资源简介

专题1.1 集合初步
一、考情分析
二、考点梳理
1.集合的概念及其表示
⑴.集合中元素的三个特征：
①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．
②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.
③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）．
⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．
(4).常见的数集及其表示符号
名称 自然数集(非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
表示符号 N 或 Z Q R
集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A B(或B A)
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB(或BA)
集合相等 集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集 A＝B
【名师提醒】
子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.
集合之间的基本运算
如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形
符号 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} UA＝{x|x∈U，且x A}
【名师提醒】
1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1，非空真子集个.
2．A B A∩B＝A A∪B＝B .
3．奇数集：.
4. 德 摩根定律：
①并集的补集等于补集的交集，即；
②交集的补集等于补集的并集，即．
【名师点睛】
1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．
3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．
4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．
5.求集合并集的两种基本方法：
（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.
6.求集合交集的方法为：
（1）定义法，
（2）数形结合法．
（3）若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．
三、题型突破
考点1 集合的概念及其表示
归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
例1.（1）.（集合的确定性）（2023·上海市奉贤区曙光中学高一月考）下列语言叙述中，能表示集合的是（ ）
A．数轴上离原点距离很近的所有点；
B．太阳系内的所有行星
C．某高一年级全体视力差的学生；
D．与大小相仿的所有三角形
（2）．（集合的互异性）在集合，，中，的值可以是　　
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【变式训练1-1】．（集合的确定性）下列四组对象中能构成集合的是（　　）
A．宜春市第一中学高一学习好的学生
B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数
D．倒数等于本身的数
【变式训练1-2】．（集合的确定性）（2023·上海市嘉定区第一中学高一期中）当一个非空数集满足“如果，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个数域的命题；
①0是任何数域的元素；
②若数域有非零元素，则;
③集合是一个数域
④有理数集是一个数域
其中假命题的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式训练1-3】（集合的互异性）若，，，则　　
A． B．0 C．1 D．0 或1
考点2 元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
(3)常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
归纳总结：
(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
例2．（1）（元素与集合的关系）（2023·上海市奉贤中学高一月考）若，则构成集合中的的取值范围是___________.
（2）、（元素个数问题）集合，的元素个数为　　
A．4 B．5 C．10 D．12
【变式训练2-1】、（元素与集合的关系）（2023·嘉定区·上海大学附属南翔高级中学高一月考）已知非空集合M同时满足①；②若，则，则非空集合M的个数为_______.
【变式训练2-2】、（2023·上海）已知非零实数，则代数式表示的所有的值的集合是（ ）
A． B． C． D．
例3.（单元素集合）（2023·全国高一课时练习）设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则 ∈A，且1 A，
（1）若3∈A，求A.
（2）证明:若a∈A，则.
【变式训练3-1】、（二次函数与集合）设集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}
（1）当A中元素个数为1时，求：a和A；
（2）当A中元素个数至少为1时，求：a的取值范围；
（3）求：A中各元素之和．
考点3 集合间的基本关系
1.集合A中含有n个元素，则有
(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．
(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．
2.空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
例4．（1）.（2023·全国高一）（空集是任何非空集合的子集）已知集合,,若,则实数m的取值范围是______.
（2）.（空集）（2023·上海高一单元测试）已知集合，，若，则实数的取值集合为_______.
（3）．（2023·上海市控江中学高一月考）满足的集合的个数为______.
【变式训练4-1】．（2022·浙江省温州中学高一月考）（子集与真子集个数问题）已知集合，若，则______；的子集有______个.
【变式训练4-2】．（空集）若集合，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．，
【变式训练4-3】．（空集是任何非空集合的子集）（多选题）已知集合，若，则实数的取值可能为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
考点4 集合的基本运算
1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
2．并集的性质
A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪ ＝A，A A∪B.
3.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B的交集，记作A∩B。符号为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。
4. 交集的性质
A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B A.
5、对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA。符号语言： UA＝{x|x∈U，且x A}。
归纳总结：
集合基本运算的求解规律
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解．
(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．
(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．
例5．（1）（并集）（2023·长宁区·上海市延安中学高一月考）设集合，，若，则实数___________.
（2）．（交集）（2023·上海高一专题练习）已知集合，集合，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（3）．（韦恩图的应用）已知全集U＝R，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|x（x+2）＜0}，则图中阴影部分表示的集合是（　　）
A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1}
例6．（2023·上海市新场中学高一月考）已知集合，集合
（1）求集合；
（2）若集合，求实数的值；
（3）若，求实数的取值范围．
【变式训练6-1】．（2023·上海市南洋模范中学高一期中）已知集合，，.
