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5.7三角函数的应用（精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：三角函数模型在物理学中的应用
重点题型二：三角函数模型在日常生活中的应用
重点题型三：三角函数模型在圆周运动问题中的应用
重点题型四：数据拟合三角函数模型问题
知识点一：函数(,)中,各参数的物理意义
振幅 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离　　　
周期 它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间
频率 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数　　　
相位 时的相位称为初相
知识点二：应用三角函数模型解决问题的一般程序
应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.
(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.
(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.
1．（2022·北京·人大附中高一阶段练习）如图，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·广东省阳山县阳山中学高一阶段练习）把函数的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像.则函数的一个解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南·高一课时练习）电流随时间变化的函数的图象如图所示，则时的电流为______．
5．（2022·广东·佛山市顺德区容山中学高一阶段练习）某城市一年中个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知月份的月平均气温最高，为，月份的月平均气温最低，为，则月份的平均气温值为________.
重点题型一：三角函数模型在物理学中的应用
典型例题
例题1．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在秒时相对于平衡位置的高度（厘米）由如下关系式确定：，，.已知当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在秒时的值为（ ）
A．-2 B．2 C． D．
例题2．（2022·全国·高一课时练习）若电流（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示．则函数的最小正周期为______，当时的电流为______A．
例题3．（2022·全国·高一单元测试）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为．
（1）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系；
（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围．
同类题型演练
1．（2022·辽宁·大连八中高一阶段练习）单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为，那么单摆来回摆动的振幅（厘米）和一次所需的时间（秒）为（ ）
A．3，4 B．，4 C．3，2 D．，2
2．（2022·吉林·延边州教育学院一模（文））已知某简谐振动的振动方程是，该方程的部分图象如图．经测量，振幅为．图中的最高点D与最低点E，F为等腰三角形的顶点，则振动的频率是（ ）
A．0.125Hz B．0.25Hz C．0.4Hz D．0.5Hz
重点题型二：三角函数模型在日常生活中的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高一单元测试）某市一年12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数（）来表示，已知该市6月份的平均气温最高，为，12月份的平均气温最低，为，则该市8月份的平均气温为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·福建福州·高一期末）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃.
例题3．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）如图，某摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，，已知摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处．则（米）关于（分钟）的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2022·浙江宁波·高一期末）某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象，如图所示.
（1）根据图中数据，试求的表达式.
（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）某人的血压满足函数解析式，其中为血压，为时间，则此人每分钟心跳的次数为（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
2．（2022·浙江·高三专题练习）红河州个旧市是一个风景优美的宜居城市，如图是个旧宝华公园的摩天轮，半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度能够将个旧市区美景尽收眼底，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度（单位：分钟）为（ ）
A． B．3 C． D．
3．（2022·辽宁丹东·高一期末）如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足，其中，，.
(1)求，，，；
(2)求这一天时的最大温差近似值.
参考数据：，.
重点题型三：三角函数模型在圆周运动问题中的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）筒车是一种以水流作动力，取水灌田的工具，是中国古代人民伟大的发明之一.如图，已知某个半径为6m的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转2圈，筒车轴心距水面3m，设筒车上某个盛水筒，以刚浮出水面时开始计算时间，则盛水筒出水后第一次到达最高点的时间（单位：s）为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
例题2．（2022·全国·高一课时练习）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖指向位置.若初始位置为，秒针从(注：此时)开始沿顺时针方向走动，则点的纵坐标与时间(秒)的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（多选）（2022·浙江衢州·高一期末）衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点从水中浮现时（图中）开始计时，则（ ）
A．点第一次达到最高点，需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点距离水面2米
C．在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点距水面超过2米
D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为
例题4．（2022·全国·高一专题练习）某游乐场中半径为米的摩天轮逆时针（固定从一侧观察）匀速旋转，每分钟转一圈，其最低点离底面米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度（米）随时间（秒）变化的关系式为_____.
例题5．（2022·浙江宁波·高一期末）如图所示，摩天轮的直径为100m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min．
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)在甲进座舱后间隔3个座舱乙游客进座舱（如图所示，此时甲、乙分别位于、两点，本题中将座舱视为圆周上的点），以乙进座舱后开始计时，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求出时的取值范围．
同类题型演练
1．（2022·湖北·高一阶段练习）一个半径为5米的水轮示意图，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，水轮上的点P到水面的距离y（单位：米）与时间x（单位：秒）满足函数关系式，，，则有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（多选）（2022·全国·高一）如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．点Q距离水平地面的高度与时间的函数为
B．点Q距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为
C．经过10分钟点Q距离地面35米
D．摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟
3．（2022·浙江·杭十四中高一期末）如图所示，在平面直角坐标系中，动点以每秒的角速度从点出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到，再以每秒的角速度从点沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点，则上述过程中动点的纵坐标关于时间的函数表达式为___________.
