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拓展三：三角函数中参数的取值范围问题（精讲）
目录
第一部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：的取值范围与单调性相结合
重点题型二的取值范围与对称性相结合
重点题型三：的取值范围与三角函数的最值相结合
重点题型四：的取值范围与三角函数的零点相结合
重点题型五：求综合问题
重点题型一：的取值范围与单调性相结合
典型例题
例题1．（2022·山东济宁·高一期末）已知函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高一课时练习）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．3
例题4．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数的一个对称中心为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题5．（2022·安徽·模拟预测（文））若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·广西柳州·高一期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·全国·高三专题练习）函数在单调递增，在单调递减，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数f(x)在上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京市第十二中学高一阶段练习）已知函数， 为的零点，为图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
重点题型二的取值范围与对称性相结合
典型例题
例题1．（2022·河南·三模（文））若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为（ ）
A．9 B．15 C．21 D．33
例题2．（2021·江苏·高一专题练习）若函数在区间内单调，且是的一个对称中心，则的值可以是（ ）
A．6 B． C．9 D．
例题3．（2022·河南驻马店·高三期末（理））已知函数，若的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数，为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．11 B．9 C．7 D．1
同类题型演练
1．（2021·全国·高一课时练习）已知函数在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为，则的值不可能是（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2021·上海市西南位育中学高一期中）已知函数（其中，），为函数的一个零点，是函数图像的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．（2022·全国·高一）函数的图像关于直线对称，则可以为（ ）
A． B． C． D．1
4．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）
重点题型三：的取值范围与三角函数的最值相结合
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图像与直线有且仅有一个交点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
例题2．（2022·北京·人大附中高一期中）若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·浙江·宁波市北仑中学高二期中）已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
例题4．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数经过点，且在上只有一个零点，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
同类题型演练
1．（2021·天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习）已知函数在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·吉林·双辽市第一中学高三期末（理））已知函数，若在区间内没有零点，则的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知，，，且在上无最小值，则（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（2022·河南商丘·三模（理））已知函数，若，在内有最小值，没有最大值，则的最大值为（ ）
A．19 B．13 C．10 D．7
5．（2022·湖北·高一期中）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
重点题型四：的取值范围与三角函数的零点相结合
典型例题
例题1．（2022·江西景德镇·三模（理））已知函数，若函数在区间上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·广西·钦州一中高一期中）已知函数为偶函数，在单调递减，且在该区间上没有零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2021·全国·高一单元测试）已知函数，函数在上有3个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）设，函数，，若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高一期中）已知函数在上有且只有4个零点，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3．（2022·浙江·模拟预测）设函数，其中，若对任意的，在上有且仅有4个零点，则下列的值中不满足条件的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，的零点到轴的最近距离小于，且在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
重点题型五：求综合问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递增，且存在唯一，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·陕西·安康市高新中学三模（文））已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．8
2．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
拓展三：三角函数中参数的取值范围问题（精讲）
目录
第一部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：的取值范围与单调性相结合
重点题型二的取值范围与对称性相结合
重点题型三：的取值范围与三角函数的最值相结合
重点题型四：的取值范围与三角函数的零点相结合
重点题型五：求综合问题
重点题型一：的取值范围与单调性相结合
典型例题
例题1．（2022·山东济宁·高一期末）已知函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：依题意，即，又，所以，解得，
又，所以，所以，
要使函数在内单调递减，所以，解得，
即；
故选：B
例题2．（2022·全国·高一课时练习）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
由，，可得，
根据正弦函数的单调性，可得：，又，
所以，即.
故选：D.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．3
【答案】C
【详解】因直线是曲线的一条对称轴，则，即，
由得，则函数在上单调递增，
而函数在区间上不单调，则，解得，
所以的最小值为11.
故选：C
例题4．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数的一个对称中心为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由函数的一个对称中心为，
可得，
所以，，
，，
，
由在区间上不单调，
所以在区间上有解，
所以，在区间上有解，
所以，
所以，，
又，所以，
所以，
当时，，
此时的最小正整数为.
故选：B
例题5．（2022·安徽·模拟预测（文））若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
时，，
因为函数在上单调递增，所以有，
解得，因为，所以的取值范围是，
故选：B.
同类题型演练
1．（2022·广西柳州·高一期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】函数的图象向左平移个单位，
得到函数，
若，则，所以，即，
所以的最大值为1.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数在单调递增，在单调递减，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【详解】依题意得：，
，
又在单调递减，，
解得：，，
故选：
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数f(x)在上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数，
由函数f(x)在上单调递减，且，
得，，解，.
又因为ω>0，，所以k＝0，
所以实数ω的取值范围是.
故选：B
4．（2022·北京市第十二中学高一阶段练习）已知函数， 为的零点，为图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：函数，为的零点，为图象的对称轴，
，即，
，，即为正奇数.
在区间上单调，
，即.
①当时，，，
.
此时，，在区间上，，
在区间上不单调，故不满足题意；
②当时，，，
.
此时，，在区间上，，
在区间上不单调，故不满足题意；
③当时，，，
.
此时，，在区间上，，
在区间上单调递减，故满足题意.
则的最大值为.
故选：B.
重点题型二的取值范围与对称性相结合
典型例题
例题1．（2022·河南·三模（文））若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为（ ）
A．9 B．15 C．21 D．33
【答案】C
【详解】当时，因为，所以，又在区间上不单调，所以，即．
因为直线是曲线的一条对称轴，所以，即，故的最小值为21．
故选：C
例题2．（2021·江苏·高一专题练习）若函数在区间内单调，且是的一个对称中心，则的值可以是（ ）
A．6 B． C．9 D．
【答案】A
【详解】,解得,(k∈Z)
若,则，解得；
若，则，解得；
故，或，
如图所示，经检验符合题意.
故选：A.
例题3．（2022·河南驻马店·高三期末（理））已知函数，若的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，，则，.
设函数的最小正周期为，
因为在上单调，所以，所以，即，解得0<，则0<，即0<.
当时，，当时，，
此时函数在上不单调，不合乎题意；
当时，，当时，，
此时，函数在上单调递减，合乎题意.
因此，的最大值为.
故选：B.
例题4．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数，为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．11 B．9 C．7 D．1
【答案】B
【详解】因为为的零点，为图像的对称轴，
所以,即，所以,即为正奇数.
因为在上单调，则，即，解得：.
当时，,
因为，所以，此时.
当时，，
所以当时，单增；当时，单减，
即在不单调，不满足题意；
当时，,
因为，所以，此时.
当时，，
此时在单调递减，符合题意；
故的最大值为9.
故选：B
同类题型演练
1．（2021·全国·高一课时练习）已知函数在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为，则的值不可能是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【详解】由题意得：
故选：B.
2．（2021·上海市西南位育中学高一期中）已知函数（其中，），为函数的一个零点，是函数图像的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【详解】因为为函数的一个零点，且是函数f（x）图像的一条对称轴，
所以，所以，所以；
因为函数在区间上单调，
所以，即，所以，所以，
又因为，所以，
当时，，又，
所以函数在区间上不单调，所以舍去；
当时，，
又，，
所以函数在区间上单调，所以.
故选：B.
3．（2022·全国·高一）函数的图像关于直线对称，则可以为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】
对称轴为：
当时，取值为.
故选:C.
4．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）
【答案】C
【详解】解：，
令，，则，，
函数f（x）在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，即有3个整数k符合，
，得，则，
即，∴.
故选：C.
重点题型三：的取值范围与三角函数的最值相结合
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图像与直线有且仅有一个交点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【详解】解：因为函数的图像关于原点对称，并且在区间上是增函数，
所以，又，得，
令，得，
所以在上的图像与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，
所以，解得，
综上所述，，故的最小值为
故选：D
例题2．（2022·北京·人大附中高一期中）若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由在区间内没有最值，知在区间上单调，由可得，
当在区间上单增时，可得，解得，
时无解，令，得，又，故；
当在区间上单减时，可得，解得，
时无解，令，得，综上.
故选：B.
例题3．（2022·浙江·宁波市北仑中学高二期中）已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，
所以，又，得，令，得，
所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，
所以，解得，
综上 所述，.
故选：C
例题4．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数经过点，且在上只有一个零点，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【详解】因为经过点，
所以，因为，所以，
即，令，
因为，所以，
因为在上只有一个零点，
所以有，所以的最大值为，
故选：C
同类题型演练
1．（2021·天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习）已知函数在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数在区间上单调，
可得，即，
所以且，
解得，，
又，
当时，可得，
因为函数在区间上恰好取得一次最大值2，
且函数的图象过原点，
所以，
解得
综上可得：，
故选：B
2．（2022·吉林·双辽市第一中学高三期末（理））已知函数，若在区间内没有零点，则的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
令，，．
又函数在区间内没有零点，所以，
解得，，
所以，，，，所以的最大值是．
故选：C．
3．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知，，，且在上无最小值，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【详解】解：，，，，
，
，，
，，，，
，，，
在上无最小值且，，即，
故选：A．
4．（2022·河南商丘·三模（理））已知函数，若，在内有最小值，没有最大值，则的最大值为（ ）
A．19 B．13 C．10 D．7
【答案】B
【详解】由，得，，解得，，
由在内有最小值，无最大值，
可得，
解得，所以的最大值为13.
故选:B．
5．（2022·湖北·高一期中）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，在区间上单调递增，
∴，，
由，则，
则，解得，
∴；
当时，，要使得该函数取得一次最大值，
故只需，解得；
综上所述，的取值范围为.
故选：C.
重点题型四：的取值范围与三角函数的零点相结合
典型例题
例题1．（2022·江西景德镇·三模（理））已知函数，若函数在区间上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】.
令可得：.
令，解得：.
∵函数在区间内没有零点，区间内不存在整数.
又，∴.又，
∴或，
∴或，解得或.
故选：A
例题2．（2022·广西·钦州一中高一期中）已知函数为偶函数，在单调递减，且在该区间上没有零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数为偶函数，
所以，
由，
得，
因为函数在单调递减，且在该区间上没有零点，
所以，
解得，
所以的取值范围为，
故选：D
例题3．（2021·全国·高一单元测试）已知函数，函数在上有3个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，函数在上有3个不同的零点，即有3个不同的根，
所以有三个根，
因为，
所以，
因为，
所以，
故选：B.
例题4．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）设，函数，，若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，且在上单调递增，
所以，所以，
当时，，
因为在上单调递增，
所以，解得，
若在上函数与的图象有两个交点，
即方程在上有两个不同的实数根，
即方程在上有两个不同的实数根，
所以，解得，
当时，令，
当时，，
当时，，，
结合图象可得时，函数与的图象只有一个交点，
综上所述，当时，函数与的图象有三个交点，满足题意，
故选：B.