（1）若，求实数a的值；
（2）若，求实数m的取值范围.
例7．（2023·全国高一专题练习）已知集合，或.
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【变式训练7-1】．（2023·全国高一单元测试）设全集为，，.
（1）求；
（2）求.
四、课堂训练（45分钟）
1．（2023·上海市金山中学高一月考）已知集合，若，则实数=____
2．（2023·上海高一单元测试）用列举法表示集合＝________．
3．（2023·上海市控江中学高一月考）以下几个关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·上海高三专题练习）设集合，，则（ ）
A． A B．A C． D．
5．（2023·上海高一专题练习）下列命题中正确的（ ）
①0与{0}表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；
④集合{x|4A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．以上语句都不对
6．（2023·上海长宁·高一期末）已知“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，给出下列四个命题：
①M的元素不都是P的元素；②M的元素都不是P的元素；
③存在且；④存在且；
这四个命题中，真命题的个数为（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022·上海市晋元高级中学）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·嘉定区·上海大学附属南翔高级中学高一月考）已知集合
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数的值，并写出相应的集合；
（3）若A中至少有两个元素，求实数的取值范围.
9．（2023·上海市大同中学）已知集合，，，
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
专题1.1 集合初步
一、考情分析
二、考点梳理
1.集合的概念及其表示
⑴.集合中元素的三个特征：
①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．
②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.
③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）．
⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．
(4).常见的数集及其表示符号
名称 自然数集(非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
表示符号 N 或 Z Q R
集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A B(或B A)
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB(或BA)
集合相等 集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集 A＝B
【名师提醒】
子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.
集合之间的基本运算
如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形
符号 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} UA＝{x|x∈U，且x A}
【名师提醒】
1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1，非空真子集个.
2．A B A∩B＝A A∪B＝B .
3．奇数集：.
4. 德 摩根定律：
①并集的补集等于补集的交集，即；
②交集的补集等于补集的并集，即．
【名师点睛】
1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．
3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．
4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．
5.求集合并集的两种基本方法：
（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.
6.求集合交集的方法为：
（1）定义法，
（2）数形结合法．
（3）若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．
三、题型突破
考点1 集合的概念及其表示
归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
例1.（1）.（集合的确定性）（2023·上海市奉贤区曙光中学高一月考）下列语言叙述中，能表示集合的是（ ）
A．数轴上离原点距离很近的所有点；
B．太阳系内的所有行星
C．某高一年级全体视力差的学生；
D．与大小相仿的所有三角形
【答案】B
【分析】
根据集合的确定性逐个判断即可
【详解】
对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足确定性，故A错误；
对B，太阳系内的所有行星满足集合的性质，故B正确；
对C，某高一年级全体视力差的学生不满足确定性，故C错误；
对D，与大小相仿的所有三角形不满足确定性，故D错误
故选：B
【点睛】
本题主要考查了集合的确定性，属于基础题
（2）．（集合的互异性）在集合，，中，的值可以是　　
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】A
【解析】当a＝0时，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝2，
当a＝1时，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝1，当a＝2时，a2﹣a﹣1＝1，a2﹣2a+2＝2，
由集合中元素的互异性知：选A．
【变式训练1-1】．（集合的确定性）下列四组对象中能构成集合的是（　　）
A．宜春市第一中学高一学习好的学生
B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数
D．倒数等于本身的数
【答案】D
【分析】
根据集合的含义分别分析四个选项，A，B，C都不满足函数的确定性故排除，D确定，满足．
【详解】
解：A：宜春市第一中学高一学习好的学生，因为学习好的学生不确定，所以不满足集合的确定性，故A错误；
B：在数轴上与原点非常近的点，因为非常近的点不确定，所以不满足集合的确定性，故B错误；
C：很小的实数，因为很小的实数不确定，所以不满足集合的确定性，故C错误；
D：倒数等于它自身的实数为1与﹣1，∴满足集合的定义，故正确．
故选：D．
【变式训练1-2】．（集合的确定性）（2023·上海市嘉定区第一中学高一期中）当一个非空数集满足“如果，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个数域的命题；
①0是任何数域的元素；
②若数域有非零元素，则;
③集合是一个数域
④有理数集是一个数域
其中假命题的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】
对于①，根据新定义，，，当时，，取，可判断出①，对于②，若数域中有非零元素，可以取实数域，可取，，可判断出②，对于③，由的元素知，是3的倍数，取，时可判断出③，对于④，若是有理数，则当，，则，，，且当时，都成立，判断出④.