4．（2022·全国·高一）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖的位置为，若初始位置为，当秒针针尖从（注：此时）正常开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系式为__________.
5．（2022·广西·容县高级中学高一开学考试）如图，A、B是单位圆上的两个质点，B为的初始坐标是，，质点A以1弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点B以1弧度/秒的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点A作轴于，过点B作轴于．
（1）求经过1秒后，的弧度数；
（2）求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间；
（3）记点与，间的距离为y，请写出y与时间t的函数关系式．
重点题型四：数据拟合三角函数模型问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）下表是某市近30年来月平均气温（℃）的数据统计表：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月平均气温 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3
则适合这组数据的函数模型是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·全国·高一）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时刻与水深值（单位：）记录表：
时刻
水深值
经过长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可以近似用函数来描述．
(1)根据以上数据，求出时，函数的表达式；
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），问该船在一天内（）何时能进入港口？
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动.习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流.早先的人们为了表示生潮的时刻，把发生在早晨的高潮叫潮，发生在晚上的高潮叫汐，这是潮汐名称的由来.下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系（夜间零点开始计时）.
时刻（t） 0 2 4 6 8 10 12
水深（y）单位：米 5.0 4.8 4.7 4.6 4.4 4.3 4.2
时刻（t） 14 16 18 20 22 24
水深（y）单位：米 4.3 4.4 4.6 4.7 4.8 5.0
用函数模型来近似地描述这些数据，则________.
2．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）某港口的海水深度y（单位：）是时间t（，单位：）的函数，记为.已知某日海水深度的数据如下表：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
经长期观察，的图像可以近似地看成函数的图像.一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的.
(1)试根据以上数据，求出的函数解析式；
(2)已知某船的吃水深度（船底与水面的距离）为，若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？
5.7三角函数的应用（精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：三角函数模型在物理学中的应用
重点题型二：三角函数模型在日常生活中的应用
重点题型三：三角函数模型在圆周运动问题中的应用
重点题型四：数据拟合三角函数模型问题
知识点一：函数(,)中,各参数的物理意义
振幅 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离　　　
周期 它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间
频率 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数　　　
相位 时的相位称为初相
知识点二：应用三角函数模型解决问题的一般程序
应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.
(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.
(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.
1．（2022·北京·人大附中高一阶段练习）如图，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由于表示距离，为非负数，所以BC选项错误.
点的初始位置为，在第四象限，
所以A选项符合，D选项不符合.
故选：A
2．（2022·广东省阳山县阳山中学高一阶段练习）把函数的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像.则函数的一个解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：将函数的图像所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到，再把函数的图象向左平移个单位长度，得到.
故选：B
3．（2022·全国·高一课时练习）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相为，可得，，，所以噪声的声波曲线的解析式为，所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为.
故选D．
4．（2022·湖南·高一课时练习）电流随时间变化的函数的图象如图所示，则时的电流为______．
【答案】
【详解】由函数的图象可得，且，故，
而，故，
解得，故，
故，
故答案为：.
5．（2022·广东·佛山市顺德区容山中学高一阶段练习）某城市一年中个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知月份的月平均气温最高，为，月份的月平均气温最低，为，则月份的平均气温值为________.
【答案】
【详解】依题意知，，，
所以，
当时，
，
故答案为：.
重点题型一：三角函数模型在物理学中的应用
典型例题
例题1．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在秒时相对于平衡位置的高度（厘米）由如下关系式确定：，，.已知当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在秒时的值为（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】因为当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，故，即，又，故，故，故当时，
故选：D
例题2．（2022·全国·高一课时练习）若电流（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示．则函数的最小正周期为______，当时的电流为______A．
【答案】 ##0.02 0
【详解】由图象，可知该函数的最小正周期是，
设，由函数的最小正周期是，
可知，
故时的电流是0A．
故答案为：；0.
例题3．（2022·全国·高一单元测试）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为．
（1）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系；
（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【详解】（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以．
因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，所以周期为2，
即，所以．
所以，．
（2）由题意，当时，小球第一次到达最高点，
以后每隔一个周期都出现一次最高点，
因为小球在内经过最高点的次数恰为50次，
所以．
因为，所以，
所以的取值范围为．
（注：的取值范围不考虑开闭）
同类题型演练
1．（2022·辽宁·大连八中高一阶段练习）单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为，那么单摆来回摆动的振幅（厘米）和一次所需的时间（秒）为（ ）
A．3，4 B．，4 C．3，2 D．，2
【答案】A
【详解】解：因为距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为，
所以单摆来回摆动的振幅为3和一次所需的时间为，
故选：A
2．（2022·吉林·延边州教育学院一模（文））已知某简谐振动的振动方程是，该方程的部分图象如图．经测量，振幅为．图中的最高点D与最低点E，F为等腰三角形的顶点，则振动的频率是（ ）
A．0.125Hz B．0.25Hz C．0.4Hz D．0.5Hz
【答案】B
【详解】设该简谐振动的周期为，，
因为，则，
解得
，
故选：B
重点题型二：三角函数模型在日常生活中的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高一单元测试）某市一年12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数（）来表示，已知该市6月份的平均气温最高，为，12月份的平均气温最低，为，则该市8月份的平均气温为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得：
即，解得：，
所以，
所以该市8月份的平均气温为，
故选：A.
