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5.6.2 函数的图象（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：利用“五点法”作函数的图象
重点题型二：三角函数的图象变换
重点题型三：由的图象确定其解析式(或参数值)
重点题型四：函数的图象与性质的综合应用
重点题型五：函数的图象与三角恒等变换
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点一：五点法作图
必备方法：五点法步骤
③
①
②
对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,,
知识点二：三角函数图象变换
参数,,对函数图象的影响
1.对函数,的图象的影响
2、()对函数图象的影响
3、()对的图象的影响
4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
知识点三：根据图象求解析式
形如的解析式求法：
1、求法：
①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置.
②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解.
2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出.
3、求法：
①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解.
（第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近）
②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解.
③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案.
1．（2022·安徽省太和中学高三阶段练习）已知函数，若的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽·亳州二中高一期末）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
3．（2022·浙江·高三专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南·临颍县第一高级中学高二阶段练习（理））将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像．若在上单调递增，则m的取值可能为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022·上海·同济大学第一附属中学高一期中）将函数的图像上的所有点向右平移个单位，则所得的图像的函数表达式为___________.
重点题型一：利用“五点法”作函数的图象
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.
(1)填写上表，并用“五点法”画出在上的图象；
(2)先将的图象向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，最后将得到的图象向右平移个单位长度，得到的图象，求的对称轴方程.
例题2．（2022·全国·高一单元测试）已知函数.
(1)试用“五点法”画出它的图象；
列表：
作图：
(2)求它的振幅、周期和初相.
同类题型演练
1．（2022·陕西·宝鸡市渭滨中学高一阶段练习）已知函数．
（1）利用“五点法”画出该函数在长度为一个周期上的简图．列表
作图：
（2）说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换得到．
2．（2022·陕西西安·高一期末）已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)填写下面表格，并用“五点法”画出在一个周期内的图像．
重点题型二：三角函数的图象变换
典型例题
例题1．（2022·上海市青浦高级中学高一期末）把函数的图象向右平移个单位，得到的解析式是___________.
例题2．（2022·全国·模拟预测（文））要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向右平移
例题3．（2022·山西·太原五中高二阶段练习）为了得到函数的图像，只需要把函数的图像上（ ）
A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度
D．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度
例题4．（2022·江苏省如皋中学高一期末）将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，再将图象向左平移，得到的图象，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·辽宁大连·二模）将函数的图像分别向左 向右各平移个单位长度后，所得的两个函数图像的对称轴重合，则的最小值为___________.
2．（2022·全国·高三专题练习）现将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）（2022·江西景德镇·高一期中）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象与图像重合，则的值可以为（ ）
A．－6 B．6 C．8 D．12
重点题型三：由的图象确定其解析式(或参数值)
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）函数（，，）的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）函数（其中，）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
例题3．（2022·广东·高三阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．直线是图象的一条对称轴
B．图象的对称中心为，
C．在区间上单调递增
D．将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象
例题4．（多选）（2022·全国·高一单元测试）函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若把图像上的所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数在上是增函数
C．若把函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数是奇函数
D．，若恒成立，则的取值范围为
例题5．（2022·湖北·宜昌市一中高一阶段练习）函数的部分图像如图所示，将的图象向右平移个单位长度，然后再将纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数的图象.
（Ⅰ）求函数的解析式；
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）函数（，，）的部分图像如图所示，将的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则__________．
2．（2022·河南·新安县第一高级中学模拟预测（理））函数的部分图象如图所示，若把的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则m的值可能为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2022·广东广雅中学高一期末）函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．是图象的一个对称中心
C．在区间上单调递减
D．把图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象
4．（多选）（2022·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数图象的对称轴为直线
C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
5．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）已知函数的图像如图所示.
(1)求的解析式；
(2)将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数，求函数在上的值域.
重点题型四：函数的图象与性质的综合应用
典型例题
例题1．（2022·江西萍乡·高一期末）函数的部分图象如图所示，其中轴.
(1)试写出函数的解析式；
(2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象.若在区间上单调递增，求实数的取值范围.
例题2．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）已知函数的图像如图.