【详解】
解：对于①，根据新定义，，，当时，，对于，可得，故正确，
对于②，若数域中有非零元素，可以取实数域，可取，，可得，故正确，
对于③，由的元素知，是3的倍数，当，时，，故错误，
对于④，若是有理数，则当，，则，，，且当时，都成立，故正确，
故假命题为③．
故选：C．
【变式训练1-3】（集合的互异性）若，，，则　　
A． B．0 C．1 D．0 或1
【答案】B
【答案】解：①若a2﹣a﹣1＝﹣1，则a2﹣a＝0，解得a＝0或a＝1，
a＝1时，{2，a2﹣a﹣1，a2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a＝0；
②若a2+1＝﹣1，则a2＝﹣2，a无实数解；由①②知：a＝0．故选：B．
考点2 元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
(3)常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
归纳总结：
(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
例2．（1）（元素与集合的关系）（2023·上海市奉贤中学高一月考）若，则构成集合中的的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
根据集合互异性，即可得答案.
【详解】
根据集合的互异性可得，
所以，即的取值范围是
故答案为：
（2）、（元素个数问题）集合，的元素个数为　　
A．4 B．5 C．10 D．12
【思路分析】根据题意，集合中的元素满足x是整数，且是整数．由此列出x与y对应值，即可得到题中集合元素的个数．
【解析】由题意，集合{x∈Z|y∈Z}中的元素满足x是整数，且y是整数，由此可得
x＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；
此时y的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，
符合条件的x共有12个，故选：D．
【变式训练2-1】、（元素与集合的关系）（2023·嘉定区·上海大学附属南翔高级中学高一月考）已知非空集合M同时满足①；②若，则，则非空集合M的个数为_______.
【答案】15
【分析】
由集合的元素所满足的两个性质，找到集合集合M的元素，从而确定集合M的个数即可
【详解】
因为非空集合M同时满足:
；②若，则；
所以将数分组成：； ；；；
所以集合中，若有，则成对出现； 若有，则成对出现；
若有，则成对出现；若有，则成对出现；
因为4组数任选1组有4种，任选2组有6种，任选3组有4种，4组都选有1种，
所以满足题意得集合有个，
故答案为：15
【变式训练2-2】、（2023·上海）已知非零实数，则代数式表示的所有的值的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据绝对值的定义分类讨论，按中正负数分类．
【详解】
当时，，当时，，
因此，若都为正数，则；
若两正一负，则；
若一正两负，则；
若都为负数，则.
所以代数式表示的所有的值的集合是.
故选：D．
【点睛】
本题考查绝对值的定义，对于含多个绝对值的式子，根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后可得结论．
例3.（单元素集合）（2023·全国高一课时练习）设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则 ∈A，且1 A，
（1）若3∈A，求A.
（2）证明:若a∈A，则.
【答案】（1）;（2）证明见解析.
【分析】
根据题意求依次求解即可.
【详解】
(1)因为3∈A，
所以，
所以，
所以，
所以.
(2)因为a∈A，
所以，
所以.
【变式训练3-1】、（二次函数与集合）设集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}
（1）当A中元素个数为1时，求：a和A；
（2）当A中元素个数至少为1时，求：a的取值范围；
（3）求：A中各元素之和．
【思路分析】（1）推导出a＝0或，由此能求出a和A．
（2）当A中元素个数至少为1时，a＝0或，由此能求出a的取值范围．
（3）当a＝0时，A中元素之和为；当a＜1且a≠0时，A中元素之和为；当a＝1时，A中元素之和为﹣1；当a＞1时，A中无元素．
【答案】解：（1）∵集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}，A中元素个数为1，
∴a＝0或，解得a＝0，A＝{}或a＝1，A＝{﹣1}．
当A中元素个数至少为1时，a＝0或，解得a≤1，
∴a的取值范围是（﹣∞，1]．
（3）当a＝0时，A中元素之和为；当a＜1且a≠0时，A中元素之和为；
当a＝1时，A中元素之和为﹣1；当a＞1时，A中无元素．
考点3 集合间的基本关系
1.集合A中含有n个元素，则有
(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．
(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．
2.空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
例4．（1）.（2023·全国高一）（空集是任何非空集合的子集）已知集合,,若,则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】由可得：当,则，∴，
当,则m应满足:,解得，综上得;
∴实数m的取值范围是.故答案为:.
（2）.（空集）（2023·上海高一单元测试）已知集合，，若，则实数的取值集合为_______.
