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高一数学《考点 题型 技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册)
6.2　平面向量的运算
6.2.1-6.2.2　向量的减法运算　向量的加法运算
【考点梳理】
考点一　向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
考点二　向量加法的运算律
交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别 联系
三角形法则 (1)首尾相接(2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
考点三：相反向量
1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量.
(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
考点四：向量的减法
1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示.
3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
【题型归纳】
题型一：向量加法法则
1．（2023·全国·高一课时练习）如图，已知向量，，不共线，作向量++．
2．（2023·全国·高一课时练习）如图，已知向量，不共线，求作向量．
3．（2023·全国·高一课时练习）如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
（1）；（2）（3）．
题型二：向量加法的运算律
4．（2023·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期中）向量化简后等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·广东·茂名市华英学校高一阶段练习）向量化简后等于（ ）
A． B． C． D．
题型三：向量加法法则的几何应用
7．（2023·全国·高一课时练习）如图，D，E，F分别为的边AB，BC，CA的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高一课时练习）如图，在正六边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·江西省修水县英才高级中学高一阶段练习）如图，在平行四边形中，是的中点，设，，则向量（ ）.
A． B． C． D．
题型四：相反向量
10．（2023·辽宁·建平县实验中学高一期末）如图，在四边形中，与交于点，若，则下面互为相反向量的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
11．（2023·山西临汾·高一阶段练习）在任意四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，设，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高一单元测试）若是的负向量，则下列说法中错误的是（ ）
A．与的长度必相等
B．
C．与一定不相等
D．是的负向量
题型五：向量减法法则
13．（2023·全国·高一课时练习）如图，已知向量，，，求作向量．
14．（2023·全国·高一课时练习）如图，点O是的两条对角线的交点，，，，求证：．
15．（2023·全国·高一课时练习）如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
题型六：向量减法的运算律
16．（2023·全国·高一课时练习）下列运算正确的个数是（ ）
①；②；
③．
A．0 B．1 C．2 D．3
17．（2023·北京市第一六六中学高一期中）在中，，若，,则（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·浙江·金乡卫城中学高一阶段练习）在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（ ）
A． B． C． D．
题型七：向量减法法则的几何应用
19．（2023·全国·高一课时练习）已知非零向量与方向相反，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2023·全国·高一单元测试）已知正方形的边长为1，，，，则等于（ ）
A．0 B．1 C． D．2
21．（2023·全国·高一课时练习）如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
一：单选题
22．（2023·全国·高一课时练习）化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
23．（2023·全国·高一课时练习）已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2023·全国·高一课时练习）若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（ ）．
A． B． C． D．
25．（2023·全国·高一课时练习）已知点O是的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
26．（2023·全国·高一课时练习）下列四式不能化简为的是（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（2023·全国·高一课时练习）已知六边形ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中，则=（ ）
A． B． C． D．
28．（2023·全国·高一课前预习）下列等式中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．3 B．4 C．5 D．6
29．（2023·重庆实验外国语学校高一阶段练习）如右图，，，分别是的边，，的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
30．（2023·山东济南·高一期末）在中，若点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
31．（2023·山东滨州·高一期末）在中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一：单选题
32．（2023·全国·高一课时练习）设，是任一非零向量，则在下列结论中:
①；②；③；④；⑤.
正确结论的序号是（ ）
A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤
33．（2023·山东枣庄·高一期中）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
34．（2023·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）
A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同
B．在中，必有
C．若，则A，B，C为一个三角形的三个顶点
D．若，均为非零向量，则与一定相等
35．（2023·福建·莆田第二十五中学高一期中）如图，已知，，，，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
36．（2023·安徽·六安市裕安区新安中学高一期中）在平行四边形中，，设，，则向量（ ）
A． B． C． D．
37．（2023·湖南·高一阶段练习）在中，点，在边上，且，为边上的三等分点（其中为靠近点的三等分点），且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
38．（2023·全国·高一课时练习）（多选）下列结论中错误的是（ ）
A．两个向量的和仍是一个向量
B．向量与的和是以的始点为始点，以的终点为终点的向量
C．
D．向量与都是单位向量，则
39．（2023·广东·江门市新会第二中学高一阶段练习）下列各式结果为零向量的有（ ）
A． B．
C． D．
40．（2023·广东·南方科技大学附属中学高一期中）已知点，，分别是的边的中点，则下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
41．（2023·江苏·南京二十七中高一期中）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
42．（2023·广东·洛城中学高一阶段练习）化简以下各式，结果为的有（ ）
A． B．
C． D．
43．（2023·福建·永安市第三中学高中校高一阶段练习）下列命题中,正确的命题为（ ）
A．对于向量，若，则或
B．若为单位向量，且//，则
C．若与共线，与共线，则与共线
D．四边形中，
二：填空题
44．（2023·全国·高一课时练习）已知平面内三个不同的点、、，则“、、是一个三角形的三个顶点”是“”的___________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”）
45．（2023·全国·高一课时练习）已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是____.(填序号)
46．（2023·全国·高一课时练习）在中，D是BC的中点．若，，，，则下列结论中成立的是________．（填序号）
①；（2）；③；④．
47．（2023·全国·高一课时练习）如图，在正六边形中，与相等的向量有__.
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
三：解答题
48．（2023·全国·高一课时练习）化简．
（1）．
（2）．
49．（2023·上海·高一课时练习）向量如图所示，据图解答下列问题：
（1）用表示；（2）用表示；（3）用表示；（4）用表示.
50．（2023·全国·高一课时练习）化简：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）.
51．（2023·全国·高一课时练习）如图，四边形是以向量，为边的平行四边形，又，，试用、表示、、.
【答案详解】
【详解】
由向量加法的三角形法则，
++如图，
2．作图见解析，
【分析】
利用向量的加法法则求解.
【详解】
如图，
在平面内任取一点O，作，．
因为，即，
所以．
3．
（1）答案见解析
（2）答案见解析
（3）答案见解析
【分析】
利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则进行求解﹒
（1）
因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以．
（2）
因为与方向相同且长度相等，所以与是相同的向量，从而与方向相同，长度为长度的2倍，因此，可用表示，即．
（3）
因为与是一对相反向量，所以．
4．A
【分析】
根据向量的线性运算求解即可.