同类题型演练
1．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高一期中）已知函数在上有且只有4个零点，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，，，∴，解得．
故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，令，，
即，，
所以函数的单调递增区间为，，
又因为函数在上单调递增，
所以，得，且，
又因为，
所以，又在区间上有唯一的实数解，
所以，且，可得.
综上，．
故选：D.
3．（2022·浙江·模拟预测）设函数，其中，若对任意的，在上有且仅有4个零点，则下列的值中不满足条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设，则，所以在，上有4个零点，
可知，所以，
又，所以，即，满足的只有，
故选：．
4．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，
因为，所以.
又因为函数在区间上有且只有两个零点，
所以，解得：.
故选：B
5．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，的零点到轴的最近距离小于，且在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设的最小正周期为，依题意为的一个零点，且在上单调递增，所以，所以，因为的零点到轴的最近距离小于，所以，化简得，即的取值范围是.
故选：D
重点题型五：求综合问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，
即，若在上单调递减，
则的周期，即，得，
由，，得，，
即，即的单调递减区间为，，
若在上单调递减，则，，
即，，当时，，即的取值范围是.
故选：D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递增，且存在唯一，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为函数在上单调递增，
又函数在，内单调递增，
，
，，
，
存在唯一，，使得，
，时，，，
，
．
故选：．
同类题型演练
1．（2022·陕西·安康市高新中学三模（文））已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【详解】由题可知，是该函数的周期的整数倍，即，解得，又，故其最小值为．
故选：A．
2．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，
由，，得，，
所以的单调递增区间为，，
依题意得，，
所以，，
所以，，
由得，由得，
所以且，
所以或，
当时，，又，所以，
当时，.
综上所述：.
故选：C.拓展一：指数函数+对数函数综合应用（定义域+值域+奇偶性+单调性）（精讲）
目录
重点题型一：指数（型）函数的值域（最值）
重点题型二：指数（型）函数的单调性
重点题型三：指数型函数的奇偶性
重点题型四：对数（型）函数的定义域
重点题型五：对数（型）函数的值域（最值）
重点题型六：对数（型）函数的单调性
重点题型七：对数（型）函数的奇偶性
重点题型一：指数（型）函数的值域（最值）
典型例题
1．（2023·全国·高三专题练习）定义：设函数的定义域为，如果，使得在上的值域为，则称函数在上为“等域函数”，若定义域为的函数（，）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·华罗庚中学三模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高一专题练习）设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．
6．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为_________．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知当时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则实数m的取值范围是________．
8．（2022·河南·模拟预测（文））已知，，若对，，，则实数的取值范围是_________.
9．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____．
10．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））已知函数为偶函数，如有．
(1)求k的值；
(2)对任意，存在使得成立，求实数a的取值范围．
11．（2022·湖北·赤壁市车埠高级中学高一期中）已知函数是上的奇函数，且
(1)求实数，的值，并求的值域；
(2)函数满足，若对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值.
12．（2022·吉林·长春十一高高一期末）定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
(1)证明：在上是有界函数；
(2)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
13．（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高一期末）已知函数.
(1)当时，求方程的解；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
14．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一期末）设函数，．
(1)求函数的值域；
(2)设函数，若对，，，求正实数a的取值范围．
重点题型二：指数（型）函数的单调性
典型例题
1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　　）
A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)
2．（2022·浙江·玉环市坎门中学高一开学考试）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·山东潍坊·高一期末）已知函数对于任意两个不相等实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·天津和平·高一期末）已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广东·高二期末）设函数，数列满足，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·上海虹口·高一期末）已知函数，若函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全国·高一期末）若函数是上的增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（　　）
A． B．(0，1) C． D．(0，3)
9．（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知定义在上的函数是偶函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数在上的单调性并证明；
(3)解不等式：．
10．（2022·重庆九龙坡·高二期末）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断并证明在上的单调性；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
11．（2022·河北省曲阳县第一高级中学高二期末）已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求实数的值，并证明在上单调递增；
(2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围.
12．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知函数 是奇函数．
(1)求实数 的值; 并说明函数 的单调性（不证明）;
(2)若对任意的实数 ， 不等式 恒成立， 求实数 的取值范围．
重点题型三：指数型函数的奇偶性
典型例题
1．（2022·甘肃酒泉·高二期末（文））已知函数的图象经过点，
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域和值域；
(3)判断函数的奇偶性并证明．
2．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知定义在上的奇函数，当时，函数解析式为．
(1)求a的值，并求出在上的解析式；
(2)若对任意的，总有，求实数t的取值范围．
3．（2022·福建福州·高二期末）已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数在上的解析式；
(2)若，恒成立，求实数的取值范围．
4．（2022·河南·高二期末（理））已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式的解集；
(3)若关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围.
5．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高二阶段练习）已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求的解析式；
(2)若恒成立，求实数m的取值范围.
6．（2022·四川·遂宁中学高一开学考试）已知(且)是R上的奇函数，且.
(1)求的解析式；
(2)若不等式对恒成立，求m的取值范围；
重点题型四：对数（型）函数的定义域
典型例题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数定义域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是
A．
B．
C．
D．
4．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为R，则实数的取值范围是______．
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数的定义域为，则实数的取值范围为_____．
重点题型五：对数（型）函数的值域（最值）
典型例题
1．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知函数，，对于任意，存在有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·四川宜宾·高一期末）若函数的最小值是1，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高一期末）已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南·封丘一中高二期末（理））若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.
7．（2022·河南·林州一中高一开学考试）若函数有最小值，则a的取值范围为______．
8．（2022·四川雅安·高一期末）若函数，则函数的值域为___________.
9．（2022·全国·高一期末）已知函数的值域是R，则实数的最大值是___________；
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_________.
11．（2022·全国·高一专题练习）已知，，求的最大值及相应的．
12．（2022·辽宁·义县高级中学高二阶段练习）已知幂函数 为偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数 的定义域为，求函数的值域．
13．（2022·重庆·高一期末）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)设函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数m的取值范围.
14．（2022·全国·高一阶段练习）已知函数，其定义域为．
(1)求实数m，n的值；
(2)若函数的最小值为－1，求a的值．
15．（2022·辽宁·东港市第二中学高一开学考试）已知函数，.
(1)求实数的值；
(2)，.求的最小值、最大值及对应的的值.
16．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若，对于恒成立，求实数m的取值范围.
重点题型六：对数（型）函数的单调性
典型例题
1．（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）若是定义在上的增函数，实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江西吉安·高二阶段练习（文））已知是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·陕西·长安一中高一期末）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南驻马店·高一期末）函数为定义在R上的单调函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）函数（a>0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．16．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调递增区间是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末）已知函数 在上单调递减，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是______．
10．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数（，且）.
(1)求函数的定义域；
(2)是否存在实数a，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
11．（2022·全国·高一）已知函数
(1)若m＝1，求函数f（x）的定义域;
(2)若函数f（x）在区间上是增函数，求实数m的取值范围．
12．（2022·四川成都·高一开学考试）已知偶函数（其中），且满足.
(1)求的解析式，并指出其在定义域内的单调性（不需要证明）；
(2)解关于的不等式.
13．（2022·湖南·高一期末）已知函数.
(1)用定义证明是上的增函数；
(2)求不等式的解集.
重点题型七：对数（型）函数的奇偶性
典型例题
1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数.
(1)求的定义域；
(2)讨论的奇偶性.
2．（2022·湖南·株洲二中高一期末）已知函数， ．
(1)试判断在其定义域上是否具有奇偶性，若有，请加以证明；
(2)若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围．
3．（2022·江苏南通·高二期末）已知函数．从下面两个条件中选择一个求出，并解不等式
①函数是偶函数；②函数是奇函数．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
4．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知函数为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式；
(3)设，函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围.
5．（2022·河北武强中学高二期末）已知函数为奇函数．
(1)求常数k的值；
(2)当时，判断的单调性，并用定义给出证明；
(3)若函数，且在区间上没有零点，求实数m的取值范围．
6．（2022·甘肃定西·高一阶段练习）已知函数的图象关于原点对称．
(1)求a的值；
(2)当时，恒成立，求实数k的取值范围．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)证明：为偶函数；
(2)若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若为偶函数，求；
(2)若命题“，”为假命题，求实数的取值范围．
9．（2022·四川自贡·高一期末）已知函数与.
(1)判断的奇偶性；
(2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
拓展一：指数函数+对数函数综合应用（定义域+值域+奇偶性+单调性）（精讲）
目录
重点题型一：指数（型）函数的值域（最值）
重点题型二：指数（型）函数的单调性
重点题型三：指数型函数的奇偶性
重点题型四：对数（型）函数的定义域
重点题型五：对数（型）函数的值域（最值）
重点题型六：对数（型）函数的单调性
重点题型七：对数（型）函数的奇偶性
重点题型一：指数（型）函数的值域（最值）
典型例题
1．（2023·全国·高三专题练习）定义：设函数的定义域为，如果，使得在上的值域为，则称函数在上为“等域函数”，若定义域为的函数（，）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
当时，函数在上为减函数，
若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，
则存在，（）使得，
所以，消去，得，
令，则，
当时，，所以在上是单调增函数，
所以符合条件的，不存在.
当时，函数在上为增函数，
若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，
则存在，（）使得，，即方程在上有两个不等实根，
即在上有两个不等实根，
设函数（），则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
所以，又，，
故，即.
故选：C.
2．（2022·江苏·华罗庚中学三模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：因为，所以的定义域为，，
当时，则在上单调递增，所以；
要使定义域和值域的交集为空集，显然，
当时，
若则，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若时在上单调递减，此时，
则，
所以，解得，即
故选：B
3．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因函数的值域是，于是得函数的值域是，
因存在实数，使得，则，
因此，，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
函数是R上偶函数，因，即函数在R上单调递增，
而，，令，则，因此，原函数化为：，
显然在上单调递增，则当时，，
所以函数的值域为.
故选：A
5．（2022·全国·高一专题练习）设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．
【答案】
解：由，得，
即，
，，
则，
，则，即．
故答案为：
6．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为_________．
【答案】
设，
因为，
所以当时，有最大值，
当时，有最小值，
即，
所以，即的取值范围是，
所以函数的最大值为，
故答案为：.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知当时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】
令3x＝t，当时，，则f（t）＝t2－mt＋m＋1>0在上恒成立，即函数在的图象在x轴的上方，而判别式，
故或，解得.
故答案为：.
8．（2022·河南·模拟预测（文））已知，，若对，，，则实数的取值范围是_________.
【答案】
因为对，，，
所以只需即可，
因为，，
所以，，
由，
解得
故答案为：.
9．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____．
【答案】（﹣∞，﹣2]
设，
若函数的值域为，，
则等价于，是值域的子集，
，
设，则，
则，
，
当对称轴，即时，不满足条件．
当，即时，则判别式△，
即，则，
即实数的取值范围是，.
故答案为：，
10．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））已知函数为偶函数，如有．
(1)求k的值；
(2)对任意，存在使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)因为函数为偶函数，所以，
，
即k的值为1.
