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专题1.2 常用的逻辑用语
一、考情分析
二、考点梳理
1.有关命题的概念
一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。
命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。
2.充要条件的判定
(1)、一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)、几点说明
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
(3)、充要条件
①如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p，就记作p q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
②如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q互为充要条件．
3、反证法的定义：
反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下：首先提出论题：然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
题型突破
重难点题型突破1 有关命题的概念
例1．（1）、（2023·上海高一单元测试）中至少有一个是非负实数的等价命题是（ ）
A．中全不是负数 B．中只有一个是负数
C．中至少有一个是正数 D．不全是负数
（2）．（2023·嘉定区·上海大学附属南翔高级中学高一月考）有以下命题：
（1）命题：“在△ABC中，若BCAC，则∠A∠B”；
（2）已知，命题“若，则且”；
（3）已知，命题“若且，则”.
其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式训练1-1】、（2023·上海黄浦区·格致中学高一期中）命题，若，则或是______命题.（填“真”或“假”）
【变式训练1-2】、（2023·上海）对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“”是“”的充要条件
②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“”是“”的充分不必要条件
④“”是“”的必要不充分条件，
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
重难点题型突破2 充分条件、必要条件与充要条件的判断
例2．（1）已知，那么是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2）．“” 是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不必要也不充分
【变式训练1-1】．（2023·上海市建平中学高三）已知x，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练1-2】．给出下列条件与：
① ：或；：；
② ：；：；
③ ：一个四边形是矩形；：四边形的对角线相等.
其中是的必要不充分条件的序号为___________.
重难点题型突破3 充分条件、必要条件与充要条件的应用
例2．（1）设，，记命题：“”，命题：“”，若是的必要不充分条件，则的取值范围为______________.
（2）．命题，有实根，则是的（ ）条件．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练2-1】．（2023·上海市控江中学高一月考）已知是实常数，若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是_________.
【变式训练2-2】．（2023·宝山·上海交大附中高一开学考试）已知函数，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为____________.
例3．（2023·上海）已知条件对任意，不等式恒成立；条件当时，函数.
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【变式训练3-1】．（2023·上海高一单元测试）已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
重难点题型突破4 反证法
例4．（2023·上海市张堰中学高一月考）命题“若，则”，用反证法证明时应假设_____；
【变式训练4-1】．（2023·上海奉贤区致远高级中学高一月考）已知a、，用反证法证明命题：“若，则a、b全为零”时的假设是______．
例5．（2023·华东师范大学松江实验高级中学高一月考）（1）证明：，对所有实数均成立，并求等号成立时的取值范围.
（2）求证：是无理数.
【变式训练5-1】（2023·上海高一专题练习）（1）已知，证明：若，则a，b，c中至少有一个小于；
（2）已知，判断“”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由.
四、定时训练（30分钟）
1．（2023·上海）使函数满足：对任意的，都有的充分不必要条件为（　　）
A．或 B．
C． D．
2．（2016·上海普陀区·（文））若集合，，则“”是“”成立的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
3．（2023·上海市进才中学）已知，，，均为正数，且，以下有两个命题：
命题一：，，，中至少有一个数小于3；
命题二：若，则，，，中至少有一个数不大于1
关于这两个命题正误的判断正确的是（ ）
A．命题一错误 命题二错误 B．命题一错误 命题二正确
C．命题一正确 命题二错误 D．命题一正确 命题二正确
4．（2022·徐汇·上海中学高一期中）设，，且，则
A． B．
C． D．以上都不能恒成立
5．（2023·上海高一单元测试）用反证法证明命题：“设、为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A．方程没有实根
B．方程至多有一个实根
C．方程至多有两个实根
D．方程恰好有两个实根
6．（2023·上海高一专题练习）用反证法证明命题“若，则”时，正确的反设为（　　）
A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x2﹣2x﹣3≤0 D．x2﹣2x﹣3≥0
7．（2023·上海徐汇区·南洋中学高一期中）已知p：，q:，若p是q的充分非必要条件，则实数m的取值范围是______________
8．（2023·华东师范大学第一附属中学）设定义域均为的两个函数，其值域依次为和，有下列个命题：
①“”是“对任意恒成立”的充分非必要条件；
②“”是“对任意恒成立”的必要非充分条件；
③“”是“对任意恒成立”的充分非必要条件；
④“”是“对任意恒成立”的必要非充分条件；
其中正确的命题是___________（请写出所有正确命题的序号）
9．（2015·上海市七宝中学高一期中）已知集合
（1）判断8，9，10是否属于集合A；
（2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；
（3）写出所有满足集合A的偶数.
