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3类导数综合问题解题技巧
（端点效应（必要性探索）、函数的凹凸性、洛必达法则）
技法01 端点效应（必要性探索）解题技巧
知识迁移
端点效应的类型
1.如果函数在区间上,恒成立,则或.
2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或.
3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或.
例1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【法一】端点效应一
令 ，得 ，且 在 上恒成立
画出草图
根据端点效应, 需要满足 ，而
则 , 令 , 得
当 时, 由于 , 只需证 即可
而 含有参数 , 故可对 进行放缩
即
令 , 其中
设
则
令
则 , 故 在 上递减, 得
则 , 得 在 上单调递增, 则
即 , 满足 成立
当 时，
故存在 , 使得在 上 ,
所以 在 上单调递增, 则 , 不成立
特上所述: .
【法二】端点效应二
(2)
由于 , 且
,
注意到当 , 即 时, 使 在 成立, 故此时 单调递减
, 不成立.
另一方面, 当 时, , 下证它小于等于 0 .
单调递减, . 特上所述: .
【法三】设
设
所以.
若,
即在上单调递减,所以.
所以当,符合题意.
若
当,所以.
.
所以,使得,即,使得.
当,即当单调递增.
所以当,不合题意.
综上,的取值范围为.
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减
(2)
【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；
（2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解；
法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解.
【详解】（1）因为，所以，
则
，
令，由于，所以，
所以，
因为，，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减.
（2）法一：
构建，
则，
若，且，
则，解得，
当时，因为，
又，所以，，则，
所以，满足题意；
当时，由于，显然，
所以，满足题意；
综上所述：若，等价于，
所以的取值范围为.
法二：
因为，
因为，所以，，
故在上恒成立，
所以当时，，满足题意；
当时，由于，显然，
所以，满足题意；
当时，因为，
令，则，
注意到，
若，，则在上单调递增，
注意到，所以，即，不满足题意；
若，，则，
所以在上最靠近处必存在零点，使得，
此时在上有，所以在上单调递增，
则在上有，即，不满足题意；
综上：.
【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解.
2．（2020·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）
【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.
(2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
【详解】(1)当时，，，
由于，故单调递增，注意到，故：
当时，单调递减，
当时，单调递增.
(2) [方法一]【最优解】：分离参数
由得，，其中，
①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②.当时，分离参数a得，，
记，，
令，
则，，
故单调递增，，
故函数单调递增，，
由可得：恒成立，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此，,
综上可得，实数a的取值范围是.
[方法二]：特值探路
当时，恒成立．
只需证当时，恒成立．
当时，．
只需证明⑤式成立．
⑤式，
令，
则，
所以当时，单调递减；
当单调递增；
当单调递减．
从而，即，⑤式成立．
所以当时，恒成立．
综上．
[方法三]：指数集中
当时，恒成立，
记，
，
①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意；
②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，
所以若满足，只需，即，所以当时，成立；
③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立，
所以时，满足题意.
综上，.
【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：
方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；
方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；
方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！
3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
【答案】(1)的减区间为，增区间为.
(2)
(3)见解析
【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.
（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
（2）设，则，
又，设，
则，
若，则，
因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，
故在为增函数，故，
故在为增函数，故，与题设矛盾.
若，则，
下证：对任意，总有成立，
证明：设，故，
故在上为减函数，故即成立.
由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，
所以.
当时，有，
所以在上为减函数，所以.
综上，.
（3）取，则，总有成立，
令，则，
故即对任意的恒成立.
所以对任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
技法02 函数凹凸性解题技巧
知识迁移
凹函数：对于某区间内 , 都有 .
凸函数：对于某区间内 , 都有 .
例2-1．在 中, 求 的最大值.
因为函数 在区间 上是上凸函数, 则
即 , 当且仅当 时, 即 时,取等号.
上述例题是三角形中一个重要的不等式: 在 中,
例2-2（2021·黑龙江模拟）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的数学家，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”．已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
因为，
所以，
，
因为在上为“凸函数”，
所以对于恒成立，
可得对于恒成立，
令，则，
因为，所以在单调递增，
所以，
所以，
【答案】C
1．（全国·高考真题）已知函数有两个零点.