例题2．（2022·福建福州·高一期末）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃.
【答案】20.5##
【详解】据题意得 ，
解得 ，
所以
令 得 .
故答案为：20.5
例题3．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）如图，某摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，，已知摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处．则（米）关于（分钟）的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意，A＝50，b＝60，T＝3；
故ω，
故y＝50sin（t+φ）+60；
则由50sinφ+60＝10及φ∈[﹣π，π]得，
φ；
故y50sin（t）+60；
故选：C
例题4．（2022·浙江宁波·高一期末）某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象，如图所示.
（1）根据图中数据，试求的表达式.
（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？
【答案】（1）；（2）老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时；
【详解】解：（1）依题意可得解得，又即，解得，所以，又函数过点，所以，即，所以，解得，因为，所以，所以
（2）依题意令，即
所以
解得
因为
所以，又
即老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时；
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）某人的血压满足函数解析式，其中为血压，为时间，则此人每分钟心跳的次数为（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】C
【详解】由题意得：函数的周期为，
所以频率，
所以此人每分钟心跳的次数为80．
故选：C
2．（2022·浙江·高三专题练习）红河州个旧市是一个风景优美的宜居城市，如图是个旧宝华公园的摩天轮，半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度能够将个旧市区美景尽收眼底，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度（单位：分钟）为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【详解】设点P距离地面高度h与时间t的函数
解析式为，
由题意，得，，，
所以，
又因为，所以，
所以，
令，即，
故，即在摩天轮转动的一圈内，
有分钟会有这种最佳视觉效果.
故选：C.
3．（2022·辽宁丹东·高一期末）如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足，其中，，.
(1)求，，，；
(2)求这一天时的最大温差近似值.
参考数据：，.
【答案】(1)，，，
(2)
(1)由图象可知：，，最小正周期，
，，；
，，
，解得：，
又，.
(2)由图象可知：在上单调递减，在上单调递增，
，，
，
即这一天时的最大温差近似值为.
重点题型三：三角函数模型在圆周运动问题中的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）筒车是一种以水流作动力，取水灌田的工具，是中国古代人民伟大的发明之一.如图，已知某个半径为6m的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转2圈，筒车轴心距水面3m，设筒车上某个盛水筒，以刚浮出水面时开始计算时间，则盛水筒出水后第一次到达最高点的时间（单位：s）为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【详解】过O做OQ垂直水面，为最高点，如图所示
由题意得，
所以，则，
所以，所以盛水筒P出水后第一次到达最高点要旋转，即为个周期，
又筒车每分钟匀速旋转2圈，可得周期为30秒，
所以盛水筒P出水后第一次到达最高点用时秒，
故选：D
例题2．（2022·全国·高一课时练习）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖指向位置.若初始位置为，秒针从(注：此时)开始沿顺时针方向走动，则点的纵坐标与时间(秒)的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】∵秒针每秒转动，而初始相位为且初始位置为，
∴，且秒针从(此时)开始沿顺时针方向走动，
∴.
故选：C
例题3．（多选）（2022·浙江衢州·高一期末）衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点从水中浮现时（图中）开始计时，则（ ）
A．点第一次达到最高点，需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点距离水面2米
C．在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点距水面超过2米
D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为
【答案】ABD
【详解】如图所示，过点O作OC⊥水面于点C，作OA平行于水面交圆于点A，过点P作PB⊥OA于点B，则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈，故转动的角速度为（），且点P从水中浮现时（图中）开始计时，t（秒）后，可知，又水轮半径为4米，水轮中心O距离水面2米，即m，m，所以，所以，因为m，所以，故，D选项正确；
点P第一次达到最高点，此时，令，解得：（s），A正确；
令，解得：，，当时，（s），B选项正确；
，令，解得：，故有30s的时间点P距水面超过2米，C选项错误；
故答案为：ABD
例题4．（2022·全国·高一专题练习）某游乐场中半径为米的摩天轮逆时针（固定从一侧观察）匀速旋转，每分钟转一圈，其最低点离底面米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度（米）随时间（秒）变化的关系式为_____.
【答案】
【详解】设，
由题意可得，，，
因为为最低点，
代入可得，，
，时，，
.
