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【高中数学竞赛真题 强基计划真题考前适应性训练】
专题07 解析几何 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）
一、单选题
1．（2020·北京·高三强基计划）从圆上的点向椭圆引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（ ）
A． B． C． D．前三个答案都不对
【答案】A
【分析】算出椭圆内与切点弦不相交的点的边界的方程，从而可求区域的面积.
【详解】设圆上一点为，
则对应切点弦所在直线l的方程为即，
故，故椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积即为椭圆围成的面积，其面积为.
故选：A
2．（2022·北京·高三校考强基计划）内接于椭圆的菱形周长的最大值和最小值之和是（ ）
A． B． C． D．上述三个选项都不对
【答案】D
【分析】求出椭圆的极坐标方程，设内接于椭圆的菱形为，，分别求出，再根据，结合三角恒等变换化简，再根据三角函数的性质求出的最大值和最小值，即可得解.
【详解】解：由，
得，
化为极坐标方程为，
设内接于椭圆的菱形为，则，
设，
则，，
所以
，
当时，取得最大值，即的最大值为，
所以菱形的周长的最大值为，
当时，取得最小值，即的最小值为，
所以菱形的周长的最小值为，
所以内接于椭圆的菱形周长的最大值和最小值之和是.
故选：D.
3．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）已知直线，动点在椭圆上，作交于点，作交于点.若为定值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据四边形OMPN是平行四边形，得到为定值，然后将取特殊位置，求解.
【详解】如图所示：
，
易知由四边形OMPN是平行四边形，
所以为定值，
取点时，由 ，解得 ，
所以，由对称性得：，
所以，
取点时，由 ，解得 ，
所以，由对称性得：，
所以，
所以 ，
即，
故选：C
4．（2020·北京·高三强基计划）设直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最大值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．前三个答案都不对
【答案】B
【分析】联立直线方程和椭圆方程后消元，利用公式可求面积的表达式，再利用基本不等式可求面积的最大值.
【详解】由可得，
，
故.
而，
原点到直线的距离为，
故
，
当且仅当等号成立，故面积的最大值为10，
故选：B.
5．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，，是离心率都为的椭圆，点A，B是分别是的右顶点和上顶点，过A，B两点分别作的切线，．若直线，的斜率分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】不妨设，，
∴，代入的方程得：
，
，
化简得．
代入得．
．
化简得．∴，∴，
故选C．
6．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）过椭圆的中心作两条互相垂直的弦和，顺次连接得一四边形，则该四边形的面积可能为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【分析】设,，设x轴正方向旋转到与向量同向所转过的角为α，利用三角函数的定义表示的坐标，代入椭圆方程，求得关于α的函数表达式，进而得到关于α的函数表达式，利用三角函数恒定变形化简，然后利用三角函数的性质求得其取值范围，进而得到四边形面积的取值范围，从而做出选择.
【详解】设,，设x轴正方向旋转到与向量同向所转过的角为α，
并根据题意不妨设到为逆时针旋转,
则,
，,
,
,
，
∴,,
当时取到最小值，当时取得最大值.
只有选项B中的12在此范围内，
故选：B.
7．（2019·贵州·高三校联考竞赛）设椭圆C：的左、右焦点分别为，其焦距为2c.点在椭圆的内部，点M是椭圆C上的动点，且恒成立，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由在椭圆的内部，得，
即，从而，
得到，因此.
因为0又由恒成立，即恒成立，
等价于，亦即，
等价于，即，得到.
综上，得.
故选：D.
二、多选题
8．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，M，N分别是两直角边上的动点，P是线段MN的中点，则以下结论正确的是（ ）
A．当△AMN的面积为定值时，点P的轨迹为双曲线一支
B．当|MN|为定值时，点P的轨迹为一圆弧
C．当为定值时， 点P的轨迹为不含端点线段
D．当△AMN的周长为定值时，点P的轨迹为抛物线
【答案】ABC
【详解】建立如图的直角坐标设，则，，，，
对于A，当Rt△AMN面积为定值时，，
∴轨迹为双曲线一支，所以A正确．
对于B，若，则，是一圆弧，所以B正确．
对于C，当时，
，即为空端点线段，所以C正确．
对于D，当Rt△AMN的周长为定值时，
则，即，
∴，∴，
所以，轨迹为双曲线一支，所以D错误．
故选：ABC.
