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5类数列求和
技法01 分组求和的应用及解题技巧
例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足：，记的前项和为，求.
（1）
（2）.
所以的前项和.
1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列是首项为1，公差为d的等差数列，且，，是等比数列的前三项．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求；
（2）由等比数列的定义和通项公式、等差数列的通项公式与求和公式，以及对数的运算性质可得所求和．
【详解】（1）由数列是首项为1，公差为d的等差数列，可得．
又，，是等比数列的前三项，可得，
即有，解得或，
时，，不能作为等比数列的项，舍去，
所以；
（2）由（1）可得等比数列的前三项为1，2，4，则首项为1公比为2，，
所以，
数列的前n项和
2．（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列为单调递增的等比数列，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比数列的性质计算即可；
（2）分组求和即可.
【详解】（1）数列为等比数列，
，．
设的公比为，
则，，
，解得或．
由单调递增，得，
故．
（2）由上可知，，
．
3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列满足．
(1)证明是等比数列；
(2)若，求的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义即可求解；
（2）根据（1）的结论及等比数列的通项公式，利用等差等比数列的前项和公式，结合数列中的分组求和法即可求解.
【详解】（1）由题意得．
又因为，所以．
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得．
所以．
所以
.
技法02 裂项相消的应用及解题技巧
知识迁移 常见的裂项技巧：
指数型 对数型
例2．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
（1）的通项公式；
（2）
∴
1．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设为数列的前项和，已知，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系求解；
（2）利用裂项相消法求和，再结合不等式的性质求出的取值范围.
【详解】（1），
∴，，
∴,
∴当时，；
当时，也符合上式，
∴．
（2），
∵
，
∴，
当时，满足，
当时，存在，（其中，表示不超过的最大整数），
使得，则，
∴，不满足条件，
∴．
2．（2023·江苏南京·统考二模）已知数列的前项和为，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据公式得到是常数列，确定，计算得到通项公式.
（2）放缩，根据裂项相消法计算得到证明.
【详解】（1），则，
整理得到，故，
故是常数列，故，即，
当时，，
验证时满足，故
（2），
故
.
3．（2023·广东韶关·统考一模）已知数列的前项和满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，若成等比数列，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将替换得到新等式，然后分析原式与新等式作差的结果，结合等差数列的定义进行证明即可；
（2）先根据条件求解出的通项公式，然后代入的通项，通过裂项先化简，然后用裂项相消法进行求和.
【详解】（1）由题可知，
因为，
所以时，，
两式相减得，
化简可得，且满足条件，
综上可得，是公差为的等差数列；
（2）因为，故，解得，
所以，
所以，
所以
所以.
4．（2023·山东德州·三模）已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列递推式可得，采用两式相减的方法可得，从而构造数列，可求得的通项公式；
（2）由（1）的结论可得的表达式，利用裂项求和法，可得答案.
【详解】（1）当时，，则，
因为，
所以，
两式相减得： ，
所以，，
，，则，即也适合上式，
所以是以5为首项，公比为2的等比数列，
故：，
故；
（2）由（1）得
，
故
，
当时，，故.
5．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知正项数列的前项和，满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，设数列的前项和为，求证．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由，把用1代入算出首项，再用退位相减法发现其为等差数列，则数列通项可求；
（2）由（1）可先算出，代入求得通项并裂项，再求和即可证明.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，由①，可得，②
①②得：，即．
，
．
是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列的通项公式．
（2）由（1）可得，
，
，，，，，
，
.
技法03 错位相减的应用及解题技巧
知识迁移 万能公式：
形如的数列求和为，
其中，，
例3．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
（1）．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
也可以用万能公式求出ABC直接求解
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知为数列的前项和，，且是公差为1的等差数列．正项等比数列满足，．
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算得到，根据等比数列公式得到，计算得到答案.
（2）确定，则， ，相减计算得到答案.
【详解】（1），是公差为的等差数列，，即，
当时，，满足通项公式，则.
是正项等比数列，设公比为，则，
，而，故，，即.
（2），
， ，
两式相减得到：
故.
2．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知两个正项数列，满足，．
(1)求，的通项公式；
(2)用表示不超过的最大整数，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由递推公式列方程求出 得通项公式；
（2）根据高斯函数先推出 得解析式，再运用错位相减法求解.
【详解】（1）由，得，
由，得， ，因为是正项数列，，
；
（2） ，
则当时，，
所以，
两式相减得
，
即，
因为满足，
所以.
3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知数列前n项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据的关系求通项公式；
（2）利用错位相减法和裂项相消法求和.