(1)根据图像，求的表达式及严格增区间；
(2)将函数的图像向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图像，且关于的方程在上有解，求的取值范围.
例题3．（2022·宁夏银川·高一期末）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式和单调增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的解、，求的值及实数的取值范围.
例题4．（2022·上海市松江二中高一期末）已知函数的部分图像如图所示.
(1)求函数的解析式，并求的单调递增区间；
(2)将图像上所有点先向右平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到的图像，记，是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有2022个零点？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.
例题5．（2022·内蒙古赤峰·高一期末（文））已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式：
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），然后将所得图象上每一个点都向下平移1个单位（横坐标不变），得到函数的图象，若方程在上有实数根，求实数的取值范围．
同类题型演练
1．（2022·江西九江·高一期末）设函数的最小正周期是，将其图象向左平移后得到的图象如图所示．
(1)求的值和函数的单增区间；
(2)令，且，求函数的值域．
2．（2022·重庆八中高一期末）函数的一段图象如下图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位，得到的图象.求直线与函数的图象在内所有交点的横坐标之和.
3．（2022·江苏南通·高一期末）函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求a的取值范围.
4．（2022·河北邯郸·高一期末）已知函数，（其中，，）的图象如图所示.
(1)求函数的解析式及其对称轴方程；
(2)若的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有两个不等的实根，，求实数的取值范围.
重点题型五：函数的图象与三角恒等变换
典型例题
例题1．（2022·陕西·铜川市第一中学高二期末（文））已知函数的部分图像如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)若，，求的值．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数．设．求函数在上的值域．
同类题型演练
1．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数（其中，，，均为常数，且，，）的部分图像如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若，，求的值域．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形．
（1）求的值及函数的单调减区间；
（2）若，且，求的值．
1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2．（2022·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·江苏·高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
5.6.2 函数的图象（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：利用“五点法”作函数的图象
重点题型二：三角函数的图象变换
重点题型三：由的图象确定其解析式(或参数值)
重点题型四：函数的图象与性质的综合应用
重点题型五：函数的图象与三角恒等变换
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点一：五点法作图
必备方法：五点法步骤
③
①
②
对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,,
知识点二：三角函数图象变换
参数,,对函数图象的影响
1.对函数,的图象的影响
2、()对函数图象的影响
3、()对的图象的影响
4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
知识点三：根据图象求解析式
形如的解析式求法：
1、求法：
①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置.
②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解.
2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出.
3、求法：
①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解.
（第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近）
②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解.
③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案.
1．（2022·安徽省太和中学高三阶段练习）已知函数，若的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，，
则.所以.
所以,取,则.
故选:C
2．（2022·安徽·亳州二中高一期末）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.
3．（2022·浙江·高三专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度得到，
又所以.
故选：B
4．（2022·河南·临颍县第一高级中学高二阶段练习（理））将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像．若在上单调递增，则m的取值可能为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
由，得，
则，，解得；
在四个选项中，只有B可以满足要求；
故选：B．
5．（2022·上海·同济大学第一附属中学高一期中）将函数的图像上的所有点向右平移个单位，则所得的图像的函数表达式为___________.
【答案】
【详解】解：将函数的图像上的所有点向右平移个单位，则所得的图像的函数表达式为.
故答案为：
重点题型一：利用“五点法”作函数的图象
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.
(1)填写上表，并用“五点法”画出在上的图象；
(2)先将的图象向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，最后将得到的图象向右平移个单位长度，得到的图象，求的对称轴方程.
【答案】(1)表格见解析，图象见解析
(2)
（1）（1）由题意可得表格如下：
x 0
0 0
可得图象如图所示.
（2）将的图象向上平移1个单位长度得到的图象，
再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的可得到的图象，
最后将得到的图象向右平移个单位长度，
可得的图象，
即，
令，解得，
所以的对称轴方程是.
例题2．（2022·全国·高一单元测试）已知函数.
(1)试用“五点法”画出它的图象；
列表：
作图：
(2)求它的振幅、周期和初相.
【答案】(1)答案见解析
(2)振幅为，周期，初相为
(1)列表如下：
0
0 2 0 0
描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：
(2)由可知，振幅，初相为，
最小正周期.