【详解】
由,
故选：A
5．B
【分析】
利用向量加法的三角形法则以及向量加法的交换律即可求解.
【详解】
.
故选：B
6．D
【分析】
根据向量的加法运算即可得到结果.
【详解】
故选：D
7．A
【分析】
根据平面向量的线性运算法则计算可得；
【详解】
解：，，分别是的边，，的中点，
，，，
则，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误；
故选：A．
8．A
【分析】
根据相等向量和向量加法运算直接计算即可.
【详解】
，.
故选：A.
9．B
【分析】
根据平行四边形的性质，利用向量加法的几何意义有，即可得到与、的线性关系.
【详解】
由题设，，则，又，
∴.
故选：B
10．B
【分析】
首先根据题意得到四边形是平行四边形，从而得到与为相反向量.
【详解】
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，互相平分，所以，即与为相反向量.
故选：B
11．B
【分析】
根据题意，由向量的加法可得：和，两个式子相加，化简即可得到答案.
【详解】
在任意四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，设，
则,同时有，
则有,
因为E、 F分别为AD,BC的中点，则
则有.
故选:B.
12．C
【分析】
根据向量的定义判断．
【详解】
是的负向量，即，因此它们的长度相等，方向相反，即共线（平行），也是的负向量，但与一般不相等（只有它们为零向量时相等）．错误的C．
故选：C．
13．见解析
【分析】
利用向量减法的三角形法则即可求解.
【详解】
由向量减法的三角形法则，
令,则,
令,所以.如下图中即为.
14．证明见解析
【分析】
利用向量的加法法则和向量相等求解.
【详解】
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以．
因为，
，
所以，
即．
15．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【分析】
由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果.
（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
（5）
.
16．C
【分析】
利用平面向量的加法，减法，数乘运算及其运算律判断.
【详解】
①，由数乘运算知正确；
②，由向量的运算律知正确；
③，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.
故选：C
17．C
【分析】
根据平面向量的线性运算法则，用，,表示出即可.
【详解】
.
故选：C
18．B
【分析】
根据题意作出图形，将用、的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得出结果.
【详解】
解：由题意作出图形：
在平行四边形中，M为BC的中点，则
又N为线段AB上靠近A的三等分点，则
故选：B
19．C
【分析】
根据方向相反的两个向量的和或差的运算逐一判断.
【详解】
A.可能等于零，大于零，小于零，，A不成立
B.，，B不成立
C.，C成立
D. ，D不成立.
故选：C.
20．A
【分析】
根据向量的线性运算即可求出．
【详解】
因为，，，所以．
故选：A．
21．D
【分析】
根据平面向量的加减法法则结合图形即可得到答案.
【详解】
如图，
.
故选：D.
22．B
【分析】
根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案.
【详解】
对于①：，
对于②：，
对于③：，
对于④：，
所以结果为的个数是，
故选：B
23．C
【分析】
结合向量的加法法则运算即可.
【详解】
＝＋＋＝＝＝2．
故选：C
24．C
【分析】
根据相反向量的定义逐项判断即可．
【详解】
解：由平行向量的定义可知项正确；
因为和的方向相反，所以，故项正确；
由相反向量的定义可知，故选项正确；
由相反向量的定义知，故项错误；
故选：C．
25．B
【分析】
根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】
对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误；
故选：B
26．D
【分析】
由向量加减法法则计算各选项，即可得结论．
【详解】
A项中，；
B项中，；
C项中，；
D项中，.
故选：D.
27．D
【分析】
由图形可得，从而可得正确的选项.
【详解】
，
故选：D.
28．C
【分析】
利用向量加减法的运算性质，转化各项表达式即可知正误.
【详解】
由向量加减法的运算性质知：①；②；③；④；⑤，正确；⑥，错误.
故选：C
29．A
【分析】
根据向量加法和减法的运算法则结合图像逐一运算即可得出答案.
【详解】
解：，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误.
故选：A.
30．A
【分析】
利用向量加减法公式，化简已知条件，即可判断结果.
【详解】
由条件可知，得.
故选：A
31．B
【分析】
利用向量加法和减法计算即可求解.
【详解】
，
故选：B.
32．D
【分析】
根据向量线性运算可确定为零向量，由此可判断得到结果.
【详解】
，
又是任一非零向量，，，，①③⑤正确.
故选：D.
33．D
【分析】
由题易得，以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD，交AB于点O，进而可得，进而可得，所以CG所在的直线CO是AB边上的中线，同理可证AG所在的直线是BC边上的中线，BG所在的直线是AC边上的中线，最后得出答案即可.
【详解】
因为，所以，
以GA GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD，交AB于点O，如图所示：
则，所以，点O是AB边的中点，
所以CG所在的直线CO是AB边上的中线，
同理可证AG所在的直线是BC边上的中线，BG所在的直线是AC边上的中线，
所以G点是三角形ABC的重心.
故选：D.
34．B
【分析】
根据向量的线性运算法则，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】
对于A：当与为相反向量时，，方向任意，故A错误；
对于B：在中，，故B正确；
对于C：当A、B、C三点共线时，满足，但不能构成三角形，故C错误；
对于D：若，均为非零向量，则，当且仅当与同向时等号成立，故D错误.
故选：B
35．C
【分析】
结合图形，利用向量加，减法，计算向量.
【详解】
，，
得，即.
故选：C
36．A
【分析】
利用向量的加、减法法则计算即可.
【详解】
解：.
故选：A.
37．B
【分析】
利用向量的加法、减法线性运算即可求解.
【详解】
，
所以，.
故选：
38．BD
【分析】
根据向量的相关概念，对选项逐一判断即可.
