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专题05 直线与圆综合大题18种题型归类
一、核心考点题型归纳
【题型一】求圆的方程
【题型二】求轨迹方程
【题型三】阿波罗尼斯圆轨迹
【题型四】中点弦
【题型五】弦长
【题型六】中点弦轨迹
【题型七】切线型面积范围最值
【题型八】圆上点代入型最值
【题型九】圆与直线相交弦型面积最值
【题型十】圆与直线“五个方程”型
【题型十一】圆与直线“五个方程”型最值
【题型十二】圆与直线“五个方程”型线过定点
【题型十三】圆过定点
【题型十四】定直线
【题型十五】定值
【题型十六】两圆关系：公共弦长及方程
【题型十七】两圆关系：公切线
【题型十八】两圆关系：公切线最值
二、期中期末好题培优练
热点
好题归纳
【题型一】求圆的方程
知识点与技巧：
解决直线与圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆的条件；
（2）强化利用几何法求解圆的弦长，代入公式化简得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题．
（2022·高二课时练习）
1．在①圆Q经过直线：与直线：的交点，②圆心Q在直线上这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并作答．
问题：是否存在圆Q，使得点，均在圆Q上，且______？若存在，求圆Q的方程；若不存在，请说明理由．
（2022·高二课时练习）
2．求满足下列条件的圆的方程．
(1)经过点且和直线相切，同时圆心在直线上的圆；
(2)经过点，且与直线l：相切于点的圆．
（2023·全国·高二专题练习）
3．已知直线过点且与直线垂直，圆的圆心在直线上，且过，两点．
(1)求直线的方程；
(2)求圆的标准方程．
【题型二】求轨迹方程
知识点与技巧：
求轨迹方程的常见方法
①直接法：将动点满足的（与斜率、距离、数量积等有关的，或由平面几何知识推出的）等量关系，直接坐标化，即可得到动点轨迹方程．
②定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等），可根据定义直接求，又称几何法，利用平面几何知识转化是关键．
③代入法：若动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知（或容易先确定的）曲线上，则可先用，的代数式表示，，再将，代入已知曲线即可得到要求的轨迹方程．又称相关点法或转移法．
（2023·全国·高二专题练习）
4．已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.
(1)求圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.
（2023·全国·高二专题练习）
5．已知圆经过，，三点.
(1)求圆的方程；
(2)设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为，求的方程.
（2023·全国·高二专题练习）
6．已知圆C过三个点．
(1)求圆C的方程：
(2)已知O为坐标原点，点A在圆C上运动，求线段的中点P的轨迹方程．
【题型三】阿波罗尼斯圆轨迹
（2023·全国·高二专题练习）
7．已知圆经过点，，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若平面上有两个点，，点是圆上的点且满足，求点的坐标.
（2022·高二课时练习）
8．已知圆，点，为上一动点，始终为的中点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若存在定点和常数，对轨迹上的任意一点，恒有，求与的值.
【题型四】中点弦
（2023·全国·高二专题练习）
9．已知圆，AB为过点且倾斜角为α的弦．
(1)当时，求弦AB的长；
(2)若弦AB被点P平分，求直线AB的方程．
（2022·高二课时练习）
10．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）设直线与该圆相交于两点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点的直线l垂直平分弦？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
（2021·全国·高三专题练习）
11．在平面直角坐标中曲线与坐标轴的交点都在圆上，若直线被圆截得的弦恰以为中点，求的值.
【题型五】弦长
（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）
12．圆C：内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点.
(1)当弦AB最长时，求直线l的方程；
(2)当直线l被圆C截得的弦长为时，求l的方程.
（2023·全国·高二专题练习）
13．已知圆，点.
(1)求过点P的圆C的切线l的方程；
(2)若直线m过点P且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程.
（2021秋·高二单元测试）
14．在直角坐标系中，曲线与轴交于，两点，点的坐标为．
(1)能否出现的情况？请说明理由；
(2)证明过，，三点的圆在轴上截得的弦长为定值；
(3)若定点，圆过，，三点，且存在定直线被圆截得的弦长为定值，求定直线的方程．
【题型六】中点弦轨迹
（2022·高二课时练习）
15．已知圆：，直线：，点．
(1)判断直线与圆的位置关系；
(2)设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若，求直线的方程．
（2023秋·高二课时练习）
16．从定点向圆任意引一割线交圆于P，Q两点，求弦PQ的中点M的轨迹方程.