9．（2020·北京·高三校考强基计划）已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点设的面积为S，则（ ）
A．为定值 B．为定值
C．为定值 D．为定值
【答案】AC
【分析】利用三角换元得到的坐标为，利用斜率公式可求与的关系，化简后可得的关系，故可判断AB的正误，根据面积公式可求（用表示），故可判断CD的正误.
【详解】不妨设，则，
，，
因此，其中．
对于选项A，为定值．
对于选项B，由于，
因此若为定值，则为定值，从而和是确定的值，矛盾，对于选项C，D，有，
因此是定值，不是定值．
故选：AC.
10．（2020·北京·高三校考强基计划）已知点，P为椭圆上的动点，则的（ ）
A．最大值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最小值为
【答案】BD
【分析】利用椭圆的定义可求的最值.
【详解】
注意到Q为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为，
则，
而的取值范围是，即，因此所求最大值为，最小值为．
故选：BD.
三、填空题
11．（2022·江苏南京·高三强基计划）设F，l分别为双曲线的右焦点与右准线，椭圆以F和l为其对应的焦点及准线，过F作一条平行于的直线，交椭圆于A B两点，若的中心位于以AB为直径的圆外，则椭圆离心率e的范围为___________.
【答案】
【详解】由双曲线方程可知其焦准距为3，
则椭圆的焦准距（同侧焦点和准线），
如图，设椭圆中心为O，建立平面直角坐标系，
设F：，，，
直线AB方程：，
联立直线AB和椭圆可得：，
由韦达可得：，
由椭圆中心O位于以AB为直径的圆外，
则有，
结合韦达定理可得：，
所以，
即，
解得：，
故答案为：.
12．（2018·山东·高三竞赛）若直线交椭圆（，且、为整数）于点、．设为椭圆的上顶点，而的重心为椭圆的右焦点，则椭圆的方程为______．
【答案】
【详解】设，，
由题意的重心为椭圆的右焦点，整理得，．
由，在直线上，得到．
由，在椭圆上，得到，．
两式相减并整理得，
整理得． ①
因为，在直线上，
所以有，．
将，代入得，
整理得． ②
联立①②，且注意到、为整数，解得，，．
故所求的椭圆方程为．
13．（2022·新疆·高二竞赛）设z为复数，若方程表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率___________．
【答案】
【详解】令，则．
由复数的几何意义知．
所以由前两式知，即，
故．因此z的轨迹是实轴长为、焦距为6的双曲线，
所以双曲线的离心率为．
故答案为：.
14．（2021·全国·高三竞赛）已知集合满足，若P为集合B的边界线C上任意一点，为曲线C的焦点，I为的内心，直线和的斜率分别为，且则t的最小值为________．
【答案】
【详解】因为为曲线C的焦点，I为的内心，
若曲线C的方程为，则I的轨迹方程为，
故有
可知，所以．
设为曲线C上一点，则有恒成立，即.
故答案为：.
15．（2021·全国·高三竞赛）已知的四个顶点均在双曲线上，点在边上，且，则的面积等于_______.
【答案】
【分析】由对称性，知O为平行四边形的中心，设，得，将点A、B的坐标代入双曲线方程，求得A、B的坐标，利用等面积法知，代入即可求解.
【详解】由平行四边形的对称性与双曲线的对称性，知O为平行四边形的中心，
由A、B、C、D四点在两支双曲线上各有两点，不妨设A、D在左支上，B、C在右支上，
如图：考虑A、B关于双曲线中心的对称点，
因为单支双曲线上不存在四点构成平行四边形，知，所以的对称中心为O.
