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专题04 直线方程综合应用难题（12题型）
一、核心考点题型归纳 【题型一】斜率几何意义型应用 【题型二】斜率与倾斜角应用 【题型三】直线平行与垂直求参数 【题型四】隐藏型垂直求最值 【题型五】利用斜率解三角形 【题型六】直线方程理论 【题型七】光学性质 【题型八】最小面积求直线 【题型九】切线型求面积最值 【题型十】数形结合求最值：距离公式 【题型十一】数形结合求最值：绝对值型转化 【题型十二】直线最值范围综合应用 二、期中期末好题培优练
【题型一】斜率几何意义型应用
（2021春·天津蓟州·高二校考期末）
1．如图，过点作直线：的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点，…，如此依次下去，得到一组线段：，，，……，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高二专题练习）
2．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（ ）
A．0° B．1° C．2° D．3°
（2022秋·江苏徐州·高一校考阶段练习）
3．已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高二课堂例题）
4．若函数，且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是 （　 ）
A．＞＞ B．＞＞
C．＞＞ D．＞＞
（2021·江苏·高二专题练习）
5．已知正三角形的三个顶点均在抛物线上，其中一条边所在直线的斜率为，则的三个顶点的横坐标之和为 ．
【题型二】斜率与倾斜角应用
（2023·全国·高二专题练习）
6．已知点，，则直线的倾斜角为 ．
（2023·全国·高二专题练习）
7．已知实数，满足方程，当时，的取值范围为 ．
（2020·高二课时练习）
8．已知直线过原点且倾斜角为，其中，若在上，且满足条件，则的值等于 .
（2021·高二课时练习）
9．已知坐标平面内两个不同的点，（），若直线的倾斜角是钝角，则的取值范围是
（2023·全国·高二专题练习）
10．已知过点，的直线l的倾斜角为，若，则实数m的取值范围为 .
【题型三】 直线平行与垂直
（2019·北京·高二校考强基计划）
11．设a为实数，若直线两两相交，且交点恰是直角三角形的三个顶点，则这样的有（ ）
A．2组 B．3组 C．4组 D．5组
（2022·高二课时练习）
12．设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
（2022·全国·高二专题练习）
13．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
（2023秋·江苏宿迁·高二校考阶段练习）
14．已知直线：，：互相垂直，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳市第八十三中学校考开学考试）
15．已知，为正整数，且直线与直线互相平行，则的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．16
【题型四】两动直线隐藏型垂直求最值
（2023·高二课时练习）
16．设直线与直线的交点为；分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为
A． B． C． D．
（2021·高二课时练习）
17．，动直线过定点动直线过定点，若与交于点（异于点，），则的最大值为
A． B． C． D．
（2023秋·山西大同·高二大同一中校考阶段练习）
18．将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则 ．
（2021·江苏·高二专题练习）
19．，动直线过定点，动直线过定点，则点坐标为 ；若直线与相交于点（异于点,），则周长的最大值为 ．
（2021·江苏·高二专题练习）
20．设分别是△中的对边边长，则直线与直线的位置关系是 ．
（2022秋·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）
21．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（ ）
A．点的坐标为 B．
C． D．的最大值为5
【题型五】利用斜率解三角形三大线
（2023·全国·高二专题练习）
22．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
（2022·全国·高二）
23．已知的三个顶点，则的高CD所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
（2022·河南·高二阶段练习）
24．若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为1，则该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为 .
（2022·全国·高二课时练习）
25．如图，在中，，所在直线方程分别为和，则的角平分线所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
（2021·黑龙江·宝泉岭高级中学高二阶段练习）
26．若△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为 .
（2022·江苏·高二单元测试）
27．已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为 .
【题型六】直线方程理论
（2021·江苏·高二专题练习）
28．在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（ ）
A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上
B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行
C．若，则直线经过线段M，N的中点；
D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交；
（2022·江苏·高二专题练习）
29．设是直线:的一个方向向量，是直线的一个法向量.设向量与向量的夹角为，则为（ ）
A． B．
C． D．
（2022·江苏·高二专题练习）
30．设，为不同的两点，直线.记，则下列结论中正确的个数是（ ）
①不论为何值，点都不在直线上；
②若，则过的直线与直线相交；
③若，则直线经过的中点.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个.
（2023·全国·高二专题练习）
31．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（ ）
A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点
C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点
（2020秋·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中）
32．已知是直线上一点，是外一点，则方程表示的直线（ ）
A．与重合 B．与交于点 C．过与平行 D．过与相交
【题型七】光学性质
（2022秋·全国·高二期中）
33．已知，，从点射出的光线经直线反射后，再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）
A． B．6 C． D．
（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）
34．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则（ ）
A． B． C．1 D．2
（2021·广东·广州市第十六中学高二期中）
35．已知直线和点，，若直线上存在点使得最小，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2021·广东·广州奥林匹克中学高二期中）
36．已知点，O为坐标原点，P，Q分别在线段上运动，则的周长的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．
（2021·江苏·高二专题练习）
37．如图，平面上两点，在直线上取两点使，且使的值取最小，则的坐标为 ．
【题型八】最小面积求直线
（2023·全国·高二对口高考）
38．在平面直角坐标系中，是坐标原点，与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题：
①存在正实数，使的面积为的直线仅有一条；
②存在正实数，使的面积为的直线仅有两条；
③存在正实数，使的面积为的直线仅有三条；
④存在正实数，使的面积为的直线仅有四条；
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①②③ B．③④
C．②④ D．②③④
（2021·江苏·高二专题练习）
39．已知直线与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为.当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·辽宁葫芦岛·高二校考开学考试）
40．已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（ ）
A． B． C． D．1
（2022秋·河北邢台·高二统考阶段练习）
41．已知直线的斜率小于0，且经过点，并与坐标轴交于，两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高二专题练习）
42．直线 ，动直线 ，动直线 ．设直线与两坐标轴分别交于两点，动直线l1与l2交于点P，则的面积最大值（ ）
A． B． C． D．11
【题型九】切线型求面积最值
（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）
43．已知抛物线，点在上，直线与坐标轴交于两点，若面积的最小值为1，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
（2022春·全国·高二期中）
44．设函数的图象为曲线C，为C上任意一点，过点R的直线PQ与C相切，且与x轴交于点P，与y轴交于点Q，当三角形POQ的面积取得最小值时，的值为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全国·高二专题练习）
45．若直线与抛物线相切，且切点在第一象限，则与坐标轴围成三角形面积的最小值为 .