10．（2023·上海高一专题练习）设均为正实数，反证法证明：至少有一个不小于2.
专题1.2 常用的逻辑用语
一、考情分析
二、考点梳理
1.有关命题的概念
一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。
命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。
2.充要条件的判定
(1)、一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)、几点说明
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
(3)、充要条件
①如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p，就记作p q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
②如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q互为充要条件．
3、反证法的定义：
反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下：首先提出论题：然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
题型突破
重难点题型突破1 有关命题的概念
例1．（1）、（2023·上海高一单元测试）中至少有一个是非负实数的等价命题是（ ）
A．中全不是负数 B．中只有一个是负数
C．中至少有一个是正数 D．不全是负数
【答案】D
【分析】
根据等价命题的判定直接得到结果.
【详解】
中至少有一个是非负实数，则中非负实数的个数大于等于个，
其等价命题为：中不全是负数.
故选：D.
（2）．（2023·嘉定区·上海大学附属南翔高级中学高一月考）有以下命题：
（1）命题：“在△ABC中，若BCAC，则∠A∠B”；
（2）已知，命题“若，则且”；
（3）已知，命题“若且，则”.
其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
（1）根据边角关系判断真假；（2）由可知都不为，由此判断真假；（3）根据平方运算的特点进行判断.
【详解】
（1）：根据“大边对大角”可知（1）正确；
（2）：若，则都不为，即且，故正确；
（3）：若且，则，则，故正确；
故选：D.
【变式训练1-1】、（2023·上海黄浦区·格致中学高一期中）命题，若，则或是______命题.（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】
先写出逆否命题，然后根据逆否命题的真假判断原命题的真假.
【详解】
因为逆否命题为：，若且，则”，
显然且时，满足，
所以逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，
故答案为：真.
【变式训练1-2】、（2023·上海）对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“”是“”的充要条件
②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“”是“”的充分不必要条件
④“”是“”的必要不充分条件，
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
依次判断每个选项：得到或，①不正确；根据无理数定义知②正确；若，不满足，所以③不正确；根据必要不充分条件定义知④正确，得到答案.
【详解】
①则，即，故或，所以是的充分不必要条件，所以①不正确；
②是无理数，∵5是有理数，所以a是无理数；a是无理数，则是无理数，故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，所以②正确；
③若，则得，不是充分条件，所以③不正确；
④推不出，若，则，故“”是“”的必要不充分条件，所以④正确；
故选：B.
【点睛】
本题考查了充分必要条件的判断，意在考查学生的推断能力，掌握充分必要条件的定义是解题的关键.
重难点题型突破2 充分条件、必要条件与充要条件的判断
例2．（1）已知，那么是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】
解出命题中的取值范围，与命题题中的取值范围做对比，大范围是必要条件，小范围是充分条件，若不是包含关系，则既不充分也不必要
【详解】
由命题，解得，与命题的范围不具有包含关系，由不可以推出， 也不能推出，所以是的既不充分也不必要条件.
故选：D
（2）．“” 是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不必要也不充分
【答案】B
【分析】
解一元二次方程，根据大范围是必要条件，小范围是充分条件进行判断
【详解】
由可得，即或，则“” 是“”的必要不充分条件
故选：B
【变式训练1-1】．（2023·上海市建平中学高三）已知x，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】
，不能得到， 成立也不能推出，即可得到答案.