(2)由（1）知，，
因为对任意，存在使得成立，
所以，设，，
，，所以根据对勾函数的性质可得在上单调递增，
即，
所以在上有解，即在上有解．
即，
设，因为，所以值域为，
所以，即．
11．（2022·湖北·赤壁市车埠高级中学高一期中）已知函数是上的奇函数，且
(1)求实数，的值，并求的值域；
(2)函数满足，若对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】(1)，，值域为；(2).
(1)解：由是上的奇函数，那么，则.
由可得，，解得，
所以，又，则，
所以的值域为.
(2)解：时，，所以，
由得：
，
即，
即在上恒成立.
令，，且，
，
∵，
∴，，，
∴，即，
∴在单调递增.
当时，，
所以，，
令，则，在单调递增.
，
因此，
所以的最大值为.
12．（2022·吉林·长春十一高高一期末）定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
(1)证明：在上是有界函数；
(2)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)解：， 则在上是严格增函数，
故，即 ，
故，故是有界函数；
(2)因为在上是以3为上界的有界函数，
所以在上恒成立，
令，则，
所以在时恒成立，
所以，在时恒成立，
函数在上严格递减，所以；
函数在上严格递增，所以.
所以实数a的取值范围是.
13．（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高一期末）已知函数.
(1)当时，求方程的解；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
(1)当时，由，可得，
则，所以或（舍去），解得.
故方程的解为2.
(2)由题意知在上恒成立，即在上恒成立.
又因为，所以，则.
因为，所以，
所以，即的取值范围是.
14．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一期末）设函数，．
(1)求函数的值域；
(2)设函数，若对，，，求正实数a的取值范围．
【答案】(1)；(2).
(1)∵，又，，
∴，当且仅当，即时取等号，
所以，
即函数的值域为．
(2)∵，
设，因为，所以，函数在上单调递增，
∴，即，
设时，函数的值域为A．由题意知，
∵函数，函数图象的对称轴为，
当，即时，函数在上递增，
则，即，
∴，
当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者，
而且，不合题意，
当，即时，函数在上递减，
则，即，满足条件的a不存在，
综上，．
重点题型二：指数（型）函数的单调性
典型例题
1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　　）
A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)
【答案】C
∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，
∴在R上是减函数，
∴，解得，
∴a的取值范围是．
故选：C．
2．（2022·浙江·玉环市坎门中学高一开学考试）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
∵在上单调递增，
∴，解得.
故选：B.
3．（2022·山东潍坊·高一期末）已知函数对于任意两个不相等实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题可得，函数为单调递减函数，
当时，若单减，则对称轴，得：,
当时，若单减，则，
在分界点处，应满足，即，
综上：
故选：B
4．（2022·天津和平·高一期末）已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为对任意实数，都有成立，
所以在上为增函数，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：B
5．（2022·广东·高二期末）设函数，数列满足，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题意，解得．
故选：A．
6．（2022·上海虹口·高一期末）已知函数，若函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因函数在R上是严格减函数，则函数在上单调递减，
并且有，于是得，解得：，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
7．（2022·全国·高一期末）若函数是上的增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
分段函数在上为单调递增函数，
需满足在各段内单调的基础上还得满足在临界点上左边界的值不大于右边界的值，
即且，，解得，
故选：D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（　　）
A． B．(0，1) C． D．(0，3)
【答案】A
因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，
则函数在上是减函数，有，
函数在上是减函数，有，即，
并且满足：，即，解和，
综上得，
所以a的取值范围为.
故选：A
9．（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知定义在上的函数是偶函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数在上的单调性并证明；
(3)解不等式：．
【答案】(1)1；(2)单调递减，理由见解析；(3).
(1)依题意，函数，因是R上的偶函数，即，，
因此，，，
而当时，，于是得，
所以a的值是1.
(2)由（1）知，，函数在上单调递减，
，，，
因，则，，，因此，，即，
所以函数在上单调递减.
(3)依题意，，
而，，
由（2）知，，解得，
所以原不等式的解集是.
10．（2022·重庆九龙坡·高二期末）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断并证明在上的单调性；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)增函数，证明见解析(3)
(1)解：因为函数为奇函数，且，
则，由，则，
所以，对任意的恒成立，所以，，可得.
(2)证明：由（1）可知，函数在上为增函数，证明如下：
任取、且，则，
所以，
，
所以，，故函数在上为增函数.
(3)解：由可得，
所以，，即对任意的恒成立.
当时，则有，合乎题意；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
11．（2022·河北省曲阳县第一高级中学高二期末）已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求实数的值，并证明在上单调递增；
(2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，证明见解析(2)
(1)解：因为函数是定义域为的奇函数，
则，解得，此时，
对任意的，，即函数的定义域为，
，即函数为奇函数，合乎题意，
任取、且，则，
所以，，则，
所以，函数在上单调递增.
(2)解：由（1）可知，函数在上为增函数，
对于任意的、，都有，则，
，
因为，则.
当时，则有，解得；
当时，则有，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
12．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知函数 是奇函数．
(1)求实数 的值; 并说明函数 的单调性（不证明）;
(2)若对任意的实数 ， 不等式 恒成立， 求实数 的取值范围．
【答案】(1)详见解析；(2)
(1)解：因为函数 是奇函数，
所以，解得 ，经检验符合题意；
此时，
因为在R上是增函数，在R上是减函数，
所以在R上是增函数.
(2)因为对任意的实数 ， 不等式 恒成立，
所以对任意的实数 ， 不等式 恒成立，
所以对任意的实数 ，恒成立，
所以对任意的实数 ，恒成立，
令，
所以，
实数 的取值范围.
重点题型三：指数型函数的奇偶性
典型例题
1．（2022·甘肃酒泉·高二期末（文））已知函数的图象经过点，
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域和值域；
(3)判断函数的奇偶性并证明．
【答案】(1)；
(2)的定义域为R ，值域为；
(3)奇函数，证明见解析.
(1)依题意，函数的图象过点，则有，解得，
所以a的值是1.
(2)由（1）知函数，因，所以的定义域为R，
而，所以的值域为.
(3)函数是R上的奇函数，
因的定义域为R，且，所以是奇函数.
2．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知定义在上的奇函数，当时，函数解析式为．
(1)求a的值，并求出在上的解析式；
(2)若对任意的，总有，求实数t的取值范围．
【答案】(1)-3，；(2).
(1)根据题意，是定义在上的奇函数，则有，
当时，则，解得：，
当时，，
设，则，则，又为奇函数，
所以，
综上，，
(2)由（1），时，，
设，则，则原函数可化为：，
由，知：在上恒成立，
要使在上恒成立，只需，解得：，
所以t的取值范围为．
3．（2022·福建福州·高二期末）已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数在上的解析式；
(2)若，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)解：由题意知，解得，所以当时，，
当，则，所以．
又为奇函数，所以，
故当时，．
综上：．
(2)解：由，得，
因为是奇函数，所以．
当时，所以函数在上单调递增，又是定义在上的奇函数，
所以在上单调递增．
可得，恒成立，
故，解得．
所以．
4．（2022·河南·高二期末（理））已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式的解集；
(3)若关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
(1)因为是定义在上的奇函数，所以，
即，即，
因为，所以，所以（经检验，符合题意）
(2)由（1）得，
因为与在上均为增函数，所以在上为增函数，
又，所以，
所以，即，
所以，所以不等式的解集是.
(3)因为关于x的不等式恒成立，即恒成立，
所以恒成立，所以，
因为，
所以当，即时，取得最小值.
所以，即实数k的取值范围是
5．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高二阶段练习）已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求的解析式；
(2)若恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；(2).
(1)因为函数为奇函数，
所以，即，
所以，
所以，
可得，函数.
(2)∵，
所以在上单调递减，且为奇函数，
由，得，
所以，
设，，
则，又，
所以，即，
故实数m的取值范围.
6．（2022·四川·遂宁中学高一开学考试）已知(且)是R上的奇函数，且.
(1)求的解析式；
(2)若不等式对恒成立，求m的取值范围；
【答案】(1)；
(2)﹒
(1)∵是R上的奇函数，∴，
由，可得，，
∵，∴，，∴．经检验成立
(2)∵，∴在R上单调递增，
又为R上的奇函数，
∴由，得，
∴，即恒成立，
当时，不等式为不能恒成立，故不满足题意；
当时，要满足题意，需，解得，
∴实数m的取值范围为．
重点题型四：对数（型）函数的定义域
典型例题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数定义域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意知 恒成立，
当时，满足条件，
当时，应有，且二次函数的判别式小于0，
即且，解得，
的取值范围是，
故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
∵函数的定义域为
∴(25)x 4 5x+m>0且(25)x 4 5x+m≠1，
即,且，
令,
∴
又即
∴m>5.
∴实数m的取值范围是(5,+∞).
故选A.
3．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
由解得或，故选D.
4．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为R，则实数的取值范围是______．
【答案】或．
∵的定义域为R，
∴恒成立，
当，即或，
若，不等式等价为，此时，不恒成立，不满足条件．
若，不等式等价为，恒成立，满足条件．
当时，要使不等式恒成立，
则，
即或，
解得或，
综上可知，实数的取值范围是或．
故答案为：或．
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数的定义域为，则实数的取值范围为_____．
【答案】
函数的定义域为等价于对于任意的实数，恒成立
当时成立
当时，等价于
综上可得
重点题型五：对数（型）函数的值域（最值）
典型例题
1．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知函数，，对于任意，存在有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
对于任意，存在有等价于.
由，函数单调递增，可得
，，对称轴为，
时，，
，
解得.
故选：B
2．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
函数，而函数是增函数，当时，，则当时，函数值域为，
因函数的值域为，因此，在当时，函数取尽一切负数，
当，即时，，不符合题意，当时，，也不符合题意，当时，为增函数，由可得，
则需，解得，
所以实数的取值范围是：.
故选：C
3．（2022·四川宜宾·高一期末）若函数的最小值是1，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
当时，，且，
因为函数的最小值是1，
所以当时，，
因为的对称轴为，且，
所以，所以.
故选：B.
4．（2022·全国·高一期末）已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
函数，而函数是增函数，当时，，则当时，函数值域为，
因函数的值域为，因此，在当时，函数取尽一切负数，
当，即时，，不符合题意，当时，，也不符合题意，
从而有，解得，
所以实数的取值范围是：.
故选：D
5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
∵，又函数的值域为R，
则，解得．
故选：C．
6．（2022·河南·封丘一中高二期末（理））若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.
【答案】
因为的最大值为0，所以应有最小值1，因此应有解得.
故答案为：.
7．（2022·河南·林州一中高一开学考试）若函数有最小值，则a的取值范围为______．
【答案】
当时，外层函数为减函数，要使函数有最小值，对于内层函数，，又，所以；
当时，外层函数为增函数，要使函数有最小值，对于内层函数，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
8．（2022·四川雅安·高一期末）若函数，则函数的值域为___________.
