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“奇函数+常函数”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)解题技巧
技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧
知识迁移
在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有
即倍常数
（1）与指数函数相关的奇函数和偶函数
，（，且）为偶函数，
，（，且）为奇函数
和，（，且）为其定义域上的奇函数
和，（，且）为其定义域上的奇函数
为偶函数
（2）与对数函数相关的奇函数和偶函数
，（且）为奇函数，
，（且）为奇函数
例1-1．（2023上·江苏·高三模拟）已知分别是函数++1的最大值、最小值，则
倍常数=2
例1-2．．（2023上·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数，的最大值为M，最小值为m，则 .
【法一】倍常数=14
【法二】
例1-3．（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数，，记的最大值为，最小值为，则 .
【法一】倍常数=4
【法二】
1．（2023下·湖南校考）已知函数在区间上的最大值为最小值为，则 .
2．（2023上·重庆校考）函数，当时的最大值为M，最小值为N，则 ．
3．（2023上·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考阶段练习）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ．
4．（2023上·山东统考期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则 .
5．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的函数的最大值和最小值之和为4，则 ．
6．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考）函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
7．（2015上·宁夏银川·高三阶段练习）已知分别是函数的最大值、最小值，则 ．
8．（2022上·辽宁·联考）已知函数，若存在正实数a，使得函数在区间有最大值及最小值m，则 .
9．（2023下·黑龙江校考）已知函数，若在区间上的最大值和最小值分别为M，N，则函数的图像的对称中心为 ．
10．（2023上·宁夏银川·高三校考阶段练习）设函数的最大值为，最小值为，则 .
11．（2023上·安徽·高三校联考）函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
12．（2023下·江西上饶·高二校联考阶段练习）已知函数，的最大值为，最小值为，则 .
技法02 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧
知识迁移
在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有
即倍常数
例2-1．（全国·高考真题）已知函数，，则 ．
在定义域内为奇函数
所以倍常数=2，解得
【答案】－2
例2-2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，则 ．
，和在定义域内为奇函数
所以2倍常数=-2
【答案】－2
1．（2023·广西玉林·统考三模）函数，若，则 ．
2．（2023·四川模拟）已知，若，则 .
3．（2022·上海·高三校考）若定义在R上的函数为奇函数，设，且，则的值为 ．
4．（2022·青海·统考模拟预测）已知函数，若，则 ．
5．（2023上·上海·交大附中校考）设（其中a b c为常数，），若.则 .
6．（2023·四川达州·统考一模）函数，且，则的值为 .“奇函数+常函数”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)解题技巧
技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧
知识迁移
在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有
即倍常数
（1）与指数函数相关的奇函数和偶函数
，（，且）为偶函数，
，（，且）为奇函数
和，（，且）为其定义域上的奇函数
和，（，且）为其定义域上的奇函数
为偶函数
（2）与对数函数相关的奇函数和偶函数
，（且）为奇函数，
，（且）为奇函数
例1-1．（2023上·江苏·高三模拟）已知分别是函数++1的最大值、最小值，则
倍常数=2
例1-2．．（2023上·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数，的最大值为M，最小值为m，则 .
【法一】倍常数=14
【法二】
例1-3．（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数，，记的最大值为，最小值为，则 .
【法一】倍常数=4
【法二】
1．（2023下·湖南校考）已知函数在区间上的最大值为最小值为，则 .
【答案】
【分析】设函数，则的最大值为，最小值为，利用是奇函数可得答案.
【详解】设函数，则的最大值为，最小值为，
，则，
所以是奇函数，所以，所以．
故答案为：.
2．（2023上·重庆校考）函数，当时的最大值为M，最小值为N，则 ．
【答案】
【分析】求出的奇偶性即可得出的值.
【详解】由题意，
在中，
，
函数是奇函数，，
在中，
当时的最大值为M，最小值为N，
故答案为：.
3．（2023上·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考阶段练习）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ．
【答案】8
【分析】化简函数，设，，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可.
【详解】由，
设，，
则，
所以函数在上为奇函数，
所以，
由题意，得，
所以.
故答案为：8.
4．（2023上·山东统考期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则 .
【答案】4046
【分析】化简函数，设，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可.
【详解】，
设，定义域关于原点对称，
由，知函数为奇函数，
因为，，
所以.
故答案为：4046.
5．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的函数的最大值和最小值之和为4，则 ．
【答案】2
【分析】根据三角恒等变换和分类常量法可得，由函数的奇偶性可知为奇函数，则，进而，即可求解.