【详解】
两个向量的和差运算结果都是是一个向量，所以A正确；
两个向量的加法遵循三角形法则，只有当首尾相连时才成立，故B错误；
任何向量与相加都得其本身，故C正确；
两个单位向量的方向没有确定，当它们方向相同时才成立，故D错误；
故选：BD
39．ACD
【分析】
根据平面向量的线性运算逐个求解即可
【详解】
对A，，故A正确；
对B，，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，故D正确；
故选：ACD
【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题
40．ABC
【分析】
根据向量线性运算确定正确选项.
【详解】
对于A选项，，正确；
对于B选项，，正确；
对于C选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，正确；
对于D选项，，所以D错误.
故选：ABC
41．BCD
【分析】
根据向量的线性运算，逐项变形移项即可得解.
【详解】
根据复数的线性运算，
对A，化简为，错误；
对B，即，即，正确；
对C，对移项可得，正确；
对D，由，移项即，正确；
故选：BCD
42．ABCD
【分析】
根据向量的加减运算法则分别判断.
【详解】
，
，
，
.
所以选项全正确.
故选：ABCD
43．BD
【分析】
直接利用向量的线性运算，向量的共线，单位向量的应用判断、、、的结论．
【详解】
对于：对于向量，若，则与不存在关系，故错误；
对于：若为单位向量，且，则，故正确；
对于：若与共线，与共线，且，则与共线，当，则与不一定共线，故错误；
对于：四边形中，，整理得，
故正确；
故选：．
44．充分不必要
【分析】
利用向量加法的三角形法则结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
充分性：若、、是一个三角形的三个顶点，由平面向量加法的三角形法则可得出，充分性成立；
必要性：若、、三点共线，则成立，此时、、不能构成三角形，必要性不成立.
因此，“、、是一个三角形的三个顶点”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
45．①④
【分析】
利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为.
【详解】
①;
②;
③;
④.
故答案为：①④.
46．③
【分析】
根据平面向量的加减法判断即可.
【详解】
，故③成立；
故答案为：③
47．①④
【分析】
根据向量加减法运算可化简为，根据相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
四边形是平行四边形，，①正确；
与方向不同，②错误；与方向不同，③错误；
，④正确；
，⑤错误；与方向不同，⑥错误；
四边形为平行四边形，，⑦错误.
故答案为：①④.
48．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果；
（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.
【详解】
（1）；
（2）.
49．（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【分析】
利用向量的加法法则、减法法则运算即可
【详解】
由图知,
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
50．（1）.（2）（3）.
（4）（5）（6）.（7）
解：（1）原式.
（2）原式
（3）原式.
（4）原式
（5）原式
（6）原式.
（7）原式
【点睛】
本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题，属于基础题.
51．
解：，，，
．
．
，，
．
．高一数学《考点 题型 技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册)
6.2.4　向量的数量积
【考点梳理】
考点一　两向量的夹角与垂直
1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.
2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
考点二　向量数量积的定义
非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.
考点三　投影向量
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
考点四　平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
考点五　平面向量数量积的运算律
1.a·b＝b·a(交换律).
2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).
3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【题型归纳】
题型一：向量的数量积的定义和几何意义
1．（2023·江西·九江一中高一期中）向量在向量上的射影为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西·宜春九中高一阶段练习）已知，且，则在方向上的投影为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2023·广东汕尾·高一期末）在三角形中，已知，，点满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
题型二：数量积的运算
4．（2023·北京市西城区教委高一阶段练习）设为平面向量，则“存在实数，使”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023·全国·高一课时练习）已知、、不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
6．（2023·江西·九江一中高一阶段练习）已知向量、满足， 与的夹角为，则（　　）
A． B． C． D．、
题型三：数量积和模关系问题
7．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（ ）．
A．1 B． C． D．
8．（2023·全国·高一课时练习）若向量与的夹角为60°，，，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
9．（2023·河北·正定中学高一阶段练习）已知平面向量，则的最大值（ ）
A． B． C． D．
题型四：向量夹角的计算
10．（2023·全国·高一课时练习）若向量，满足，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·河北·张家口市第一中学高一阶段练习）已知非零向量，满足，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·云南省南涧县第一中学高一阶段练习）已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
题型五：垂直关系的向量表示
13．（2023·江西·九江一中高一阶段练习）已知非零向量满足，与夹角的余弦值为，若，则实数（　　）
A． B． C． D．
14．（2023·云南·昆明市外国语学校高一阶段练习）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
15．（2023·江苏·南京市中华中学高一期中）已知平面向量，满足，，，的夹角为120°，且，则实数的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
题型六：已知模求参数问题
16．（2023·全国·高一课时练习）已知平面向量，，且，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
17．（2023·江苏·高一期中）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·浙江浙江·高一期末）设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数，无最小值，则以下说法正确的是（ ）
A．若和确定，则唯一确定
B．若和确定，则有最大值
C．若确定，则
D．若不确定，则与的大小关系不确定
【双基达标】
一、单选题
19．（2023·全国·高一课时练习）命题：“向量与向量的夹角为锐角”是命题：“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20．（2023·全国·高一课时练习）若，，，的夹角为135°，则（ ）
A． B． C． D．12
21．（2023·全国·高一课时练习）已知，，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·全国·高一课时练习）两个非零向量、互相垂直的充要条件是（ ）．
A． B．
C． D．
23．（2023·上海·高一课时练习）设是两个非零向量，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则存在实数λ，使得 D．若存在实数λ，使得，则
24．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，BE＝EC，AF＝2FC，则||＝（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·全国·高一单元测试）已知向量，，若，则＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
26．（2023·吉林·延边二中高一阶段练习）给出下列命题，其中错误的命题的个数是（ ）
①若，则是钝角
②若且，则
③若，则可知
④若是等边三角形，则与的夹角为
A．4 B．3 C．2 D．1
【高分突破】
一：单选题
27．（2023·全国·高一课时练习）在平行四边形中，已知，则（ ）
A． B． C． D．
28．（2023·全国·高一课时练习）若，且，则与所在直线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
29．（2023·全国·高一课时练习）若向量，，均为单位向量，且，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
30．（2023·广东·东莞市光明中学高一阶段练习）下列命题中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．与共线
31．（2023·广东白云·高一期末）已知，，与的夹角为，则（ ）
A． B．72 C．84 D．
32．（2023·安徽·合肥艺术中学 高一阶段练习）如图，是边长为4的正方形，若，且为的中点，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
33．（2023·黑龙江·哈尔滨市教育局高一阶段练习）已知平面向量与满足，，，则与的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
34．（2023·全国·高一课时练习）在中，点M是的中点，，点P在上，且满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
35．（2023·广东广州·高一期末）已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O是外心 B．若，则P是垂心
C．若，则N是重心 D．若，则I是内心
36．（2023·广东·仲元中学高一期中）已知 是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A． 的夹角是 B． 的夹角是
C． D．
37．（2023·广东高州·高一期末）已知向量，，满足，且，，向量与，与，与的夹角都是，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．1
38．（2023·全国·高一课时练习）在中，，P为线段上任意一点，则的可能值有（ ）
A． B． C．2 D．3
39．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）是的重心，，，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量等于
C．
D．的最小值为-1
40．（2023·广东·忠信中学高一阶段练习）给出下列命题，其中正确的选项有　　
A．非零向量、满足，则与的夹角为
B．若，则为等腰三角形
C．若单位向量的、的夹角为，则当取最小值时，
D．若，，，为锐角，则实数的取值范围是
三、填空题
41．（2023·北京·日坛中学高一期中）设向量满足，则___________.