设，由，得.
将点A、B的坐标代入双曲线方程得
，解得：或
所以或.
故.
故答案为：
四、解答题
16．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设为椭圆：的左焦点，为椭圆上的一点
(1)作正方形（，，，按逆时针排列）当沿着椭圆运动一周，求动点的轨迹方程.
(2)设为椭圆外一点，求的取值范围.
【答案】(1).
(2)
【详解】（1）如图所示,将椭圆绕其左焦点逆时针旋转,得到椭圆,
注意到在正方形中,点可以看成也是由点绕点逆时针旋转而形成的,
由于点在椭圆上运动,则点在椭圆上运动.
求的轨迹方程,也就是求椭圆的方程.
注意到椭圆的中心坐标为,
从而的方程为.
（2）如图所示,，
当且仅当三点共线,即运动到位置时,等号成立.
记椭圆的右焦点为,
注意到，
显然有，
从而,
当且仅当三点共线,即运动到位置时,等号成立.
于是可得.
即的取值范围
17．（2018·全国·高三竞赛）一束直线的每条均过xOy平面内的抛物线的焦点，与抛物线C交于点、.若的斜率为1，的斜率为，求的解析式.
【答案】
【详解】易知抛物线焦点.
设，并与联立
知点、的横坐标、满足关于x的方程
且.
则 .
从而，当时，有.
记满足及递推关系
则为斐波那契数列
其通项公式为.
下面证明：对一切正整数i成立.
由，知i=1时结论成立.
设i=t时结论成立.则
即i=t+1时结论也成立.
由数学归纳法知对一切正整数i成立.
特别地，.
从而，的解析式为.
【注】本题亦可用不动点方法求数列的通项.
18．（2018·福建·高三竞赛）已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点．记直线、的斜率分别为、，若，求直线的方程．
【答案】（1）（2）
【详解】设，．由的垂心为，得．
所以，，解得．
由点在椭圆上，得．结合，解得，．
所以椭圆的方程为．
（2）由（1）知，．
若的斜率不存在，则由对称性，知，不符合要求．
若的存在，设为，则的方程为．
由，得． ①
设，，则，．
所以
．
又，因此，直线的方程为．
19．（2018·江西·高三竞赛）若椭圆上不同的三点，，到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段的中垂线交轴于点，求直线的方程．
【答案】
【详解】用、、分别表示椭圆的半长轴、半短轴及半焦距之长度，
则，，，右焦点为，且准线方程为，
由，，得，，
根据等差性质，，而，即，
所以 ． ①
设线段的中点为，则其坐标为，
又设点的坐标为，则的中垂线的方程为．
因在此直线上，故有，
即． ②
又根据、在椭圆上，得，，
所以，
据①，即有． ③
再据②③得，即点的坐标为，
于是直线的方程为．
20．（2018·湖北·高三竞赛）已知为坐标原点，，点为直线上的动点，的平分线与直线交于点，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作斜率为的直线，若直线与曲线恰好有一个公共点，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【详解】(1).设，易知.
因为平分，所以，所以
①
. ②
由①②可得，代入①得到，化简即得曲线的方程为.
(2).记，则.
直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得
当直线与抛物线相切于点时，，解得.
当时，，切点在曲线上；
当时，，切点不在曲线上.
若直线与曲线恰好有一个公共点，则有或，故所求的取值范围为.
21．（2021·全国·高三竞赛）过抛物线(p为不等于2的质数)的焦点F，作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M N两点，线段的垂直平分线交于P点，交x轴于Q点.
（1）求中点R的轨迹L的方程；
（2）证明：L上有无穷多个整点(横、纵坐标均为整数的点)，但L上任意整点到原点的距离均不是整数.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）抛物线的焦点为，设l的直线方程为.
由得得.
设M N的横坐标分别为，
由，得，
而，故的斜率为，的方程为.
代入得.
设动点R的坐标为，则:
，
因此，
故中点R的轨迹L的方程为.