【详解】当时，，当或时，，
所以的定义域为.
又，
设，则，∴ g(x) 为奇函数；设 g(x) 的最大数值为M，最小值为N，
则，则的最大数值为，最小值为，
∴的最大值与最小值之和为，得．
故答案为：2．
6．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考）函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
【答案】
【分析】将函数解析式化为，设，则，记，则为奇函数，根据奇函数的性质及，即可求得的值.
【详解】因为，
设，
则，
设，
则，
所以是上的奇函数，最大值为，最小值为，
所以，
由，得，
故答案为：
7．（2015上·宁夏银川·高三阶段练习）已知分别是函数的最大值、最小值，则 ．
【答案】2
【分析】先由和角正弦公式化简，令，得是奇函数，再由奇函数的性质即可求出最值之和.
【详解】由可得定义域为R，，令，则，
则函数是奇函数，设其最大值为，则其最小值为，所以，，从而．
故答案为：2.
8．（2022上·辽宁·联考）已知函数，若存在正实数a，使得函数在区间有最大值及最小值m，则 .
【答案】15
【分析】令，判断其奇偶性，由奇函数的性质得出所求.
【详解】
令，其定义域为，，即为奇函数，即函数在区间上满足，所以，即
故答案为：
9．（2023下·黑龙江校考）已知函数，若在区间上的最大值和最小值分别为M，N，则函数的图像的对称中心为 ．
【答案】/
【分析】利用函数的奇偶性的定义及性质，结合函数的对称性即可求解.
【详解】由题意可知，
所以.
故函数在定义域内为非奇非偶函数，
令，则，
所以在定义域内为奇函数.
设在上的最大值为，则最小值为，
所以在上的最大值为，最小值为，
所以.
.
因为，
所以图象的对称中心为.
故答案为：.
10．（2023上·宁夏银川·高三校考阶段练习）设函数的最大值为，最小值为，则 .
【答案】2
【分析】构造函数结合函数的奇偶性求值即可.
【详解】，
令，易知，，即为奇函数，
所以
结合奇函数性质有.
故答案为：2
11．（2023上·安徽·高三校联考）函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
【答案】1
【分析】将函数解析式边形为，设，则，记，由奇函数的定义得出为奇函数，得出在的最值，结合，即可求出．
【详解】，
设，则，
记，
因为，
所以是在上的奇函数，最大值为，最小值为，
所以，
又因为，
所以，
故答案为：1．
12．（2023下·江西上饶·高二校联考阶段练习）已知函数，的最大值为，最小值为，则 .
【答案】
【分析】构造，定义判断奇偶性，利用对称性有，即可求结果.
【详解】令，且，
，
所以为奇函数，且在上连续，
根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称，
则，故.
故答案为：
技法02 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧
例2-1．（全国·高考真题）已知函数，，则 ．
在定义域内为奇函数
所以倍常数=2，解得
【答案】－2
例2-2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，则 ．
，和在定义域内为奇函数
所以2倍常数=-2
【答案】－2
1．（2023·广西玉林·统考三模）函数，若，则 ．
【答案】3
【分析】根据题意可得，结合计算即可求解.
【详解】由题得，
∴，
所以．
故答案为：3.
2．（2023·四川模拟）已知，若，则 .
【答案】
【分析】令，已知为奇函数，进而根据奇函数的性质求解即可.
【详解】解：令，因为，
所以函数为奇函数，
因为，即，所以，
所以.
故答案为：
3．（2022·上海·高三校考）若定义在R上的函数为奇函数，设，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据为奇函数得到的对称中心为，再结合得到的对称中心为，然后利用对称性求即可.
【详解】由可得，因为为奇函数，所以的对称中心为，则的对称中心为，又，则.
故答案为：-5.
4．（2022·青海·统考模拟预测）已知函数，若，则 ．
【答案】5
【分析】令，根据为奇函数可求出.
【详解】令，可得为奇函数，所以，
因为，所以，所以，
则.
故答案为：5.
5．（2023上·上海·交大附中校考）设（其中a b c为常数，），若.则 .
【答案】31
【分析】由已知得，，由此能求出．
【详解】（其中，，为常数，，，
，
．
故答案为：31．
6．（2023·四川达州·统考一模）函数，且，则的值为 .
【答案】0
【分析】构造，得到为奇函数，从而根据得到，由求出.
【详解】令，
定义域为或且，关于原点对称，
则，
故为奇函数，
又，故，
解得.
故答案为：0

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