（2023秋·高二课时练习）
17．的顶点B，C的坐标分别是，，顶点A在圆上运动，求的重心G的轨迹方程.
【题型七】切线型面积范围最值
（广东省深圳市宝安中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题）
18．平面直角坐标系中，直线，设圆经过，，圆心在上.
(1)求圆的标准方程；
(2)设圆上存在点P，满足过点P向圆作两条切线PA，PB，切点为，四边形的面积为10，求实数m的取值范围．
（浙江省舟山市2022-2023学年高二上学期期末数学试题）
19．已知点，圆C：.
(1)若过点.A可以作两条圆的切线，求m的取值范围；
(2)当时，过直线上一点P作圆的两条切线PM PN，求四边形PMCN面积的最小值.
（四川省成都市树德中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学（理）试题）
20．已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长为
(1)求圆C的方程；
(2)由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值．
【题型八】圆上点代入型最值
（2023·全国·高二专题练习）
21．已知圆过点，，且点关于直线的对称点仍在圆上．
（1）求圆的方程；
（2）设是圆上任意一点，，求的最大值和最小值．
（2023·全国·高二随堂练习）
22．已知，，三点，点P在圆上运动，求的最大值和最小值．
（2022·高二课时练习）
23．已知圆经过，，.
(1)求圆的标准方程；
(2)若点，点是圆上的一个动点，求的最小值.
【题型九】圆与直线相交弦型面积最值
（安徽省亳州市涡阳县第三中学等校2022-2023学年高二上学期12月期末联考数学试题）
24．已知圆，直线l过原点．
(1)若直线l与圆M相切，求直线l的方程；
(2)若直线l与圆M交于P，Q两点，当的面积最大时，求直线l的方程．
（江苏省扬州中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题）
25．已知圆.
(1)若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；
(2)若直线l过点且与圆C相交于M，N两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程.
（浙江省湖州市三贤联盟2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题）
26．已知圆的方程为，是经过且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交轴于点．
(1)若，求直线的方程；
(2)求面积的最小值．
【题型十】圆与直线“五个方程”型
（2021秋·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考阶段练习）
27．已知圆O：x2+y2＝4．
(1)过点P（1，2）向圆O引切线，求切线l的方程；
(2)过点M（1，0）任作一条直线交圆O于A、B两点，问在x轴上是否存在点N，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出N的坐标，若不存在，请说明理由．
（2021秋·安徽·高二校联考期中）
28．设圆的圆心为，半径为，圆过点，直线交圆与两点，.
(1)求圆的方程；
(2)已知，过点的直线与圆相交于两点，其中，若存在，使得轴为的平分线，求正数的值.
（2021·全国·高二期中）
29．已知圆经过两点，，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线与圆相交于，两点，为坐标原点，若，求的值.
【题型十一】 直线与圆“五个方程”型最值
（2022·全国·高二专题练习）
30．若圆的内接矩形的周长最大值为．
(1)求圆O的方程；
(2)若过点的直线与圆O交于A，B两点，如图所示，且直线的斜率，求的取值范围．
（2023·全国·高二专题练习）
31．已知圆心在轴上的圆与直线切于点.
(1)求圆的标准方程；
(2)已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于，.求的最大值．
（2021秋·全国·高二专题练习）
32．已知定点，，动点P满足.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若A，B为（1）中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线，，的斜率分别为，，.当时，求k的取值范围.
【题型十二】 直线与圆“五个方程”型 :直线过定点
（江苏省泰州市口岸中学2019-2020学年高一下学期第二次月度质量检测数学试题）
33．已知圆O：与直线相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若过点的直线l被圆O所截得的弦长为4，求直线l的方程；
（3）若过点作两条斜率分别为，的直线交圆O于B、C两点，且，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标．
34．已知圆C的圆心坐标为，与y轴的正半轴交于点A且y轴截圆C所得弦长为8．
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线n交圆C于的M，N两点（点M，N异于A点），若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标．
（2023·全国·高二专题练习）
35．已知圆过点，，.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点且与轴平行的直线与圆交于点，，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，（与不重合），证明：直线过定点.