（2）显然对任意非零整数t，点都是L上的整点，故L上有无穷多个整点.
反设L上有一个整点到原点的距离为整数，
不妨设，则:
，因为p是奇质数，于是，
从②可推出，再由①可推出.
令，则有，
由③，④得，于是，
即，
于是，得，
故，有，但L上的点满足，矛盾!
因此，L上任意点到原点的距离不为整数.
22．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆的右焦点为，上顶点为M，圆，问：椭圆E上是否存在两点P、Q使得圆F内切于三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，的方程为．
【详解】假设这样的P、Q存在，且设，由题意知，所以直线．
因为该直线与圆F相切，则，所以，
两边平方化简得，
整理得．
因为，消去得．
因为，两边同时除以，得，
整理得，
即点P在直线上．
同理，点Q也在直线上，
因此直线的方程为．
又因为直线圆F相切，所以，解得．
因此直线存在且直线的方程为．
23．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，为抛物线外一点，过P引抛物线的两条切线，切点分别为A、B．在线段上取两点D、E，使得．若过D、E两点的直线分别切抛物线于M、N两点（异于A）．求四边形面积的最大值．
【答案】
【详解】设，则直线的方程为，
直线的方程为，故有，
同理可得，
又因为，所以，即，
故，
因此．
直线的方程为，直线的方程为，
即，
故两平行线间的距离，
，
所以，
其中，
可令，则：
．
当时取到最大值．
24．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆，其右焦点为F，过F作直线l交椭圆于A、B两点（l与x轴不重合），设线段中点为D，连结（O为坐标原点），直线交椭圆于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，且，求椭圆的离心率．
【答案】
【分析】先将椭圆与直线联立，结合韦达定理表示出坐标，再结合直线交椭圆于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，且，求出再代入椭圆求出，进而求出离心率.
【详解】不妨设椭圆的半焦距，则，椭圆右焦点为．设，
将，代入消去x化简整理得
．
显然，方程判别式，设．
由韦达定理知，从而
，
，
于是．
所以直线的方程为．
设圆的方程为，
直线直线的方程为，
由于经过的交点，且均为二次曲线，则存在常数，使得
，
比较方程两边系数知，即，
由对称性不妨设．代入点D的坐标得，
又，得点，
而M在上，故，解得，
于是的离心率为．
25．（2018·甘肃·高三竞赛）已知椭圆过点，且右焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值．
【答案】（1）（2）见解析（3）
【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以，椭圆C的方程为．
(2)设A、B、P的坐标分别为．
由知，．
又点A在椭圆C上，则
，
整理得．
由，同理得到
．
由于A、B不重合，即，故m、n是二次方程
的两根，所以m+n=-4，为定值．
（3）依题意，直线l的方程为，即，与椭圆C的方程联立，消去y并整理，得
，
，
所以，而
．
由已知，点P不在椭圆C的内部，得，即，所以的最小值为，故三角形QAB面积的最小值为．
26．（2018·山东·高三竞赛）已知圆与曲线，，，为曲线上的两点，使得圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，求的值．
【答案】
【详解】设为圆上任意一点，则由题意知．即，
于是，
整理得．
因此点的轨迹是一个圆．因为为圆上任意一点，
所以此圆与圆必为同一个圆，
于是有，，，
整理得，，
所以．
因为，，所以，，从而．
又因为，所以，，．
因此将，，代入，得．
27．（2022·福建·高二统考竞赛）已知椭圆C：的离心率为， 分别为椭圆C的左 右顶点， 分别为椭圆C的左 右焦点，B为椭圆C的上顶点，且的外接圆半径为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设与x不垂直的直线l交椭圆C于P Q两点（P Q在x轴的两侧），记直线 的斜率分别为 .已知，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由椭圆C的离心率为，知，于是，
所以，，，
又，且的外接圆半径为，
所以，解得，
因此，，，
所以，椭圆C的方程为.