【答案】
【分析】
考虑和两种情况，，计算得到答案.
【详解】
，，，
当时，满足条件；
当，即时，满足条件；当，即时，满足条件.
故集合为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了根据集合包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集的情况是容易发生的错误.
（3）．（2023·上海市控江中学高一月考）满足的集合的个数为______.
【答案】7
【分析】
根据集合的基本关系可求出集合A满足条件的几种情况.
【详解】
解：由题意得
是满足条件的一个集合
又
所以中元素除了2，4，6外，1，3，5中取一个或两个元素也满足条件，有种，故A中元素总的集合个数为种.
故答案为：7
【变式训练4-1】．（2022·浙江省温州中学高一月考）（子集与真子集个数问题）已知集合，若，则______；的子集有______个.
【答案】0或 8
【解析】∵集合，，∴或，解得或.
的子集有个.故答案为：0或，8.
【变式训练4-2】．（空集）若集合，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．，
【解析】∵A＝{x|x2﹣2x+m＝0}＝ ，∴方程x2﹣2x+m＝0无解，即△＝4﹣4m＜0，
解得：m＞1，则实数m的范围为（1，+∞），故选：C．
【点睛】此题考查了空集的定义，性质及运算，熟练掌握空集的意义是解本题的关键．
【变式训练4-3】．（空集是任何非空集合的子集）（多选题）已知集合，若，则实数的取值可能为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】AB
【分析】
根据子集的性质，结合一元一次方程解的性质进行求解即可.
【详解】
因为，，
若为空集，则方程无解，解得；
若不为空集，则，由解得，所以或，解得或.
故选：AB
考点4 集合的基本运算
1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
2．并集的性质
A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪ ＝A，A A∪B.
3.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B的交集，记作A∩B。符号为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。
4. 交集的性质
A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B A.
5、对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA。符号语言： UA＝{x|x∈U，且x A}。
归纳总结：
集合基本运算的求解规律
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解．
(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．
(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．
例5．（1）（并集）（2023·长宁区·上海市延安中学高一月考）设集合，，若，则实数___________.
【答案】或
【分析】
分析可得，可得出关于实数的等式，即可求得结果.
【详解】
因为，则，因为，，则或.
解得或.
故答案为：或.
（2）．（交集）（2023·上海高一专题练习）已知集合，集合，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据，由求解.
【详解】
因为集合，集合，且，
所以，
解得，
所以的取值范围是
故选：A
（3）．（韦恩图的应用）已知全集U＝R，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|x（x+2）＜0}，则图中阴影部分表示的集合是（　　）
A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1}
【答案】 A
【解析】图中阴影部分为N∩（ UM），∵M＝{x|x＜﹣1}，∴ UM＝{x|x≥﹣1}，
又N＝{x|x（x+2）＜0}＝{x|﹣2＜x＜0}，∴N∩（ UM）＝{x|﹣1≤x＜0}，故选：A．
（4）
例6．（2023·上海市新场中学高一月考）已知集合，集合
（1）求集合；
（2）若集合，求实数的值；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【分析】
（1）直接解方程可求集合；
（2），则且，将代入方程求出的值，再将的值代入方程，解方程可得集合，检验是否满足条件即可；
（3）若，则，可得或或或；分别讨论这四种情况即可求解.
【详解】
（1）；
（2）由（1）知：，若集合，则且，
将代入方程可得，
解得：或；
当时，原方程可化为，解得：或，
此时，满足，
当时，原方程可化为，解得：或，
此时，满足，
所以或；
（3）若，则，所以或或或；
当时，方程无解，所以，
解得：，
若，则方程有两个相等的实根，
所以此时无解，
若，则方程有两个相等的实根，
所以此时无解，
若，则方程有两个不相等的实根，
所以此时无解，
【变式训练6-1】．（2023·上海市南洋模范中学高一期中）已知集合，，.
（1）若，求实数a的值；
（2）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）先求解出方程的根，则集合可知，再求解出的根，则可确定出集合，根据得到，从而可求解出的可取值，则的值可求；
（2）根据得到，分别考虑当为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出的取值.
【详解】
（1）由得或，所以，
由得或，所以，
因为，所以，
所以或，所以或；
（2）因为，所以，
当的时，，解得，
当时，，无解，
当时，，解得，
当时，，无解，
综上，实数m的取值范围是.
【点睛】
结论点睛：根据集合的交、并集运算结果判断集合间的关系：
（1）若，则有；
（2）若，则有.
