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4类比较函数值大小关系解题技巧
（构造函数、两类经典的超越不等式、泰勒不等式、不等式放缩合集）
技法01 构造函数比较函数值大小关系解题技巧
例1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【法一】分析法
假设待证法比较大小→构造函数
假设成立，即
令，则等价证明：，即证：（原式得证，略）
假设成立，即
令，则等价证明：，
证明略
所以函数在单调递增，
所以，即：，所以假设不成立，即，
综上所述：，故选：C
【法二】构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
1．（2023·河北·统考模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意，，，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断、，再令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断、，即可得解.
【详解】因为，，，
令，，
则，
令，则，
所以在上单调递增，，
所以，所以在上单调递增，所以，
则，即，即，
令，，则，
所以在上单调递减，则，
则，即，即，
所以，综上可得.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是根据式子的特征构造函数，，，，利用导数说明函数的单调性，结合临界点的函数值，从而判断函数值的正负，达到比较大小的目的.
2．（2023·福建福州·模拟预测），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】令，利用导数研究函数的单调性可得到，即可判断、的大小关系；构造函数判断与0.1的大小，构造函数判断0.1与大小，从而可判断b、c大小．
【详解】令，，则，
所以当时，即在上单调递增，
所以，即，即，即，
令，则，
在时，，则为减函数，
∴，即；
令，，则，
故在为减函数，
∴，即；
∴，
令，则，即，∴，
所以．
故选：D．
【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，.
3．（2023·福建·二模）设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作差法判断、的大小，构造函数, 利用导数的单调性判断、的大小.
【详解】
，
又，
所以令，，
则，
令，
则 ，
当时,, ，
所以，
故,故在上是增函数，
又∵，
∴当时,, 故在上是增函数，
故,即，
故.
故选:A.
【点睛】本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量就有了函数的形式，如在本题中，将视为变量可以构造函数.
技法02 两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧
知识迁移
，，，
例2．已知 , 则 的大小关系为 ( )
A. B. C. D.
【答案】
1．（2023上·河北保定·高三校联考开学考试）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导函数讨论其单调性和最值，可得，从而可得， ，即可比较的大小关系，再利用作差法比较大小关系.
【详解】令，则，
所以函数在单调递减，且，
所以，即，
令，则有，
所以，即，
又由，可得，
所以，即，
又因为，所以，
综上可得，
故选：D.
2．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造，利用导数判断其单调性可比较的大小关系.构造，利用导数判断其单调性可比较的大小关系.
【详解】，，，
设，
所以，
所以在上单调递增，所以，即.
所以，即.
设，
则，
所以在上单调递减，所以，即.
所以，即.
所以.
故选:C.
3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，，利用导数分析这两个函数的单调性，可得出、的大小，、的大小，利用不等式的基本性质可得出、的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系.
【详解】令，其中，
则，所以，函数在上为增函数，
故当时，，则，所以，
因为，则，
当时，证明，令，其中，则，
所以函数在上为增函数，故当时，，
所以当时，，则，所以，
所以，因此.
故选：D.
技法03 泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧
知识迁移
常见函数的泰勒展开式：
（1），其中；
（2），其中；
（3），其中；
（4），其中；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，，，
，，，
，，．
3．常见函数的泰勒展开式：
结论1 ．
结论2 ．
结论3 （）．
结论4 ．
结论5 ；；．
结论6 ；
结论7
结论8 ．
结论9 ．
例3．（2022年新Ⅰ卷高考真题第7题）设，，则（ ）
A． B． C． D．
泰勒公式法：
因为，所以，所以
因为
所以
综上所述：
故选：C
1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
2．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
[方法一]：
由泰勒公式, 可知
将 , 分别相应代入估 算, 得 .
由此可知 .
[方法二]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b综上，，
故选：B.
[方法三]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
3．（2023春·湖北·高三统考期末）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过构造，，三个函数，将三个数与进行比较，得到，；
再通过构造，，通过二次求导的方法比较b和c的大小即可得到答案.
