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4类三角函数选填解题技巧
技法01 三角函数图象与性质的解题技巧
例1-1．（2021·全国·统考高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
由，解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
故选：A.
例1-2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．的最小值为
B．的图象关于点对称
C．直线是图象的一条对称轴
D．在区间上单调递减
由题意得，
故的最小值为，A正确；
将代入中，得，
即的图象关于点对称，B错误；
将代入中，得，
即此时取到最小值，即直线是图象的一条对称轴，C正确；
当时，，由于在上单调递减，
故在区间上单调递减，D正确，
故选：ACD
1．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）（多选）已知函数，则下列描述正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．是函数图象的一个对称轴
C．是函数图象的一个对称中心
D．若函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象，则为奇函数
【答案】ACD
【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可.
【详解】函数的最小正周期，故A正确；
，所以关于对称，故B错误；
，所以是函数图象的一个对称中心，故C正确；
将函数的图象向左平移个单位长度得到，
则，所以为奇函数，故D正确；
故选：ACD
2．（2023·全国·模拟预测）（多选）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．为奇函数 B．当时，的值域是
C．的图象关于点对称 D．在上单调递增
【答案】BD
【分析】根据三角函数的平移变换求出的表达式，然后依次判断各个选项即可.
【详解】因为，
所以．
由，得，，
则，又，所以，
所以．
对于A：，所以不是奇函数，A错误；
对于B：当时，，
则，B正确；
对于C：因为，
所以的图象不关于点对称， C错误；
对于D：当时，，
根据正弦函数的图象与性质可知，
在上单调递增，D正确．
故选：BD
3．（2023·广东汕头·校考一模）（多选）已知函数的最小正周期是，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递减 D．函数在上有3个零点
【答案】AC
【分析】根据周期及奇函数的性质求出，再利用正弦函数性质逐项判断即可.
【详解】因为函数的最小正周期是，所以，
则，
把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为，
因为为奇函数，所以，，即，，
因为，所以，，所以，
对于A，，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，，
所以函数的图象不关于点对称，故B错误；
对于C，当时，，
函数在上单调递减，
所以函数在区间上单调递减，故C正确；
对于D，由，得，即，
令，解得，又，所以或，
所以函数在上有2个零点，分别为，，故D错误.
故选：AC.
4．（2023·山西吕梁·统考二模）（多选）若函数（）的最小正周期为，则（ ）
A． B．在上单调递减
C．在内有5个零点 D．在上的值域为
【答案】BC
【分析】先利用三角恒等变换公式化简函数解析式，根据其最小正周期求出ω的值，从而确定函数解析式，代值计算即可判断A；根据正弦型函数的单调性可判断B；根据正弦函数图象即可判断CD.
【详解】
．
因为函数的最小正周期为，所以，故.
对于A，，故A错误；
对于B，当时，，此时单调递减，故B正确；
对于C，，
∴，，
当时，满足要求的有，，，，，共有5个零点，故C正确；
对于D，当时，，则，故，∴D错误．
故选：BC
技法02 三角函数异名伸缩平移的解题技巧
知识迁移
通常用进行正弦化余弦，用进行余弦化正弦
例2-1．（2022·四川模拟）若要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
我们可以对平移前进行变换，，从而转化为的变换；
我们同样也对平移后进行变换，，从而转化为的变换，进而求解变换过程
【答案】D
例2-2．（2022·江苏·模拟）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【详解】，
设平移了个单位，得到，则，解得：，
即向右平移了个单位.
【答案】B
1．（全国·高考真题）为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
【答案】A
【分析】设出向左平移个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.
【详解】，
将函数向左平移个长度单位，得到，
故，解得，
即向左平移个长度单位.
故选：A
2．（天津·高考真题）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
【答案】A
【详解】令，当函数图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）时，函数为，若图象再向左平行移动个单位长度，则函数为，于是选A.
3．（全国·高考真题）为了得到函数的图象，可以将函数的图象
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】B
【分析】由三角函数的诱导公式可得，再结合三角函数图像的平移变换即可得解.
【详解】解：由，
即为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度，
故选：B.
【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题.
4．（全国·高考真题）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】D
【详解】把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，
故选D．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.
技法03 三角函数最值与值域的解题技巧
例3-1．（2019·全国·高考真题）函数的最小值为_________．
【详解】，
，当时，，
故函数的最小值为．
例3-2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为3，最小值为-1
C．的最大值为，最小值为
D．的最大值为，最小值为
【详解】因为函数，
设，，
则，
所以，，
当时，；当时，.
故选：C
1.（全国·高考真题）函数的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】试题分析：因为，而，所以当时，取得最大值5，选B.
【考点】 正弦函数的性质、二次函数的性质
【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当时，函数取得最大值.
2.（全国·高考真题）函数f(x)=sin(x+)+cos(x )的最大值为
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】由诱导公式可得，
则,
函数的最大值为.
所以选A.
【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
3.（全国·高考真题）函数（）的最大值是 ．
【答案】1
【详解】化简三角函数的解析式，
可得
，
由，可得，
当时，函数取得最大值1．
4.（全国·高考真题）函数的最小值为（ ）
A．2 B．0 C． D．6
【答案】B
【分析】设，则，结合二次函数性质求其最小值即可.
