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5.5.2简单的三角恒等变换（精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：利用半角公式、万能公式求值
重点题型二：简单的三角恒等变换
重点题型三：辅助角公式的应用
重点题型四：三角函数的实际应用
第四部分：高考（模拟）题体验
知识点一：半角公式
①
②
③
知识点二：辅助角公式：
(其中)
知识点三：万能公式
①
②
③
1．（2022·全国·高一课时练习）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一阶段练习）化简求值：_______.
3．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）____．
4．（2022·全国·模拟预测（理））函数的最大值为______．
5．（2022·全国·高一课时练习）已知，求的值.
重点题型一：利用半角公式、万能公式求值
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）设，，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高一单元测试）已知，，则
A． B． C． D．
例题3．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则___________.
例题5．（2022·全国·高一课时练习）已知且，求：
(1)； (2)．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一期末）已知，若是第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2022·全国·高一课时练习）tan（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·南京师大附中高一期中）已知，且为钝角，则的值为___________.
4．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知，___________.
重点题型二：简单的三角恒等变换
典型例题
例题1．（多选）（2022·全国·高一课时练习）设的终边在第二象限，则的值可能为（ ）
A．1 B．-1 C．-2 D．2
例题2．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）已知
(1)求 ；
(2)求 的值.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一）求证：.
2．（2022·全国·高一课时练习）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
重点题型三：辅助角公式的应用
典型例题
例题1．（2022·河南南阳·高一期末）化简=（ ）
A．1 B． C． D．2
例题2．（2022·全国·高一课时练习）求值：____________．
例题3．（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）函数在区间上的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·北京亦庄实验中学高一期末）已知的最大值是2，则在中的最大值是（ ）
A． B．3
C． D．
例题5．（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数（）.求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.
同类题型演练
1．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知函数，则的（ ）
A．最小正周期为，最小值为 B．最小正周期为，最小值为
C．最小正周期为，最小值为 D．最小正周期为，最小值为
2．（多选）（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为2 B．的最小正周期为
C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称
3．（多选）（2022·全国·高一课时练习）（多选）若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高一课时练习）当函数取得最大值时，____________．
5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，求函数的值域．
重点题型四：三角函数的实际应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）如图，锐角（单位为弧度）的终边与单位圆交于点，作轴于点
(1)利用单位圆中的三角函数线证明：当时，；
(2)求的周长与面积之和的取值范围.
例题2．（2022·山东青岛·高一期末）如图所示，已知是半径为，中心角为的扇形，为弧上一动点，四边形是矩形，．
(1)求矩形的面积的最大值及取得最大值时的值；
同类题型演练
1．（2022·四川眉山·高一期末（理））已知的内角分别为A，B，C，且．
(1)求角C的大小；
(2)求的取值范围．
2．（2022·全国·高一专题练习）如图，已知扇形的半径为，中心角为，四边形是扇形的内接矩形，为上一动点，问：点在怎样的位置时，矩形的面积最大？并求出这个最大值．
1．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·模拟预测（理））（ ）
A． B． C． D．2
3．（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________．
4．（2022·新疆·二模（理））已知，，则__________．
5．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
5.5.2简单的三角恒等变换（精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：利用半角公式、万能公式求值
重点题型二：简单的三角恒等变换
重点题型三：辅助角公式的应用
重点题型四：三角函数的实际应用
第四部分：高考（模拟）题体验
知识点一：半角公式
①
②
③
知识点二：辅助角公式：
(其中)
知识点三：万能公式
①
②
③
1．（2022·全国·高一课时练习）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，∴，∵，
∴由半角公式可得.
故选：B
2．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一阶段练习）化简求值：_______.
【答案】
【详解】解：，
故答案为：
3．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）____．
【答案】
【详解】
又
故答案为：或
4．（2022·全国·模拟预测（理））函数的最大值为______．
【答案】2
【详解】
故函数的最大值为2
故答案为：2
5．（2022·全国·高一课时练习）已知，求的值.
【答案】
【详解】∵，∴，
.
∴.
重点题型一：利用半角公式、万能公式求值
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，则，则，
所以.
故选：A.
例题2．（2022·全国·高一单元测试）已知，，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，，，，，
故选D.
例题3．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】方法一：∵，，
∴.
方法二：∵，，
∴的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，即，
∴
故选：C
例题4．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则___________.
【答案】5
【详解】由，得，解得或.
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，，
∴.
故答案为：5
例题5．（2022·全国·高一课时练习）已知且，求：
(1)； (2)．
【答案】(1)(2)
（1）因为，所以，于是．
设．
．
（2） ．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一期末）已知，若是第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为，所以，
又是第二象限角，所以，
所以.
故选：B．
2．（多选）（2022·全国·高一课时练习）tan（　　）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】因为tan，故A 正确；
，故B错误；
∵sin2α＝1﹣cos2α
∴tan，故C正确，D错误；
故选：AC.