（2）如图，易知直线l斜率不为0，设l方程为，
由，得，
设，，
则，，
由（1）知，，，
所以，
同理，，
因为，
所以，，
由l与x不垂直可得，所以，即，
所以，，
于是，
，
整理得，
解得或，
因为P Q在x轴的两侧，所以，，
又时，直线l与椭圆C有两个不同的交点，
因此，直线l恒过点，
当时，，，
设，由l与x不垂直得，且，
因为函数在上为减函数，
所以的取值范围为.
28．（2022·新疆·高二竞赛）如图，已知内接于抛物线，且边所在直线分别与抛物线相切，F为抛物线M的焦点．求证：
(1)边所在直线与抛物线M相切；
(2)A，C，B，F四点共圆．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）设，
的直线方程为，
即代入整理得，
∴，即 ①
同理直线与抛物线相切可得 ②
∴为方程的两根，则，
同理直线方程与抛物线联立可得，
∴，
∴直线与抛物线M相切，得证．
（2）由（1）得当或时，方程①无解．
已知，则，
则，
由（1）同理可得，
∴，其中，
，
所以，
当时，可得，
得．
．
所以，A，F，B，C四点共圆．得证．
（2021·全国·高三竞赛）已知为椭圆上的点，对椭圆上的任意两点P、Q，用如下办法定义它们的“和”：过点S作一条平行于（若点P与Q重合，则直线表示椭圆在P处的切线）的直线l与椭圆交于不同于S的另一点，记作（若l与椭圆相切，则规定S为）.并规定.
29．若点，求、以及的坐标.
30．在椭圆上是否存在不同于S的点P，满足？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】29． 30．存在，或.
【分析】（1）利用新定义数形结合直接求解、以及的坐标
（2）利用参数方程假设存在，找出点P、Q对应的参数，求出对应的参数，以及，对应的参数，列方程直接求解.
(1)
根据新定义“和”的运算，画图如下：
过S做PQ的平行线，因为，所以平行直线过原点，可知P+Q的坐标与S关于原点对称，所以过S做P处切线的平行线，可知2P的坐标，以此类推
(2)
存在.设
则
.
而对应的参数为，于是，若点P、Q对应的参数为，则对应的参数满足.
设，且对应的参数为.则对应的参数为对应的参数为.
故.
于是，的坐标为.
从而，所求坐标为或.【高中数学竞赛真题 强基计划真题考前适应性训练】
专题07 解析几何 真题专项训练 （全国竞赛+强基计划专用）
一、单选题
1．（2020·北京·高三强基计划）从圆上的点向椭圆引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（ ）
A． B． C． D．前三个答案都不对
2．（2022·北京·高三校考强基计划）内接于椭圆的菱形周长的最大值和最小值之和是（ ）
A． B． C． D．上述三个选项都不对
3．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）已知直线，动点在椭圆上，作交于点，作交于点.若为定值，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·北京·高三强基计划）设直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最大值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．前三个答案都不对
5．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，，是离心率都为的椭圆，点A，B是分别是的右顶点和上顶点，过A，B两点分别作的切线，．若直线，的斜率分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）过椭圆的中心作两条互相垂直的弦和，顺次连接得一四边形，则该四边形的面积可能为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
7．（2019·贵州·高三校联考竞赛）设椭圆C：的左、右焦点分别为，其焦距为2c.点在椭圆的内部，点M是椭圆C上的动点，且恒成立，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，M，N分别是两直角边上的动点，P是线段MN的中点，则以下结论正确的是（ ）
A．当△AMN的面积为定值时，点P的轨迹为双曲线一支
B．当|MN|为定值时，点P的轨迹为一圆弧
C．当为定值时， 点P的轨迹为不含端点线段
D．当△AMN的周长为定值时，点P的轨迹为抛物线
9．（2020·北京·高三校考强基计划）已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点设的面积为S，则（ ）
A．为定值 B．为定值
C．为定值 D．为定值
10．（2020·北京·高三校考强基计划）已知点，P为椭圆上的动点，则的（ ）
A．最大值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最小值为
三、填空题
11．（2022·江苏南京·高三强基计划）设F，l分别为双曲线的右焦点与右准线，椭圆以F和l为其对应的焦点及准线，过F作一条平行于的直线，交椭圆于A B两点，若的中心位于以AB为直径的圆外，则椭圆离心率e的范围为___________.