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2是的两个零点，证明：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析
【详解】试题分析：（Ⅰ）求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；（Ⅱ）借助（Ⅰ）的结论来证明，由单调性可知等价于，即．设，则．则当时，，而，故当时，．从而，故．
试题解析：（Ⅰ）．
（Ⅰ）设，则，只有一个零点．
（Ⅱ）设，则当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．
又，，取满足且，则
，
故存在两个零点．
（Ⅲ）设，由得或．
若，则，故当时，，因此在单调递增．又当时，所以不存在两个零点．
若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．
综上，的取值范围为．
（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在单调递减，所以等价于，即．
由于，而，所以
．
设，则．
所以当时，，而，故当时，．
从而，故．
【考点】导数及其应用
【名师点睛】对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简.解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.
2．（2021·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
【分析】(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.
(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令，命题转换为证明：，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.
【详解】(1)的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨设，则，从而，得，
①令，
则，
当时，，在区间内为减函数，，
从而，所以，
由（1）得即．①
令，则，
当时，，在区间内为增函数，，
从而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最优解】：变形为，所以．
令．则上式变为，
于是命题转换为证明：．
令，则有，不妨设．
由（1）知，先证．
要证：
．
令，
则，
在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以需证．
令，
所以，故在区间内单调递增．
所以．故，即．
综合可知．
[方法三]：比值代换
证明同证法2．以下证明．
不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，
即证．
记，则.
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．
由得，所以，
即．
[方法四]：构造函数法
由已知得，令，
不妨设，所以．
由（Ⅰ）知，，只需证．
证明同证法2．
再证明．令．
令，则．
所以，在区间内单调递增．
因为，所以，即
又因为，所以，
即．
因为，所以，即．
综上，有结论得证．
【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
3．（陕西·高考真题）已知函数.
(1)若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;
(2)设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线 公共点的个数.
(3)设a【答案】(1)
（2）当时两曲线有2个交点；当时两曲线有1个交点；当时两曲线没有交点
(3)，理由见解析.
【分析】（1）设切点，利用导数的几何意义得到方程组可得答案；
（2），转化为与图象交点的个数问题；
（3）作差得到，令，构造新函数，求导即可得到答案.
【详解】函数
(1)函数，的反函数为，
设切点坐标为则，.

（2）令即，设
有，当，，当，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，所以当时，两曲线有2个交点；
当时，两曲线有1个交点；当时，两曲线没有交点.
（3）
，令
上式
令，则恒成立，
，而，，
故
【点睛】本题考查函数、导数、不等式、参数等问题，属于难题.第二问运用数形结合思想解决问题，能够比较清晰的分类，做到不吃不漏.最后一问,考查函数的凹凸性，富有明显的几何意义,为考生探索结论提供了明确的方向,对代数手段的解决起到导航作用.
技法03 洛必达法则解题技巧
知识迁移
洛必达法则：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) 及；
　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
　　(3)，
那么 =。 型
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) 及；
　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
　　(3)，
那么 =。 型
注意：
1. 将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立。
2. 洛必达法则可处理 型。
3. 在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限。
4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止。
, 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。
例3．（全国高考）已知 恒成立, 求 的取值范围
解: 记 ,
则
则
所以, 在 单调递增, 且
所以 时, 时,
即 在 上单调递减, 在 上单调递增
所以
所以
分析
上式中求 用了洛必达法则 当 时, 分子 , 分母 , 符合 不定形式, 所以
1．（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围
解:
记 ,
则
记
则
所以, 在 单调递增, 所以
所以, 在 单调递增, 所以
即在 上 , 所以 在 上单调递增
所以
所以
2．（天津高考） 恒成立, 求的取值范围
解:
记 ,
则
则
所以, 当 时, 单调递减,
所以 即
所以
所以
所以
3．（2023·江苏模拟）已知函数
（I）求证
（II）若取值范围.