【详解】
因为x，，
当时，不妨取，，
故时，不成立，
当时，不妨取，则不成立，
综上可知，“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.
【变式训练1-2】．给出下列条件与：
① ：或；：；
② ：；：；
③ ：一个四边形是矩形；：四边形的对角线相等.
其中是的必要不充分条件的序号为___________.
【答案】②
【分析】
分别求出①②③中，条件和条件所代表的范围，比较两个范围的大小，根据小范围是充分条件，大范围是必要条件，来判断条件和条件的关系
【详解】
解：① ：或；
：，解得或，
故，所以为的充要条件；
② ：，解得；
：，解得，所以是的充分不必要条件，即是的必要不充分条件；
③ ：一个四边形是矩形，则对角线互相平分且相等；：四边形的对角线相等，该四边形不一定为矩形,如等腰梯形；
故是的充分不必要条件.
故答案为：②
重难点题型突破3 充分条件、必要条件与充要条件的应用
例2．（1）设，，记命题：“”，命题：“”，若是的必要不充分条件，则的取值范围为______________.
【答案】
【分析】
求出集合，根据题意可得是的真子集，根据集合的真包含关系列出不等式组即可求解.
【详解】
由题意知，，
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
所以解得：，
所以的取值范围为，
故答案为：.
（2）．命题，有实根，则是的（ ）条件．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
首先求得命题对应的范围，再由定义法求充分必要条件即可得解.
【详解】
若则，
所以，
若必有，反之不成立，
所以是的充分不必要条件，
故选：A
【变式训练2-1】．（2023·上海市控江中学高一月考）已知是实常数，若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【分析】
先根据充分条件判断出命题对应范围之间的关系，由此求解出的取值范围.
【详解】
因为是的充分条件，所以对应的取值集合是对应的取值集合的子集，
命题对应的取值集合是，
命题对应的取值集合为，
所以，所以，
故答案为：.
【变式训练2-2】．（2023·宝山·上海交大附中高一开学考试）已知函数，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为____________.
【答案】（0，3）
【分析】
求出时，的范围，再求出为真时，的范围，由充分条件对应的集合包含关系可得的范围．
【详解】
为真时，，，，
为真时，，，
是的充分条件，则，解得．
故答案为：，
【点睛】
本题考查充分条件，考查充分条件与集合包含之间的关系，解题关键是问题转化为集合包含关系．
例3．（2023·上海）已知条件对任意，不等式恒成立；条件当时，函数.
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）把命题转化为当时，，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，求得，根据是的必要不充分条件，得到是的真子集，列出不等式组，即可求解.
【详解】
（1）由题意，对任意，不等式恒成立，
即当时，，
又由时，，即，解得，
即实数的取值范围.
（2）对于命题：当时，函数，
当时，函数，
记，
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
可得且“”不能同时成立，解得，
经验证，当时满足题意，
所以实数的取值范围.
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
【变式训练3-1】．（2023·上海高一单元测试）已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1），或；（2）
【分析】
（1）先由求出集合，再根据集合间的基本关系计算即可.
（2）由“”是“”的充分不必要条件，即可得出 ，再根据集合间的基本关系计算即可.
【详解】
解：（1），
，
或，
或，
，
或；
（2）是的充分不必要条件，
，
若是空集，则，
解得：，
若不是空集，
即：或 ，
解得：.
综上所述：.
【点睛】
易错点点睛：当 时，易忽略是空集的情况.
重难点题型突破4 反证法
例4．（2023·上海市张堰中学高一月考）命题“若，则”，用反证法证明时应假设_____；
【答案】
【分析】
根据反证法应假设原命题的否定分析即可
【详解】
因为命题“若，则”的否定为“若，则”
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了反证法的证明假设，属于基础题
【变式训练4-1】．（2023·上海奉贤区致远高级中学高一月考）已知a、，用反证法证明命题：“若，则a、b全为零”时的假设是______．
【答案】“若，a不为零或b不为零”.