故答案为：
例题5．（2022·浙江宁波·高一期末）如图所示，摩天轮的直径为100m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min．
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)在甲进座舱后间隔3个座舱乙游客进座舱（如图所示，此时甲、乙分别位于、两点，本题中将座舱视为圆周上的点），以乙进座舱后开始计时，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求出时的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
(1)如图，
以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系．
由题意，摩天轮的角速度
所以甲所在的位置的纵坐标
则
(2)
令甲、乙两位游客距离地面的高度为、，则
，
令，得或
解得：．
同类题型演练
1．（2022·湖北·高一阶段练习）一个半径为5米的水轮示意图，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，水轮上的点P到水面的距离y（单位：米）与时间x（单位：秒）满足函数关系式，，，则有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【详解】因为水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，
函数周期，所以
由图知，点P到水面距离的最大值为7，所以，得.
故选：A
2．（多选）（2022·全国·高一）如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．点Q距离水平地面的高度与时间的函数为
B．点Q距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为
C．经过10分钟点Q距离地面35米
D．摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟
【答案】CD
【详解】由题意知，OQ在分钟转过的角为，
所以以OQ为终边的角为，
所以点Q距离水平地面的高度与时间的关系为，故A错误；
由，得，所以不是对称中心，故B错误；
经过10分钟，，故C正确；
由，得，得，解得，共20分钟，故D正确.
故选：CD
3．（2022·浙江·杭十四中高一期末）如图所示，在平面直角坐标系中，动点以每秒的角速度从点出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到，再以每秒的角速度从点沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点，则上述过程中动点的纵坐标关于时间的函数表达式为___________.
【答案】
【详解】由三角函数的定义可得：当动点在半径为2的上半圆上运动时，，终边对应的角度为，所以点坐标为，
当动点在半径为1的下半圆上运动时，，终边对应的角度为，
所以点坐标为，
综上：动点的纵坐标关于时间的函数表达式为，
故答案为：
4．（2022·全国·高一）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖的位置为，若初始位置为，当秒针针尖从（注：此时）正常开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系式为__________.
【答案】
【详解】设点的纵坐标与时间的函数关系式为，由初始位置可得函数的初相位为，又函数周期是秒，且秒针按顺时针旋转，即，所以，即，所以.
故答案为：.
5．（2022·广西·容县高级中学高一开学考试）如图，A、B是单位圆上的两个质点，B为的初始坐标是，，质点A以1弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点B以1弧度/秒的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点A作轴于，过点B作轴于．
（1）求经过1秒后，的弧度数；
（2）求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间；
（3）记点与，间的距离为y，请写出y与时间t的函数关系式．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【详解】解（1）经过1秒后运动的角度为1，运动的角度为，
，
（2）设、第一次相遇时所用的时间是，
则．
（秒，即第一次相遇的时间为秒；
（3）由题意可得，，
.
重点题型四：数据拟合三角函数模型问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）下表是某市近30年来月平均气温（℃）的数据统计表：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月平均气温 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3
则适合这组数据的函数模型是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值因此排除选项A，D；
又当时，函数y是单调递增的，当时，函数y是单调递减的，由此排除选项B；
故选：C
例题2．（2022·全国·高一）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时刻与水深值（单位：）记录表：
时刻
水深值
经过长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可以近似用函数来描述．
(1)根据以上数据，求出时，函数的表达式；
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），问该船在一天内（）何时能进入港口？
【答案】(1)
(2)、和
(1)，，，；
由表格数据知：最小正周期，即，；
，，
解得：，又，，.
(2)由题意知：若该船能进入港口，则需，
即，；
，，
则当或或，即或或时，，
该船可在、和进入港口.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动.习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流.早先的人们为了表示生潮的时刻，把发生在早晨的高潮叫潮，发生在晚上的高潮叫汐，这是潮汐名称的由来.下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系（夜间零点开始计时）.
时刻（t） 0 2 4 6 8 10 12
水深（y）单位：米 5.0 4.8 4.7 4.6 4.4 4.3 4.2
时刻（t） 14 16 18 20 22 24
水深（y）单位：米 4.3 4.4 4.6 4.7 4.8 5.0
用函数模型来近似地描述这些数据，则________.
【答案】##
【详解】由表中某市码头某一天水深与时间的关系近似为函数，从表中数据可知，函数的最大值为5.0，最小值为4.2，所以,解得，，故.
故答案为：或写成.
2．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）某港口的海水深度y（单位：）是时间t（，单位：）的函数，记为.已知某日海水深度的数据如下表：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
经长期观察，的图像可以近似地看成函数的图像.一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的.
(1)试根据以上数据，求出的函数解析式；
(2)已知某船的吃水深度（船底与水面的距离）为，若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？
【答案】(1)(2)小时
(1)解：根据题意得：
函数最小正周期，
∴，即.
∴.
(2)该船安全进出港，需满足
即，即
又
∴
又
∴ 或
∴该船在港内停留的时间最多不能超过小时.

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