42．（2023·全国·高一课时练习）已知，与的夹角大小为，则______．
43．（2023·全国·高一课时练习）已知向量与满足，，与的夹角大小为60°，则______．
44．（2023·云南·昆明八中高一阶段练习）已知菱形的边长为2，，点 分别在直线 上，，若，则实数的值为___________.
45．（2023·全国·高一课时练习）在正三角形ABC中，下列各等式成立的是________．（填序号）
①；②；
③；④．
四、解答题
46．（2023·全国·高一课时练习）（l）求证：；
（2）已知向量、满足：，，，求的值．
47．（2023·全国·高一课时练习）在等腰三角形ABC中，，，D为BC的中点．
（1）求在上的投影向量；
（2）求在上的投影向量．
48．（2023·湖南·嘉禾县第一中学高一阶段练习）已知，与的夹角为，设．
（1）求的值；
（2）若与的夹角是锐角，求实数t的取值范围．
49．（2023·全国·高一课时练习）（1）在中，，，，求，，的值.
（2）已知，两个向量，，，，求在方向上的投影与数量投影．
50．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，的夹角为，且，，（其中）．当取最小值时，求与的夹角的大小．
【答案详解】
1．D
【详解】
向量在向量上的射影为
，
故选：D
2．A
【详解】
由题意，，
所以在方向上的投影．
故选：A．
3．B
【详解】
由可得：，
即，可得，
所以，
如图设的中点为，则，
由可得，
所以，所以
，
所以
向量在向量方向上的投影向量为：
，
因为，所以，
所以向量在向量方向上的投影向量为，
故选：B.
4．C
【详解】
若存在实数，使，则，，即，故充分性成立；
若，则，
即，即，即同向，
故存在实数，使，故必要性成立.
所以“存在实数，使”是“”的充分必要条件.
故选：C.
5．B
【详解】
A：，A正确；
B：设，则，
设，则，
因为与非零不共线，所以一般情况下，故B错误；
C：向量数乘的数量积满足结合律，C正确；
D：数量积满足交换律，D正确；
故选：B
6．C
【详解】
因为， 与的夹角为，
所以
，
故选：C
7．D
【分析】
根据已知条件和算出答案即可.
【详解】
因为，，与的夹角为，
所以，即
故选：D
8．C
【分析】
由平面向量的数量积的性质求解即可
【详解】
因为向量与的夹角为60°，，，
所以，即，
所以，解得或（舍），
故选：C
9．A
【分析】
根据数量积公式，转化为，再利用求根公式求的最大值.
【详解】
，
所以，是向量和的夹角，
所以，
当时，.
故选：A
10．B
【分析】
由已知条件结合数量积公式化简即可求解.
【详解】
因为，，即，，求得，所以向量与的夹角为.
故选：B
11．A
【分析】
利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】
因为，所以，即.
设与的夹角为，
因为，，
所以，解得：.
因为，所以.
故选：A.
12．D
【分析】
根据平面向量数量积的定义将化简，进而求出与的夹角，然后再求出和，最后通过夹角公式求得答案.
【详解】
设与的夹角为，由，所以，即，且，解得，.
所以，
，
所以，故与的夹角为.
故选：D.
13．A
【分析】
根据向量垂直关系和数量积运算公式，可得关于x的方程，解得x.
【详解】
由可设，则.
因为，
所以，
又，
所以.
故选：A.
14．A
【分析】
首先在中，取的中点，连接，根据得到，从而得到，即可得到答案.
【详解】
在中，取的中点，连接，如图所示：
因为，
所以，
所以，即，即.
又因为中是否有直角不确定，和是否相等也无法确定，
所以为等腰三角形.
故选：A
15．D
【分析】
根据，，，的夹角为120°，求得，再根据得，从而即可得出答案.
【详解】
解：因为，，，的夹角为120°，
所以，
又因为，所以，
即，
解得.
故选：D.
16．C
【分析】
由题意，先求出两向量与的坐标，再由模长公式建立方程，即可解得的值.
【详解】
因为，，
所以，，
又，可得，
即，整理得：，
解得：.
故选：C
17．A
【分析】
根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为恒成立，然后结合函数的恒成立，列出不等式组，即可求解.
【详解】
由题意，非零向量的夹角为，且，
则，
不等式对任意恒成立，
所以，即，
整理得恒成立，
因为，所以，即，可得，
即实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】
求平面向量的模的两种方法：
1、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算；
2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
18．B
【分析】
令，其对称轴为，结合题意要使得无最小值，则对称轴不在，从而可得或，进而可选出正确答案.
【详解】
由题意知，，令，则函数的图象的对称轴为，因为无最小值，所以或，所以或，所以和确定，则有最大值
故选：B．
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于利用二次函数的性质，分析对称轴的位置，从而得出和确定，则有最大值.