【题型十三】圆过定点
（内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题）
36．已知圆，圆．
（1）过的直线截圆所得的弦长为，求该直线的斜率；
（2）动圆同时平分圆与圆的周长．
①求动圆圆心的轨迹方程；
②问动圆是否过定点，若经过，则求定点坐标；若不经过，则说明理由．
（浙江省绍兴市诸暨中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题）
37．已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为.
(1)求圆C的方程；
(2)设P是直线上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
（2022秋·全国·高二专题练习）
38．如图，已知圆，直线的方程为，点是直线上一动点，过点作圆的切线 ，切点为 .
（1）当的横坐标为时，求的大小；
（2）求证：经过 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
【题型十四】定直线
39．已知曲线C：．
(1)求证：不论m取何实数，曲线C恒过一定点；
(2)证明当时，曲线C是一个圆，且圆心在一条定直线上；
(3)若曲线C与轴相切，求m的值．
（江苏省徐州市贾汪中学2022-2023学年高二上学期月考（一）数学试题）
40．已知圆O:x2+y2=1和定点T(2，1)，由圆O外一动点P(m，n)向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PT|.
(1)求证:动点P在定直线上，求出定直线的一般式方程;
(2)求线段PQ长的最小值，并写出此时点P的坐标.
（江苏省宿迁中学2022-2023学年高二下学期入学检测数学试题）
41．在平面直角坐标系中，圆M是以，两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线对称.
(1)求圆N的标准方程；
(2)设，，过点C作直线，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上.
（i）过点C作与直线垂直的直线，交圆N于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；
（ii）设直线OP，DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
【题型十五】定值
（甘肃省庆阳市宁县第二中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题）
42．已知圆，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点，M为线段PQ的中点．
(1)若﹐求直线l的方程：
(2)若直线l与直线交于点N，直线l过定点A，求证：为定值．
（2023·全国·高二专题练习）
43．过点的直线与圆交于两点，为圆与轴正半轴的交点．
(1)若，求直线的方程；
(2)证明：直线的斜率之和为定值．
（2023·全国·高二专题练习）
44．已知，为上三点.
（1）求的值；
（2）若直线过点(0，2)，求面积的最大值；
（3）若为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【题型十六】两圆关系：公共弦长及方程
（2023·全国·高二随堂练习）
45．已知圆与圆相交，求交点所在直线的方程.
（2023·全国·高二专题练习）
46．求圆和圆公共弦所在直线方程，并求弦长．
（2021·高二课时练习）
47．已知两圆和.
（1） 判断两圆的位置关系；
（2） 求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长.
【题型十七】两圆关系：公切线
知识点与技巧：
过一点求圆的切线的方法：
（1）过圆上一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法：
先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.
（2）过圆外一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法：
当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k（x－x0），即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．
（2023·全国·高二课堂例题）
48．求圆与的公切线的方程．
（2023·全国·高二专题练习）
49．已知圆，圆．
(1)求两圆的公共弦长；
(2)求两圆的公切线方程．
（2022·高二课时练习）
50．求圆与圆的公切线所在直线的方程.
【题型十八】两圆关系：公切线最值
（2023·全国·高二专题练习）
51．已知圆与圆相交于两点，点位于轴上方，且两圆在点处的切线相互垂直.
(1)求的值；
(2)若直线与圆 圆分别切于两点，求的最大值.
（2023·全国·高二专题练习）
52．过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且相交于点，，相交于点，．以，为直径的圆，圆为圆心的公共弦所在的直线记为．
(1)若，求；
(2)若，求点到直线的距离的最小值．
培优练
（2022秋·全国·高二期中）
53．已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线n交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标.
(3)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值.
（2023秋·浙江台州·高二台州市书生中学校考开学考试）
54．已知直线，圆.
(1)证明：直线l与圆C相交；
(2)设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
（2023秋·高二单元测试）
55．如图，已知圆，点.