【题型十】数形结合求最值：距离公式
知识点与技巧：求解形如的式子的最小值思路： （1）先将问题转化为点到点的距离之和问题； （2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析； （3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值.
（2023·全国·高二专题练习）
46．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
（2023·全国·高二专题练习）
47．已知函数，给出下列四个结论：
①函数的图像是轴对称图形； ②函数在上单调递减；
③函数的值域是； ④方程有4个不同的实数解．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2022·全国·高二专题练习）
48．已知，则的最小值为（ ）
A． B．3
C． D．6
（2022秋·山东日照·高二山东省日照实验高级中学校考阶段练习）
49．已知，为实数，代数式的最小值是 .
（2022·全国·高二专题练习）
50．已知二元函数的最小值为，则正实数a的值为 ．
【题型十一】数形结合：绝对值--点到直线距离公式
（2023·全国·高二专题练习）
51．已知实数，则的取值范围是 .
（2023·全国·高二专题练习）
52．若恰有三组不全为0的实数对,满足关系式，则实数t的所有可能的值为 ．
（2021·高二单元测试）
53．已知直线交圆于，两点，则的取值范围为 .
（2021·湖北·武汉市洪山高级中学高二阶段练习）
54．已知满足方程，则M的轨迹为（ ）
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
【题型十二】直线最值范围综合应用
（2022秋·四川绵阳·高二三台中学校考阶段练习）
55．过点作直线l：的垂线，垂足为点Q，则点Q到直线的距离的最小值为 ．
（2021秋·湖北武汉·高二武汉市第一中学校考阶段练习）
56．在平面直角坐标系中，已知直线：与曲线从左至右依次交于、、三点，若直线：上存在满足，则实数的取值范围是 ．
（2023·全国·高二专题练习）
57．在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:（ ）
①对任意三点A、B、C，都有
②已知点P(3,1)和直线则
③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
④定点动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点．
其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
（2022秋·四川内江·高二威远中学校校考阶段练习）
58．已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（　　）
A．（0，1） B． C． D．
（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）
59．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．8
一、单选题
（2023·全国·高二专题练习）
60．设 ，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高二专题练习）
61．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（ ）
（参考数据：，．）
A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948
（2023·全国·高二专题练习）
62．函数的最大值为（ ）.
A． B． C． D．3
（2022秋·湖北武汉·高二武汉市第三中学校考阶段练习）
63．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·湖南怀化·高二校考阶段练习）
64．，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）
65．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．8
（2022·全国·高二专题练习）
66．设平面点集包含于，若按照某对应法则，使得中每一点都有唯一的实数与之对应，则称为在上的二元函数，且称为的定义域，对应的值为在点的函数值，记作，若二元函数，其中，，则二元函数的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（2023秋·全国·高二阶段练习）
67．在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
（2023秋·全国·高二随堂练习）
68．已知直线，则下列结论正确的是（　　）
A．原点到直线l距离等于2
B．若点在直线l上，则
C．点到直线l距离的最大值等于
D．点到直线l距离的最小值等于
（2023·全国·高二专题练习）
69．已知平面上三条直线，，，若这三条直线将平面分为六部分，则的可能取值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
（2023·全国·高二专题练习）
70．已知，过点作直线的垂线，垂足为，则（ ）
A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为
C．的最大值为3 D．的最小值为2
（2023·全国·高二专题练习）
71．已知直线：，：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线过定点 B．当时，
C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为
三、填空题
（2023秋·全国·高二阶段练习）
72．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 .
（2022·全国·高二专题练习）
73．在中，，，，D是边上的点，关于直线的对称点分别为，则面积的最大值为 .
（2022·全国·高二专题练习）
74．已知，是抛物线上的两个动点，过，的两条切线交于点，若，则点的纵坐标为 .
（2022·全国·高二专题练习）
75．已知直线与圆交于两点，且，则的最大值为 .
四、解答题
（2023秋·高二课时练习）
76．如图，已知的顶点为，，，AD是BC边上的高，AE是的平分线．

(1)求高AD所在直线的方程；
(2)求AE所在直线的方程．（提示：在上取与长度相等的向量，则的方向就是的方向．）
（2023秋·高二课时练习）
77．已知两条平行直线与分别过点与点，、之间的距离为，求的最大值，并指出此时、的方程．
（2023·全国·高二专题练习）
78．已知直线的方程为：．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
（2023·全国·高二专题练习）
79．已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据已知条件找到规律，从而确定正确答案.
