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4类函数单调性与函数极值最值
技法01 具体函数的单调性
知识迁移
导函数与原函数的关系，单调递增，单调递减
例1-1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数，讨论的单调性
【详解】的定义域为．
由得，，
令，则，当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
例1-2．（全国·高考真题）已知函数．若，求的单调区间
【详解】当a=3时，，．
令解得x=或x=．
当时，
当时．
所以函数的增区间是和，减区间是．
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．当时，讨论的单调性
【答案】在上单调递减
【详解】因为，所以，
则
，
令，由于，所以，
所以，
因为，，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减.
（2022·浙江·统考高考真题）设函数．求的单调区间
【答案】的减区间为，增区间为.
【详解】，
当，；当，，
故的减区间为，的增区间为.
3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．当时，讨论的单调性
【答案】的减区间为，增区间为.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
4．（2021·全国·统考高考真题）已知且，函数．当时，求的单调区间
【答案】上单调递增；上单调递减；
【详解】当时，,
令得,当时，,当时，,
∴函数在上单调递增；上单调递减；
5．（2020·全国·统考高考真题）已知函数，当a=1时，讨论f（x）的单调性
【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.
【详解】(1)当时，，，
由于，故单调递增，注意到，故：
当时，单调递减，
当时，单调递增.
技法02 含参函数且导函数可分解型函数的单调性
例2-1．（2023·河北唐山模拟）已知函数．讨论的单调性；
【详解】因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
例2-2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．讨论函数的单调性．
【详解】由题意函数的定义域为．
当时，若，则单调递增；
若，则单调递减．
当时，令，得或．
①当时，，则在上单调递增．
②当时，，则当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
③当时，，则当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
例2-3．（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知函数，讨论的单调性；
【详解】对求导得，，分以下两大情形来讨论的单调性：
情形一：当时，有，令，解得，
所以当时，有，此时单调递减，
当时，有，此时单调递增；
所以在单调递减，在单调递增；
情形二：当时，令，解得，
接下来又分三种小情形来讨论的单调性：
情形（1）：当时，有，此时随的变化情况如下表：
由上表可知在和上单调递增，在上单调递减；
情形（2）：当时，有，此时，所以此时在上单调递增；
情形（3）：当时，有，此时随的变化情况如下表：
由上表可知在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，讨论的单调性．
【详解】（1）函数，定义域为，，
若，则，当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增；
若，则，
当时，，当或时，，
∴在上单调递减，在和上单调递增；
若，则，∴在上单调递增；
若，则，当时，，当或时，，
∴在上单调递减，在和上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增．
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．讨论的单调性；
【详解】（1）解：因为，
所以，
设，则，
设，可得，
可得在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即，
若，则，所以，在上单调递增；
若，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
3．（2023·全国·模拟预测）已知，讨论函数的单调性.
【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，且

①当时，因为，所以，所以.
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.
②当时，由，解得；由0，解得或.所以在上单调递减，在，上单调递增.
③当时，（当且仅当时，取等号）恒成立，所以在上单调递增.
④当时，由，解得；由，解得或.
所以在上单调递减，在，上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增.
4．（2021·浙江·统考高考真题）设a，b为实数，且，函数，求函数的单调区间；
【详解】，
①若，则，所以在上单调递增；
②若，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
综上可得，时，的单调递增区间为,无减区间；
时，函数的单调减区间为，单调增区间为.
5．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性
【详解】由函数的解析式可得：，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数，讨论的单调性
【详解】函数的定义域为，
求导得，
①当，即时，由，得，由，得，
因此在上单调递增，在上单调递减；
②当，即时，由，得或，由，得，
因此在，上单调递增，在上单调递减；
③当，即时，恒成立，因此在上单调递增；
④当，即时，由，得或，由，得，
因此在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
技法03 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性
例3-1．（2023·福建三明·统考三模）已知函数，讨论的单调性；
【详解】定义域为，因为，
所以.
令，则，
所以，
当时，，此时，所以在上单调递减.
当时，令，则，
所以当时，，即在上单调递减.