(1)求圆心在直线上，经过点，且与圆相外切的圆的方程；
(2)若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程.
（2023·全国·高二专题练习）
56．已知圆过点，，.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点且与轴平行的直线与圆交于点，，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，（与不重合），证明：直线过定点.
（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）
57．已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与x轴的交点，E为直线l：x＝4上的动点，直线CE，DE与曲线的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求点Q的坐标．
（2023·全国·高二专题练习）
58．已知圆：，点.
(1)若，求以为圆心且与圆相切的圆的方程；
(2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求的值.
（2023·全国·高二专题练习）
59．已知圆和定点，动点在圆上．
(1)过点作圆的切线，求切线方程；
(2)若满足，求证：直线过定点．
（2023秋·高二单元测试）
60．已知圆和点．
(1)过M作圆O的切线，求切线的方程；
(2)过M作直线l交圆O于点C，D两个不同的点，且CD不过圆心，再过点C，D分别作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程；
(3)已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值？若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由．
（2022秋·重庆巴南·高三重庆市实验中学校考期中）
61．已知圆，直线与圆O交于A，B两点．
(1)求；
(2)设过点的直线交圆O于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点S满足．证明：直线SN过定点．
（2022·全国·高三专题练习）
62．已知圆过点，且与圆关于直线对称．
(1)求圆的方程；
(2)直线过点，截圆所得的弦长为2，求直线的方程；
(3)过点作两条相异直线分别与圆相交于，，且直线和直线的倾斜角互补，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由．
（2022秋·高二课时练习）
63．平面直角坐标系中，圆M经过点，，．
(1)求圆M的方程；
(2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上，过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值．
（2022·全国·高二期中）
64．如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．
(1)求直线的方程，并判断直线是否过定点若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；
(2)求线段中点的轨迹方程；
(3)若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．存在；．
【分析】设圆心Q的坐标为，圆的半径为r.如果选择①，根据求出的值即得解；如果选择②，根据求出，即得解.
【详解】解：因为点，均在圆Q上，所以圆心Q在线段AB的垂直平分线上．
又直线AB的方程为，所以线段AB的垂直平分线的方程为，
则可设圆心Q的坐标为，圆的半径为r．
如果选①，
由，解得，即直线和的交点为，则圆Q过点，
所以，解得，则，
即存在圆Q，且圆Q的方程为．
如果选②，
由圆心Q在直线上可得，则，
所以．
即存在圆Q，且圆Q的方程为．
2．(1)和
(2)
【分析】（1）由题，设圆心为，由圆心到直线的距离等于到点的距离列等式，整理解出a，即可进一步求出半径，即得圆的方程；
（2）由AB坐标求AB的中垂线方程，再求过点B且与l垂直的直线，由两直线交点求出圆心，进一步求出半径，即得圆的方程.
【详解】（1）圆心在直线上，设圆心为，圆心到直线的距离等于到点的距离，
即，
整理得，解得或．
当时，圆心为，半径为，方程为；
当时，圆心为，半径为，方程为．
（2）圆心到A、B的距离相等，即在线段AB的中垂线上，AB的中垂线的点法向式方程为，化简得．
另一方面，圆心在过点B且与l垂直的直线上，其点法向式方程为，化简得．
联立方程组解得圆心坐标为，则到点A的距离．
综上所述，圆的方程为．
3．(1)
(2)
【分析】（1）由题设，代入得出直线的方程；
（2）设圆心，根据得出圆的标准方程.
【详解】（1）由题设，
代入得，于是的方程为.
（2）设圆心，则，
即，
解得：，
，又圆心，
圆的标准方程为.
4．(1)
(2)
【分析】（1）求出圆心的坐标和圆的半径，即得解；
（2）设点，，由得，代入圆的方程即得解.
【详解】（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为，
它与轴的交点为圆心，又半径，所以圆的方程为；
（2）设，，由，得，
所以，又点在圆上，故，
所以，化简得的轨迹方程为
5．(1)；
(2).
【分析】（1）利用待定系数法求出圆的方程即可；
（2）设，利用得到点的坐标，将点代入圆，化简即可得到点的轨迹方程.