【详解】直线的斜率为，倾斜角为，
所以，，
，……，
以此类推可知.
故选：B
2．C
【分析】根据5颗星的位置情况知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E并确定∠OO3E的大小，即可知AB所在直线的倾斜角.
【详解】∵O，O3都为五角星的中心点，
∴OO3平分第三颗小星的一个角，
又五角星的内角为36°知：∠BAO3＝18°，
过O3作x轴的平行线O3E，如下图，则∠OO3E＝α≈16°，
∴直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°.
故选：C
3．A
【分析】将问题转化为函数的图象在直线下方的部分有3个整点，然后数形结合可解.
【详解】得，所以满足的整数解恰有3个，等价于函数的图象在直线下方的部分有3个整点.
如图，当直线的斜率m满足时满足题意，其中
所以，，所以.
故选：A
4．B
【分析】把,,分别看作函数图象上的点与原点连线的斜率，对照图象可得答案．
【详解】
由题意可得，,,分别看作函数图象上的点与原点连线的斜率，
结合图象可知当时，>>．
故选：B．
5．
【分析】设点，则可得，，，不妨设，且直线的倾斜角为，可得，然后利用算出答案即可.
【详解】设点，
则，，
不妨设，且直线的倾斜角为
因为是等边三角形，所以
所以
故答案为：
【点睛】本题以抛物线为载体，考查了直线的斜率和三角函数的和差公式，属于较难题.
6．
【详解】方法一：由斜率和倾斜角关系，利用两点连线斜率公式可得，由此可得倾斜角；
方法二：根据三角函数定义可知在圆上，根据图形关系可求得，由此可得倾斜角.
【分析】方法一：设直线的倾斜角为，
则.
直线的倾斜角为；
方法二：由三角函数的定义可知：点在圆上，如图所示，
设为直线与轴的交点，则，，
，又，，
，直线的倾斜角为.
故答案为：.
7．
【分析】可知表示直线上的点与点连线的斜率，即可求出.
【详解】实数，满足方程，当时，
表示直线上的点与点连线的斜率，
设、为直线上的两个点，且，
的斜率为，的斜率为 ，
故的范围为，
故答案为：．
8．
【分析】求出的值后可得，再利用同角的三角基本关系式可求的值.
【详解】因为，故，
所以或，所以或.
因为，故，所以，
所以，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查直线的倾斜角和同角的三角函数的基本关系式，注意根据角的范围对所求的三角函数值进行取舍，本题属于基础题.
9．
【分析】由直线的倾斜角是钝角，可知直线的斜率存在,且,即可得到,求解即可.
【详解】因为直线的倾斜角是钝角，所以直线的斜率存在,且,
,
则,解得.
故答案为:.
【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系,考查了不等式的解法,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.
10．
【分析】由倾斜角可得斜率k的范围，再由斜率公式可得m的取值范围.
【详解】设直线l的斜率为k，
则，因为，
所以．所以，
即解得或.
故答案为： .
11．A
【分析】算出三条直线的方向向量，根据法向量相互垂直可求a的值，故可得正确的选项.
【详解】三条直线的法向量分别为，
于是a的值必然在集合．
经验证，当时，中有重合的直线，当时，三线共点，因此所求组数为2．
故选:A.
12．C
【分析】分均不为0和有且只有一个为0两种情况讨论，分别证得充分性和必要性即可得出结论.
【详解】当直线斜率都存在即均不为0时，若“、相交”，则两直线的斜率不相等，得，即，当直线斜率有一个不存在即有且只有一个为0时，也成立，故充分性成立；
反之，均不为0时，若“”，则，则两直线的斜率不相等，即、相交，有且只有一个为0时，、也相交，故必要性成立；综上，则“、相交”是“”的充要条件，
故选：C.
13．D
【分析】根据可得、的关系式，再由基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，所以，，
所以
，
当且仅当即，时取等号，的最小值为，
故选：D
14．B
【分析】由直线与直线垂直的性质得，再上，，能求出的取值范围.
【详解】解：∵直线：，：互相垂直，
∴，∴，
∵，，∴.
∴的取值范围为.
故选：B.
【点睛】本题考查两直线垂直的条件的应用，属于中档题.
15．B
【解析】由已知两直线平行得出满足的关系，然后由基本不等式求得最小值．
【详解】由题意，，即，
∴，当且仅当，即（满足是正整数）时等号成立．
∴的最小值是9．
故选：B．
【点睛】本题考查两直线平行的条件，考查用基本不等式求最值．在用基本不等式求最值时，注意其条件：一正二定三相等，其中定值有时需要凑配，“1”的代换是常用方法．
16．A
【详解】
根据题意画出图形，如图所示；
直线 与直线 的交点为 ； 为 的中点，
若，则，
即 解得 ．
故选A．
17．B
【详解】由题意可得：，，且两直线斜率之积等于，∴直线和直线垂直，则，即，的最大值为，故选．
18．1
【分析】根据直线对称的性质，结合直线斜率公式、中点坐标公式、互相垂直的直线斜率之间的关系进行求解即可.
【详解】设点为点，点为点，所以线段的中点为.
设点为点，设点为点，所以线段的中点为，
由题意可知，
于是有： ，
故答案为：1
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据直线对称，得到斜率之间的关系.
19．
【分析】分别求出两条直线过的定点，根据两直线的位置关系两得直线垂直，是直角三角形，由不等式得到答案.
【详解】由条件知直线过定点，直线过定点，所以，
又因为，所以，即，
所以，
当且仅当时取等号，所以，
故周长的最大值为
故答案为：①； ②.