同类题型演练
1．（2022·陕西·宝鸡市渭滨中学高一阶段练习）已知函数．
（1）利用“五点法”画出该函数在长度为一个周期上的简图．列表
作图：
（2）说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换得到．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【详解】（1）列表
0
0 2 0 -2 0
作图
（2）将图象向左平移个长度单位，可得，
横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得，
纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，可得.
2．（2022·陕西西安·高一期末）已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)填写下面表格，并用“五点法”画出在一个周期内的图像．
【答案】(1)
(2)填表见解析；作图见解析
（1） ，∴函数的最小正周期．
（2）由题意列表如下，
x
0
0 1 0 0
图像如下：
重点题型二：三角函数的图象变换
典型例题
例题1．（2022·上海市青浦高级中学高一期末）把函数的图象向右平移个单位，得到的解析式是___________.
【答案】
【详解】把函数的图象向右平移个单位，
得到函数的图象，即得到函数解析式为，
故答案为：
例题2．（2022·全国·模拟预测（文））要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向右平移
【答案】D
【详解】，
因此，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度.
故选：D.
例题3．（2022·山西·太原五中高二阶段练习）为了得到函数的图像，只需要把函数的图像上（ ）
A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度
D．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度
【答案】B
【详解】对于A，函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图像，再向左平移个单位长度，得到函数的图像，故A错误；
对于B， 函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图像，再向左平移个单位长度得到函数的图像，故B正确；
对于C，函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图像再向左平移个单位长度得到函数的图像，故C错误；
对于D， 函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图像再向左平移个单位长度得到函数的图像，故D错误.
故选：B.
例题4．（2022·江苏省如皋中学高一期末）将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，再将图象向左平移，得到的图象，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，
再将图象向左平移，得到的图象，
故选：A.
同类题型演练
1．（2022·辽宁大连·二模）将函数的图像分别向左 向右各平移个单位长度后，所得的两个函数图像的对称轴重合，则的最小值为___________.
【答案】3
【详解】将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，
得到，
，
因为两个函数图象的对称轴重合，
所以，Z，
所以，Z，
因为，所以当时，取得最小值为3．
故答案为：3．
2．（2022·全国·高三专题练习）现将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】向右平移 个单位长度得，再将所得图像上所有点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，得：，所以
故答案为：A
3．（多选）（2022·江西景德镇·高一期中）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象与图像重合，则的值可以为（ ）
A．－6 B．6 C．8 D．12
【答案】ABD
【详解】由题意可知，，
因为函数的图象与图像重合，
所以，解得.
当时，，故A正确；
当时，，故B正确；
当时，，故D正确；
故选：ABD.
重点题型三：由的图象确定其解析式(或参数值)
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）函数（，，）的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据函数（，，）的部分图象，可得，，∴．结合五点法作图可得，∴，．
将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），可得的图象．再把所得的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象．令，求得，可得函数的单调递增区间为，，令，可得一个增区间为.
故选：A.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）函数（其中，）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】由图象可知，，函数的最小正周期为，，
，
，，，得，，
，
因此，只需将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象.
故选：D.
例题3．（2022·广东·高三阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．直线是图象的一条对称轴
B．图象的对称中心为，
C．在区间上单调递增
D．将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象
【答案】C
【详解】由函数图象可知，,最小正周期为 ，
所以 ，
将点代入函数解析式中，得：，结合，
所以，故，
对于A，当时，，故直线不是图象的一条对称轴，A错误;
对于B，令，则，
即图象的对称中心为，，故B错误；
对于C，当时，，由于正弦函数在上递增，
故在区间上单调递增，故C正确；
对于D，将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，该函数不是奇函数，故D错误；
故选：C
例题4．（多选）（2022·全国·高一单元测试）函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若把图像上的所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数在上是增函数
C．若把函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数是奇函数
D．，若恒成立，则的取值范围为
【答案】CD
【详解】对于A，由图像可知：的最小正周期，；
，，
解得：，又，，
，A错误；
对于B，图像上的所有点的横坐标变为原来的倍得：，
当时，，在上不单调，B错误；
对于C，的图像向左平移个单位长度得：，
，即为奇函数，C正确；
对于D，，
由得：，
当时，，，
，，
即实数的取值范围为，D正确.
