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专题08 二次函数y=ax^2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质
1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．
【教材知识必背】
考点一、二次函数与之间的相互关系
1．顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2．一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
【微点拨】：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
考点二、二次函数的图象的画法
1．一般方法：列表、描点、连线；
2．简易画法：五点定形法．
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
【微点拨】：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
考点三、二次函数的图象与性质
1．二次函数图象与性质
函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值，
2．二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目字母 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0 与x轴有两个交点
b2-4ac＜0 与x轴没有交点
考点四、求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
【微点拨】：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
【变式1】
2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是 （填写序号）．
【变式2】
3．抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点．
（1）求出m的值并画出这条抛物线；
（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？
（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
【变式3】
4．对于二次函数y=-x2+2x．有下列四个结论：
①它的对称轴是直线x=1；
②设y1=-x12 +2x1，y2=-x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；
③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；
④当0＜x＜2时，y＞0．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y=（x+1）2+4 B．y=（x﹣1）2+4
C．y=（x+1）2+2 D．y=（x﹣1）2+2
6．已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、
B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是
A．＞ B． C．＜ D．不能确定
7．小强从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．抛物线的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为，则b、c的值为（ ）
A．b=2,c=2 B．b=2,c=0 C．b=-2,c=-1 D．b=-3,c=2
9．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ）
A．m= n，k＞h B．m＝n ，k＜h
C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h
10．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
11．二次函数y=x2+2x的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ．
12．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c＞0；②a+b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac中正确的是（填写序号） ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 ．
14．二次函数的图象与x轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m的值是 ．
15．抛物线y=x2+kx-2k通过一个定点，这个定点的坐标是 ．
16．已知二次函数的图象与轴交于，两点，在轴上方的抛物线上有一点，且的面积等于10，则点的坐标为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积．
18．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）设当点M运动了x(秒)时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x取值范围．
（3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．顶点坐标为，对称轴为直线．
【分析】通过配方法把二次函数解析式化为顶点式，然后根据解析式直接写出答案．
【详解】，
，
，
∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，利用解析式求对称轴或顶点坐标的方法是本题的关键．
2．①④##④①
【详解】解：根据抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴直线x=﹣=1，可得2a+b=0，所以①正确；
根据x=﹣1时，y＜0，可得a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误；
由抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）得到抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；
由抛物线开口方向得到a＞0，由对称轴x=﹣＞0，可得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＜0，因此abc＞0，所以④正确．
考点：二次函数图象与系数的关系
3．（1）；（2），；（3）；（4）
【详解】解：（1）由抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）得：m=3．
∴抛物线为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4．
列表得：
X ﹣1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
图象如下．
（2）由﹣x2+2x+3=0，得：x1=﹣1，x2=3．
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）．
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4
∴抛物线顶点坐标为（1，4）．
（3）由图象可知：
当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．
（4）由图象可知：
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小
4．C
【详解】解：根据对称轴公式x=，故①正确；
根据函数的开口方向和对称轴，可知当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，由于x1与x2与1的关系不知道，故②不正确；
令y=0，解方程- x2 + 2x=0，可得x1=0，x2=2，因此图像与x轴的交点为（0，0）（2，0），故③正确；
结合图像与x的交点可知当0 ＜ x ＜ 2时，y＞0，故④正确．
因此共有3个正确的．
故选C