【详解】因为，设，则，由二次函数性质可得当上单调递减，所以当，取最小值，最小值为0，故当时，函数取最小值，最小值为0，
故选：B.
5.（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）函数的最小值为（ ）
A． B．0 C．2 D．6
【答案】B
【分析】由题意可得，，，根据二次函数的性质求出的最小值即得答案.
【详解】解：因为，
设，，
则，，
由二次函数性质可知当时，单调递减，
所以当时，取得最小值0，
故的最小值为0．
故选：B.
技法04 三角函数ω的取值范围解题技巧
例4-1．（2023·山西·高三校考）已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
先用辅助角公式把函数名统一，即，此时我们可以换元作图，令，由，则，则，，作图如下：
有4个零点和1个极大值点，即右端点，解得，
故的取值范围是.
故选：D.
例4-2．（2023秋·四川模拟）已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为，
所以若，则，
即，
则，又，解得，
又解得，
当时，；
当时，因为，所以可得．
所以．
故选：B
1．（2023·山西吕梁·统考三模）（多选）已知函数，满足，，且在上单调，则的取值可能为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】AB
【分析】由，知函数的图象关于直线对称，结合可知是函数的零点，进而得到，，由在上单调，可得，进而，分类讨论验证单调性即可判断.
【详解】由，知函数的图象关于直线对称，
又，即是函数的零点，
则，，
即，.
由在上单调，
则，即，
所以.
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上单调递增，故符合题意；
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上单调递增，故符合题意；
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上不单调，故不符合题意.
综上所述，或3.
故选：AB.
2．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：C．
3．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
4．（2023·浙江·校联考模拟预测）定义设函数，可以使在上单调递减的的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分段写出函数解析式，并确定单调递减区间，再借助集合的包含关系求解作答.
【详解】依题意，，
函数的递减区间是，，，
于是或，，
即，，解得，由，得，无解；
或，，解得，由，得，则或，
当时，，当时，，选项C满足，ABD不满足.
故选：C4类三角函数选填解题技巧
技法01 三角函数图象与性质的解题技巧
例1-1．（2021·全国·统考高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
由，解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
故选：A.
例1-2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．的最小值为
B．的图象关于点对称
C．直线是图象的一条对称轴
D．在区间上单调递减
由题意得，
故的最小值为，A正确；
将代入中，得，
即的图象关于点对称，B错误；
将代入中，得，
即此时取到最小值，即直线是图象的一条对称轴，C正确；
当时，，由于在上单调递减，
故在区间上单调递减，D正确，
故选：ACD
1．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）（多选）已知函数，则下列描述正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．是函数图象的一个对称轴
C．是函数图象的一个对称中心
D．若函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象，则为奇函数
2．（2023·全国·模拟预测）（多选）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．为奇函数 B．当时，的值域是
C．的图象关于点对称 D．在上单调递增
3．（2023·广东汕头·校考一模）（多选）已知函数的最小正周期是，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递减 D．函数在上有3个零点
4．（2023·山西吕梁·统考二模）（多选）若函数（）的最小正周期为，则（ ）
A． B．在上单调递减
C．在内有5个零点 D．在上的值域为
技法02 异名三角函数伸缩平移的解题技巧
知识迁移
通常用进行正弦化余弦，用进行余弦化正弦
例2-1．（2022·四川模拟）若要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
我们可以对平移前进行变换，，从而转化为的变换；
我们同样也对平移后进行变换，，从而转化为的变换，进而求解变换过程
【答案】D
例2-2．（2022·江苏·模拟）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【详解】，
设平移了个单位，得到，则，解得：，
即向右平移了个单位.
【答案】B
1．（全国·高考真题）为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
2．（天津·高考真题）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
3．（全国·高考真题）为了得到函数的图象，可以将函数的图象
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
4．（全国·高考真题）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
技法03 三角函数最值与值域的解题技巧
例3-1．（2019·全国·高考真题）函数的最小值为_________．
【详解】，
，当时，，
故函数的最小值为．
例3-2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为3，最小值为-1
C．的最大值为，最小值为
D．的最大值为，最小值为
【详解】因为函数，
设，，
则，
所以，，
当时，；当时，.
故选：C
1.（全国·高考真题）函数的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2.（全国·高考真题）函数f(x)=sin(x+)+cos(x )的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
3.（全国·高考真题）函数（）的最大值是 ．
4.（全国·高考真题）函数的最小值为（ ）
A．2 B．0 C． D．6
5.（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）函数的最小值为（ ）
A． B．0 C．2 D．6
技法04 三角函数ω的取值范围解题技巧
例4-1．（2023·山西·高三校考）已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
先用辅助角公式把函数名统一，即，此时我们可以换元作图，令，由，则，则，，作图如下：
有4个零点和1个极大值点，即右端点，解得，
故的取值范围是.
故选：D.
例4-2．（2023秋·四川模拟）已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为，
所以若，则，
即，
则，又，解得，
又解得，
当时，；
当时，因为，所以可得．
所以．
故选：B
1．（2023·山西吕梁·统考三模）（多选）已知函数，满足，，且在上单调，则的取值可能为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
2．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
4．（2023·浙江·校联考模拟预测）定义设函数，可以使在上单调递减的的值为（ ）
A． B． C． D．

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