当时，令，则，
所以当时，，
即在和上单调递减，
当时，，
即在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，
在上单调递增
例3-2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数．讨论的单调性；
【详解】(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在，上
单调递增，在上单调递减.
1．（2023·四川绵阳·统考二模）已知，讨论的单调性；
【详解】由，
可得：二次函数，
①，即当时，恒成立，在R上单增；
②，即当或时，
在，上大于零，
在小于零．
所以在上单调递增，
在上单调递减
，在上单调递增．
2．（2023·福建·校联考模拟预测）设函数（），讨论的单调性；
【详解】，令，.
①当时，，，在单调递增：
②当时，，的两根都小于0，在上大于0，
所以在单调递增；
③当时，由，解得，，
，，，在，上单调递增：
，，，在上单调递减.
3．（2023·广西·模拟预测）已知（）．讨论的单调性；
【详解】由，
①，即时，恒成立，在上单增；
②，即或时，在，上，在上．
所以在、上单调递增，在上单调递减．
技法04 二阶导函数求函数的单调性
例4-1．（2023·江苏·统考二模）已知函数，，若，求函数的单调区间
【详解】，，
，恒成立，
所以在递增.
所以当，；
，
所以函数的单调减区间是，单调增区间是.
例4-2．（2021春·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数．当时，求函数的单调性．
【详解】令，
则．
令，得；
令，得．
在上单调递减，在上单调递增．
，，，
当时，，即．当且仅当时等号成立，
当时，函数单调递减．
1．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）已知函数.
若，讨论的单调性；
【详解】若，，所以，，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，即在上单调递增.
又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中
当时，讨论单调性；
【详解】当时，，定义域为，
则，，
所以在上单调递增，又，
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增.
综上，在上单调递减，在上单调递增.
技法05 函数的极值最值
知识迁移
极值的定义
在处先↗后↘，在处取得极大值
在处先↘后↗，在处取得极小值
例5-1．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【详解】因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
例5-2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．求a
【详解】的定义域为，而，
若，则，此时无最小值，故.
的定义域为，而.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为.
综上，.
例5-3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数，若在存在极值，求a的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意;
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，
据此可得恒成立，
则，
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故，即(取等条件为)，
所以，
，且注意到，
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时，，单调减，
当时，，单调递增，
所以.
令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以
，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围是.
1．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数，求的极值
【详解】因为函数，所以，
设，，
所以在上单调递增.
又，所以当时，；当时，.
又因为对恒成立，
所以当时，；当时，.
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故，没有极小值.
2．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
证明存在唯一的极值点
【详解】令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
【详解】（1）由题知，，
若，当或时，，当时，，
在区间和区间上单调递减，在区间上单调递增；
若，当时，，当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减；
若，当或时，，当时，，
在区间和区间上单调递增，在区间上单调递减；
若，则，在区间上单调递增；
若，当或时，，当时，，
在区间和区间上单调递增，在区间上单调递减．
综上所述，当时，在区间和区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在区间和区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递增；
当时，在区间和区间上单调递增，在区间上单调递减．
（2）由（1）知，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，，不符合题意；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，，
得；
当时，在区间上单调递增，
符合题意；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，，得．
综上，实数的取值范围为．
【点睛】方法点睛：恒成立问题的等价转化法则
（1）恒成立恒成立；
（2）恒成立恒成立；
（3）恒成立，恒成立；
（4）恒成立．
4．（2023·四川自贡·统考一模）函数的最小值为m.
(1)判断m与2的大小，并说明理由；
(2)求函数的最大值.
【详解】（1）.
理由如下：
函数的定义域为，求导得，
显然函数在上单调递增，而，，
则存在唯一的，使得，即，
当时，；当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，由，得且，
则，又函数在上单调递减，即当时，，
所以.