故选：CD.
例题5．（2022·湖北·宜昌市一中高一阶段练习）函数的部分图像如图所示，将的图象向右平移个单位长度，然后再将纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数的图象.
（Ⅰ）求函数的解析式；
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）由图知，解得，，
故，即．
由于，故，，
即的解析式为：
．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）函数（，，）的部分图像如图所示，将的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则__________．
【答案】
【详解】由题图可知：，，又，所以．
又，，又，所以令，得.
所以，所以．
故答案为：.
2．（2022·河南·新安县第一高级中学模拟预测（理））函数的部分图象如图所示，若把的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则m的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由图可知，，因为图像过，，所以，
解得，则，
根据图像可知且，解得，
所以，；
把的图象向左平移个单位长度后得到函数，
根据诱导公式可得，
解得，当时，.
故选：C.
3．（多选）（2022·广东广雅中学高一期末）函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．是图象的一个对称中心
C．在区间上单调递减
D．把图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象
【答案】BC
【详解】由题意知，，，所以周期，，
又，
所以，
故，
所以A错误，
又，故B正确.
因为，所以，由于正弦函数在其上单调递减，
所以函数在上单调递减，故C正确，
将图象上所有点向右平移个单位长度后得到的图象，故D不正确.
故选：BC.
4．（多选）（2022·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数图象的对称轴为直线
C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
【答案】ABD
【详解】对于A选项，由图可知，
设函数的最小正周期为，则，，，则，
由得，解得，
又，，，A正确；
对于B选项，由，得，B正确；
对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度，
得的图象，C错误；
对于D选项，由得，
由的图象可知，要使函数在区间上的值域为，
则，解得，D正确.
故选：ABD.
5．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）已知函数的图像如图所示.
(1)求的解析式；
(2)将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数，求函数在上的值域.
【答案】(1)(2)
(1)由图可知，，，.
当时，，，，.
又，.综上，的解析式为.
(2)由题可知，
当时，.
当时，取得；
当时，取得最大值，为.
在上的值域为.
重点题型四：函数的图象与性质的综合应用
典型例题
例题1．（2022·江西萍乡·高一期末）函数的部分图象如图所示，其中轴.
(1)试写出函数的解析式；
(2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象.若在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
(1)由图知，点M与N间的最大值对应的横坐标为，
设的最小正周期为T，则，得，则，
把代入中，即，得，
因为，故，所以；
(2)由题知，，
由得：，
又中，即，故m的取值范围是.
例题2．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）已知函数的图像如图.
(1)根据图像，求的表达式及严格增区间；
(2)将函数的图像向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图像，且关于的方程在上有解，求的取值范围.
【答案】(1)，增区间为；(2)[-1,2].
(1)根据函数的图象，可得，
，所以，，
由五点法作图，可得，
，故，
令，求得，Z，
的单调递增区间，Z．
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线的图象，
把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象，
由在上有解，即在上有解，
因为，，
所以，
所以的取值范围为．
例题3．（2022·宁夏银川·高一期末）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式和单调增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的解、，求的值及实数的取值范围.
【答案】(1)，增区间为；
(2)，.
(1)解：设的最小正周期为，由图象可知，则，
故，
又，所以，即，
所以，所以，
因为，所以，所以，所以，
所以，
令，则，
故的单调增区间为.
(2)解：将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，
由，知，
由可得，由可得，
若关于的方程在区间上有两个不同的解、，
则点、关于直线对称，
故，所以，，
作出函数与函数在区间上的图象如下图所示：
由图可知，当时，即当时，
函数与函数在区间上的图象有两个交点.
综上所述，，实数的取值范围是.
例题4．（2022·上海市松江二中高一期末）已知函数的部分图像如图所示.
(1)求函数的解析式，并求的单调递增区间；
(2)将图像上所有点先向右平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到的图像，记，是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有2022个零点？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，或3时，；时，
(1)由图像可得：，解得：，所以，解得：.
所以.
又由图像可得：，又因为，所以，
所以.