【答案】
由已知函数的定义域为
又，定义域需满足，
令，因为 ，
所以，
利用二次函数的性质知，函数的值域为
故答案为：.
9．（2022·全国·高一期末）已知函数的值域是R，则实数的最大值是___________；
【答案】8
当时，．
因为的值域为，则当时，．
当时，，
故在，上单调递增，
，即，
解得，即的最大值为8．
故答案为：8．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
值域为R，
设，所以可以取遍中任意一个数，所以
所以的取值为
故答案为：
11．（2022·全国·高一专题练习）已知，，求的最大值及相应的．
【答案】时，最大值为
，，
函数的定义域满足，即
设，，
由在区间上是增函数，．
从而要求在区间上的最大值，
只需求在区间上的最大值即可．
在上是增函数，
所以当，即时，．
综上可知，当时，的最大值为.
12．（2022·辽宁·义县高级中学高二阶段练习）已知幂函数 为偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数 的定义域为，求函数的值域．
【答案】(1)(2)
(1)由为幂函数，得，解得或,
当时，，符合题意；当时， ，不合题意，舍去．
所以．
(2)由知，，
则的解集为，
即和是方程的两根，由韦达定理，可知，
所以 ，
则 ，
即函数的值域为．
13．（2022·重庆·高一期末）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)设函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)偶函数，证明见解析
(2)
(1)为偶函数
证明：，
故，解得
的定义域为，关于原点对称
，
为偶函数
(2)若对任意的，总存在，使得成立
则
又，当且仅当，即取等号
所以
所求实数m的取值范围为
14．（2022·全国·高一阶段练习）已知函数，其定义域为．
(1)求实数m，n的值；
(2)若函数的最小值为－1，求a的值．
【答案】(1)，(2)
(1)由题意，不等式的解集是，
－3，1是方程的两实根，
∴，，即，．
(2)由于，
令，则
∵时，在上无最小值．
∴，∵时，在上是减函数，
∴
又，则，
即，解得
故若函数的最小值为－1，则．
15．（2022·辽宁·东港市第二中学高一开学考试）已知函数，.
(1)求实数的值；
(2)，.求的最小值、最大值及对应的的值.
【答案】(1)；
(2)时；时.
(1)因为，则，所以.
(2)由题设，，
令且，故，则，
当时；此时，
当时；此时.
16．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若，对于恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)令，，则，
函数转化为，，
则二次函数，，
当时，，当时，，
故当时，函数的值域为．
(2)由于对于上恒成立，
令，，则
即在上恒成立，所以在上恒成立，
由对勾函数的性质知在上单调递增，
所以当时，，
故时，原不等式对于恒成立．
重点题型六：对数（型）函数的单调性
典型例题
1．（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）若是定义在上的增函数，实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因为是定义在上的增函数，
所以，解得，
故选：B
2．（2022·江西吉安·高二阶段练习（文））已知是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
因为是上的增函数，
所以函数在上为增函数，函数在上为增函数，且，
所以，
解得，
所以实数a的取值范围是
故选：A.
3．（2022·陕西·长安一中高一期末）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
函数是上的增函数，
所以，解得 ，
所以实数的取值范围是
故选：A.
4．（2022·河南驻马店·高一期末）函数为定义在R上的单调函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由题意，函数为定义在R上的单调函数
且在单调递增
故在单调递增，即
且在处，
综上：
解得
故选：B
5．（2022·全国·高三专题练习）函数（a>0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．1【答案】B
函数（a>0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，
故外层函数是增函数，由此得a>1，
又内层函数在区间在（4，+∞）上单调递增，
令
则在（4，+∞）上恒成立，
即3x2≥2a在（4，+∞）上恒成立
故2a≤48，即a≤24，
又由真数大于0，故64﹣8a≥0，
故a≤8，由上得a的取值范围是1故选：B.
6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调递增区间是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
由题知的定义域为，
令，则，函数单调递增，
当时，关于单调递减，关于单调递减，
当时，关于单调递增，关于单调递增，
故的递增区间为．
故选：D．
7．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末）已知函数 在上单调递减，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为函数 在上单调递减，
所以函数在上单调递增，且在上恒成立，
所以，解得.
故选：B
8．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
函数的定义域为.
要求函数的一个单调增区间，
只需求的增区间，只需.
所以.
所以函数的一个单调增区间是.
故选：C
9．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
由函数在区间上是单调增函数，只需
函数在上是单调增函数，且当时恒成立，所以满足解得．
故答案为：
10．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数（，且）.
(1)求函数的定义域；
(2)是否存在实数a，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)(2)
(1)由题意可得，即，
因为，所以解得.
故的定义域为.
(2)假设存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1.
设函数，由，得，
所以在区间上为减函数且恒成立，
因为在区间上单调递减，
所以且，即.
又因为在区间上的最大值为1，
所以，
整理得，解得.
因为，所以，
所以存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1
11．（2022·全国·高一）已知函数
(1)若m＝1，求函数f（x）的定义域;
(2)若函数f（x）在区间上是增函数，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)若m＝1，则
要使函数有意义，需，解得x∈
∴若m＝1，函数f（x）的定义域为．
(2)若函数在区间 上是增函数，
则在区间上是减函数且在区间上恒成立，∴，且，即且.
12．（2022·四川成都·高一开学考试）已知偶函数（其中），且满足.
(1)求的解析式，并指出其在定义域内的单调性（不需要证明）；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)，在区间为增函数，在区间为减函数
(2)
(1)解：因为是偶函数，所以，即
所以，所以，则，
又因为，所以，解得，所以.
对于函数，有，解得，
所以，函数的定义域为，
因为内层函数在上为增函数，在上为减函数，
而外层函数为增函数，
所以在区间上为增函数，在区间上为减函数.
(2)解：因为，所以可化为，
又由函数的单调性可知原不等式等价于，解得，
所以不等式的解集为.
13．（2022·湖南·高一期末）已知函数.
(1)用定义证明是上的增函数；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(1)证明：取任意，且，
有
.
因为，所以，
所以.
因为，所以，
所以.
故，即是上的增函数.
(2)解：（解法一）因为，
所以等价于.
由（1）可知是上的增函数，则
解得，即不等式的解集是.
（解法二）由题意可得，
则等价于.
因为在上单调递增，
所以，
解得，即不等式的解集是.
重点题型七：对数（型）函数的奇偶性
典型例题
1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数.
(1)求的定义域；
(2)讨论的奇偶性.
【答案】(1)
(2)奇函数
(1)由，得，即，
因此函数的定义域为.
(2)由（1）知，函数的定义域为，关于坐标原点对称，
又，
所以为奇函数.
2．（2022·湖南·株洲二中高一期末）已知函数， ．
(1)试判断在其定义域上是否具有奇偶性，若有，请加以证明；
(2)若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)函数为上的偶函数；证明见解析
(2)或
(1)偶函数，证明如下：
证明：函数，定义域为，关于原点对称，
所以函数为上的偶函数．
(2)解：因为函数在上只有一个零点，
所以关于x的方程有唯一的实数解，
即方程有唯一的实数解，
即有唯一的实数解，
化简得，
令，
下面研究关于t的方程何时仅有一个正根.
①当时，，符合题意；
②当时，则，
当时，，当时，（舍）
当，即时，，方程有异号的两个实根，符合题意；
综上所述，实数a的取值范围为或.
3．（2022·江苏南通·高二期末）已知函数．从下面两个条件中选择一个求出，并解不等式
①函数是偶函数；②函数是奇函数．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案见解析
根据题意, 易得函数的定义域为.
选择①: 为偶函数, 因此,
故, 解得.经检验符合题设
,,
即即或
不等式的解集为；
选择②:函数为奇函数,有,
即, 解得.经检验符合题设，
,,
即即
不等式的解集为.
4．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知函数为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式；
(3)设，函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
(1)由函数表达式可知定义域为，
函数为偶函数
即：
，即.
(2)，
任取，且，
则，，，
所以
所以，
所以在上递增，
又因为为上的偶函数，
，
，即，解得，
所求不等式的解集为
(3)
在上有两个不相等的实根
令，则
有两个不相等的正实根
解得.
5．（2022·河北武强中学高二期末）已知函数为奇函数．
(1)求常数k的值；
(2)当时，判断的单调性，并用定义给出证明；
(3)若函数，且在区间上没有零点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)单调递增，证明见解析；
(3).
(1)由，即，
所以，故，则，
当时，显然不成立，经验证：符合题意；
所以；
(2)单调递增，证明如下：
由（1）知：，若，
则，
而，即，
所以，故单调递增.
(3)由，令，
所以，由（2）知：在上递增，而在上递减，
所以在上递减，则.
又在区间上无解，故
6．（2022·甘肃定西·高一阶段练习）已知函数的图象关于原点对称．
(1)求a的值；
(2)当时，恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)函数的图象关于原点对称，
则函数为奇函数，有，
即，即，即解得，当时，不满足题意，∴．
(2)由，得，即，
令，易知在上单调递减，
则的最大值为．又∵当时，恒成立，
即在恒成立，且，∴，，
即实数k的取值范围为．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)证明：为偶函数；
(2)若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(1)证明：定义域为，
，
即为，
则为偶函数；
(2)解：
，
当时，，
令，则，，
当时，即，在上单调递增，
所以时，，解得，
当时即，时，，
解得：不成立；
当时，即，在上单调递减，所以时，，
解得不成立．
故存在满足条件的．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若为偶函数，求；
(2)若命题“，”为假命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)解：因为函数为偶函数，
所以，即，
所以，即，
所以.
(2)解：因为命题“，”为假命题，
所以命题“，”为真命题，
所以，对，且恒成立，
所以，对，且恒成立，
由对勾函数性质知，函数在上单调递增，
所以，且，即实数的取值范围是.
9．（2022·四川自贡·高一期末）已知函数与.
(1)判断的奇偶性；
(2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)偶函数
(2)
(1)∵的定义域为R，
∴，∴为偶函数.
(2)函数只有一个零点
即
即方程有且只有一个实根.
令，则方程有且只有一个正根.
①当时，，不合题意；
②当时，若方程有两相等正根，则，且，解得；满足题意
③若方程有一个正根和一个负根，则，即时，满足题意.
∴实数a的取值范围为.拓展一：三角函数的变换技巧（精讲）
目录
第一部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：角的变换（拼凑角）
重点题型二：幂次的变换
重点题型三：函数名的变换
重点题型四：消元变换
重点题型五：结构变换
重点题型一：角的变换（拼凑角）
典型例题
例题1．（2022·全国·高一单元测试）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，求的值.