19．A
【分析】
由充分条件和必要条件的定义结合数量积运算分析判断
【详解】
若向量与向量的夹角为锐角，则，
当时，向量与向量的夹角可能为，
所以命题是命题的充分不必要条件，
故选：A
20．B
【分析】
利用平面向量数量积的定义求解.
【详解】
因为，，且，的夹角为135°，
所以，
故选：B
21．C
【分析】
由先求出，先表示出在上的投影，再结合投影向量概念即可求解.
【详解】
因为，所以，即，又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：，所以在上的投影向量为.
故选：C
22．C
【分析】
根据题意，结合和垂直时，以及向量的数量积公式，一一判断即可.
【详解】
对于选项A，若和垂直，则，故A错误；
对于选项B，由，得，即，无法得到和垂直，故B错误；
对于选项C，由，得，即，因此和垂直，故C正确；
对于选项D，由，得，即和的夹角为，不满足题意，故D错误.
故选：C.
23．C
【分析】
利用向量的数量积的运算法则，数量积的定义，向量共线定理即可判断.
【详解】
对于A，若，则，
得，∴不垂直，故A错误；
对于B，由A解析可知，故B错误；
对于C，若，则，
得，则，则与反向，因此存在实数λ，使得，故C正确；
对于D，若存在实数λ，使得，则，，若，则，故D错误.
故选：C
24．C
【分析】
利用已知条件把转化为与，然后利用向量模的运算法则，化简求解即可．
【详解】
∵
，
∴
.
故选：C．
25．A
【分析】
由题意可求出，根据可得到并化简，结合和即可求出.
【详解】
故选：A．
26．B
【分析】
根据向量夹角，向量基本定理，数量积的运算律，即可判断选项.
【详解】
①当时，，故①不正确；
②若，当时，或，故②不正确；
③，即，故③正确；
④若是等边三角形，则与的夹角为，故④不正确.
故选：B
27．B
【分析】
根据给定条件可得，再借助数量积即可求出.
【详解】
在平行四边形中，，因，
于是得，
所以.
故选：B
28．A
【分析】
设,则,,由可得,则是等边三角形,进而求解即可.
【详解】
设,以为邻边作平行四边形,如图所示,则,,
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴,
在菱形中,对角线平分，
∴与所在直线的夹角为.
故选：A.
29．A
【分析】
对进行平方，根据题意可得，当最小时，取得最小值.
【详解】
因为，所以
∴
则当与反向时最小，最小，此时=，
所以=，所以的最小值为，
故选：A.
30．D
【分析】
利用向量的数量积公式可判断A；利用向量的数量积运算律可判断BC；利用向量共线可判断D
【详解】
对于A，利用数量积公式知，即，故A正确；
对于B，满足向量的数乘结合律，故B正确；
对于C，满足向量的分配律，故C正确；
对于D，与共线，则与同向或反向，当与同向时，；当与反向时，，故D错误；
故选：D
31．A
【分析】
由向量数量积的定义计算即可求解.
【详解】
因为，，与的夹角为，
所以，
则，
故选：A.
32．C
【分析】
利用基底法，即可求解.
【详解】
解：,,
,
故选：C
33．B
【分析】
由得进一步化简即得解.
【详解】
因为，所以
所以.
所以，
因为.
故选：B
34．A
【分析】
由，，可得，由点M是的中点，可得，代入中计算可得答案
【详解】
因为，点P在上，且满足，
所以，
因为点M是的中点，所以，
所以，
故选：A
35．ABC
【分析】
根据三角形外心、垂心、重心和内心的定义，结合平面向量的运算即可求得答案.
【详解】
根据外心的定义，易知A正确；
对B，，同理可得：，所以P是垂心，故B正确；
对C，记AB、BC、CA的中点为D、E、F，由题意，则，同理可得：，则N是重心，故C正确；
对D，由题意，，则I是垂心，故D错误.
故选：ABC.
36．ABD
【分析】
根据条件知，的最小值为，结合二次函数与方程的特点可求出的夹角为或，从而求出的值．
【详解】
，是两个单位向量，且的最小值为，
的最小值为，
的最小值为，
即在上有唯一一个解，
所以，所以
与的夹角为或，所以正确，
或3，
或，所以正确，
故选：．
37．AD
【分析】
设与的夹角为，由，解得，由数量积夹角公式计算即可求得结果.
【详解】
设与的夹角为，则，得，解得．
又与的夹角都是，而，
，，
所以，解得或，
故选：AD．
38．CD
【详解】
设，则，
因为,
所以
因为，所以，
所以的取值范围为，
故选：CD
39．AC
【详解】
A：当点为的重心时，
如图所示：四边形为平行四边形，根据重心性质可得.
则，∴A正确，
B：∵在方向上的投影为，
∴在方向上的投影向量为，∴B错误，
C：∵是的重心，
∴，，
∴
，∴C正确，
D：当与重合时，∵
，与的最小值为矛盾
∴D错误，
故选：AC．
40．ABC
【分析】
直接利用向量的线性运算，向量的夹角的运算，向量的模，向量的夹角运算判断、、、的结论．
【详解】
解：对于：非零向量、满足，
令：，，
则，，
由于，
如图所示：
所以四边形为菱形，且为等边三角形；
所以，，
则与的夹角为，故正确．
对于：由于，
所以，
所以为等腰三角形，故正确．
对于：若单位向量的、的夹角为，则当取最小值时，
即，
当时，的最小值为，故正确；
对于，，，
由于为锐角，
所以且与不同向，
即
则且，故不正确．
故选：．
41．
【分析】
直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可.
【详解】
解：向量，满足，，，
则，
则.
故答案为：.
42．
【分析】
根据题意，结合模长公式以及数量积的运算律，即可求解.
【详解】
根据题意，得
.
故答案为：.
43．##
【分析】
由题得出，再结合条件并利用平面向量的数量积运算，即可求出结果.
【详解】
解：由题可知，，，与的夹角大小为60°，
则，即，
则，解得：.
故答案为：.