【点睛】本题主要考直线查过定点，两直线的位置关系与垂直时满足，不等式的应用.
20．垂直
【分析】求出两条直线的斜率，根据正弦定理，然后判断两条直线的位置关系．
【详解】分别是△内角 所对边的边，
故：，
的斜率为：
的斜率为：
根据正弦定理：
由
两条直线垂直
故答案为：垂直．
【点睛】本题主要考查了判断两条直线的位置关系问题，解题关键是掌握正弦定理和两条直线垂直的判定方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
21．D
【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解.
【详解】因为可以转化为，
故直线恒过定点A，故A选项正确；
又因为：即恒过定点B，
由 和 , 满足 ，
所以 , 可得 , 故B选项正确；
所以 , 故C选项正确;
因为 , 设为锐角,
则,
所以, 所以当 时, 取最大值 , 故选项D错误.
故选：D.
22．C
【分析】首先求得直线与直线的交点的坐标，利用到直线的距离相等列方程，解方程求得点的坐标.利用到直线的距离以及的长，求得三角形的面积.
【详解】直线的方程为，即.
由解得.
设，直线的方程分别为 ，即
，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以
，
，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得
，解得（），所以.
所以到直线的距离为，而，所以.
故选：C

【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
23．D
【分析】先求出，进而得到，再由点斜式写出直线方程即可.
【详解】由题意知：，则，故CD所在的直线方程为，即.
故选：D.
24．3
【分析】根据题意得到该等边三角形的三边所在直线的倾斜角，进而求出三边所在直线的斜率，求出和即可.
【详解】因为一条中线所在直线的斜率为1，所以此中线所在直线的倾斜角为，
可得该等边三角形的三边所在直线的倾斜角分别为，
因为，，
，
即该等边三角形的三边所在直线的斜率分别为，
所以该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为3.
故答案为：3
25．A
【分析】求出点的坐标，根据题意可得，设的角平分线所在直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，从而可得，再根据直线的点斜式方程即可得解.
【详解】解：联立，解得，即，
因为，所以，即，
设的角平分线所在直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，
则，
即的角平分线所在直线的斜率为，
所以的角平分线所在直线的方程为，即.
故选：A.
26．6x－5y－9＝0
【解析】先计算AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，设B（x0，y0），AB的中点M为，根据解得答案.
【详解】由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，
又A（5，1），AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，
联立直线AC与直线CM方程得 解得
顶点C的坐标为C（4，3）.设B（x0，y0），AB的中点M为 ，
由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，
B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，
联立 解得 所以顶点B的坐标为（－1，－3）.
于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
故答案为：6x－5y－9＝0
【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.
27．
【分析】设，由中点公式求出点A坐标，根据等腰直角三角形可知，，建立与，与间关系，即可求出，进而根据点斜式求出直线的方程.
【详解】因为中线CE所在直线方程为，
所以可设，
由AC中点为，可得，
所以，
为等腰直角三角形，CE为中线，
,，
①，
又是的中点，,
,，
化简得： ②，
由①②解得，
所以点,又因为，
所以直线方程为,
即所求方程为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了两直线垂直位置关系，根据两直线垂直研究斜率之间的关系，直线方程的点斜式，考查了推理能力和运算能力，属于中档题.
28．A
【分析】根据题意对一一分析，逐一验证．
【详解】解：对于，化为：，即点，不在直线上，因此不正确．
对于，，则，即过，两点的直线与直线的斜率相等，又点，不在直线上，因此两条直线平行，故正确；
对于，，则，化为，因此直线经过线段的中点，故正确；
对于，，则，则点，在直线的同侧，故正确；
故选A
【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
29．C
【分析】根据给定条件求出直线的方向向量，直线的法向量，再利用向量夹角公式计算即可得解.
【详解】因是直线:的一个方向向量，则，
又是直线的一个法向量，则，
则有向量与向量的夹角为，，
所以.
故选：C
30．C
【分析】①通过分母不为0，确定，可以判断①的对错；②③通过对条件整理变形，利用直线的相关性质判断.
【详解】因为，分母不为0，所以，所以不论为何值，点都不在直线上，①正确；
当时，设，（），则，为直线上的两个点，显然直线与直线平行，故过的直线与直线不会相交，②错误；
当时，设，整理得：，因为，，所以的中点坐标为，故若，则直线经过的中点.③正确；正确的个数为2个
故选：C
31．A
【分析】根据在直线可得，从而可得有唯一交点，从而可得正确的选项.
【详解】因为与是直线（为常数）上两个不同的点，
所以即，
故既在直线上，也在直线上.
因为与是两个不同的点，故、不重合，
故无论，，如何，总有唯一交点.
故选：A.
32．C
【解析】由题意有可得，，，，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论．
【详解】解：由题意有可得，，，，则方程，，，
即，，，它与直线的一次项系数相等，但常数项不相等，
故，，表示过点且与平行的直线，
故选：C ．
【点睛】根据平行直线系方程，即两直线方程与互相平行.
33．C
【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程．
【详解】由题意直线方程为，设关于直线的对称点，
则，解得，即，又关于轴的对称点为，
．
故选：C
34．C
【分析】根据题意，建立坐标系，设点的坐标，可得关于直线的对称点的坐标，和关于轴的对称点的坐标，由，，四点共线可得直线的方程，由于过的重心，代入可得关于的方程，解之可得的坐标，进而可得的值，即可得答案．
【详解】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得，，
故直线的方程为，
又由，，，则 的重心为，
设，其中，点关于直线 的对称点，则有，
解得，即，
易得关于 轴的对称点，
由光的反射原理可知，，，四点共成直线的斜率，
故直线的方程为，
由于直线过 的重心，代入化简可得，
解得：或 舍，即，故，
故选：C．
35．C
【分析】根据题意，求出点关于直线的对称点为，结合三角形两边之和大于第三边，即可求解.