例题3．（2022·福建泉州·高二期末）已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
同类题型演练
1．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）已知都是锐角，求，的值
2．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）（1）已知，且是第三象限角，求的值；
（2）已知，，求及的值．
3．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）已知．
(1)求和；
(2)求．
重点题型二：幂次的变换
典型例题
例题1．（2022·四川成都·高一期末）已知函数，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·三模（理））已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象，则图象的一个对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（多选）（2022·山东·高一阶段练习）已知函数的最小正周期为，若m，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的值为1
B．
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．的最大值为
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏省郑梁梅高级中学高一阶段练习）若函数在区间上的最大值为6，写出的一个对称中心__________．
3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期是
B．是偶函数
C．在上递增
D．是图象的一条对称轴
重点题型三：函数名的变换
典型例题
例题1．（2022·河南·商丘市第一高级中学高二期末（文））若，，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知，则______.
例题3．（2022·福建·莆田一中高一期中）函数在区间上的最大值为__________（用数字作答）.
同类题型演练
1．（2022·四川眉山·高三阶段练习（理））若，，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．
2．（2022·全国·高一课时练习）若，则___________.
重点题型四：消元变换
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）若实数，满足方程组，则的一个值可以是___________.（写出满足条件的一个值即可）
例题2．（2022·辽宁抚顺·高一期末）已知角是第二象限角，，则___________.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）若，且 ，则_____.
2．（2022·广东·韶关市曲江区曲江中学高一期末）（1）已知，求的值；
（2）结合（1），若，求的值．
重点题型五：结构变换
典型例题
例题1．（多选）（2022·新疆·乌市一中高一期末）若函数在上有零点，则整数的值可以是（　　）
A． B． C．0 D．
例题2．（2022·河北·衡水泰华中学高三阶段练习）函数的最小值为________.
同类题型演练
1．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））函数的值域为_________.
2．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______．
拓展一：三角函数的变换技巧（精讲）
目录
第一部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：角的变换（拼凑角）
重点题型二：幂次的变换
重点题型三：函数名的变换
重点题型四：消元变换
重点题型五：结构变换
重点题型一：角的变换（拼凑角）
典型例题
例题1．（2022·全国·高一单元测试）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；(2)2.
（1）因，则.
（2）因，则，又，
所以．
例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，求的值.
【答案】
【详解】解：∵，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，
∴.
例题3．（2022·福建泉州·高二期末）已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为，，
又，所以，
所以.(2)解：因为，
，
又因为，所以，
由（1）知，，
所以．
因为，，则，所以．
同类题型演练
1．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）已知都是锐角，求，的值
【答案】，
【详解】由是锐角，，可得，
由是锐角，，
可得，
则
2．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）（1）已知，且是第三象限角，求的值；
（2）已知，，求及的值．
【答案】（1）（2）
【详解】（1）∵，且是第三象限角，∴，
∴.
（2）∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴.
3．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）已知．
(1)求和；
(2)求．
【答案】(1)；(2)
(1)由二倍角公式得：；
因为且，所以，则，所以
.
(2)因为，所以，又因为，所以
，则
.
重点题型二：幂次的变换
典型例题
例题1．（2022·四川成都·高一期末）已知函数，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题设，，
所以最小正周期为.
故选：B
例题2．（2022·全国·三模（理））已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象，则图象的一个对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为
将函数的图象向左平移个单位长度后得函数，
令，得，令，得，
所以图象的一个对称中心为，
故选：B.
例题3．（多选）（2022·山东·高一阶段练习）已知函数的最小正周期为，若m，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的值为1
B．
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．的最大值为
【答案】ACD
【详解】
因为最小正周期为，所以，得，故A正确；
易知的值域为，要使成立，必有，故B错误；
由，得对称轴，故C正确；
由，得，因为m，，所以m，，易知当时，有最大值，故D正确.
故选：ACD.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
.
向左平移个单位得到，其图象关于原点对称，
所以，
由于，所以的最小值为.
故选：B
2．（2022·江苏省郑梁梅高级中学高一阶段练习）若函数在区间上的最大值为6，写出的一个对称中心__________．
【答案】（答案不唯一）
【详解】
，
由，得，
所以当时，取得最大值，
所以，得，
所以，
由，得，
所以的对称中心为，
所以的一个对称中心可以为，
故答案为：（答案不唯一）
3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期是
B．是偶函数
C．在上递增
D．是图象的一条对称轴
【答案】ABC
【详解】
.
对选项A，，故A正确.
对选项B，，，
所以是偶函数，故B正确.
对选项C，，，由余弦函数的单调性可知C正确.
对选项D，或，故D错误.
故选：ABC
重点题型三：函数名的变换
典型例题
例题1．（2022·河南·商丘市第一高级中学高二期末（文））若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，所以，，
所以
．
故选: C．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知，则______.
【答案】.
【详解】令，则，且，所以.
故答案为：.
例题3．（2022·福建·莆田一中高一期中）函数在区间上的最大值为__________（用数字作答）.
【答案】##
【详解】函数
，
因为，所以，
当时，即，函数取得最大值，
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·四川眉山·高三阶段练习（理））若，，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【详解】因为，，所以且，
解得，所以.
故选：D
2．（2022·全国·高一课时练习）若，则___________.
【答案】
【详解】解：因为，即，
所以.
故答案为：.
重点题型四：消元变换
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）若实数，满足方程组，则的一个值可以是___________.（写出满足条件的一个值即可）
【答案】（答案不唯一，满足，即可）
【详解】由，可得，
即，所以，所以，，
所以当k=0时，.
故答案为：（答案不唯一，满足，即可）
例题2．（2022·辽宁抚顺·高一期末）已知角是第二象限角，，则___________.
【答案】
【详解】解：因为角是第二象限角，所以，
又，则，
则，
解得，所以，
所以.
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）若，且 ，则_____.
【答案】
【详解】因为，所以
即 ，∴解得或 （舍去）．
， ，因此 ．
故答案为：
2．（2022·广东·韶关市曲江区曲江中学高一期末）（1）已知，求的值；
（2）结合（1），若，求的值．
【答案】（1） ；（2）3．
【详解】（1）由 ，得 ，
由 得 ，
；
（2） ，
，
综上， ，.
重点题型五：结构变换
典型例题
例题1．（多选）（2022·新疆·乌市一中高一期末）若函数在上有零点，则整数的值可以是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】BCD
【详解】在上有零点，即在上有解，
设，，
，则，，，
所以，即，BCD均可以．
故选：BCD．
例题2．（2022·河北·衡水泰华中学高三阶段练习）函数的最小值为________.
【答案】
【详解】，
令，则，
故，所以当时，
故答案为：
同类题型演练
1．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））函数的值域为_________.
【答案】
【详解】由于，
令，则，
于是函数化为，
而 ，
所以当时，函数取最小值，
当时，函数取最大值，故值域为.
故答案为：.
2．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【详解】由，可得
恒成立，
令，
由，可得，
又在上单调递增，，
∴，即实数m的取值范围是.
故答案为：.拓展二：函数与方程的综合应用（精讲）
目录
重点题型一：根据零点求参数
重点题型二：求函数的零点（方程的根）的个数
重点题型三：求零点的和
重点题型四：函数与方程的综合应用
重点题型一：根据零点求参数
典型例题
1．（2022·广东深圳·高一期末）已知函数且在上无零点，在上有零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·天津和平·高一期末）已知函数有零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京大兴·高一期末）若函数恰有个零点，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川雅安·高一期末）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·河南·模拟预测（理））已知函数，若函数有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·广西·上林县中学高一期末）已知函数，若函数无零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·重庆一中高三阶段练习）若函数（其中，）存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·陕西咸阳·高三阶段练习（文））若方程在上有实根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·福建龙岩·高一期末）若函数 在 上存在零点，则实数的取值范围是________．
10．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知函数， 则使函数有零点的实数的取值范围是____________
11．（2021·江西·奉新县第一中学高一阶段练习）若函数有唯一的零点，则实数_______
重点题型二：求函数的零点（方程的根）的个数
典型例题
1．（2022·全国·高一专题练习）函数的零点个数是______．
2．（2021·全国·高一课时练习）函数的零点个数为______个．
3．（2021·广西河池·高一阶段练习）方程的实根个数有___________个．
4．（2020·安徽·立人中学高一期末（文））函数的零点个数为_____________；
5．（2020·湖北武汉·高一期中）已知，则方程的不等实根一共有____________个.
6．（2021·宁夏·银川市第六中学模拟预测（文））函数的零点个数为__________.
重点题型三：求零点的和
典型例题
1．（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一期中）已知函数．若存在正实数，使得方程有三个互不相等的实根，，，则的取值范围是__________．
2．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知函数的零点依次为a，b，c，则＝________
3．（2022·江苏·高一期末）已知函数，若存在，使得，则的取值范围是___________.
4．（2022·全国·高三专题练习）设函数关于的方程有四个实根，，，，则的最小值为___________.
5．（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知函数，则关于的方程的所有实数根的和为_______.
6．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若互不相等的实数满足，求的取值范围.
重点题型四：函数与方程的综合应用
典型例题
1．（2022·湖南·株洲二中高一期末）已知函数， ．
(1)试判断在其定义域上是否具有奇偶性，若有，请加以证明；
(2)若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围．
2．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知函数为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式；
(3)设，函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围.
3．（2022·河北武强中学高二期末）已知函数为奇函数．
(1)求常数k的值；
(2)当时，判断的单调性，并用定义给出证明；
(3)若函数，且在区间上没有零点，求实数m的取值范围．
4．（2022·四川自贡·高一期末）已知函数与.
(1)判断的奇偶性；
(2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
5．（2022·福建·高二期末）已知函数．
(1)讨论函数的奇偶性，并说明理由；
(2)当时，求证：方程在上至多有一个零点．
6．（2022·江苏·高一期中）已知函数
(1)若，求函数的零点个数；
(2)已知，，若方程在区间[1，2]内有且只有一个解，求实数的取值范围．
7．（2022·上海虹口·高一期末）设函数，且．
(1)作出函数的大致图像，并指出它的单调区间；
(2)当实数a变化时，讨论关于x的方程的解的个数．
8．（2022·广东韶关实验中学高一期中）已知.
(1)若函数的图象过点（1，1），求函数的解析式；
(2)若函数只有一个零点，求实数a的取值范围.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
（1）求的解析式.
（2）若方程有实数根，求实数a的取值范围.
.
拓展二：函数与方程的综合应用（精讲）
目录
重点题型一：根据零点求参数
重点题型二：求函数的零点（方程的根）的个数
重点题型三：求零点的和
重点题型四：函数与方程的综合应用
重点题型一：根据零点求参数
典型例题
1．（2022·广东深圳·高一期末）已知函数且在上无零点，在上有零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
函数在上无零点，在上有零点，
即方程在上无实数根，在上有实数根，
即在上无实数根，在上有实数根，设，
函数在上单调递增，且，
恒成立，若，则在时，，故不满足条件.