44．
【分析】
根据题意，分别用和表示和，结合数量积的运算公式，即可求解.
【详解】
根据题意，由，，
得，
，
因为菱形的边长为2，，且，
所以
，解得.
故答案为：.
45．②③④
【分析】
利用向量的线性运算及向量的模逐一判断即可求得结论．
【详解】
解：因为是正三角形，所以设的边长为2，
对于①，因为，，
所以，故①错误；
对于②，因为，
所以，故②正确；
对于③，，
，
所以，故③正确；
对于④，，
又，所以，故④正确．
故答案为：②③④．
46．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）根据向量数量积的运算法则进行计算，即可证明；
（2）根据已知条件，求得，再根据数量积求得模长即可.
【详解】
（1）因为，
故可得，即证.
（2）因为，，，
故可得，
解得：.
同理，
即.
47．
（1）（或）
（2）
（1）
如图，，，D为BC的中点．则，，，
所以，
，
在上的投影为，
在上的投影向量为；
（2）
在上的投影为，
在上的投影向量为．
48．
（1）2；
（2）﹒
（1）
；
（2）
∵与的夹角是锐角，
∴且与不共线．
∵，
∴，解得．
当与共线时，则存在实数，使，
∴，解得．
综上所述，实数t的取值范围是．
49．（1），，；（2）.
【详解】
因为，，，所以，即所以.
如图所示：
所以.
，
.
（2）由题意得，，所以；
则在方向上的投影：
在方向上的数量投影：．
50．.
【详解】
由题意，向量，的夹角为，且，，，
可得
，
当时，可得，此时，
又由，
所以，即与的夹角为.高一数学《考点 题型 技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册)
6.2.3　向量的数乘运算
【考点梳理】
考点一　向量数乘的定义
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
考点二　向量数乘的运算律
1 .(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
考点三　向量共线定理
向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【题型归纳】
题型一：向量的线性运算
1．（2023·山东邹城·高一期中）已知向量，，实数，（，），则下列关于向量的运算错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
2．（2023·全国·高一课前预习）若，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川省蒲江县蒲江中学高一阶段练习）已知，是实数，，是向量，则下列命题中正确的为（ ）
①；②；
③若，则；④若，则．
A．①④ B．①② C．①③ D．③④
题型二：平面向量的混合运算
4．（2023·全国·高一课时练习）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
5．（2023·福建福州·高一期中）在五边形中，，，分别为，的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·全国·高一课时练习）在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且若，，则＝（ ）
A． B．
C． D．
题型三：向量的线性运算的几何应用
7．（2023·四川·宁南中学高一阶段练习（文））如图， 中，、、分别是、、上的中线， 它们交于点，则下列各等式中不正确的是（ ）
A． B．；
C． D．
8．（2023·四川资阳·高一期末）如图，在中，为线段上一点，，为的中点．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·内蒙古·林西县第一中学高一期中（文））已知点是的边的中点，点在边上，且，则向量（ ）
A． B．
C． D．
题型四：三角形的心的向量表示
10．（2023·陕西渭滨·高一期末）已知为三角形所在平面内一点，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·山东师范大学附中高一期中）如图，是的重心，，，是边上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·全国·高一课时练习）已知点O、N、P在所在平面内，且，，，则点O、N、P依次是的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
【双基达标】
一、单选题
13．（2023·全国·高一课时练习）下列运算正确的个数是（ ）
①；②；
③．
A．0 B．1 C．2 D．3
14．（2023·全国·高一课时练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
15．（2023·全国·高一课时练习）若，则下列各式中不正确的是（ ）．
A． B． C． D．
16．（2023·上海·高一课时练习）已知平面上不共线的四点，若，则等于（ ）
A． B． C．3 D．2
17．（2023·全国·高一课时练习）设向量，，若与不共线，且点在线段上，，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·安徽·定远县育才学校高一阶段练习（文））下列叙述不正确的是（ ）
A．若共线，则存在唯一的实数λ，使．
B．(为非零向量)，则共线
C．若，则
D．若，则
19．（2023·福建浦城·高一阶段练习）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为（ ）．
A． B． C． D．
20．（2023·云南隆阳·高一期中）已知在平行四边形中，点，分别在边，上，连接交于点，且满足，，，则（ ）
A．-3 B．1 C． D．
21．（2023·河南郑州·高一期末）已知的边上有一点满足，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2023·江西宜春·高一期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )
A． B． C．1 D．3
【高分突破】
一：单选题
23．（2023·全国·高一专题练习）已知点在△所在平面内，且，则点依次是△的（ ）
A．重心 外心 B．重心 内心 C．外心 重心 D．外心 内心
24．（2023·湖南·常德市第二中学高一期末）在等边中，点E在中线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·全国·高一课时练习）下列算式中，正确的个数为（ ）
①；②；③.
A． B． C． D．
26．（2023·江苏省梅村高级中学高一阶段练习）在中，E为AB边的中点，D为AC边上的点，BD，CE交于点F．若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
27．（2023·全国·高一课时练习）设，都是非零向量.下列四个条件中，使成立的条件是（ ）
A． B．
C． D．且
28．（2020·全国·高一）点M，N，P在所在平面内，满足，，且，则M、N、P依次是的（ ）
A．重心，外心，内心 B．重心，外心，垂心
C．外心，重心，内心 D．外心，重心，垂心
二、多选题
29．（2023·全国·高一课时练习）（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C，D四点共线 B．C，B，D三点共线
C． D．
30．（2023·浙江·嘉兴市第五高级中学高一阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，，分别表示△，△的面积，则
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．若向量，则与一定不是共线向量
31．（2023·河北承德第一中学高一阶段练习）对于非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．的长度是的长度的2倍，且与方向相同
B．的长度是的长度的，且与方向相反
C．若，则等于零
D．若，则是与同向的单位向量
32．（2023·湖南·高一期末）已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．3
33．（2023·福建三明·高一期中）八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
34．（2023·全国·高一课时练习）已知D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，，．给出下列五个命题：①；②；③；④；⑤．其中正确的命题是________．（填序号）
35．（2023·全国·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，，若=λ+μ，其中λ，μ∈R，则λ+μ=_______.