【详解】（1）设圆的方程为，
将三点，，分别代入方程，
则，解得，，，
所以圆的方程为；
（2）设，，
因为点满足，，
所以，，
则，所以.
因为点在圆上运动，
所以，
所以，所以，
所以点的轨迹方程为.
6．(1)
(2)
【分析】（1）设圆的方程为，将三个点代入求解；
（2）设动点P的坐标为， A的坐标是，由P为线段OA的中点，得到 ，代入圆上的点求解.
【详解】（1）解：设圆的方程为，
因为圆过三个点，
所以，解得，
所以圆的方程为，即．
（2）设动点P的坐标为， A的坐标是．
由于P为线段OA的中点，所以 ， ，
所以有 ①
A是圆上的点，
所以A坐标满足：②
将①代入②整理，得，
所以P的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，方程为．
7．(1)
(2)或
【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.
（2）根据已知条件求得满足的方程联立即可求得的坐标.
【详解】（1）∵圆心在直线上，
设圆心，
已知圆经过点，，则由，
得
解得，所以圆心为，
半径，
所以圆的方程为；
（2）设，
∵在圆上，∴，
又，，
由可得：，
化简得，
联立
解得或.
8．(1)
(2)，
【分析】（1）设，由中点公式可得，代入到圆的方程中，整理即可求解；
（2）设，由两点间距离公式可得，结合，可得，由式子恒成立，可知，即可求解.
【详解】（1）设，
因为为的中点，，所以，即，
因为圆的方程为，则，整理得，，
故动点Q的轨迹方程为.
（2）设，则且，
整理得，
因为在Q的轨迹上，所以，
故，
当且仅当时上式恒成立，此时，，则，
解得或9，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意，
故，.
9．(1)弦AB的长为3；
(2).
【分析】（1）本小题先根据倾斜角求直线斜率，再求直线方程，求圆心到直线的距离，结合弦长公式求弦AB的长；；
（2）本小题借圆的弦的几何意义先求直线的斜率，再根据点斜式求直线方程.
【详解】（1）当时，直线AB的斜率为，
因为直线AB过点，
所以直线AB的方程为：即，
圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
所以，
所以弦AB的长为3；
（2）因为，，
所以 ，
因为弦AB被点平分，所以 ，
所以，
所以直线AB的方程：，
所以直线AB的方程：
10．（1）；（2）；（3）存在实数，理由见解析.
【解析】（1）设圆心为M（m，0），根据相切得到，计算得到答案.
（2）把直线ax﹣y+5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0得到答案.
（3）l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0，过点M（1，0），计算得到答案.
【详解】（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5，
所以 ，即|4m﹣29|＝25．因为m为整数，故m＝1．
故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝25．
（2）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圆的方程，消去y，
整理得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0，
由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，
即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a，所以实数a的取值范围是（）．
（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，
l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0，
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，
所以1+0+2﹣4a＝0，解得．由于，
故存在实数，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB.
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
11．
【分析】先求出曲线与坐标轴的交点，根据题意求出圆心坐标和半径，即可写出圆的方程，设点，由垂径定理可知与直线垂直，结合斜率关系可求得的值.
【详解】曲线与轴的交点为，
令，解得，，
即曲线与轴的交点为、，
故可设圆的圆心为，则有，解得，
则圆的圆心为，半径为，所以圆的方程为.
直线的斜率为，
由垂径定理可知与直线垂直，故.
12．(1)
(2)或
【分析】（1）弦AB最长时，直线l过点和圆心,可求方程；
（2）根据弦长，求得圆心到直线距离，利用点到距离公式可求直线方程.
【详解】（1）圆C：化为标准方程为，则圆C的圆心为.
又弦AB最长时，直线l过点和，所以直线l的方程为，
即.
（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，
弦长为时，由圆的半径为3，由垂径定理和勾股定理得，
圆心到直线距离为，即，解得，
此时直线l的方程为，
经检验k不存在时的直线也符合条件.
所以直线l的方程为或.