要求函数的单增区间，只需，
解得：，
即的单调递增区间为.
(2)图像上所有点先向右平移个单位得到，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到.
所以
若，则.
令，周期为，令.
作出的图像如图所示：
要使存在实数和正整数，使得函数在上恰有2022个零点，
只需：i.当或时，即或时，与在一个周期内只有1个公共点，此时，.
ii.当或，即或时，与在每一个周期内均有2个公共点，
只需.
例题5．（2022·内蒙古赤峰·高一期末（文））已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式：
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），然后将所得图象上每一个点都向下平移1个单位（横坐标不变），得到函数的图象，若方程在上有实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)解：由图可得：，，又，，，
，又因为过点，
，，
，，解得，，
又，，
.
(2)解：将函数的图象上所有的点向右平移个单位得到，
再将上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，
最后将图象上的每一个点都向下平移1个单位（横坐标不变）得到，
即，
因为，所以，所以，
则，
因为方程在上有实数根，即与在上有交点，
所以.
同类题型演练
1．（2022·江西九江·高一期末）设函数的最小正周期是，将其图象向左平移后得到的图象如图所示．
(1)求的值和函数的单增区间；
(2)令，且，求函数的值域．
【答案】(1)；
(2)
(1)因为，所以将的图象向左平移后，所对应的式子为．
由图象知，，所以
由，得到，
单增区间是
(2)．
因为，所以，
因此
故函数的值域是．
2．（2022·重庆八中高一期末）函数的一段图象如下图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位，得到的图象.求直线与函数的图象在内所有交点的横坐标之和.
【答案】(1)
(2)
(1)由题图知，，于是，
将的图象向左平移个单位长度，得的图象.
于是
所以，
(2)由题意得
故
由，得
因为，所以
所以或或或，
所以，在给定区间内，所有交点的横坐标之和为.
3．（2022·江苏南通·高一期末）函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求a的取值范围.
【答案】(1)，
(2)或
(1)解：由题图得，，
，
，
，，
，，
又，，，
令，，
解得，，
函数的单调递减区间为，；
(2)解：将的图象向右平移个单位长度得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的π倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
若在上有两个解，则与的图象在上有两个不同的交点，
令，则作出函数在上的简图，
结合图像可得或，
所以a的取值范围为或.
4．（2022·河北邯郸·高一期末）已知函数，（其中，，）的图象如图所示.
(1)求函数的解析式及其对称轴方程；
(2)若的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有两个不等的实根，，求实数的取值范围.
【答案】(1)，对称轴方程为
(2)
(1)由图知，，，所以，，
由，即，故，，
所以，，又，所以，
故，
令则，
所以的对称轴方程为.
(2)由题意可得，
因为，所以，
所以，
所以方程有两个不等实根时，
的图象与直线有两个不同的交点，
作图可得，所以.
故实数的取值范围为.
重点题型五：函数的图象与三角恒等变换
典型例题
例题1．（2022·陕西·铜川市第一中学高二期末（文））已知函数的部分图像如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)(2)
（1）因为故由图象可知 ,,则 ，又因为图象过点 ，故，，故,则，由于，故，故函数 的解析式为；
（2）因为，所以，由得：，故，所以.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数．设．求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)
(1)由图可知，，即，所以，
又，则可得，
因为，所以，
所以；
(2)由题，，
则
，
因为，所以，
则当时，，当，，
所以在上的值域为.
同类题型演练
1．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数（其中，，，均为常数，且，，）的部分图像如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若，，求的值域．
【答案】(1)；
(2).
(1)由题图且，则，，
，则且，又，故，
综上，.
(2)由题设，，而，
所以，则，
故
2．（2022·全国·高三专题练习）函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形．
（1）求的值及函数的单调减区间；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1），函数的单调递减区间为；（2）.
【详解】解：（1）
，
正三角形的高为，
，
函数的周期，，
函数.
令
所以
所以
所以函数的单调递减区间为
（2），由（1）有，
即，由，知，，
．
．
1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.
2．（2022·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
3．（2021·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
4．（2020·江苏·高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
【答案】##
【详解】
当时
故答案为：

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