36．（2023·上海大学附属南翔高级中学高一阶段练习）已知△ABC中，点D在边AB上，且，设，，那么等于________（结果用、表示）
37．（2023·全国·高一课时练习）设平面内四边形及任一点O，．．若且．则四边形的形状是_________．
四、解答题
38．（2023·全国·高一课时练习）在四边形ABCD中，已知，，，其中，是不共线的向量，试判断四边形ABCD的形状．
39．（2023·全国·高一课时练习）计算：
（1）；
（2）．
40．（2023·全国·高一课时练习）（1）已知，，求.
（2）已知向量，且，，求，.
41．（2023·全国·高一课时练习）如图，在中，，分别是，的中点，，，．
（1）用，表示，，，，；
（2）求证：，，三点共线．
42．（2023·全国·高一课时练习）如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，过点作直线与，分别交于点，.
（1）用向量，表示.
（2）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案详解】
1．D
【分析】
根据向量数乘运算判断AB选项的正确性，通过的特殊情况判断C选项的正确性，根据向量运算判断D选项的正确性.
【详解】
由题意，向量，，实数，（，），
由向量的运算律可得，，故选项A正确；
由向量的运算律可得，，故选项B正确；
若，因为，则，故选项C正确；
当时，，此时和不一定相等，故选项D错误．
故选：D．
2．A
【分析】
根据已知条件结合，利用向量的线性运算即可求解.
【详解】
，
故选：A.
3．B
【分析】
①②结合平面向量的数乘运算即可判断，③④举出反例即可说明.
【详解】
对于①：根据数乘向量的法则可得：，故①正确；
对于②：根据数乘向量的法则可得：，故②正确；
对于③：由可得，当m＝0时也成立，所以不能推出，故③错误；
对于④：由可得，当，命题也成立，所以不能推出m＝n. 故④错误；
故选：B
4．A
【分析】
利用向量运算化简已知条件，由此确定正确选项.
【详解】
依题意，
,
，
所以，所以三角形是等腰三角形.
故选：A
5．C
【分析】
由向量的加法运算得到，进而利用中点的条件，转化为向量的关系，化简整理即得.
【详解】
,
故选：C
6．A
【分析】
由已知得到利用，得到，利用及和平面向量的线性运算法则运算即得.
【详解】
由已知可得
，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，是基础题，只要熟练掌握平面向量的加减数乘运算法则,并注意将有关向量转化为基底向量表示，即可得解.
7．B
【分析】
利用向量运算对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】
依题意中，、、分别是、、上的中线，
所以是三角形的重心.
所以，A选项正确.
，B选项错误.
，C选项正确.
，D选项正确.
故选：B
8．C
【分析】
根据平面图形的性质以及平面向量的基本定理和线性运算，对应系数相等即可求出的值，进而求出结果.
【详解】
因为为线段上一点，，所以，且为的中点，所以，又因为，因此，所以，
故选：C.
9．B
【分析】
根据向量的加法运算可得和减法运算可得，结合条件,可得答案.
【详解】
由，则
则
故选：B
10．B
【分析】
题目考察三角形四心的问题，易得：为三角形的重心，位于中线的三等分点处，从而求出三角形面积的比例关系
【详解】
如图所示，由得：为三角形的重心，是中线的交点，
且，所以，，底边为，
所以，
故选：B
11．A
【分析】
由是的重心，可知，又,,，化简即可.
【详解】
由是的重心，可知，
又,,,
故
，
故选：A.
12．C
【分析】
由知O是的外心；利用共起点向量加法将变形为共线的两向量关系，得到N点在中线上的位置，从而判断为重心；由移项利用向量减法变形为，得出PB为CA边上的高，同理得PC为AB边上的高，故为垂心.
【详解】
，则点O到的三个顶点距离相等，
O是的外心.
，，
设线段AB的中点为M，则，由此可知N为AB边上中线的三等分点(靠近中点M)，所以N是的重心.
，.
即，同理由，可得.
所以P是的垂心.
故选：C.
【点睛】
关于四心的向量关系式：
O是的外心；
O是的重心；
O是的垂心；
O是的内心.(其中 为的三边)
13．C
【分析】
利用平面向量的加法，减法，数乘运算及其运算律判断.
【详解】
①，由数乘运算知正确；
②，由向量的运算律知正确；
③，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.
故选：C
14．C
【分析】
取的中点，由已知条件可知动点满足，，易得，则点三点共线，进而得到点的轨迹一定通过的重心.
【详解】
解：设为的中点，则，
则，即，
三点共线，
又因为为的中点，所以是边的中线，
所以点的轨迹一定通过的重心.
故选：C.
15．D
【分析】
根据向量的数乘的定义判断．
【详解】
如图，由知在延长线上，且，
因此由向量数乘定义知ABC三个选项均正确，D错误．
故选：D．
16．C
【分析】
由已知可得，即，从而可得答案.
【详解】
解：由，得，即，
所以，即，
故选：C.
17．C
【分析】
根据向量线性关系的几何意义得到的线性关系，即可知正确选项.
【详解】
由，
∴.
故选：C
18．A
【分析】
选项A：要注意时不成立；
选项B：由得到方向相同，从而得到共线；
选项C：由条件得到，从而；
选项D：通过移项可知选项D显然正确.
【详解】
选项A：当时，满足共线，但不满足存在唯一的实数λ，使成立，此时不存在实数λ，使成立，所以选项A错误；
选项B：若，则方向相同，所以共线，所以选项B正确；
选项C：因为，所以，所以选项C正确；
选项D：若，则，选项D正确.
故选：A．
19．A
【分析】
由向量的线性运算可得，再由平面向量共线定理的推论即可得解.
【详解】
因为，所以，
所以，
又P是BN上一点，所以，解得.
故选：A.
20．D
【分析】
因为，，三点共线，故可考虑将用表示，再结合三点共线满足的性质计算即可
【详解】
因为，
所以.
因为，，故,
所以.