13．(1)
(2)或
【分析】（1）当直线斜率不存在时，直线方程为：，由圆心到直线的距离等于半径判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求解；
（2）直线斜率不存在时，直线方程为：，圆心到直线的距离为，直线被截的弦长为判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，再由直线被截的弦长为求解.
【详解】（1）解：当直线斜率不存在时，直线方程为：，
圆心到直线的距离为，不成立；
当直线的斜率存在时：设直线方程为，即，
圆心到直线的距离等于半径为：，
解得，所以直线方程为：，
即；
（2）当直线斜率不存在时，直线方程为：，
圆心到直线的距离为，则直线被截的弦长为，成立；
当直线的斜率存在时：设直线方程为，即，
圆心到直线的距离为：，
直线被截的弦长为，解得，
所以直线方程为：，
即，
综上：直线方程为：或
14．(1)不能，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用根与系数的关系及斜率乘积即可得结论；
（2）分别求出 的中垂线方程，联立求得圆心坐标与半径，利用勾股定理求弦长 ，则结论得证；
( 3 ) 设过三点的圆的方程为，由为0时方程的系数相等可得与，结合圆 过可得，再由圆系方程求解定值线的方程.
【详解】（1）不能出现的情况，理由如下：
二次函数的图象与轴交于，两点，设，，，，
则，
又的坐标为，
故的斜率与的斜率之积为，
所以不能出现的情况
（2）证明：的中点坐标为，可得的中垂线方程为，
由（1）可得，所以的中垂线方程为，
联立，又，
可得，，
过，，三点的圆的圆心坐标为，，半径，
故圆在轴上截得的弦长为，为定值
（3）设过，，三点的圆的方程为，
由时与等价，可得，，
圆的方程为．
又圆过，所以，即圆．
则直线．
15．(1)相交
(2)
(3)或
【分析】（1）先求出动直线经过的定点，判断定点和圆的位置关系即可；
（2）连接圆心和弦的中点，利用垂径定理找出几何关系来解决；
（3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理来解决.
【详解】（1）因为直线：过定点，
又，所以在圆内，
所以直线与圆相交；
（2）设，当与不重合，即时，连接，，则，根据勾股定理．则，化简得：（）；当与重合时，，也满足上式，故弦的中点的轨迹方程为；
（3）设，，因为，所以，
所以，化简得． ①
又消去并整理得，
所以②，． ③
由①②③联立，解得，
所以直线的方程为或．
16．（在圆C内部的部分）
【分析】设所求轨迹上任一点，求得圆C的圆心坐标为，因为，所以，求解即可．
【详解】设所求轨迹上任一点，
圆C的方程可化为
则圆心坐标为，，

因为，所以点M的轨迹是以AC为直径的圆（在圆C内部的部分），
因为AC的中点坐标为，
所以点M的轨迹方程为（在圆C内部的部分）．
17．
【分析】重心G的轨迹方程是指点G的坐标满足的关系式，点A在已知圆上运动，点A的坐标满足圆的方程，建立点G与点A坐标之间的关系，就可以建立点G的坐标满足的条件，进而求出点G的轨迹方程.
【详解】设的重心G的坐标是，点A的坐标是.
已知点B，C的坐标分别是，，
则的重心G的坐标满足，.
因此有，.①
因为点A在圆上运动，
所以点A的坐标满足方程，
即满足方程.②
将①代入②，得.
即所求轨迹方程为.

18．(1)；
(2)
【分析】（1）利用代入法，通过解方程组进行求解即可；
（2）根据圆的切线性质，结合三角形面积公式、圆与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】（1）设圆的标准方程为，
因为圆经过，，圆心在上，
所以有，即圆的标准方程；
（2）四边形的面积10，而四边形是由两个全等的直角三角形组成， 的面积为5，即，又，，
，动点P的轨迹为以为圆心，以5为半径的圆，
即点P在圆
又点P在圆 上，
圆E与圆有公共点．
，即，
解得 ．实数m的取值范围为
19．(1)或
(2)
【分析】（1）利用点在圆外代入得到不等式，结合曲线方程表示圆即可解答；
（2）首先得到，再根据点到直线的距离公式求出的最小值，最后得到四边形面积的最小值.