由于与的图象在上无交点，在上有交点，
根据函数的图像可知，解得
故选：D.
2．（2022·天津和平·高一期末）已知函数有零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，
，
函数有零点，
与有交点，
，
即，
故选：C
3．（2022·北京大兴·高一期末）若函数恰有个零点，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为时至多有一个零点，单调函数至多一个零点，
而函数恰有个零点，
所以需满足有1个零点，有1个零点，
所以，
解得，
故选：D
4．（2022·四川雅安·高一期末）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的根，从而函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，
由可知，当时，函数是周期为1的函数，
如图，在同一直角坐标系中作出函数的图象和函数的图象，
数形结合可得，当即时，两函数图象有两个不同的交点，
故函数有两个不同的零点.
故选：A.
5．（2020·河南·模拟预测（理））已知函数，若函数有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
若函数有零点，即有解，即，
问题转化为函数的图象与函数的图象有公共点.画出函数，即的大致图象如图所示.若函数有零点，结合图象可知，当时，函数有零点，所以实数的取值范围是.
故选:B.
6．（2021·广西·上林县中学高一期末）已知函数，若函数无零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：令，
则的解为：，
由题意可知：无解，
又，
即，
又，
即，解得：．
故选：A.
7．（2020·重庆一中高三阶段练习）若函数（其中，）存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为时，，所以，
若函数若有零点，则，解得，
故，又，
∴实数的取值范围是．
故选：C.
8．（2020·陕西咸阳·高三阶段练习（文））若方程在上有实根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
方程即，
由于，
∴，即的取值范围为，
故选：C.
9．（2022·福建龙岩·高一期末）若函数 在 上存在零点，则实数的取值范围是________．
【答案】
解：令，则有，
原命题等价于函数与在上有交点，
又因为在上单调递减，且当时，，
在上单调递增，
当时，作出两函数的图像，
则两函数在上必有交点，满足题意；
当时，如图所示，只需，
解得，即，
综上所述实数的取值范围是.
故答案为：．
10．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知函数， 则使函数有零点的实数的取值范围是____________
【答案】
令，现作出的图象，如图：
于是，当时，图象有交点，即函数有零点.
故答案为：.
11．（2021·江西·奉新县第一中学高一阶段练习）若函数有唯一的零点，则实数_______
【答案】
解：因为，
所以
所以即函数图象关于轴对称，故函数的图象与轴的交点也关于对称，
又因为函数有唯一零点，
故根据函数的对称性可知，只能交在，0），即（2），
所以．
故答案为：.
重点题型二：求函数的零点（方程的根）的个数
典型例题
1．（2022·全国·高一专题练习）函数的零点个数是______．
【答案】2
解：令，则，
作出函数的图象，
由图可知，函数的图象有两个交点，
故方程有两个不同的根，
所以函数有2个零点.
故答案为：2.
2．（2021·全国·高一课时练习）函数的零点个数为______个．
【答案】1
解：因为在R上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减，
又，，所以,
所以函数的零点个数为1个，
故答案为：1.
3．（2021·广西河池·高一阶段练习）方程的实根个数有___________个．
【答案】
由可得
画出函数与函数的图象如图所示：
由图可得两函数图象有一个交点，故方程有一个实根．
故答案为： .
4．（2020·安徽·立人中学高一期末（文））函数的零点个数为_____________；
【答案】
令，可得，则函数的零点个数等价于函数与的图象的交点个数，
在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如下图所示：
由图象可知，函数与的图象只有一个交点，
因此，函数的零点个数为.
故答案为：.
5．（2020·湖北武汉·高一期中）已知，则方程的不等实根一共有____________个.
【答案】4
由得，
函数的图象如图：
由图可知，的图象与直线一共有个交点，
所以方程的不等实根一共有个.
故答案为：4
6．（2021·宁夏·银川市第六中学模拟预测（文））函数的零点个数为__________.
【答案】2
令，即
画函数与函数的图象，如下图所示
由图象可知，函数与函数有2个交点
所以函数有2个零点.
故答案为：2
重点题型三：求零点的和
典型例题
1．（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一期中）已知函数．若存在正实数，使得方程有三个互不相等的实根，，，则的取值范围是__________．
【答案】
由可看到，
令，
作出的函数图象如图所示：
有三个不相等的实数根，，，
直线与的图象有三个交点，
设三个交点的横坐标从小到大分别为，，，
由二次函数的对称性可知，
令可得或（舍，
，．
即的取值范围是，
故答案为：．
2．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知函数的零点依次为a，b，c，则＝________
【答案】
因为函数与的图象关于对称，函数的图象关于对称，所以，又，所以.
故答案为：
3．（2022·江苏·高一期末）已知函数，若存在，使得，则的取值范围是___________.
【答案】
作出函数的图象，
由图知当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
令，
若存在，使得，由图可得，
由即，所以，
因为函数的对称轴为，所以，
所以，
故答案为：.
4．（2022·全国·高三专题练习）设函数关于的方程有四个实根，，，，则的最小值为___________.
【答案】
作出函数的大致图象，如图所示：
当时，对称轴为，所以，
若关于的方程有四个实根，，，，
则，
由，
得或，则，
又因为，
所以，
所以，所以，
所以，且，
所以，
当且仅当，
即时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
5．（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知函数，则关于的方程的所有实数根的和为_______.
【答案】
，或.
方程的根可视为直线与函数图象交点的横坐标，
作出函数和直线的图象如下图：
由图象可知，关于的方程的实数根为、.
由于函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，
关于的方程存在四个实数根、、、如图所示，
且，，，
因此，所求方程的实数根的和为.
故答案为：.
6．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若互不相等的实数满足，求的取值范围.
【答案】
作出函数的图象，如图所示
不妨设，则关于直线对称，故，
且满足；
则的取值范围为；
即．
所以的取值范围为.
重点题型四：函数与方程的综合应用
典型例题
1．（2022·湖南·株洲二中高一期末）已知函数， ．
(1)试判断在其定义域上是否具有奇偶性，若有，请加以证明；
(2)若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)函数为上的偶函数；证明见解析
(2)或
(1)偶函数，证明如下：
证明：函数，定义域为，关于原点对称，
所以函数为上的偶函数．
(2)解：因为函数在上只有一个零点，
所以关于x的方程有唯一的实数解，
即方程有唯一的实数解，
即有唯一的实数解，
化简得，
令，
下面研究关于t的方程何时仅有一个正根.
①当时，，符合题意；
②当时，则，
当时，，当时，（舍）
当，即时，，方程有异号的两个实根，符合题意；
综上所述，实数a的取值范围为或.
2．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知函数为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式；
(3)设，函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
(1)由函数表达式可知定义域为，
函数为偶函数
即：
，即.
(2)
，
任取，且，
则，，，
所以
所以，
所以在上递增，
又因为为上的偶函数，
，
，即，解得，
所求不等式的解集为
(3)
在上有两个不相等的实根
令，则
有两个不相等的正实根
解得.
3．（2022·河北武强中学高二期末）已知函数为奇函数．
(1)求常数k的值；
(2)当时，判断的单调性，并用定义给出证明；
(3)若函数，且在区间上没有零点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)单调递增，证明见解析；
(3).
(1)由，即，
所以，故，则，
当时，显然不成立，经验证：符合题意；
所以；
(2)单调递增，证明如下：
由（1）知：，若，
则，
而，即，
所以，故单调递增.
(3)由，令，
所以，由（2）知：在上递增，而在上递减，
所以在上递减，则.
又在区间上无解，故
4．（2022·四川自贡·高一期末）已知函数与.
(1)判断的奇偶性；
(2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)偶函数
(2)
(1)∵的定义域为R，
∴，∴为偶函数.
(2)函数只有一个零点
即
即方程有且只有一个实根.
令，则方程有且只有一个正根.
①当时，，不合题意；
②当时，若方程有两相等正根，则，且，解得；满足题意
③若方程有一个正根和一个负根，则，即时，满足题意.
∴实数a的取值范围为.
5．（2022·福建·高二期末）已知函数．
(1)讨论函数的奇偶性，并说明理由；
(2)当时，求证：方程在上至多有一个零点．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
(1)由，
当时，，此时为偶函数；
当时，，此时为奇函数；
当时，，此时为非奇非偶函数.
(2)由，令，则在上递增，
所以，而，则，
由对勾函数的性质知：在上递减，
而，故上递减，
所以在上递减，且值域为，
所以要使，
当时，方程仅有一个零点；
当时，方程无零点.
所以在上至多有一个零点，得证.
6．（2022·江苏·高一期中）已知函数
(1)若，求函数的零点个数；
(2)已知，，若方程在区间[1，2]内有且只有一个解，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(1)当时，
当时，，则函数有一个零点；
当时，，则函数有两个零点.
(2)等价于，
设r(x)＝ax2－4x＋5，，
则原命题等价于两个函数r(x)与s(x)的图象在区间[1，2]内有唯一交点，
当a＝0时，r(x)＝－4x＋5在区间[1，2]内为减函数，为增函数，
且r(1)＝1＞s(1)＝0，r(2)＝－3＜s(2)＝1，
所以函数r(x)与s(x)的图象在区间[1，2]内有唯一交点，满足题意.
当a＜0时，r(x)图象为开口向下，对称轴为x＝＜0的抛物线，
所以r(x)在区间[1，2]内为减函数，为增函数．
则由，可得，解得－1≤a≤1，
所以－1≤a＜0.
当0＜a≤1时，r(x)图象为开口向上，对称轴为x＝≥2的抛物线，
所以r(x)在区间[1，2]内为减函数，为增函数．
则由，可得，解得－1≤a≤1，
所以0＜a≤1.
综上所述，实数a的取值范围为[－1，1]
7．（2022·上海虹口·高一期末）设函数，且．
(1)作出函数的大致图像，并指出它的单调区间；
(2)当实数a变化时，讨论关于x的方程的解的个数．
【答案】(1)函数的图像见解析，递减区间为，，递增区间是，；
(2)关于x的方程的解的个数见解析.
(1)函数的图象可视为函数的图象向下平移1个单位而得，而函数的图象是
二次函数的图象在x轴上方的不动，把x轴下方图象沿x轴向上翻折而得，
的大致图像，如图：
观察函数的图象得：函数的递减区间为，，递增区间是，.
(2)依题意，关于x的方程的解就是直线与函数的图像交点的横坐标，如图，
当时，直线与函数的图像无公共点，即方程的解的个数为0，
当或时，直线与函数的图像有2个公共点，即方程的解的个数为2，
当时，直线与函数的图像有4个公共点，即方程的解的个数为4，
当时，直线与函数的图像有3个公共点，即方程的解的个数为3，
综上得：当时，方程的解的个数为0，当或时，方程的解的个数为2，
当时，方程的解的个数为3，当时，方程的解的个数为4.
8．（2022·广东韶关实验中学高一期中）已知.