5．D
【详解】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可得：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2．
故选：D．
6．A
【详解】∵抛物线与x轴交于A（-2，0）、O（0，0）两点，
∴抛物线对称轴为x==-1，
∵B（-3，y1）、C（3，y2），点B离对称轴较近，且抛物线开口向下，
∴y1＞y2．
故选A
7．C
【详解】试题分析：（1）由抛物线的开口向下知a＜0，故正确；
（2）由抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上且大于1，可推出c＞1，故正确；
（3）由图可知对称轴为x=-＞0，可推出a、b异号，又∵a＜0，∴b＞0，故正确；
（4）因为抛物线与x轴的交点可以看出，当x=1时，y＞0，所以a+b+c＞0，故正确，
（5）因为抛物线与x轴的交点可以看出，当x=-1时，y＜0，所以a-b+c＜0，错误．
∴正确答案为4个．
故选C．
考点：二次函数图象与系数的关系．
8．B
【详解】试题分析：易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b，c的值．
由题意得新抛物线的顶点为（1，﹣4）， ∴原抛物线的顶点为（﹣1，﹣1），
设原抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k代入得：y=（x+1）2﹣1=x2+2x， ∴b=2，c=0．
考点：二次函数图象与几何变换．
9．A
【分析】由图看出两抛物线的对称轴相同，从而可判断m与n的关系，再根据抛物线顶点的纵坐标可判断k与h的关系，问题得解．
【详解】由图看出两抛物线的对称轴相同，故m=n，
抛物线的顶点纵坐标k在h上方故k＞h，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，此类试题属于难度较大的试题，但是考查的是二次函数的基本性质，考生一定要对二次函数的基本性质牢牢把握．
10．A
【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，即可进行判断．
【详解】点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上，
∴x=ax2+bx+c，
∴ax2+（b-1）x+c=0；
由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，
∴方程ax2+（b-1）x+c=0有两个正实数根．
∴函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，
又∵-＞0，a＞0
∴-=-+＞0
∴函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，
∴A符合条件，
故选A．
11． (－1，－1) 直线x=－1
【详解】试题分析：先把该二次函数化为顶点式的形式，再根据其顶点式进行解答即可．
解：∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，
∴二次函数y=x2+4x的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．
故答案为（﹣1，﹣1），x=﹣1．
考点：二次函数的性质
12．②④
【分析】首先根据图象中抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点的位置来判断出a、b、c的位置，进而判断各结论是否正确．
【详解】解：根据二次函数的图象知：抛物线开口向上，则a＞0；（⊙）
抛物线的对称轴在y轴右侧，则x=-＞0，即b＜0；（△）
抛物线交y轴于负半轴，则c＜0；（□）
①由（□）知：c＜0，故①错误；
②由图知：当x=1时，y＜0；即a+b+c＜0，故②正确；
③由（⊙）（△）可知：2a＞0，-b＞0；所以2a-b＞0，故③错误；
④由于抛物线与x轴有两个不同的交点，则Δ=b2-4ac＞0，即b2＞4ac；
由（⊙）知：a＞0，则8a＞0；所以b2+8a＞4ac，故④正确；
所以正确的结论为②④．
13．1
【分析】由矩形的性质可知BD＝AC，再结合顶点到x轴的距离最近可知当点A在顶点处时满足条件，求得抛物线的顶点坐标即可求得答案．
【详解】解：∵AC⊥x轴，
∴当点A为抛物线顶点时，AC有最小值，
∵抛物线y＝x2﹣2x＋2＝（x 1）2＋1，
∴顶点坐标为（1，1），
∴AC的最小值为1，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
∴BD的最小值为1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及矩形的性质，确定出AC最小时的位置是解题的关键．
14．4
【分析】根据图象上点的性质将（1，0）代入二次函数解析式，即可求出m的值．
【详解】∵由图象可得抛物线经过点（1，0），
∴把，代入，
得：，
解得：．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，将（1，0）代入是解题关键．
15．(2，4)
【分析】把y=x2+kx-2k化为 y=x2+k(x-2)，可知当x=2时，不管k取何值抛物线都通过定点．
【详解】∵抛物线y=x2+kx-2k通过一个定点，则与k值无关，
∴整理y=x2+kx-2k得y=x2+k(x-2)，
∴x-2=0，则x=2，
∴代入y=x2+k(x-2)，得y=4，
∴这个定点的坐标为(2，4)．
故答案为：(2，4)．
【点睛】本题考查了二次函数图象的坐标特征，解题的关键是理解通过定点是与k值无关．
16．或
【分析】由二次函数的图象与轴交于，两点，解方程解得x=3，或x=-1，求出三角形的底AB长，利用三角形ABC面积求出以AB为底，C点纵坐标为高的面积，求出C点的坐标，利用二次函数值构造方程，解之可求C坐标即可．
【详解】
【点睛】本题考查二次函数与x轴交点的距离，三角形面积，利用三角形面积构造等式，以及利用C点的纵坐标构造一元二次方程，解之即可．
17．（1）解析式为y=﹣x2+2x+4；（2）抛物线顶点D的坐标为（2，6），四边形ABCD的面积为12．
【分析】（1）由正方形性质，得到C（0，4），B（4，4），将其代入y=﹣x2+bx+c，利用待定系数法解题；
（2）利用配方法，将解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标，最后根据Ｓ四边形ABDC=Ｓ△ABC+Ｓ△BCD结合三角形面积公式解题．
【详解】解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），
把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得
，
解得：，
则解析式为；
（2）∵，
∴抛物线顶点D坐标为（2，6），
则Ｓ四边形ABDC=Ｓ△ABC+Ｓ△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的顶点式解析式、三角形面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
18．（1）B(3，0)，C(0，2)；（2）；（3）存在，Q(2，)；或Q(，)
【分析】（1）分别令即可求得的坐标；
（2）连接OP，设点P的坐标为P(x，y)，根据即可求得表达式；
（3）根据题意，分①BQ=DQ，②BQ=BD两种情况讨论，根据△BQM∽△BCO，分别求得点的坐标．
【详解】（1）把x=0代入得点C的坐标为C(0，2)
把y=0代入得
解得
则点B的坐标为B(3，0)；
（2）连接OP，设点P的坐标为P(x，y)
则
=
∵ 点M运动到B点上停止，
∴，
∴；
（3）存在.
在中，BC=
① 若BQ=DQ
∵ BQ=DQ，BD=2
∴ BM=1
∴OM=3-1=2
轴，轴
△BQM∽△BCO，
∴
∴QM=
所以Q的坐标为Q(2，)；
② 若BQ=BD=2
∵△BQM∽△BCO，
∴ =
∴
∴ QM=
∵
∴
∴BM=
∴ OM=
所以Q的坐标为Q(，).
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，求二次函数与坐标轴的交点问题，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中分类讨论是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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