【详解】（1）由题意得在圆外，则，即
又，即或
所以或.
（2）时，圆方程为，则圆的半径，圆心，
直线方程为，设圆心到直线的距离为，
，
20．(1)
(2)
【分析】（1）设出圆心坐标，判断出圆的半径，利用直线截圆所得弦长列方程来求得，从而求得圆的方程.
（2）先求得，通过求的最小来求得的最小值.
【详解】（1）依题意，设圆的圆心坐标为，半径为，
到直线的距离为，
所以，解得，
所以圆的方程为.
（2）由（1）得，圆的圆心为，半径，
，所以当最小时，最小.
到直线的距离为，
所以的最小值为，
所以四边形PACB面积的最小值为.
21．（1）；（2）最大值88；最小值72．
【解析】（1）先判断圆心在直线上，设圆心坐标为，利用圆过点，，建立方程，求出圆心与半径，即可求圆的方程；
（2）由，结合两点间距离公式可得，再利用可求其最大值和最小值．
【详解】（1）因为关于直线的对称点仍在圆上，
所以直线经过圆心，
设圆心坐标为，
又圆过点，，
，
解得，
圆心坐标为，半径为2，
圆的方程为；
（2）设点坐标为，则：
，
，，
，
，
当，有最大值88；当，有最小值72．
【点睛】方法点睛：求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.
22．最大值为88，最小值为72
【分析】设，利用两点间的距离公式得到，再由点P在圆上运动，化简为求解.
【详解】设，
因为，，三点，
所以
，
，
因为点P在圆上运动，
则，解得，
所以，
当时，取的最大值88，
当时，取的最小值72.
23．(1)
(2)
【分析】（1）设出圆的标准方程，将已知点代入得出方程组可求；
（2）利用数量积的运算律转化结合数量积的定义求出.
【详解】（1）设圆的标准方程为，
由于圆经过，，，
所以有，解得
所以圆的标准方程为.
（2）由（1）知，圆的半径为，
.
当与共线且同向时，取得最小值.
所以的最小值为.
24．(1)或
(2)或．
【分析】（1）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于半径来求得直线的方程.
（2）设出直线的方程，由点到直线的距离公式、弦长公式求得三角形面积的表达式，结合二次函数的性质求得的面积最大时直线的方程.
【详解】（1）①当直线l的斜率不存在时，直线l为，显然符合直线与圆相切，
②当斜率存在时，设直线为，圆M的圆心坐标，
圆心到直线的距离，
由题意得：直线l与圆M相切，则，解得：，
所以直线l的方程为：，
综上所述，直线l的方程为：或
（2）直线l的斜率不存在时，直线l为与圆相切，不符合题意，故直线l斜率必存在，
设直线l的方程为：，
圆心到直线的距离，弦长，
所以，
当时，面积S最大，
这时，整理得，解得，或，
所以直线l的方程：或．
25．(1)或；
(2)最大值为8，或.
【分析】（1）求出圆的圆心和半径，再由弦长，弦心距和半径的关系求出圆心C到直线l的距离，然后分直线l的斜率不存在和存在两情况讨论求解即可；
（2）设直线l的方程为，求出圆心C到直线l的距离，而的面积，从而可求出的面积的最大值，再由的值可求出，进而可求出直线方程.
【详解】（1）圆C的圆心坐标为，半径，
因为直线l被圆C截得的弦长为，所以由勾股定理得到圆心C到直线l的距离.
①当直线l的斜率不存在时，，显然不满足；
②当直线l的斜率存在时，设，即，
由圆心C到直线l的距离，得，
即，解得或，
故直线l的方程为或.
（2）因为直线l过点且与圆C相交，所以直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，即，
则圆心C到直线l的距离为，
又的面积，
所以当时，S取最大值8.
由，得，解得或，
所以直线l的方程为或.
26．(1)
(2)
【分析】（1）考虑斜率存在和不存在两种情况，设出直线方程，根据点到直线的距离公式得到，解得答案.
（2）考虑当斜率不存在和不存在两种情况，计算圆心到直线的距离和弦长，得到三角形面积为，对比斜率不存在的情况得到答案.