【详解】先比较和的大小：
构造，
则对恒成立，则在单调递增，
此时，当且仅当时取等，
所以，则；
构造，
则对恒成立，则在单调递减，
此时，当且仅当时取等，
所以，则；
构造，
则对恒成立，则在单调递减，
此时，当且仅当时取等，
所以，则；
则，；
下面比较b和c的大小：
设，，
，
设，，，
易知在上单调递增，则，
所以在上单调递减，，
即在上恒成立，则在上单调递减，
由，则，即，则.
综上，
故选：B
【点睛】方法点睛：本题考查通过导数的综合运用.比大小问题要熟悉各类常见的放缩，找出结构的相同之处，通过构造函数，运用导数这一工具，对数据进行大小的比较.
技法04 不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧
知识迁移
，，
，，
，
，
放缩程度综合
，
例4-1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
放缩法
因为，
所以，即
因为，
所以，即
综上所述：，故选：C
例4-2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【法一】：不等式放缩一
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
【法二】不等式放缩二
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
1．（2023·全国·校联考模拟预测）设，，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用导数证明当时，，再分别利用作商，作差比较法可判断，，大小.
【详解】先来证明当时，.
令，，则，
所以函数在上单调递增，可得，即得；
令，，则，
所以函数在上单调递增，可得，即得；
所以当时，.
因为，
由，因为，所以，则，所以，
又，所以，
所以.
故选：D.
2．（2023·云南大理·统考一模）已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性，从而确定的大小关系.
【详解】令，则，，有.
故函数在单调递增，故，
即，所以，即，
令，则，，有.
故函数在单调递减，故，即，
所以，即.
综上：.
故选：D
3．（2023·福建·校联考模拟预测）设，，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由时，，然后构造函数求导，即可判断.
【详解】对，因为，则，即函数在单调递减，且时，，则，即；
当时，，则，且当时，，则，所以函数在单调递增，则，即
，
先考虑函数，，则
.
故，从而.
再考虑函数，，
则.
故，即，故.
综上，，
故选：B.4类比较函数值大小关系解题技巧
（构造函数、两类经典的超越不等式、泰勒不等式、不等式放缩合集）
技法01 构造函数比较函数值大小关系解题技巧
例1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【法一】分析法
假设待证法比较大小→构造函数
假设成立，即
令，则等价证明：，即证：（原式得证，略）
假设成立，即
令，则等价证明：，，证明略
所以函数在单调递增，
所以，即：，所以假设不成立，即，
综上所述：，故选：C
【法二】构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
1．（2023·河北·统考模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建福州·模拟预测），则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·福建·二模）设，则（ ）
A． B．
C． D．
技法02 两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧
知识迁移
，，，
例2．已知 , 则 的大小关系为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
1．（2023上·河北保定·高三校联考开学考试）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
技法03 泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧
知识迁移
常见函数的泰勒展开式：
（1），其中；
（2），其中；
（3），其中；
（4），其中；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，，，
，，，
，，．
3．常见函数的泰勒展开式：
结论1 ．
结论2 ．
结论3 （）．
结论4 ．
结论5 ；；．
结论6 ；
结论7
结论8 ．
结论9 ．
例3．（2022年新Ⅰ卷高考真题第7题）设，，则（ ）
A． B． C． D．
泰勒公式法：
因为，所以，所以
因为
所以
综上所述：
故选：C
1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·湖北·高三统考期末）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
技法04 不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧
知识迁移
，，
，，
，
，
放缩程度综合
，
例4-1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
放缩法
因为，
所以，即
因为，
所以，即
综上所述：，故选：C
例4-2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【法一】：不等式放缩一
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
【法二】不等式放缩二
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
1．（2023·全国·校联考模拟预测）设，，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·云南大理·统考一模）已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福建·校联考模拟预测）设，，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．

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