例7．（2023·全国高一专题练习）已知集合，或.
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或，；（2）.
【分析】
（1）将代入集合中确定出，求出与的交集，根据全集求出的补集，求出与补集的并集即可；
（2）由，，以及两集合的交集为空集，对进行分类讨论，把分类结果求并集，即可求出结果．
【详解】
解：（1）将代入集合中的不等式得：，即，
∵或，
∴或，，
则；
（2）∵，或，
当时，；此时满足，
当时，，此时也满足，
当时，，若，则，解得：；
综上所述，实数的取值范围为．
【变式训练7-1】．（2023·全国高一单元测试）设全集为，，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）画出数轴图，数形结合即可求出；
（2）画出数轴图，数形结合可求出，再利用补集定义即可求出.
【详解】
（1）画出集合A和集合B表示的数轴图，
则由图可得；
（2）观察图形可得
或.
四、课堂训练（45分钟）
1．（2023·上海市金山中学高一月考）已知集合，若，则实数=____
【答案】3
【解析】
因为，所以．
2．（2023·上海高一单元测试）用列举法表示集合＝________．
【答案】{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}.
【分析】
利用题目条件，依次代入，使，从而确定出的值，即可得到答案
【详解】
，
为的因数
则
则答案为
【点睛】
本题主要考查了集合的表示法，理清题意，找出满足条件的因数是关键，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．
3．（2023·上海市控江中学高一月考）以下几个关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据元素与集合的关系、集合与集合的关系、集合的交并集运算逐项进行判断即可.
【详解】
A.根据空集概念可知，故错误；
B.因为无实根，所以，且，故错误；
C.空集是任何非空集合的真子集，故正确；
D.当时，，故错误；
故选：C.
4．（2022·上海高三专题练习）设集合，，则（ ）
A． A B．A C． D．
【答案】B
【分析】
分和两种情况得出集合A，由此可得选项.
【详解】
解：对于集合A，当，时，，
当，时，,所以或，所以A，
故选：B．
5．（2023·上海高一专题练习）下列命题中正确的（ ）
①0与{0}表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；
④集合{x|4A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．以上语句都不对
【答案】C
【分析】
由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．
【详解】
①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；
②符合集合中元素的无序性，正确；
③不符合集合中元素的互异性，错误；
④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．
故选：C.
6．（2023·上海长宁·高一期末）已知“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，给出下列四个命题：
①M的元素不都是P的元素；②M的元素都不是P的元素；
③存在且；④存在且；
这四个命题中，真命题的个数为（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据题意，由子集的定义分析、元素的关系分析4个命题是否正确，综合即可得答案．
【详解】
根据题意，“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题．则其否定为真，
则非空集合的元素不都是集合的元素，
据此分析4个命题：
①的元素不都是的元素，正确，
②的部分元素可以为的元素，不正确，
③可能的元素都不是的元素，故存在且，不正确，
④存在且，正确，
其中正确的命题有2个，
故选：．
7．（2022·上海市晋元高级中学）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据图像判断出阴影部分表示，由此求得正确选项.
【详解】
根据图像可知，阴影部分表示，，所以.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查集合交集与补集的概念和运算，考查韦恩图，属于基础题.
8．（2023·嘉定区·上海大学附属南翔高级中学高一月考）已知集合
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数的值，并写出相应的集合；
（3）若A中至少有两个元素，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）实数的取值为；当时，；当时，；当时，；（3）
【分析】
（1）方程无解，则，根据判别式即可求解；
（2）分方程无解或者一个解讨论即可；
（3）由题意可知有两个不等的实根，由判别式求解即可.
【详解】
（1）若A是空集，则方程无解，
此时 且，即，
所以的取值范围为；
（2）若A中至多有一个元素，
则方程有且只有一个实根或者无解，
若方程有且只有一个实根，则
当时，方程为一元一次方程，满足条件，
当时，此时，解得：，
若方程无解，由（1）可知，
综上可知：若A中至多有一个元素，则实数的取值为；
当时，；当时，；当时，；
（3）若A中至少有两个元素，则有两个不等的实数根，
此时 且，解得且，
所以a的取值范围是.
9．（2023·上海市大同中学）已知集合，，，
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）解不等式，可求出集合，进而求出二者的交集即可；
（2）结合（1），由，可得，进而可列出不等关系，求解即可.
【详解】
（1）由，得，等价于，解得，
所以集合，
由，解得或，所以或，
所以或.
（2）因为，所以，
即，
所以，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，考查集合的交集，考查根据集合的包含关系求参数，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.

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