资源简介

【课题】参数估计（一）
【教材版本】
娄庆松.中等职业学校财经类教育部国家规划教材《统计基础知识》（第四版）.北京：高等教育出版社，2019
娄庆松.中等职业教育国家规划教材配套教学用书《统计基础知识教学参考书》（第四版）.北京：高等教育出版社，2019
娄庆松.中等职业学校财经类教育部国家规划教材《统计基础知识习题集》（第四版）.北京：高等教育出版社，2019
【教学目标】
知识目标：1.了解参数估计的理论基础
2.理解极限抽样误差的概念
3.掌握极限抽样误差的计算
能力目标：懂得在一定的概率条件下计算极限抽样误差
【教学重点、难点】
教学重点：极限抽样误差的概念和计算
教学难点：极限抽样误差的概念
【教学途径】
利用例题和练习，让学生能够在不重复抽样条件下熟练地计算极限抽样误差。
【教学媒体及教学方法】
制作PPT
演示法、讲授法、分组讨论法。
【课时安排】
2课时（90分钟）。
【教学过程】
第一环节 导入（5分钟）
前面我们共同学习了抽样平均误差的计算，（列出具体计算公式）。实际上用样本统计量估计总体参数，总是要发生误差，两者完全相等的情况几乎是不可能的，但我们可以找到样本统计量和总体参数之间抽样误差的可能范围，它需要通过参数估计进行。抽样技术包括对样本的调查和对总体参数的估计，抽样调查在前面我们已经学过，下面介绍总体参数的估计，进行参数估计首先要解决极限抽样误差，通过极限抽样误差我们才可以找到样本统计量和总体参数之间抽样误差的可能范围。
第二环节 新授课（70分钟）
第三节参数估计
一、参数估计的理论基础（15分钟）
[讲解]
概率分布的中心内极限定理证明：
大量的客观事物总体现象是正态总体或近似于正态总体。
在大样本的条件下，抽样平均数的分布是或近似地是正态分布，抽样成数分
布是或近似地是正态分布。
（3）抽样平均数的平均数等于总体平均数，抽样成数的平均数等于总体成数。
根据以上性质，我们可以按正态分布来估计抽样平均数（成数）落在一定的范围内的概
率，进行抽样估计（见图4-10）。
由于正态分布的特征有二：第一，以总体平均数为中心，两边完全对称分布，即抽样平均数大于或小于总体平均数的概率完全相等，就是说抽样平均数的正误差和负误差的可能性完全一致。第二，抽样平均数愈接近总体平均数，变量值出现的可能性就愈大；反之，抽样平均数愈远离总体平均数，变量值出现的可能性愈小。这个可能程度数学上称为概率Ｆ(t),也就是可靠性。与概率对应的数值称为概率度，也即抽样误差扩大的倍数，用符号t表示。概率F(t)与概率度t的对应关系如图4-10所示。
图4-10显示样本平均数与总体平均数的平均误差不超过1的概率为0.6827，不超过2的概率为0.9545，不超过3的概率为0.9973。即
当t=1时，F(t)=0.6287
当t=2时，F(t)=0.9545
当t=3时，F(t)=0.9973
提问]概率度t和概率F(t)的数量对应关系如何？
[学生回答]概率F(t)越大，则概率度t的值越大；反之，概率F(t)越小，则概率度t的值也越小。
[教师归纳]概率度t越大，估计的可靠性越高，样本统计量与总体参数之间正负离差的变动范围也就越大。对于t，每取一个值，概率F(t)也有一个唯一确定的值与之对应，因而我们可以直接利用《正态分布概率表》(见书后附录)查找。概率保证程度也称为可靠程度、置信度。
二、点估计（20分钟）
[讲解]
点估计也称定值估计，就是直接用抽样平均数代替总体平均数，用抽样成数代替总体成数。如果用表示总体平均数的估计值，Ｐ表示总体成数的估计值，则有
p
点估计不认为，而是认为在点估计值的附近。
总体平均数的点估计值
[演示]P97例1对一批某型号的电子元件进行耐用性能检查，按随机重复抽样方法取100件作耐用测试，所得结果的分组资料见表4-8，要求对该批元件的耐用时数作出估计。
[分组讨论]
[教师归纳]
样本平均数为： （小时）
据此该批电子元件的平均耐用时数约为1055.5小时。
总体成数的点估计值
[讲解]
