资源简介

6类三角恒等变换解题技巧
技法01 拼凑思想的应用及解题技巧
知识迁移
例1-1．（全国·高考真题）tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
【详解】=
例1-2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】由，所以，则
1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果.
【详解】且，，.
又，，.
当时，
，
，，不合题意，舍去；
当，同理可求得，符合题意.
综上所述：.
故选：.
【点睛】易错点睛：本题中求解时，易忽略的值所确定的的更小的范围，从而误认为的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.
2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角正切公式，同角关系化简，求，再求，再由两角差的正切公式求.
【详解】因为，所以，
所以，
又为锐角，，
所以，
解得，
因为为锐角，所以，
又
所以.
故选：A.
3．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据，的范围即可求出结果.
【详解】由已知可将，，
则，
，
，即或．
又，所以，
所以，所以选项A，B错误，
即，则，所以．则C错，D对，
故选：D
技法02 升（降）幂公式的应用及解题技巧
知识迁移
升幂公式：，
降幂公式：，
例2-1．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，所以
．
例2-2．（2023·全国·统考高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
1．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．1 B．－1 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，求得，再求得，结合倍角公式，即可求解.
【详解】因为，且，
所以，可得，
所以.
故选：A．
2．（2023·河南·统考模拟预测）已知 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定的条件，利用辅助角公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得.
【详解】由，得，
所以.
故选：C
3．（2023·全国·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式及两角和差的正弦公式化简，再根据计算可得.
【详解】由已知得，，
所以，
因为，
所以，，
则，
所以.
故选：.
4．（2023·四川成都·石室中学校考一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先对两式进行平方，进而可求出的值，根据二倍角公式求出结论.
【详解】解：因为，，
所以平方得，，，
即，，
两式相加可得，
即，
故，
.
故选：D.
技法03 三倍角公式的应用及解题技巧
知识迁移
例3．已知在 中, 角 的对边依次为 , , 求 边长。
【解析】
函数 的最小正周期为（）.
A. B. C. D.
解析: 根据三倍角公式: , 化简得 , 则函数 的最小正周期为 选项正确.
已知 的内角 的对边分别为 . 若 , 且 为锐角, 则 的最小值为 ( )
A. B. 3 C. D. 4
为锐角 , 则
当且仅当 , 即 时, 等号成立, 的最小值为 .
技法04 半角公式的应用及解题技巧
知识迁移
sin ＝± ，cos＝± ，tan＝± ＝＝.
例4．（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
【详解】因为，而为锐角，
所以 ．
1．（2021·黑龙江·黑龙江实验中学校考模拟预测）已知，若是第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式求出，再利用平方关系可求，然后利用公式即可求解.
【详解】解：因为，所以，
又是第二象限角，所以，
所以.
故选：B．
2．（2022·江西上饶·上饶市第一中学校联考二模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的平方关系及半角的余弦公式，再结合诱导公式即可求解.
【详解】由，得
，
，，
，
所以.
故选：A.
3．（2023·全国·模拟预测）已知是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据倍角公式的变形求出，，再由两角和的余弦公式求解.
【详解】因为是锐角，所以，
因为，，
所以，，
所以．
故选：D．
技法05 万能公式的应用及解题技巧
知识迁移
例5．在 中, , 则 的最小值为
A. 4 B. C. D. 16
最小值为
1．（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知内角分别为，且满足，则的最小值为 .
【答案】16
【分析】由三角形内角和性质、诱导公式、和差角正弦公式可得，进而有，结合，将目标式化为，应用基本不等式求最小值即可.
【详解】由题设，
所以，
所以，即，
又，，
则，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换将条件化为，再应用万能公式用正切表示正弦为关键.
2．（2021·全国·高三竞赛）已知满足，则的最小值是 ．
【答案】16
【详解】解析：
．
令，则
．
当时，，所以，
故．
故答案为：16
技法06 正余弦平方差公式的应用及解题技巧
知识迁移
正弦平方差公式:
余弦平方差公式:
例6．已知 , 则 ________
由已知可得
函数 是
A. 周期为 的偶函数
B. 周期为 的奇函数
C. 周期为 的奇函数
D. 周期为 的奇函数
由已知可得
选 B.
在 中, 角 所对的边长分别为 , 已知 ,判断 的形状
解析：由正弦定理，原式等于
所以
若 , 等式成立
若 , 则 , 即
所以 为等腰三角形或直角三角形6类三角恒等变换
技法01 拼凑思想的应用及解题技巧
知识迁移
例1-1．（全国·高考真题）tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
【详解】=
例1-2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】由，所以，则
1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
技法02 升（降）幂公式的应用及解题技巧
知识迁移
升幂公式：，
降幂公式：，
例2-1．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，所以
．
例2-2．（2023·全国·统考高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
1．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．1 B．－1 C． D．
2．（2023·河南·统考模拟预测）已知 则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川成都·石室中学校考一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
技法03 三倍角公式的应用及解题技巧
知识迁移
例3．已知在 中, 角 的对边依次为 , , 求 边长。
【解析】
函数 的最小正周期为（）.
A. B. C. D.
2. 已知 的内角 的对边分别为 . 若 , 且 为锐角, 则 的最小值为 ( )
A. B. 3 C. D. 4
技法04 半角公式的应用及解题技巧
知识迁移
sin ＝± ，cos＝± ，tan＝± ＝＝.
例4．（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
【详解】因为，而为锐角，
所以 ．
1．（2021·黑龙江·黑龙江实验中学校考模拟预测）已知，若是第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江西上饶·上饶市第一中学校联考二模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
技法05 万能公式的应用及解题技巧
知识迁移
例5．在 中, , 则 的最小值为
A. 4 B. C. D. 16
最小值为
1．（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知内角分别为，且满足，则的最小值为 .
2．（2021·全国·高三竞赛）已知满足，则的最小值是 ．
技法06 正余弦平方差公式的应用及解题技巧
知识迁移
正弦平方差公式:
余弦平方差公式:
例6．已知 , 则 ________
由已知可得
函数 是
A. 周期为 的偶函数
B. 周期为 的奇函数
C. 周期为 的奇函数
D. 周期为 的奇函数
在 中, 角 所对的边长分别为 , 已知 ,判断 的形状

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