3．（2022·江苏·南京师大附中高一期中）已知，且为钝角，则的值为___________.
【答案】
【详解】因为为钝角，即，
所以，
又，所以
故答案为：.
4．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知，___________.
【答案】
【详解】因为，所以.
所以.
故答案为：
重点题型二：简单的三角恒等变换
典型例题
例题1．（多选）（2022·全国·高一课时练习）设的终边在第二象限，则的值可能为（ ）
A．1 B．-1 C．-2 D．2
【答案】AB
【详解】∵的终边在第二象限，
∴，，
∴，，
，
故当，时，
，
当，时，
，.
故选：AB
例题2．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）已知
(1)求 ；
(2)求 的值.
【答案】(1)；(2).
（1）由，所以；
（2）
同类题型演练
1．（2022·全国·高一）求证：.
【答案】证明见解析.
【详解】由，知：
左式右式 ，故等式得证.
2．（2022·全国·高一课时练习）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
（1）因为，，且，
得，，，，，
从而．
（2）．
重点题型三：辅助角公式的应用
典型例题
例题1．（2022·河南南阳·高一期末）化简=（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【详解】
.
故选：C.
例题2．（2022·全国·高一课时练习）求值：____________．
【答案】
【详解】．
故答案为：
例题3．（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）函数在区间上的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
，
，
令，得，，
，，
在上的零点为
故选：B
例题4．（2022·北京亦庄实验中学高一期末）已知的最大值是2，则在中的最大值是（ ）
A． B．3
C． D．
【答案】C
【详解】解：根据辅助角公式可得
，其中.
由的最大值为2可得,解得.
∴
.
∵，∴.
∴当，即时，取得最大值.
故
.
故选:C.
例题5．（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数（）.求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.
【答案】，的最大值为2，最小值为-1.
【详解】解：函数，
，
，
所以函数的最小正周期，
因为，
所以，
所以，
所以的最大值为2，最小值为-1.
同类题型演练
1．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知函数，则的（ ）
A．最小正周期为，最小值为 B．最小正周期为，最小值为
C．最小正周期为，最小值为 D．最小正周期为，最小值为
【答案】B
【详解】因为，
所以最小正周期为,最小值为.
故选：B.
2．（多选）（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为2 B．的最小正周期为
C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称
【答案】ABC
【详解】因为，
所以的最大值为2，故A正确.
最小正周期是，故B正确.
将代入，可得，则其图像关于直线对称，故C正确.
当时，，所以的图像关于点对称．故D错误.
故选: ABC.
3．（多选）（2022·全国·高一课时练习）（多选）若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】因为
，，故，
故的值可能为．故B，C错误.
故选：AD.
4．（2022·全国·高一课时练习）当函数取得最大值时，____________．
【答案】##
【详解】，且，
∴，
∴当，即时，函数取最大值2．
故答案为：
5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，求函数的值域．
【答案】．
【详解】由题意得，
因为，所以，所以，
则，
所以函数的值域为．
重点题型四：三角函数的实际应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）如图，锐角（单位为弧度）的终边与单位圆交于点，作轴于点
(1)利用单位圆中的三角函数线证明：当时，；
(2)求的周长与面积之和的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）由题图可知，，，
在中，，即
所以当时，；
（2）的周长为.
的面积为，
记的周长与面积之和为L，则，
设，，
因为，，
所以，即，
且，则，
所以
易知函数在上单调递增，故，
得，即的周长与面积之和的取值范围为
例题2．（2022·山东青岛·高一期末）如图所示，已知是半径为，中心角为的扇形，为弧上一动点，四边形是矩形，．
(1)求矩形的面积的最大值及取得最大值时的值；
【答案】(1)当时，；(2).
(1)因为，
所以，则，
又，所以，
所以
，
，则，
故当时，即当时，函数取得最大值，.
同类题型演练
1．（2022·四川眉山·高一期末（理））已知的内角分别为A，B，C，且．
(1)求角C的大小；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为，
所以，解得或，
由于，所以，可得；
(2)解：
，
因为，所以，则，
所以，
所以的取值范围是.
2．（2022·全国·高一专题练习）如图，已知扇形的半径为，中心角为，四边形是扇形的内接矩形，为上一动点，问：点在怎样的位置时，矩形的面积最大？并求出这个最大值．
【答案】当为中点时，矩形的面积取到最大值
【详解】如图，在中，设，则
在中，，所以．
所以
设矩形的面积为，则
由于，所以当，即时，．
因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为．
1．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得
，
，，
，
所以.
故选：A.
2．（2022·全国·模拟预测（理））（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】解：由题得.
故选：C
3．（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________．
【答案】
【详解】，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则．
故答案为：；．
4．（2022·新疆·二模（理））已知，，则__________．
【答案】##
【详解】解：由，，得，
所以．
故答案为：
5．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
【答案】 1
【详解】∵，∴
∴
故答案为：1，

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