【分析】
由反证法思路，条件成立时否定原结论，然后证明与条件矛盾的结果，说明原结论成立，即可知命题的假设.
【详解】
命题“若，则a、b全为零”，应用反证法时，假设的命题为“若，则a不为零或b不为零”，
故答案为：a不为零或b不为零.
【点睛】
本题考查了反证法的思路，条件不变否定结论，属于简单题.
例5．（2023·华东师范大学松江实验高级中学高一月考）（1）证明：，对所有实数均成立，并求等号成立时的取值范围.
（2）求证：是无理数.
【答案】（1）证明见解析，等号成立时；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用零点分段法证得不等式成立，同时求得等号成立时的取值范围.
（2）利用反证法证明得结论成立.
【详解】
（1）对于不等式，
当时，左边，不等式成立.
当时，左边，不等式成立.
当时，左边.
所以，对所有实数均成立，等号成立时.
（2）假设是有理数，则，其中是互质的整数，
则，两边平方得，所以为偶数，
设，则，所以为偶函数，与“是互质的整数”矛盾，
所以假设不成立.所以是无理数.
【变式训练5-1】（2023·上海高一专题练习）（1）已知，证明：若，则a，b，c中至少有一个小于；
（2）已知，判断“”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）充分非必要条件，证明见解析.
【分析】
（1）利用反证法即可证明.
（2）利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果.
【详解】
（1）证明：假设，，，
则，这与矛盾，
所以a，b，c中至少有一个小于.
（2）由（1）可得a，b，c中至少有一个小于，
反之不一定成立，例如：，，，则，
所以“”是“a，b，c中至少有一个小于” 的充分非必要条件.
【点睛】
本题考查了反证法证明不等式、充分条件、必要条件的定义，属于基础题.
四、定时训练（30分钟）
1．（2023·上海）使函数满足：对任意的，都有的充分不必要条件为（　　）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先求出对任意的，都有的充要条件，再求其真子集即可.
【详解】
当时，，，
对任意的，都有，
则时，单调递减，即或，
可得或.
所以对任意的，都有的充要条件是或，
所以对应的充分不必要条件是或的真子集，
所以选项C不正确，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是求出函数满足：对任意的，都有成立的充要条件，当时，单调递减，且，
所以或，求出的范围，再求其真子集即可.
2．（2016·上海普陀区·（文））若集合，，则“”是“”成立的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】
由分式不等式的求解得到集合；由对数函数性质可求得集合；根据集合的包含关系可求得结果.
【详解】
是的真子集 ，
“”是“”成立的必要非充分条件
故选
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够理解集合的包含关系与充分条件、必要条件之间的关系；涉及到分式不等式的求解、对数函数单调性的应用等知识.
3．（2023·上海市进才中学）已知，，，均为正数，且，以下有两个命题：
命题一：，，，中至少有一个数小于3；
命题二：若，则，，，中至少有一个数不大于1
关于这两个命题正误的判断正确的是（ ）
A．命题一错误 命题二错误 B．命题一错误 命题二正确
C．命题一正确 命题二错误 D．命题一正确 命题二正确
【答案】D
【分析】
利用反证法，假设结论不成立，推出矛盾即可.
【详解】
解：，，，均为正数，
假设，，，都大于，则，
与已知矛盾，
即命题一正确；
假设，，，均大于，
设 ，
即
则
又，
，
则与已知矛盾，即命题二正确.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.
4．（2022·徐汇·上海中学高一期中）设，，且，则
A． B．
C． D．以上都不能恒成立
【答案】A
【分析】
利用反证法可证得，进而由可得解.
【详解】
利用反证法：
只需证明，
假设，
则：
所以：，
但是，
故：，，．
所以：与矛盾．
所以：假设错误，
故：，
所以：，
故选A．
【点睛】
本题考查的知识要点：反证法的应用，关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型．
5．（2023·上海高一单元测试）用反证法证明命题：“设、为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A．方程没有实根
B．方程至多有一个实根
C．方程至多有两个实根
D．方程恰好有两个实根
【答案】A
【分析】
依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，即可得出结论．
【详解】
方程至少有一个实根的反面是方程没有实根，
因此，用反证法证明命题：“设、为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是“方程没有实根”.