【答案】（I）见解析（II）
【详解】试题分析：（1）将问题转化为证明与，从而令、，然后利用导数求得的单调性即可使问题得证；（2）由（1）中的结论得≥，从而令，通过多次求导得出其单调性即可求出的取值范围．
试题解析：（1）要证时，，只需证明.
记，则，
当时，，因此在上是增函数，故，
所以.
要证时，，只需证明，
记，则，
当时，，因此在上是增函数，故，
所以，.
综上，，.
（2）（解法一）
.
设，则，
记，则，
当时，，于是在上是减函数，
从而当时，，故在上是减函数，于是，
从而，
所以，当时，在上恒成立.
下面证明，当时，在上不恒成立，
.
记，则，
当时，，故在上是减函数.
于是在上的值域为.
因为当时，，所以存在，使得此时，即在上不恒成立.
综上，实数的取值范围是.
（解法二）
先证当时，.
记，则，
记，则，当时，，于是在上是增函数，因此当时，，从而在上是增函数，因此.
所以当时，.
同理可证，当时，.
综上，当时，.
因为当时，
，
所以当时，在上恒成立.
下面证明，当时，在上不恒成立，因为
.
所以存在（例如取和中的较小值）满足.
即在上不恒成立.
综上，实数的取值范围是.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．
【方法点睛】求证不等式，一种常见思路是用图像法来说明函数的图像在函数图像的上方，但通常不易说明．于是通常构造函数，通过导数研究函数的性质，进而证明欲证不等式．3类导数综合问题解题技巧
（端点效应（必要性探索）、函数的凹凸性、洛必达法则）
技法01 端点效应（必要性探索）解题技巧
知识迁移
端点效应的类型
1.如果函数在区间上,恒成立,则或.
2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或.
3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或.
例1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【法一】端点效应一
令 ，得 ，且 在 上恒成立
画出草图
根据端点效应, 需要满足 ，而
则 , 令 , 得
当 时, 由于 , 只需证 即可，而 含有参数 , 故可对 进行放缩
即
令 , 其中 ，设 ，则
令 ，则 , 故 在 上递减, 得
则 , 得 在 上单调递增, 则 ，即 , 满足 成立
当 时，，故存在 , 使得在 上 ,
所以 在 上单调递增, 则 , 不成立，特上所述: .
【法二】【法三】见解析版
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
2．（2020·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
技法02 函数凹凸性解题技巧
知识迁移
凹函数：对于某区间内 , 都有 .
凸函数：对于某区间内 , 都有 .
例2-1．在 中, 求 的最大值.
因为函数 在区间 上是上凸函数, 则
即 , 当且仅当 时, 即 时,取等号.
上述例题是三角形中一个重要的不等式: 在 中,
例2-2（2021·黑龙江模拟）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的数学家，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”．已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
因为，
所以，
，
因为在上为“凸函数”，
所以对于恒成立，
可得对于恒成立，
令，则，
因为，所以在单调递增，
所以，
所以，
【答案】C
1．（全国·高考真题）已知函数有两个零点.
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2是的两个零点，证明：.
2．（2021·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
3．（陕西·高考真题）已知函数.
(1)若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;
(2)设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线 公共点的个数.
(3)设a技法03 洛必达法则解题技巧
知识迁移
洛必达法则：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) 及；
　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
　　(3)，
那么 =。 型
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) 及；
　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
　　(3)，
那么 =。 型
注意：
1. 将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立。
2. 洛必达法则可处理 型。
3. 在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限。
4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止。
, 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。
例3．（全国高考）已知 恒成立, 求 的取值范围
解: 记 ,
则
则
所以, 在 单调递增, 且
所以 时, 时,
即 在 上单调递减, 在 上单调递增
所以
所以
分析
上式中求 用了洛必达法则 当 时, 分子 , 分母 , 符合 不定形式, 所以
1．（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围
2．（天津高考） 恒成立, 求的取值范围
3．（2023·江苏模拟）已知函数
（I）求证（II）若取值范围.

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