【详解】（1）因为，
所以当时，，故；
当时，，
作差，得，
即，此式对也成立，
故数列的通项公式为，．
（2）由（1）知，，
不妨令，且数列的前n项和，
则，
，
作差，得，
即．
则
，
即数列的前n项和为.
4．（2021·全国·统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
5．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足．
(1)求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)．
【分析】（1）根据递推关系式变形化简，利用等比数列的定义即可证明得解；
（2）利用错位相减法求和即可得解.
【详解】（1）由，得，
所以．
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
故．
（2）由（1）知．
设的前项和为，
所以，①
，②
①－②得
.
所以．
技法04 奇偶并项的应用及解题技巧
例4-1．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
（1）.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
例4-2．（2023·山东烟台·统考二模）已知数列的前项和为，，，数列满足，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
（1）.
（2）由（1）得：，即，
当为奇数时，；当为偶数时，；
当为偶数时，；
当为奇数时，；
综上所述：.
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且．
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）直接得到的通项公式，由作差得到，从而求出的通项公式；
（2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得.
【详解】（1）依题意可得，
∵①，
当时，②，
，
，，
∵，
∴，
且在①式中令或（舍去），∴，
综上可得，．
（2）由（1）可得，
∴
．
2．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足
(1)证明：数列为等差数列;
(2)若求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将代入到中，得，结合等差数列的定义可证结论正确；
（2）由（1）求出，再求出，然后分组，利用等差数列求和公式和裂项求和方法可求出结果.
【详解】（1）当时，，得，
当时，，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
（2）由（1）知，，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以
.
3．（天津·统考高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.
【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1.
从而的通项公式为.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，
所以.
(Ⅲ)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前2n项和为.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.
4．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知等差数列与等比数列的前项和分别为：，且满足：，
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项的和.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）将代入可求出，从而进出，故可求出；再由等差数列的前项和求出，代入可求出，再由等比数列的前项和求出，，进而求出；
（2）由（1）求出，再由分组求和法求出数列的前项的和.
【详解】（1），解得：
设等差数列的公差为，等比数列的首项为，公比为
，，
，则：
又，得：
（2）
数列的前项的和：.
5．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合等差、等边数列的通项公式列式求解即可；
（2）利用分组求和，结合裂项相消法和错位相减法运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可得，
当为奇数时，则，
设，
则，
两式相减得
，
所以；
当为偶数时，则，
设，
所以；
综上所述：，
当为奇数时，则
；
当为偶数时，则
；
综上所述：.
技法05 周期综合的应用及解题技巧
例5-1．（2023·四川成都·统考二模）已知数列满足，，则数列前2023项的积为（ ）
A．2 B．3 C． D．
依题意，，，所以，，
所以数列是周期为的周期数列，，，
所以数列前项的积为，故选：B
例5-2．（2023下·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知数列满足：.则的前60项的和为（ ）
A．1240 B．1830 C．2520 D．2760
由，
故，，，，….
故，，，….
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；
，，，….
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公差的等差数列.
故.
故选：D.
例5-3．（2023·安徽模拟）数列的通项，其前项和为，则为（ ）
A． B． C． D．
由二倍角公式得出，，，
.
故选：A.
1．（2023·河北·校联考模拟预测）在数列中，，则 .
【答案】
【分析】根据题意，推得，得到数列的一个周期为，求得的值，结合，即可求解.
【详解】由，可得，所以，即，
所以，所以数列的一个周期为，
又由，
所以，所以.
故答案为：.
2．（2023·四川广元·校考模拟预测）已知数列满足，，则 .
【答案】2
【分析】先求不动点方程，根据方程无解再逐项计算根据周期求解即可.
【详解】第一步，求不动点，设，令得：，化简得：，显然该方程无解，这种情况下一般是周期不大的周期数列，
我们只需算出前几项，找出规律即可，
由题意，，所以，，，，，，
从而是以6为周期的周期数列，
故.
故答案为：2.
3．（2023·海南海口·统考模拟预测）已知数列满足，，数列满足，，设数列和的前项和分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由递推关系可得数列和的周期为4，结合条件可得，即得.
【详解】因为，，
所以，，，，
所以数列的周期为4，
同理可得数列的周期为4，且，，，，
所以，又，
所以，又，
所以或(舍去).
故选：A.
4．数列满足，则数列的前项和等于
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当为正奇数时，可推出，当为正偶数时，可推出，将该数列的前项和表示为，结合前面的规律可计算出数列的前项和.
【详解】当为正奇数时，由题意可得，，
两式相减得；
当为正偶数时，由题意可得，，
两式相加得.
因此，数列的前项和为.