故选：A.
6．（2023·上海高一专题练习）用反证法证明命题“若，则”时，正确的反设为（　　）
A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x2﹣2x﹣3≤0 D．x2﹣2x﹣3≥0
【答案】C
【分析】
根据反证法的要求，反设时条件不变，结论设为相反，从而得到答案.
【详解】
命题“若，则”，
要用反证法证明，则其反设需满足条件不变，结论设为相反，
所以正确的反设为，
故选C项.
【点睛】
本题考查利用反证法证明时，反设应如何写，属于简单题.
7．（2023·上海徐汇区·南洋中学高一期中）已知p：，q:，若p是q的充分非必要条件，则实数m的取值范围是______________
【答案】
【分析】
先解两不等式，化简p和q，再由p是q的充分非必要条件，得到p所对应的集合是q所对应集合的真子集，由此列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】
由得，即；
由，得，即；
因为p是q的充分非必要条件，
所以是的真子集，
则，解得，
当时，，此时不满足题意；
当时，，此时满足题意；
综上，；
则实数m的取值范围是.
故答案为：.
8．（2023·华东师范大学第一附属中学）设定义域均为的两个函数，其值域依次为和，有下列个命题：
①“”是“对任意恒成立”的充分非必要条件；
②“”是“对任意恒成立”的必要非充分条件；
③“”是“对任意恒成立”的充分非必要条件；
④“”是“对任意恒成立”的必要非充分条件；
其中正确的命题是___________（请写出所有正确命题的序号）
【答案】③
【分析】
由为函数的最小值，为函数的最大值，即可判断出①②错；对任意恒成立，但反之不成立，举反例即可说明③对④错.
【详解】
因为为函数的最小值，为函数的最大值，
所以对任意恒成立，
所以“”是“对任意恒成立”的充要条件，
所以①②都错；
对任意恒成立，
但是对任意恒成立不能得出结论，
比如：，
，即恒成立，
但，即，此时，得不到，
所以③对④错，
故答案为：③.
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关函数恒成立问题以及充分条件与必要条件的判定，正确解题的关键是要熟练掌握恒成立的条件，以及充分必要条件的定义.
9．（2015·上海市七宝中学高一期中）已知集合
（1）判断8，9，10是否属于集合A；
（2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；
（3）写出所有满足集合A的偶数.
【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）所有满足集合A的偶数为．
【分析】
（1）由，即可证，若，而，列方程组判断是否存在整数解，即可判断10是否属于A.
（2）由，结合集合A的描述知，由（1），而，即可证结论；
（3）由集合A的描述：，讨论m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合A的偶数.
【详解】
（1），，，，
假设，，则，且，
∴，则或，显然均无整数解，
∴，
综上，有：，，；
（2）集合，则恒有，
∴，即一切奇数都属于A，又，而
∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；
（3）集合，成立，
①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数；
②当m，n一奇，一偶时，均为奇数，为奇数，
综上，所有满足集合A的偶数为．
【点睛】
关键点点睛：根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集.
10．（2023·上海高一专题练习）设均为正实数，反证法证明：至少有一个不小于2.
【答案】证明见解析．
【分析】
假设结论反面成立，即全部小于2.然后推理出矛盾结论．
【详解】
证明：假设全部小于2.即，
则，①
又，当且仅当时等号成立，
与①矛盾，所以假设错误．原命题为真．
所以至少有一个不小于2.
【点睛】
本题考查反证法．掌握反证法这个方法是解题基础．反证法是假设结论的反面成立，然后作为条件进行推理，得出矛盾的结论，可与已知条件矛盾，可能推理过程得出矛盾的结论，可与已知的定义、定理、公理等矛盾．从而说明假设错误，原命题正确．

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