【详解】根据题意，易得点，在直线的同一侧.
设点关于直线的对称点为，则，解得，故.
因此，当、、 三点共线时，等号成立.
故选：C.
36．A
【分析】求折线段长度的最小值一般通过作对称点的方法解决，本题分别作关于的对称点，此时和分别交于，得到，此时的长即为所求最小值.
【详解】首先易得到方程为，关于即轴的对称点记做，显然，设关于的对称点为，于是，且中点在上，即，解得，即，此时和分别交于，此时的周长的最小，最小值为.若两点不这样取，例如如图所示取这样的，则的周长为折线段之和，即有
.
故选：A
37．
【分析】求出关于直线的对称点，过作平行于的直线为，将的值转化为的最小值，利用数形结合以及根据两点间的距离公式，求解出的坐标.
【详解】关于直线的对称点为，则有.过作平行于的直线为，由得，即此时直线为.过作，则，则.由于是常数，要使的值取最小，则的值取最小，即三点共线时最小.设，由得，即，解得（舍去.），即.设，则，解得，即，设，.由得，得，解得或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查两点间距离公式的应用，考查对称性，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
38．D
【分析】用表示的面积，讨论其单调性和值域后可得正确的选项.
【详解】因为，故，其中且.
故的面积，
故，
由对勾函数的性质可得：
在上为减函数，在为增函数，
所以当时，的取值范围为.
而因为在上为减函数，在为增函数，
所以当时，的取值范围为，
故的图象如图所示：
所以当时，使的面积为的直线仅有四条；
当时，使的面积为的直线仅有三条；
当时，使的面积为的直线仅有两条；
故②③④正确.
故选：D.
39．C
【解析】求出直线与两坐标轴的交点坐标，可得出的表达式，然后利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】在直线的方程中，令，得；令，可得.
，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：C.
【点睛】本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积的最值的计算，解题的关键就是求出直线与两坐标轴的交点坐标，考查计算能力，属于中等题.
40．C
【分析】求出四边形四个顶点的坐标，表示出四边形面积，借助函数思想求最小值.
【详解】过定点，也过定点，如图所示，
在的方程中，令，则，
在的方程中，令，则，
则点，，
．
由二次函数性质可得，当时，S取得最小值．
故选：C.
41．C
【分析】由题意可设直线：，由题意分别求出，，即可表示出的面积，再由均值不等式即可求出答案.
【详解】由题意可设直线：，将点的坐标代入，
得，则，则.
不妨假设在轴上，则，
记为坐标原点，因为线段与的长度分别为，，
所以的面积，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
42．C
【分析】根据两直线的交点为，联立直线方程用表示参数，整理可得点轨迹为圆，而，要使的面积最大，即到直线 距离最大，进而求面积.
【详解】由题意，动直线l1与l2交于点，则，
∴消去参数a，整理可得：，即点轨迹是以为圆心，为半径的圆上，而到直线 的距离，故到直线 最大距离为，
由，则，
∴此时有最大面积为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据两动直线的交点，通过设动点结合动直线方程求其轨迹—圆，结合圆上点到直线距离最大时有最大面积，即可求三角形面积的最大值.
43．B
【分析】先分析直线和抛物线不会相交，然后分析出点的位置为斜率为的直线和抛物线的切点时面积最小，最后用点到直线的距离公式计算.
【详解】
不妨设，由题可得无解，
否则若直线和抛物线有交点时，当时，面积将趋近，
故，解得.
由图可知，当恰好为斜率为的直线和抛物线的切点时，的面积最小.
令，不妨，则，
又点到直线的距离为，
则，解得（舍去）.
故选：B
44．C
【分析】表达出切线方程，三角形POQ的面积，利用导函数求出极值，最小值及的值.
【详解】，切线PQ的方程为，化简，得，所以，，三角形POQ的面积为，令，，令，则，得：或-1（舍去），当时，单调递减，当时，单调递增，由于，解得：，当且仅当时，三角形POQ的面积取得最小值．
故选：C
45．4
【分析】设切点坐标，利用导数求切线方程，然后表示出三角形面积，利用导数可得最小值.
【详解】设切点为，
因为，所以切线斜率为，
得切线l的方程为
与坐标轴的交点分别为，
令，解得，
因为切点在第一象限，所以，
所以与坐标轴围成三角形面积
令，则
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，有最小值
所以
故答案为：4
46．D
【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值.
【详解】由已知表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
所以，
过点作，垂足为，
因为直线的方程为，，
所以，
又直线与直线平行，，
所以，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，
又，
当且仅当三点共线时等号成立，
所以当点为线段与直线的交点时，
取最小值，最小值为，
因为过点与直线垂直的直线的方程为，
联立，可得，
所以点的坐标为，所以，
所以的最小值为，
故选：D.
【点睛】本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题.
47．D
【分析】根据函数解析式的几何意义，数形结合判断选项正误.
【详解】表示x轴上的点到，和的距离之差的绝对值.