因为，，三点共线，所以，，所以.
故选：D
21．A
【分析】
由已知得出向量与向量的关系，再利用平面向量基本定理即可求解．
【详解】
因为的边上有一点满足，
所以，则，
所以，
故选：A
22．A
【分析】
利用向量的线性运算将条件化为，再根据、、三点共线，得出，解得.
【详解】
由题意可知，，所以，
又，即.
因为、、三点共线，所以，解得.
故选：A．
23．C
【分析】
由外心到三角形顶点距离相等、重心的性质：且，结合题设即可判断是△的哪种心.
【详解】
∵，
∴到△的三个顶点的距离相等，故是△的外心，
如下图，若是△三条中线的交点，是上的中线，
∴，又，
∴，故题设中的是△的重心.
故选：C
24．A
【分析】
利用向量的加、减以及数乘运算即可求解.
【详解】
因为，，
所以.
故选：A
25．C
【分析】
由平面向量的线性运算和数乘运算可判断①②③的正误.
【详解】
对于①，，①正确；
对于②，，②正确；
对于③，，③错误.
故选：C.
26．C
【分析】
设，可得，由，，三点在同一条直线上，可求得的值，即可得解．
【详解】
设，
因为，
所以，
因为，，三点在同一条直线上，
所以，所以，
所以．
故选：C
27．C
【分析】
根据、的含义，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
、分别表示与、同方向的单位向量，
对于A：当时，，故A错误；
对于B：当时，若反向平行，则单位向量方向也相反，故B错误；
对于C：当时，，故C正确；
对于D：当且时，若满足题意，此时，故D错误.
故选：C
28．B
【分析】
由三角形五心的性质即可判断出答案．
【详解】
解：，，
设的中点，则，
，，三点共线，即为的中线上的点，且．
为的重心．
，
，
为的外心；
，
，
即，，
同理可得：，，
为的垂心；
故选：．
【点睛】
本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．
29．BD
【分析】
由可得，从而可对ABD进行判断，再对变形化简可对C进行判断
【详解】
因为，所以，
所以，
因为有公共端点，所以C，B，D三点共线，且，所以BD正确，A错误，
由，得，所以，所以C错误，
故选：BD
30．AD
【分析】
A向量平行传递性的前提是都为非零向量；B若分别是的中点，结合已知得，再过作上的高，由线段比例确定高的比例关系即可；C由向量反向共线的性质即可判断；D根据共线向量的定义即可判断.
【详解】
A：如果都是非零向量，而，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，错误；
B：若分别是的中点，由题设有，即，，所以三点共线且，过作上的高，易知，则，所以，正确；
C：两个非零向量，若，则与共线且反向，正确；
D：若向量，则与可能是共线向量，如相反向量，错误.
故选：AD
31．ABD
【分析】
对于选项ABD可以直接利用向量和数乘向量的定义判断，对于选项C，等于零向量，不是零，故C错误.
【详解】
解：对于A： 的长度是的长度的2倍，且与方向相同，故A正确；
对于B：的长度是的长度的，且与方向相反，故B正确；
对于C：若，则等于零向量，不是零，故C错误；
对于D：若，则是与同向的单位向量，故D正确.
故选：ABD
32．BD
【分析】
设，利用重心的性质，把用、表示，再由，，三点共线得关于，的方程，再由三角形面积比得关于，的另一方程，联立即可求得实数的值．
【详解】
解：如图，，，即，设，则，
三点共线，，，
所以，与的面积之比为，， 即，化简得，解得或3.
故选：BD
33．ABC
【分析】
结合正八边形的特点，分为8个全等的三角形，将圆周角分为8份，每个圆心角为 .
结合向量的计算法则，即可得出结果.
【详解】
A.正八边形ABCDEFGH中， ，那么，故A对；
B. ，故B对；
C. 与夹角为 ，故，故C对；
D. ，故D错；
故选：ABC
34．②③④⑤
【分析】
根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】
解：因为，，所以，
，，
，
，即，即正确的有：②③④⑤
故答案为：②③④⑤
35．
【分析】
利用向量的加减法及数乘化简可得=，又计算即可.
【详解】
由平面向量的加法运算，有.
因为=λ+μ=λ()+μ()=λ+μ
=.
所以，
即解得
故答案为：或1.2
36．
【分析】
根据以及进行线性运算，由此可求得的表示.
【详解】
因为，
所以，
故答案为：.
37．菱形
【分析】
由易得，即为平行四边形，再由即可判断的形状.
【详解】
由得，即，
∴，于是平行且等于，
∴四边形为平行四边形，又，从而，
∴，即四边形为菱形．
故答案为：菱形
38．四边形是梯形
【分析】
根据共面向量基本定理可知，，即可判断四边形形状.
【详解】
如图所示，
，
所以，即，且.
所以四边形是梯形.
39．
（1）
（2）
【分析】
(1)利用向量运算律可化解合并(2)利用向量运算律可化解合并
（1）
原式=
（2）
原式=
40．（1）--5；（2）-.
【分析】
(1)利用向量的数乘及加减法计算即可；
（2）解方程即可得出结果.
【详解】
解(1)原式 =+=-+.
∵，，
∴原式=-(3+2)+(2-)= +=--5.
(2)将3-=两边同乘2，得6-2=2.
与5+2=相加，得11=+2，∴=+.
∴=3-=3-=-.
.
41．（1）答案见解析；（2） 证明见解析．
【分析】
（1）根据平面向量的线性运算即可求解；
（2）利用平面向量共线定理可得求证.
【详解】
（1）如图，
延长到点，使，连接，，得到平行四边形，
则，
因为是的中点，
所以，，
因为是的中点，所以，
，
；
（2）由（1）知，，，
所以，所以，共线，
又，有公共点，所以，，三点共线．
42．（1）；（2）是定值，定值为.
【分析】
（1）结合图形利用向量的加法运算求解；
（2）设，，则，然后根据题意将用表示出来，从而可用表示，再由三点共线可得结论
【详解】
解：（1）
.
（2）设，，则，
因为
所以
，
所以，即，
故为定值.

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