设有一总体，其成数P未知，若从该总体抽取一个容量为n的随机样本，则样本成数p
是总体成数P的估计量。
[演示]P98例2　仍按例1的资料，假定该厂的质量标准规定，元件耐用时数达到1000小时及以上者为合格品，要求估计该批电子元件的合格率。
[分组讨论]
[教师归纳]
抽样合格率为：
所以可以认为该批元件的合格率约为91%。
[归纳]总体参数点估计方法的优点是简便、易行，所以常为实际工作者所采用；但它也有不足之处，即这种估计没有表明抽样估计的误差，更没有指出误差在一定范围内的概率保证程度有多大。要解决这个问题，就必须采用总体参数的区间估计方法。
三、区间估计
[讲解] （10分钟）
区间估计，是指在一定概率保证下，用样本统计量和抽样平均误差去推断总体参数的可
能范围的估计方法。
区间估计必须具备三个基本要素：一是样本统计量，可以是样本的平均数，也可以是样本成数p；二是误差范围，即抽样极限误差，通常都用样本指标(或p)抽样极限误差来表示总体指标的估计的区间，这个区间也叫做置信区间；三是概率即F(t)(t查表)表示总体指标落入估计区间有百分之几的概率保证。可以用数学公式间接地表示区间估计：
样本指标－极限误差≤总体指标≤样本指标＋极限误差
抽样极限误差可以用概率度t和抽样平均误差相乘得到，即：
概率度t可以通过查正态分布概率表得到。当F(t)＝0.9500时，查正态分布概率表得t=1.96；当F(t)＝0.9545时，t=2；当F(t)＝0.9973时，t=3。
1.总体平均数的区间估计（10分钟）
用区间估计的方法来估计总体平均数，必须具备三要素：点估计量即样本平均数、平均数的抽样极限误差和概率度F(t)。公式如下：
式中：
[演示]例3：从某校全部学生中，随机抽取100名学生，平均体重=58kg，抽样平均误差＝　１，用95.45%的概率来对全部学生平均体重作出区间估计。
[分组讨论]
[教师归纳]
已知=58kg，抽样平均误差=1，概率F(t)=95.45%，则查正态分布概率表得t=2。抽样极限误差
因此有：
56≤≤60
即有95.45%的把握之全部学生的平均体重位于56kg至60kg之间。
2.总体成数的区间估计（10分钟）
用区间估计的方法来估计总数成数P，同样必须具备三要素：点估计量即样本成数p、成数的抽样极限误差和概率F(t)。公式如下：
≤P≤
式中：
[演示]例4:从某校全部学生中，随即抽取100名学生，戴眼镜者占40%，抽样平均误差，用99.73%的概率来对总体成数P进行区间估计。
[分组讨论]
[教师归纳]
已知：p=40%,＝1%,F(t)=99.73%，查《正态分布概率图》得t=3。
抽样极限误差
所以，37%≤P≤43%
即有99.73%的把握使总体成数P处于37%至43%之间。
第三环节 课堂练习（20分钟）
[演示]P99例　某灯泡厂从一批10000只灯泡中随机抽取100只，检验其耐用时数。按规定灯泡耐用时数在950小时以上者为合格品，有关抽样结果及其整理数据如表4-9所示。
试在概率保证程度为92%下，这批灯泡的平均耐用时数和合格品率进行估计。
[学生分组讨论计算、教师评析]
第四环节 小结（8分钟）
1.总体平均数的区间估计
式中：
2.总体成数的区间估计
≤P≤ 式中：
概率度t可以通过查正态分布概率表得到。当F(t)＝0.9500时，查正态分布概率表得t=1.96；当F(t)＝0.9545时，t=2；当F(t)＝0.9973时，t=3。
抽样平均误差按前次课的计算方法计算
第五环节 布置作业（2分钟）：使用配套《统计原理习题集》：
（1）P57填空题22-28题
（2）P58 单选题16-20题
（3）P64 多选题第21-24题
（4）P68计算题第8、9、10、17、27题
【板书设计】
一、参数估计的理论基础 二、点估计 总体平均数的点估计 总体成数的点估计p 三、区间估计 1.总体平均数的区间估计 式中： 2.总体成数的区间估计 ≤P≤ 式中：

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