对于①，当点在左右对称位置时，到，和的距离之差的绝对值相等，所以的图象是轴对称图形，①正确；
对于②，时，点从左向右靠近，到，和的距离之差的绝对值变小，所以在上单调递减，②正确；
对于③，当点在时，，取最小值0，又因为，所以值域为，③正确；
对于④，由③得，当时，，所以在上有两个不同的解，，和各有两个解，故有4个实数解，④正确.
故选：D.
【点睛】④中方程解的个数问题，注意的值域为，所以的解需在上，才能有两个解.
48．C
【解析】将问题转化为“点到点的距离加上点到点的距离加上点到点的距离之和的最小值”，采用分类讨论的方法并画出辅助图示求解出最小值.
【详解】因为表示点到点的距离，表示点到点的距离，
表示点到点的距离，设，
则表示的长度和，
显然当点与点在轴的非负半轴上，对应原式的结果更小，
当均不在坐标原点，如下图所示：
考虑到求解最小值，所以，设关于原点的对称点为，
所以；
当其中一个在坐标原点，如下图所示：
此时分别有，，
所以；
当都在坐标原点时，，
综上可知：的最小值为，
故选：C.
【点睛】思路点睛：求解形如的式子的最小值思路：
（1）先将问题转化为点到点的距离之和问题；
（2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析；
（3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值.
49．
【分析】利用两点间的距离公式的几何意义，将代数问题转化为几何问题求解，即可得到答案；
【详解】如图所示，

构造点，，，，
，
分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点，连接，，，，，
，
当且仅当，分别为与轴 轴的交点时，等号成立，
故答案为：.
50．.
【分析】根据两点间距离公式，可得的表达式的几何意义为：点与点的距离之和，作出图形，根据两点间线段最短，可得的距离即为最小值，化简计算，即可得结果.
【详解】由题意得，
其几何意义为：点与点的距离之和，如图所示：
设点，则求的最小值即可，
以B为旋转中心，将绕点B顺时针旋转至，连接，
则均为等边三角形，
所以，
所以，取等号时四点共线，
即，
又，所以，
化简可得，
左右同时平方，根据，解得，
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于数形结合思想的运用，通过将复杂的函数最值问题借助图形转化为容易求解的几何问题，通过分析图形中几何元素的关系直观解答问题.
51．
【分析】根据题意，设直线：，则的几何意义为，点到直线的距离，即可求出取值范围.
【详解】根据题意，设直线：，设点
那么点到直线的距离为：，
因为，所以，且直线的斜率，
当直线的斜率不存在时，，所以，
当时， ，
所以，即，
因为，所以，
故答案为：.
52．或或
【分析】化简得到，然后对进行分类讨论即可求解.
【详解】由已知得，整理得，
看成有且仅有三条直线满足和到直线(不过原点)的距离t相等，
又，
（1）当，此时易得符合题意的直线 l 为线段AB的垂直平分线以及与直线平行的两条直线和；
（2）当时，有4条直线l会使得点和到它们的距离相等，注意到l不过原点，
所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去．
设点A到l的距离为d，
①作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点，其方程为，此时，符合；
②作为增根被舍去的直线l，过原点且与平行，其方程为，此时，符合；
综上，满足题意的实数t为或或
故答案为：或或
【点睛】关键点点睛：本题的关键是化简得到，将问题转化为有且仅有三条直线满足和到直线(不过原点)的距离t相等，然后分类讨论即得.
53．
【分析】转化为，表示，两点到直线的距离和，设中点为，则到直线的距离和为点到直线距离和的2倍，只需求出点到直线距离范围，根据已知条件求出点的轨迹，数形结合，即可求解.
【详解】设中点为，圆，
圆心，化为，
过定点，所以由，
所以点的轨迹为以为直径的圆在圆内的圆弧，
其方程为，联立，解得，
，所以的轨迹为，
圆心到直线的距离为，
过与直线垂直的直线方程为，
与圆的交点为，
在点轨迹上，不在点轨迹上，
所以到直线距离的最大值为，
点到直线的距离为，
设点到直线的距离为，，
，.
故答案为:.
【点睛】本题考查直线与圆的关系，考查相交弦的中点轨迹，要注意轨迹的范围，考查圆弧上点到直线的距离，解题的关键要利用点到直线的距离的几何意义，属于较难题.
54．A
【分析】将方程转化为，利用方程的几何意义判断.
【详解】满足方程，
即满足方程，
几何意义为：点M到直线x-2y+3=0和到点（-1，1）的距离相等，
又因为点（-1，1）在直线x-2y+3=0上，
所以点M的轨迹为一条直线，
故选：A
55．
【分析】直线l：，化为，可得直线l经过定点线段PM的中点根据可得点Q在以点G为圆心，以为半径点圆上利用点到直线的距离公式可得点Q到直线的距离的最小值．
【详解】解：直线l：，化为，
联立，解得，．
直线l经过定点．
线段PM的中点．
．
点Q在以点G为圆心，以为半径点圆上．
其圆的标准方程为：．
圆心G到直线点距离．
点Q到直线的距离的最小值为．
故答案为．
【点睛】本题考查了直线系的应用、圆的方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
56．或
【分析】由曲线及直线：的图象都关于原点对称，所以B为原点，且为AC中点， ，因为直线：上存在满足，所以直线上存在点到原点的距离为，得，解得k的取值范围
【详解】因为曲线及直线：的图象都关于原点对称，所以B为原点，且B为AC中点，所以 ，因为直线：上存在满足，即，所以直线上存在点到原点的距离为，得，解得或
【点睛】根据函数性质，数形结合，理解题目问题的几何意义，建立不等关系求解参数的取值范围
57．A
【分析】①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；
②设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；
③运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；
④讨论在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断．
【详解】解：①对任意三点、、，若它们共线，设，、，，
，，如右图，结合三角形的相似可得，，
为，，，或，，，则，，，；
若，或，对调，可得，，，；
若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，由矩形或矩形，
，，，；
则对任意的三点，，，都有，，，；故①正确；
设点是直线上一点，且，
可得，，
由，解得，即有，
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，，，．无最值，
综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为．
故②正确；
③由题意，到原点的“切比雪夫距离” 等于的点设为，则，
若，则；若，则，故所求轨迹是正方形，则③正确；
④定点、，动点
满足，，，
可得不轴上，在线段间成立，
可得，解得，
由对称性可得也成立，即有两点满足条件；
若在第一象限内，满足，，，
即为，为射线，
由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，
则点的轨迹与直线为常数）有且仅有2个公共点．
故④正确；
综上可得，真命题的个数为4个，
故选:.