(1)若函数的图象过点（1，1），求函数的解析式；
(2)若函数只有一个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
(1)∵函数的图象过点（1，1），
∴，解得
此时
(2)
∵函数只有一个零点，
只有一解，
将代入，得，
∴关于x的方程只有一个正根
⑴当时，
⑵当时:
①若有两个相等的实数根，
由，解得，此时，满足题意；
②若方程有两个相异实数根，即一正一负，则两根之和与积为一，所以，此时方程有一个正根，满足题意
综上：或
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
（1）求的解析式.
（2）若方程有实数根，求实数a的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
解：（1）设，因为，所以；
且，所以，
所以，；
（2）设，，，
所以当时函数有最小值，而，，
所以，所以，所以.拓展二：三角函数图象、最值、根的问题（精讲）
目录
第一部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求在区间上的最值
重点题型二：已知最值，求参数
重点题型三：三角函数中的恒（能）成立问题
重点题型四：已知函数零点（根）的个数，求参数
重点题型五：求函数零点（根）的代数和问题
第二部分：高考（模拟）题体验
重点题型一：求在区间上的最值
典型例题
例题1．（2022·全国·高一单元测试）若，则函数的最大值与最小值之和为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高一课时练习）设函数，，则函数的最小值是______．
例题3．（2022·全国·高一课时练习）函数的最小正周期为，点是图象上一个最高点，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则在区间上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））已知函数.
(1)写出函数在上的单调递减区间；
(2)将图象上所有的点向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，求在区间上的最值.
例题5．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数 在上的最大值为，最小值为，则的取值范围是_______.
2．（2022·北京延庆·高一期末）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间和图像的对称中心；
(2)当时，求的值域；
(3)求不等式的解集.
3．（2022·陕西省商洛中学高一期末）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若函数，求的单调递增区间及在上的值域．
4．（2022·全国·高一课时练习）函数的最小值为___________，此时x的值为___________.
5．（2022·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像，并写出图像的对称中心；
(2)先将函数的图像向右平移个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域．
重点题型二：已知最值，求参数
典型例题
例题1．（2022·河南·新乡市第一中学高一阶段练习）已知函数，的值域为，则的取值范围是___________.
例题2．（2022·全国·高一专题练习）若函数在上的值域为，则的取值范围为__．
例题3．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数
(1)求的最小正周期和图象的对称轴方程：
(2)若在区间上的值域为，求实数的取值范围.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，且在区间内有最小值无最大值，则（ ）
A． B．2 C． D．8
2．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若在区间上的值域为，求的取值范围．
重点题型三：三角函数中的恒（能）成立问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）函数在上恒有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·湖北武汉·高一期末）已知函数，周期，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称．
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使等式成立，求实数的取值范围；
(3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
例题4．（2022·江西·横峰中学高一期末）已知函数的图象关于直线对称，且图像相邻的对称轴之间的距离为.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
例题5．（2022·江西赣州·高一期末）已知函数．
(1)若，求函数在的值域；
(2)若函数，且对任意的，都存在使得不等式成立，求实数的取值范围．
同类题型演练
1．（2022·江西·丰城九中高一期末）若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））若奇函数在其定义域上是单调减函数，且对任意的，不等式恒成立，则取值范围是_________.
3．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）设函数，若对任意的实数x，恒成立，则取最小值时，___．
4．（2022·辽宁·沈阳市第一中学高一阶段练习）已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象．
(1)求函数的解析式和值域并求取得最值时x的集合．
(2)对恒成立，求m的取值范围．
重点题型四：已知函数零点（根）的个数，求参数
典型例题
例题1．（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）设函数有个不同零点，则正实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·云南昭通·高二期末）已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·海南·高二期末）已知函数的图象经过点，若在区间上至多有1个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·江西上饶·高一阶段练习）已知关于的方程有实数解，则实数的取值范围为______．
例题5．（2022·陕西西安·高一期末）已知函数是偶函数.
(1)求的值；
(2)将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，最后向上平移1个单位长度后，得到的图象，若关于的方程在有两个不同的根，求实数的取值范围.
例题6．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知.
(1)证明：；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)若，证明：函数在上有且仅有两个零点.
例题7．（2022·湖北恩施·高一期末）已知函数.
(1)求的单调递增区间：
(2)若函数在上的零点个数为2，求的取值范围.
同类题型演练
1．（2022·江西·景德镇一中高一期末）是定义在R上的偶函数，且，时，，则函数在区间上零点的个数为（ ）
A．2021 B．4043 C．2020 D．4044
2．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知函数在内有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川·德阳五中高一阶段练习（理））函数有（ ）个不同的零点
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（多选）（2022·辽宁·沈阳市第一中学高一阶段练习）函数，对于任意的，方程仅有一个实数根，则m的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）要使有意义，则实数m的取值范围为____________．
6．（2022·四川广安·模拟预测（理））已知函数（）在区间上单调递增，且函数在上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是_______.
7．（2022·北京·高一期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间内有两个不同的零点，直接写出实数的取值范围.
8．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为．
(1)求函数的单调区间和对称中心．
(2)若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围．
9．（2022·河南安阳·高一期末）已知函数．
(1)当时，求的值域；
(2)若关于x的方程在区间上恰有三个不同的实根，求实数m的取值范围．
10．（2022·河南驻马店·高一期末）已知函数，且的最小正周期为，将的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数，其中为的一条对称轴．
(1)求函数与的解析式；
(2)若方程在区间有解，求实数t的取值范围．
重点题型五：求函数零点（根）的代数和问题
典型例题
例题1．（2022·云南红河·高一期末）已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)若方程的解为，求的值．
同类题型演练
1．（2022·河南南阳·高一期末）已知函数，．
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)求方程在内的所有实数根之和．
1．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
3．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知函数，且方程在内有实数根，则实数a的取值范围是___________．
4．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）函数的最大值为______．
5．（2022·上海交大附中模拟预测）已知函数，其中
(1)若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期；
(2)若，求函数在上的最小值；
拓展二：三角函数图象、最值、根的问题（精讲）
目录
第一部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求在区间上的最值
重点题型二：已知最值，求参数
重点题型三：三角函数中的恒（能）成立问题
重点题型四：已知函数零点（根）的个数，求参数
重点题型五：求函数零点（根）的代数和问题
第二部分：高考（模拟）题体验
重点题型一：求在区间上的最值
典型例题
例题1．（2022·全国·高一单元测试）若，则函数的最大值与最小值之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
当时，，，
当时，；当时，；
.
故选：C.
例题2．（2022·全国·高一课时练习）设函数，，则函数的最小值是______．
【答案】0
【详解】∵为偶函数，
∴只需求函数在上的最小值，
此时，
令，
则，函数的对称轴为，
∴当时，.
故答案为：0.
例题3．（2022·全国·高一课时练习）函数的最小正周期为，点是图象上一个最高点，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则在区间上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，，
因为点是图象上一个最高点，所以A＝2，，又，所以，
所以，，
当时，，
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，，，所以在区间上的值域为．
故选：A．
例题4．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））已知函数.
(1)写出函数在上的单调递减区间；
(2)将图象上所有的点向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，求在区间上的最值.
【答案】(1)
(2)，
（1）令，
解得，
故在上的单调递减区间为.
（2）将图象上所有的点向右平移个单位长度，纵坐标不变，
所得函数的解析式为，
再将所得函数的图象横坐标变为原来的倍，则，
因为，则，
故当即时，；
故当即时，；
例题5．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域．
【答案】(1)
(2)
(1)由图可知，
由，得，得．
因为，所以，
得，
又，所以，
故．
(2)因为，所以,
由于在上递增，在上递减，
故，，，
所以在上的值域为．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数 在上的最大值为，最小值为，则的取值范围是_______.
【答案】
【详解】函数的周期为，且对称轴为，对称中心，，
的图象大致如图所示；
区间正好是的个周期，根据的对称性可知：在半个周期内讨论就行，
设的中点为，
由图可知，
当点落在对称轴上，即时，,此时,故当时，最大值，当时，最小值，此时的值为；
当点落在对称中心上，即时，，此时,故当时，最大值，当时，最小值，此时的值为；
的取值范围是．
故答案为：
2．（2022·北京延庆·高一期末）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间和图像的对称中心；
(2)当时，求的值域；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)函数的单调递增区间为，函数图像的对称中心为；(2)；(3).
(1)∵，
由，可得，
由，可得，
∴函数的单调递增区间为，函数图像的对称中心为；
(2)当时，，
∴，
即函数的值域为；
(3)由，可得，
∴，即，
∴不等式的解集为.
3．（2022·陕西省商洛中学高一期末）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若函数，求的单调递增区间及在上的值域．
【答案】(1)
(2)递增区间为，值域为
(1)由图可知．
的最小正周期记为，则于，得．
因为，所以．
由，得．
即．
因为，所以，
所以．
(2)由（1）可知，
由，
得，
则的单调递增区间为．
由，得，
则，
故在上的值域为．
4．（2022·全国·高一课时练习）函数的最小值为___________，此时x的值为___________.
【答案】 ##
【详解】由题意得
，
∵，
∴，
∴，
当时，有最小值，
此时，解得，
故答案为：；
5．（2022·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像，并写出图像的对称中心；
(2)先将函数的图像向右平移个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域．
【答案】(1)作图见解析；对称中心为(2)
（1）列表：
0
1 2 0 0 1
描点，连线，画出在上的大致图像如图：
由图可知函数图像的对称中心为；
（2）将函数的图像向右平移个单位长度后，
得到的图像，
再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，
所以，，
当时，，
函数单调递增，而，，
所以函数在上的值域为．
重点题型二：已知最值，求参数
典型例题
例题1．（2022·河南·新乡市第一中学高一阶段练习）已知函数，的值域为，则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】由已知，函数，，
所以，又因为函数的值域为，
所以，解得.
故答案为：.
例题2．（2022·全国·高一专题练习）若函数在上的值域为，则的取值范围为__．
【答案】
【详解】由题意得，
因为，所以，
令，解得；令，解得，
所以当时，函数值是，
当时，函数值是，
当时，函数值是；
因为函数在上单调递增，在上单调递减，且值域为，
所以的取值范围．
故答案为：
例题3．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数
(1)求的最小正周期和图象的对称轴方程：
(2)若在区间上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】(1)最小正周期为；对称轴方程为.
(2)
(1)解：
，
故函数的最小正周期为：，
对称轴方程为：，即.
(2)因为，，
所以要使得值域为，则只需要，
解得
所以的取值范围为.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，且在区间内有最小值无最大值，则（ ）
A． B．2 C． D．8
【答案】C
【详解】解：，
易知当时，函数在区间上取得最小值，
所以，，所以，，
又，所以，所以．
故选：C．
2．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若在区间上的值域为，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(1)由函数图象，可得，，∴，∵，可得，∴，
又∵图象过点，∴，即，∴，，解得，，
又∵，∴，故函数解析式；
(2)由（1）知，∵，则，又∵的值域为，
∴，且，故，即；
重点题型三：三角函数中的恒（能）成立问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）函数在上恒有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数，在上均是单调递增的，所以函数在上单调递增，于是有，所以.