（2）函数的定义域为，求导得，
显然函数在上单调递减，
由（1）知，，
于是存在唯一的，使得，即，
则当时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，由，得，即，
由（1）知，，则，
显然函数在上单调递增，则，且，
从而，
所以函数的最大值为2.函数单调性与函数极值最值
技法01 具体函数的单调性
知识迁移
导函数与原函数的关系，单调递增，单调递减
例1-1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数，讨论的单调性
【详解】的定义域为．
由得，，
令，则，当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
例1-2．（全国·高考真题）已知函数．若，求的单调区间
【详解】当a=3时，，．
令解得x=或x=．
当时，
当时．
所以函数的增区间是和，减区间是．
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．当时，讨论的单调性
（2022·浙江·统考高考真题）设函数．求的单调区间
3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．当时，讨论的单调性
4．（2021·全国·统考高考真题）已知且，函数．当时，求的单调区间
5．（2020·全国·统考高考真题）已知函数，当a=1时，讨论f（x）的单调性
技法02 含参函数且导函数可分解型函数的单调性
例2-1．（2023·河北唐山模拟）已知函数．讨论的单调性；
【详解】因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
例2-2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．讨论函数的单调性．
【详解】由题意函数的定义域为．
当时，若，则单调递增；
若，则单调递减．
当时，令，得或．
①当时，，则在上单调递增．
②当时，，则当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
③当时，，则当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
例2-3．（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知函数，讨论的单调性；
【详解】对求导得，，分以下两大情形来讨论的单调性：
情形一：当时，有，令，解得，
所以当时，有，此时单调递减，
当时，有，此时单调递增；
所以在单调递减，在单调递增；
情形二：当时，令，解得，
接下来又分三种小情形来讨论的单调性：
情形（1）：当时，有，此时随的变化情况如下表：
由上表可知在和上单调递增，在上单调递减；
情形（2）：当时，有，此时，所以此时在上单调递增；
情形（3）：当时，有，此时随的变化情况如下表：
由上表可知在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，讨论的单调性．
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．讨论的单调性；
3．（2023·全国·模拟预测）已知，讨论函数的单调性.
4．（2021·浙江·统考高考真题）设a，b为实数，且，函数，求函数的单调区间；
5．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数，讨论的单调性
技法03 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性
例3-1．（2023·福建三明·统考三模）已知函数，讨论的单调性；
【详解】定义域为，因为，
所以.
令，则，
所以，
当时，，此时，所以在上单调递减.
当时，令，则，
所以当时，，即在上单调递减.
当时，令，则，
所以当时，，
即在和上单调递减，
当时，，
即在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，
在上单调递增
例3-2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数．讨论的单调性；
【详解】(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在，上
单调递增，在上单调递减.
1．（2023·四川绵阳·统考二模）已知，讨论的单调性；
2．（2023·福建·校联考模拟预测）设函数（），讨论的单调性；
3．（2023·广西·模拟预测）已知（）．讨论的单调性；
技法04 二阶导函数求函数的单调性
例4-1．（2023·江苏·统考二模）已知函数，，若，求函数的单调区间
【详解】，，
，恒成立，
所以在递增.
所以当，；
，
所以函数的单调减区间是，单调增区间是.
例4-2．（2021春·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数．当时，求函数的单调性．
【详解】令，
则．
令，得；
令，得．
在上单调递减，在上单调递增．
，，，
当时，，即．当且仅当时等号成立，
当时，函数单调递减．
1．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）已知函数.
若，讨论的单调性；
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中
当时，讨论单调性；
技法05 函数的极值最值
知识迁移
极值的定义
在处先↗后↘，在处取得极大值
在处先↘后↗，在处取得极小值
例5-1．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【详解】因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
例5-2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．求a
【详解】的定义域为，而，
若，则，此时无最小值，故.
的定义域为，而.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为.
综上，.
例5-3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数，若在存在极值，求a的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意;
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，
据此可得恒成立，
则，
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故，即(取等条件为)，
所以，
，且注意到，
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时，，单调减，
当时，，单调递增，
所以.
令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以
，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围是.
1．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数，求的极值
2．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
证明存在唯一的极值点
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
4．（2023·四川自贡·统考一模）函数的最小值为m.
(1)判断m与2的大小，并说明理由；
(2)求函数的最大值.

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