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．
58．B
【分析】先求得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b； ③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．
【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为 1，
由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），
由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故0，故点M在射线OA上．
设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．
①若点M和点A重合，如图：
则点N为线段BC的中点，故N（，），
把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．
②若点M在点O和点A之间，如图：
此时b，点N在点B和点C之间，
由题意可得三角形NMB的面积等于，
即，即 ，可得a0，求得 b，
故有b．
③若点M在点A的左侧，
则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．
设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，），
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 （1﹣b） |xN﹣xP|，
即（1﹣b） ||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
两边开方可得 （1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得 b＞1，
故有1b．
综上可得b的取值范围应是 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．
59．C
【分析】根据条件设出直线l3的方程，求出点A，B坐标，用m表示出，再借助几何意义即可计算得解.
【详解】因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：，
由得点，由得点，而，，
于是得，
而表示动点到定点与的距离的和，
显然，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，，
当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0，
从而得取最小值，
所以，当直线l3方程为：时，取最小值.
故选：C
60．B
【分析】构造，结合上点与所成直线的斜率大小判断各式的大小关系.
【详解】构造斜率函数 ，即上点与所成直线的斜率，

由题设，构造的斜率都是正数，
由图象知：倾斜角越大，斜率越大，即原式的值越大，
可得：，即.
故选：B
61．B
【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果.
【详解】设，
由题意可得：，即，
可知表示正方形，其中，
即点在正方形的边上运动，
因为，由图可知：
当取到最小值，即最大，点有如下两种可能：
①点为点A，则，可得；
②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取，
则；
因为，
所以的最大值为.
故选：B.

【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题.
62．D
【分析】利用三角函数的平方关系将转化为点到点的距离之差，再利用三角形两边之差小于第三边，结合三角函数的值域即可求得结果.
【详解】因为，
所以，
故的最大值转化为点到与的距离之差的最大值，
因为，，，
所以，
当且仅当时，等号成立，则，
经检验，此时，，
所以，即的最大值为.
故选：D.
63．B
【分析】先由两直线方程求出的坐标，由于两直线垂直，所以，若设，则，，然后表示出变形后，利用三角函数的性质可求得其范围.
【详解】解：由题意可知，动直线经过定点，
动直线，即，经过点定点，
动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直，
又是两条直线的交点，
，．
设，则，，
由且，可得，
，
，，
，，
，，
，，
故选：B．
【点睛】关键点点睛：此题考查直线过定点问题，考查两直线的位置关系，考查三角函数的应用，解题的关键是由已知得到，通过三角换元转化为利用三角函数的性质求的取值范围，考查数学转化思想，属于较难题.
64．D
【分析】先根据题意求得关于直线对称的点为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，再数形结合得到点的变动范围，从而得到，由此得解.
【详解】设直线方程为，则，解得，即，即，
设关于直线对称的点为，则，解得，即，，
同理可得：
点关于直线的对称点为，
点关于直线的对称点为，
如图所示：
利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；
所以点之间为点的变动范围，
因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而，
所以，即.
故选：D
65．C
【分析】根据条件设出直线l3的方程，求出点A，B坐标，用m表示出，再借助几何意义即可计算得解.
【详解】因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：，
由得点，由得点，而，，
于是得，
而表示动点到定点与的距离的和，
显然，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，，
当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0，
从而得取最小值，
所以，当直线l3方程为：时，取最小值.
故选：C
66．C
【分析】二元函数的几何意义是动点到定点距离的和，结合三点确定的线段和差关系即可得解.
【详解】依题意，因，，则点在由直线围成的矩形ABCD区域内(含边界)，如图，
而表示动点到定点距离的和，在矩形ABCD及内部任取点P，
连接PO，PA，PQ，PC，AC，于是有，当且仅当点P在线段OQ上时取“=”，，当且仅当点P在线段AC上时取“=”，
于是得，当且仅当点P是线段OQ与AC的交点时取“=”，
显然直线AC：与y轴交点在线段OQ上，即当点时，，
所以二元函数的最小值为7.
故选：C
67．C
【分析】根据直线过定点确定出对于给定的一点，取最大值时且，然后根据点为正方形上任意一点求解出，由此可知.
【详解】直线过定点，
对于任意确定的点，
当时，此时，
当不垂直时，过点作，此时，如图所示：
因为，所以，所以，
由上可知：当确定时，即为，且此时；
又因为在如图所示的正方形上运动，所以，
当取最大值时，点与重合，此时，
所以，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析取最大值时与直线的位置关系，通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.