故选：D
例题2．（2022·湖北武汉·高一期末）已知函数，周期，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，其中，
处取得最大值，
，即，，
，①，，
， ，
，②，
①②得，
，
即，解得，或，
若，则，
，
，，
，，
，这与矛盾，故应舍去.
当时，则，
，
，，
，，
，
又.
使得不等式恒成立,即使得不等式恒成立
要使最小，则，此时最小为，
所以
所以实数的最小值为.
故选：C
例题3．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称．
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使等式成立，求实数的取值范围；
(3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
（1）因函数的图象与函数的图象关于直线对称，则，
所以．
（2）由（1）知，，当时，，则，
令，则．存在，使成立，
即存在，使成立，则存在，成立，
而函数在上递减，在上递增，
当时，，当或2时，
所以实数m的取值范围为．
（3）由（1）知，不等式，
当时，，，
若，因，即恒成立，则，
若，因在上单调递增，则当时，取得最小值，
原不等式恒成立可转化为恒成立，即，因此，
若，当时，取得最小值，
原不等式恒成立可转化为恒成立，即，因此，
所以a的取值范围是．
例题4．（2022·江西·横峰中学高一期末）已知函数的图象关于直线对称，且图像相邻的对称轴之间的距离为.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)，因为图像相邻的对称轴之间的距离为，故周期，故，又关于直线对称，故，即，
(2)，故，即对恒成立
也即对恒成立
设，
又
当时，有最大值6，
，解得，故实数的取值范围为.
例题5．（2022·江西赣州·高一期末）已知函数．
(1)若，求函数在的值域；
(2)若函数，且对任意的，都存在使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)解：因为，所以
因为，令
而在上单调递增 ，
所以，即
所以在的值域为
(2)解：二次函数的对称轴为，开口向下，
所以在，
，
对任意的，都存在使得不等式成立，
即，因为，令，
所以在上有解，
即在上有解
因为，所以，令，，
所以，设，，
函数在上为增函数，在为减函数，
又，所以
综上可得
同类题型演练
1．（2022·江西·丰城九中高一期末）若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】不等式可转化为，
即在上恒成立，当时，，则，则.
故选：D.
2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））若奇函数在其定义域上是单调减函数，且对任意的，不等式恒成立，则取值范围是_________.
【答案】
【详解】因奇函数在上单调递减，则，
，令，
而，因此当时，，即有，
所以取值范围是.
故答案为：
3．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）设函数，若对任意的实数x，恒成立，则取最小值时，___．
【答案】
【详解】解：因为，所以，
即，得，
则，可得的最小值为5，
此时，
则．
故答案为：.
4．（2022·辽宁·沈阳市第一中学高一阶段练习）已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象．
(1)求函数的解析式和值域并求取得最值时x的集合．
(2)对恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(1)解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再向上平移个单位长度得到函数，
因为，所以，所以，
当，即，解得，
即时取最大值，；
当，即，解得，
即时取最小值，；
故函数的解析式为，值域为，
，此时； ，此时．
(2)解：由（1）可得，
，
所以对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
因为，所以，所以，
所以对恒成立，
令则，
则问题转化为对恒成立，
因为在上单调递减，在上单调递增，又，，
所以在上的最大值为，
所以，即.
重点题型四：已知函数零点（根）的个数，求参数
典型例题
例题1．（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）设函数有个不同零点，则正实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，解得，即在上仅有一个零点，所以只需在上有个不同零点即可．
当时，，所以，即
故选：A
例题2．（2022·云南昭通·高二期末）已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由得，
又是奇函数，所以，即是周期函数，周期为2，
也是周期函数，且最小正周期是，
由奇偶性和周期性作出函数的图象，再作出的图象，如图，
函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点个数，
是R上的奇函数，所以，从而，，
易知它们在上有4个交点，从而在上也有4个交点，而时，点是一个交点，所以，
在上，，，即是上交点，从而在上交点上交点为，由周期性在上两函数图象交点为，
所以．
综上，．
故选：A．
例题3．（2022·海南·高二期末）已知函数的图象经过点，若在区间上至多有1个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题可知．因为，所以．所以．令，则，，所以，．当，2时，的零点为，．由于在区间上至多有1个零点，所以．所以a的取值范围是．
故选：C
例题4．（2022·江西上饶·高一阶段练习）已知关于的方程有实数解，则实数的取值范围为______．
【答案】
【详解】解：令，则，
所以，又，所以，
因为关于的方程有实数解，
所以，
所以的取值范围为，
故答案为：．
例题5．（2022·陕西西安·高一期末）已知函数是偶函数.
(1)求的值；
(2)将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，最后向上平移1个单位长度后，得到的图象，若关于的方程在有两个不同的根，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
（1）是偶函数，，，，．
（2）由（1）知，，由题意，，，，即.有两个不同的根，与的图象在上有两个交点，画出在上的图象，如图所示：由图可知，，解得，的取值范围是.
例题6．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知.
(1)证明：；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)若，证明：函数在上有且仅有两个零点.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
(3)证明见解析
(1).
(2)当时，，
当或，即或时，单调递减；
当，即时，单调递增；
综上所述：在和上单调递减；在上单调递增.
(3)在的零点个数等价于与的图象在上的交点个数；
，，，，
大致图象如下图所示，
当时，由图象可知：与有有且仅有两个不同的交点，
函数在上有且仅有两个零点.
例题7．（2022·湖北恩施·高一期末）已知函数.
(1)求的单调递增区间：
(2)若函数在上的零点个数为2，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1).
令
解得
故的单调递增区间为
(2)在上的零点个数等于函数的图象与直线的交点个数.因为，所以，当时，，故h(x)在上单调递增，在[，]上单调递减.
因为，
所以即m的取值范围为
同类题型演练
1．（2022·江西·景德镇一中高一期末）是定义在R上的偶函数，且，时，，则函数在区间上零点的个数为（ ）
A．2021 B．4043 C．2020 D．4044
【答案】B
【详解】解：，
，即函数的周期为2，
当时，，
则当时，，
由此可作出函数与函数的大致图象如下，
由图象可知，每个周期内有两个交点，所以函数在区间上零点的个数为个．
故选：B．
2．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知函数在内有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，
因为当时，，
又因为在上有且仅有3个零点，所以，
综上：，
故选：A
3．（2022·四川·德阳五中高一阶段练习（理））函数有（ ）个不同的零点
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】易知在上单调递增，，即函数在上只有一个零点；
当时，，由得出，即，，，解得，即在上有4个零点.
综上，有5个零点.
故选：C
4．（多选）（2022·辽宁·沈阳市第一中学高一阶段练习）函数，对于任意的，方程仅有一个实数根，则m的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】由可得：.
因为，所以.
因为，所以.
因为对于任意的，方程仅有一个实数根，
所以，解得：.
对照四个选项，只有A、C在.
故选：AC
5．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）要使有意义，则实数m的取值范围为____________．
【答案】
【详解】因，因此，解得，
所以实数m的取值范围为.
故答案为：
6．（2022·四川广安·模拟预测（理））已知函数（）在区间上单调递增，且函数在上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【详解】由题及得（）在单调递增，
又函数（）在区间上单调递增，
所以，，得 .
在上有且仅有一个零点，可得，
所以，，
所以，.
故答案为：.
7．（2022·北京·高一期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间内有两个不同的零点，直接写出实数的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
（1）由得，故最小正周期为,
（2）由，解得，故的单调递增区间为
（3）令，则，故问题转化为在区间内有两个不同的根，令，且，则问题等价于在有两个根，由的图象可知：当时，有两个根.故
8．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为．
(1)求函数的单调区间和对称中心．
(2)若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)函数，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为．
周期，即，那么，可得．
，
令，，解得，，
可得函数的单调递增区间，，
令，，解得，，
∴可得函数的单调递减区间，
令，解得，可得对称中心为；
(2)方程在上有实数解，即在上有实数解，
令，上，，
则在上有解，，
易得在上单调递增，且时，，所以，
所以范围为.
9．（2022·河南安阳·高一期末）已知函数．
(1)当时，求的值域；
(2)若关于x的方程在区间上恰有三个不同的实根，求实数m的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)．
，，
因此可得：，
故的值域为．
(2)，，
或，故或．
，，
只有1个实根，有2个不同的实根，
结合正弦函数图象可知，解得，故实数m的取值范围是．
10．（2022·河南驻马店·高一期末）已知函数，且的最小正周期为，将的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数，其中为的一条对称轴．
(1)求函数与的解析式；
(2)若方程在区间有解，求实数t的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(1)由条件则
且的最小正周期为，则
即，将的图像沿轴方向向左平移个单位，
得到函数
且为的一条对称轴，即
由可得
从而可得
．
(2)由（1）可知
记
即，
再记，
，
代入中，则的值域求解问题等价于
，的值域，
当时，；当时，
因此的值域为，也即为
原命题“若方程在区间有解”
即等价于在内有解
只需即可，解得即为所求．
重点题型五：求函数零点（根）的代数和问题
典型例题
例题1．（2022·云南红河·高一期末）已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)若方程的解为，求的值．
【答案】(1)(2)
(1)
∴的最小正周期为.
(2)，则， ，
则与的交点的横坐标为
如图：
不妨设
由对称关系得：解得,
解得 ，
同类题型演练
1．（2022·河南南阳·高一期末）已知函数，．
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)求方程在内的所有实数根之和．
【答案】(1)最小正周期为，增区间为
(2)
(1)解：
，
所以，函数的最小正周期为，
由得，
所以，函数的单调递增区间为.
(2)解：当时，，令，
作出函数与函数在上的图象如下图所示：
可知函数与函数在上的图象有个交点，
设这四个交点的横坐标由小到大依次为、、、，设，
故方程在内有四个不等的实根、、、，
由图可知，点、关于直线对称，点、关于直线对称，
所以，，
解得.
1．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
2．（2022·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【答案】
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
3．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知函数，且方程在内有实数根，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【详解】，
方程在内有实数根，即在内有实数根，
，，得，即a的取值范围是，
故答案为：
4．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）函数的最大值为______．
【答案】13
【详解】
，
令，
所以可得
所以由正弦函数的性质可知的最大值为.
故答案为:
5．（2022·上海交大附中模拟预测）已知函数，其中
(1)若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期；
(2)若，求函数在上的最小值；
【答案】(1)；(2)
(1)可知，
因为直线是图象的一条对称轴，故，
解得，而，故，则，
则周期，
再令，则，
故的递减区间为.
(2)可知
因为，故，
则在即取最小值，其最小值为.

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