故选:A.
【点睛】本题考查数列求和，找出数列的规律是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.
5．（2021上·河南商丘·高三睢县高级中学校考阶段练习）设数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）
A． B． C．180 D．240
【答案】D
【分析】分别取，，和，，可验证出，利用周期性可验算得到结果.
【详解】当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，.
，.
故选：D
6．（2023下·山东·高二校联考阶段练习）在数列中，，，则 ；的前40项和为 .
【答案】 0 420
【分析】由和递推式求出，再可求出，再对分别取奇偶数，得到两组等式，利用累加法可求出的前40项和
【详解】因为，，所以，得，
所以，所以，
因为，
所以，，，……，，，①
所以，②
因为，，，……，，③
所以，④
由①③得，所以
②式减去④式得，
所以，
所以，
故答案为：0，420
【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的项与前项的和，解题的关键是对分别取奇偶数，得到两组等式，再由这两组等式作加减运算可得结果，考查数学计算能力，属于较难题.
7．（2022上·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）在数列中，，，，则的前2022项和为 .
【答案】1015
【分析】分奇偶项讨论，结合并项求和运算求值.
【详解】∵，令，则，故，
当为偶数时，则，，
∴；
当为奇数时，则，，
∴；
设数列的前n项和，
则
.
故答案为：1015.5类数列求和
技法01 分组求和的应用及解题技巧
例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足：，记的前项和为，求.
（1）
（2）.
所以的前项和.
1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列是首项为1，公差为d的等差数列，且，，是等比数列的前三项．
(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．
2．（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列为单调递增的等比数列，且，．
(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．
3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列满足．
(1)证明是等比数列；(2)若，求的前项和．
技法02 裂项相消的应用及解题技巧
知识迁移 常见的裂项技巧：
指数型 对数型
例2．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
（1）的通项公式；
（2） ∴
1．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设为数列的前项和，已知，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求的取值范围．
2．（2023·江苏南京·统考二模）已知数列的前项和为，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
3．（2023·广东韶关·统考一模）已知数列的前项和满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，若成等比数列，求数列的前项和.
4．（2023·山东德州·三模）已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
5．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知正项数列的前项和，满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，设数列的前项和为，求证．
技法03 错位相减的应用及解题技巧
知识迁移 万能公式：
形如的数列求和为，
其中，，
例3．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
（1）．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
也可以用万能公式求出A、B、C直接求解
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知为数列的前项和，，且是公差为1的等差数列．正项等比数列满足，．
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前项和．
2．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知两个正项数列，满足，．
(1)求，的通项公式；
(2)用表示不超过的最大整数，求数列的前项和．
3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知数列前n项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
4．（2021·全国·统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
5．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足．
(1)求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，求的前项和．
技法04 奇偶并项的应用及解题技巧
例4-1．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
（1）.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
例4-2．（2023·山东烟台·统考二模）已知数列的前项和为，，，数列满足，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
（1）.
（2）由（1）得：，即，
当为奇数时，；当为偶数时，；
当为偶数时，；
当为奇数时，；
综上所述：.
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且．
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
2．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足
(1)证明：数列为等差数列;
(2)若求数列的前项和.
3．（天津·统考高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
4．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知等差数列与等比数列的前项和分别为：，且满足：，
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项的和.
5．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
技法05 周期综合的应用及解题技巧
例5-1．（2023·四川成都·统考二模）已知数列满足，，则数列前2023项的积为（ ）
A．2 B．3 C． D．
依题意，，，所以，，
所以数列是周期为的周期数列，，，
所以数列前项的积为，故选：B
例5-2．（2023下·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知数列满足：.则的前60项的和为（ ）
A．1240 B．1830 C．2520 D．2760
由，
故，，，，….
故，，，….
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；
，，，….
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公差的等差数列.
故.
故选：D.
例5-3．（2023·安徽模拟）数列的通项，其前项和为，则为（ ）
A． B． C． D．
由二倍角公式得出，，，
.
故选：A.
1．（2023·河北·校联考模拟预测）在数列中，，则 .
2．（2023·四川广元·校考模拟预测）已知数列满足，，则 .
3．（2023·海南海口·统考模拟预测）已知数列满足，，数列满足，，设数列和的前项和分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．数列满足，则数列的前项和等于
A． B． C． D．
5．（2021上·河南商丘·高三睢县高级中学校考阶段练习）设数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）
A． B． C．180 D．240
6．（2023下·山东·高二校联考阶段练习）在数列中，，，则 ；的前40项和为 .
7．（2022上·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）在数列中，，，，则的前2022项和为 .

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