68．ABCD
【分析】由点到直线的距离公式判断A；由辅助角公式判断B；由距离公式结合正弦函数的性质判断CD.
【详解】对于A：由点到直线的距离公式知，，故A正确；
对于B：由题意得，当时，则，
其中，因为，所以，即.
当时，，则，即，
综上，点在直线l上，则，故B正确；
对于CD：因为，
所以的最大值等于，最小值等于，故CD正确；
故选：ABCD
69．ABC
【分析】根据题意，分为三条直线中有两条平行，另外一条与这两条相交和三条直线相交于一点，两种情况讨论，结合两直线的位置关系，即可求解.
【详解】（1）当三条直线中有两条平行，另外一条与这两条相交，此时符合题意，
若直线与直线平行，可得，此时满足题意；
若直线与直线平行，可得，此时满足题意，
（2）若三条直线相交于一点，也符合题意，
由，解得，即两直线的交点为，
将代入直线，可得，
综上可得，实数的值为或或.
故选：ABC.
70．AC
【分析】由点斜式确定定点，由点在以原点为圆心，直径为的圆上，结合圆的性质判断即可.
【详解】可化为，则直线过定点，故A正确；
因为直线的斜率存在，所以点与点不重合，
因为，所以点在以原点为圆心，直径为的圆上（去掉点B），
点到直线的距离为，由图可知，，故B错误；
由图可知，，即，故C正确，D错误；
故选：AC

71．AB
【分析】不管为何值，当时，，即可判断A；根据两直线垂直的判定即可求得的值，从而可判断B；根据两直线平行的判定即可求得的值，从而可判断C；结合C选项可得两直线的方程，再根据两直线平行的距离公式即可判断D．
【详解】不管为何值，当时，，所以直线过定点，故A正确；
当时，有，得，故B正确；
当时，有，得，故C错误；
结合C选项知当时，，所以直线：，：，
所以两平行线间的距离为，故D错误．
故选：AB．
72．
【分析】由题意可知满足为四边形的四边上任意一点，然后画图由几何意义求解即可.
【详解】将直线与的方程化为一般式为，
，所以到两直线的距离之和为：，
所以①.
当时，①式变形为：；
当时，①式变形为：；
当时，①式变形为：；
当时，①式变形为：；
则动点为如图所示的四边形的边，

的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率.
，，，.
则的取值范围是：.
故答案为：.
73．
【分析】易得，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立如图所示的直角坐标系，设，设与AD交于点E，分别求得直线的方程，利用点到直线的距离公式求得C到直线BE的距离，即到的距离，及的长度，从而可求得三角形的面积，再利用导数即可得出答案.
【详解】解：在中，，，
则，
所以，
所以为直角三角形，且，
则以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立如图所示的直角坐标系，
则，，，设，
则直线，即．
设与AD交于点E，则，
又因为直线，即，
此时C到直线BE的距离为，即到的距离为，
所以，
则的面积，
因为，
所以当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以当时，，
即面积的最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了直线中的对称性问题及点到直线的距离公式，考查了利用导数求最值，综合性较强，有一定的难度.
74．
【分析】设切点，，设的直线方程为：，与抛物线联立消去得：，根据题意得，求出，得到的直线方程，同理求出的直线方程，联立求出，再根据，即可求解.
【详解】设切点，，不妨设在第一象限，
设的直线方程为：，
与抛物线联立消去得：，因为相切，所以，
解得，所以的直线方程为：，
同理得的直线方程为：，联立和的直线方程，
解得，因为，所以，
解得，
即点的纵坐标为：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查抛物线方程和性质，考察直线和抛物线位置关系，直线方程的求法和运用，同时考察化简能力，属于难题.
75．##
【分析】的几何意义为点到直线的距离之和，根据梯形中位线知其最大值是的中点到直线的距离的2倍.求出M的轨迹即可求得该最大值.
【详解】的几何意义为点到直线的距离之和，其最大值是的中点到直线的距离的2倍.
由题可知，为等边三角形，则，
∴AB中点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
故点到直线的最大距离为，
∴的最大值为，
∴的最大值为＝.
故答案为：.
76．(1)；
(2).
【分析】（1）求出直线的斜率，由垂直关系求出直线的斜率，并求出其方程作答.
（2）求出与同向且长度等于的向量，再求出即得直线的方向向量，再求出直线方程作答.
【详解】（1）依题意，直线的斜率，于是边上高所在直线的斜率，
所以直线方程为，即.
（2）依题意，，在向量方向上取，使，
而，则，令，
显然平分，于是的平分线所在直线的方向向量为，即直线的斜率为3，
所以直线的方程为，即.
77．的最大值为，此时，.
【分析】由两直线平行且过定点，可知，根据取等时直线、与直线的位置关系可得直线方程.
【详解】因为两条平行直线与分别过点与点，
所以两平行线间的距离，
当且仅当直线、均与直线垂直时等号成立，
此时，所以，
所以，也即；
，也即.
78．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）列出方程，分别令，可求出定点；
（2）先令令，再表达出三角形面积，最后利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）证明：直线的方程为：
提参整理可得：．
令，可得，
不论为何值，直线必过定点.
（2）设直线的方程为．
令 则，
令．则，
直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
此时的方程为．
79．
【分析】由题意可得，求出过点和点的直线的方程代入化简即可得出答案.
【详解】把坐标代入直线和直线，
得,，
∴，
过点和点的直线的方程是：，
∴，则，
∵，
∴，
∴所求直线方程为．
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