12．（2018·山东·高三竞赛）若直线交椭圆（，且、为整数）于点、．设为椭圆的上顶点，而的重心为椭圆的右焦点，则椭圆的方程为______．
13．（2022·新疆·高二竞赛）设z为复数，若方程表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率___________．
14．（2021·全国·高三竞赛）已知集合满足，若P为集合B的边界线C上任意一点，为曲线C的焦点，I为的内心，直线和的斜率分别为，且则t的最小值为________．
15．（2021·全国·高三竞赛）已知的四个顶点均在双曲线上，点在边上，且，则的面积等于_______.
四、解答题
16．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设为椭圆：的左焦点，为椭圆上的一点
(1)作正方形（，，，按逆时针排列）当沿着椭圆运动一周，求动点的轨迹方程.
(2)设为椭圆外一点，求的取值范围.
17．（2018·全国·高三竞赛）一束直线的每条均过xOy平面内的抛物线的焦点，与抛物线C交于点、.若的斜率为1，的斜率为，求的解析式.
18．（2018·福建·高三竞赛）已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点．记直线、的斜率分别为、，若，求直线的方程．
19．（2018·江西·高三竞赛）若椭圆上不同的三点，，到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段的中垂线交轴于点，求直线的方程．
20．（2018·湖北·高三竞赛）已知为坐标原点，，点为直线上的动点，的平分线与直线交于点，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作斜率为的直线，若直线与曲线恰好有一个公共点，求的取值范围.
21．（2021·全国·高三竞赛）过抛物线(p为不等于2的质数)的焦点F，作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M N两点，线段的垂直平分线交于P点，交x轴于Q点.
（1）求中点R的轨迹L的方程；
（2）证明：L上有无穷多个整点(横、纵坐标均为整数的点)，但L上任意整点到原点的距离均不是整数.
22．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆的右焦点为，上顶点为M，圆，问：椭圆E上是否存在两点P、Q使得圆F内切于三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
23．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，为抛物线外一点，过P引抛物线的两条切线，切点分别为A、B．在线段上取两点D、E，使得．若过D、E两点的直线分别切抛物线于M、N两点（异于A）．求四边形面积的最大值．
24．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆，其右焦点为F，过F作直线l交椭圆于A、B两点（l与x轴不重合），设线段中点为D，连结（O为坐标原点），直线交椭圆于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，且，求椭圆的离心率．
25．（2018·甘肃·高三竞赛）已知椭圆过点，且右焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值．
26．（2018·山东·高三竞赛）已知圆与曲线，，，为曲线上的两点，使得圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，求的值．
27．（2022·福建·高二统考竞赛）已知椭圆C：的离心率为， 分别为椭圆C的左 右顶点， 分别为椭圆C的左 右焦点，B为椭圆C的上顶点，且的外接圆半径为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设与x不垂直的直线l交椭圆C于P Q两点（P Q在x轴的两侧），记直线 的斜率分别为 .已知，求面积的取值范围.
28．（2022·新疆·高二竞赛）如图，已知内接于抛物线，且边所在直线分别与抛物线相切，F为抛物线M的焦点．求证：
(1)边所在直线与抛物线M相切；
(2)A，C，B，F四点共圆．
（2021·全国·高三竞赛）已知为椭圆上的点，对椭圆上的任意两点P、Q，用如下办法定义它们的“和”：过点S作一条平行于（若点P与Q重合，则直线表示椭圆在P处的切线）的直线l与椭圆交于不同于S的另一点，记作（若l与椭圆相切，则规定S为）.并规定.
29．若点，求、以及的坐标.
30．在椭圆上是否存在不同于S的点P，满足？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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