___________.
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：因为的图象关于点中心对称，所以，，
则，.
当时，
故答案为：
3．（2022·河南驻马店·高一期中（文））函数的图象的对称中心为______．
【答案】
【详解】令，解得，
所以函数的对称中心为.
故答案为：.
4．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））函数图象的一个对称中心的坐标是______．
【答案】（答案不唯一）
【详解】令，解得,则图象的对称中心的坐标是．
当时，，则是图像的一个对称中心．
故答案为：（答案不唯一）.
重点题型五：与正切（型）函数有关的值域（最值）问题
典型例题
例题1．（2022·江西·模拟预测（文））函数的最大值为________．
【答案】##
【详解】解：∵，∴，由题意得，当且仅当，即时取等号，故的最大值为．
故答案为：
例题2．（2022·安徽·砀山中学高一期中）函数，的值域为______．
【答案】
【详解】因为，所以，
，
则当时，，
当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为_______________.
【答案】
【详解】由得，，
故当时，有最小值，当时，有最大值.
故答案为：.
重点题型六：正切函数图象与性质的综合应用
典型例题
例题1．（2022·广东茂名·高一期末）已知函数，若在区间上的最大值是，则_______；若在区间上单调递增，则的取值范围是___________．
【答案】
【详解】因为，且在此区间上的最大值是，所以．
因为f(x)max=2tan=，所以 tan==，即ω=．
由，得．
令，得，即在区间上单调递增．
又因为在区间上单调递增，所以<，即．
所以的取值范围是．
故答案为：1，
例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数．
（1）当时，求的最小正周期及单调区间；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）4，，；（2）.
【详解】（1）当时，的最小正周期,故最小正周期为4；
要求的单调区间，只需，解得：，
故的增区间为，，无单减区间.
（2）∵，∴函数的周期．∵在上恒成立，∴在上为严格增函数，∴，∴．
∵，∴，即，即，∴，∴．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）已知.
（1）求的最小正周期；
（2）若是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足的值.
【答案】（1）；（2），.
【详解】（1）因为函数，
所以函数的最小正周期为；
（2）
若是奇函数，则，
解得，
令，解得，且，
所以，0，1，2.
故.
1．（2021·宁夏·银川一中模拟预测（文））函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由，
则
所以，即函数是偶函数
故排除A，C，
当时，，排除D.
故选：B
2．（多选）（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的定义域为
C．的图象关于点对称 D．在上单调递增
【答案】BCD
【详解】由题意，函数，可得的最小正周期为，所以A不正确；
令，解得，
即函数的定义域为，所以B正确；
令，解得，
当时，可得，所以函数的图象关于点对称，所以C正确；
由，可得，根据正切函数的性质，可得函数在上单调递增，所以D正确.
故选：BCD.
3．（多选）（2021·山东潍坊·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若的最小正周期是，则
B．当时，的一个对称中心为
C．当时，
D．若在区间上单调递增，则的取值范围为
【答案】BCD
【详解】对于A.若函数 的最小正周期是2π，则 ，解得，所以选项A错误；
对于B，时，函数，则，所以是f（x）的一个对称中心，选项B正确；
对于C, 时，函数，且，，
由 ，得，所以，选项C正确；
对于D，令，，
因为f(x)在区间上单调递增,所以，解得 ，
又ω＞0，所以，即 的取值范围是，选项D正确．
故选：BCD．
4．（2021·河南·三模）函数的最小正周期为___________.
【答案】
【详解】由题可知，的最小正周期.
故答案为：
5．（2021·宁夏·海原县第一中学二模（文））已知函数的最小正周期为，则ω=___________.
【答案】
【详解】函数的最小正周期为，故
故答案为：2

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