【详解】（1）圆的方程为，圆心，半径．
若垂直于轴，则不合题意，
故斜率存在，设为，则的方程为，即．
，到的距离，，解得，
故直线的方程为，即．
（2）由已知，斜率不为0，故斜率存在．
当斜率不存在时，方程为，则，此时方程为，此时，
．
当斜率存在时，设即，则圆心到直线的距离为．
，
方程为，即，，则点到的距离为．
.
综上：面积的最小值为．
27．(1)或
(2)存在，
【分析】（1）设切线的方程为，由已知条件结合点到直线的距离公式即可求出的方程；
（2）假设存在，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入，得，设，，，，求出，，再由化简，然后结合已知条件即可求出的值，则答案可求．
【详解】（1）（1）由题意，斜率存在，设切线的方程为，
与圆相切，
，解得或．
的方程为或；
（2）假设存在，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
代入，得，
设，，，，
，．
，
而
，
，
，即，得．
当直线与轴垂直时，也成立．
故存在点，使得．
28．(1)或
(2)4
【分析】（1）设圆C的方程为，根据题意，利用待定系数法，即可求出结果；
（2）由（1）知，圆C的方程为，设直线PQ的方程为，联立直线与圆的方程，化简整理得到韦达定理，然后再根据轴平分，可得，化简整理可得，求解方程即可得到结果.
【详解】（1）解：设圆C的方程为，
由题意得，，解得，或，
∴圆C的方程为或.
（2）解：由（1）知，圆C的方程为.
设直线PQ的方程为，
联立，化简得，
∴，.
∵轴平分，∴，则，
∴，
即，
∴，解得，
∴当时，轴为的平分线.
29．（1）；（2）.
【分析】（1）利用几何法求出圆心坐标，圆心到点的距离求出半径，最后写出圆的半径；（2）联立直线方程和圆的方程，根据求出直线的斜率，再根据求出的值.
【详解】（1）因为，，所以线段的中点的坐标为，
直线的斜率，
因此直线的垂直平分线的方程是：，即.
圆心的坐标是方程组的解.
解此方程组，得，所以圆心的坐标是，
圆心为的圆的半径长为，
所以，圆心为的圆的标准方程是.
（2）设，，
联立直线与圆的方程，得
消元得，
因为直线与圆相交，所以，
解得，
且，，
所以.
因为，所以，
解得或3，因为，所以，
此时直线的方程为，即，
此时圆心到直线的距离，
则.
【点睛】圆的弦长的常用求法：
(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.
30．（1）（2）
【分析】(1) 设矩形在第一象限点为 (x，y) (x> 0，y> 0)，则，表示出矩形的周长，利用基本不等式求其最大值，根据等号的成立条件可得，进而可得圆的方程；
(2) )设直线AB：，，联立：，利用韦达定理求出和，利用单调性求出的取值范围.
【详解】解：(1) 设矩形在第一象限点为 (x，y) (x> 0，y> 0)，则，
∴矩形周长 ，
∵　，
∴，
∴，
当且仅当取“=”
∴矩形周长的最大值为，
∴r = 2，∴圆O的方程：
(2)设直线AB：， ,
联立：，
消去y并整理得，
∴，
∴，
同理：
∴
，
∵，
∴异号，
∴
　　　　　　　
∴ ，
∵，
∴，
∴.
【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查利用韦达定理解决最值问题，是中档题.
31．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程.
（2）设出直线的方程，并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得的表达式，结合换元法以及基本不等式求得的最大值.
【详解】（1）由圆心在轴上的圆与直线切于点，设，
直线的斜率为，
则，所以．
所以，所以，，即，
所以圆的标准方程为．
（2）设直线，与圆联立方程组，
可得，
，由根与系数的关系得，，
，
令，则，
所以
，
当且仅当，即时取等号，此时，
所以的最大值为.
【点睛】本题的难点在于第二问，求最值.求解最值有关的题目，首先要将表达式求出，本题是结合根与系数关系求得表达式.然后根据表达式的结构来选择求最值的方法，可考虑二次函数的性质、基本不等式或函数的单调性来求解最值.
32．（1）；（2）.
【分析】（1）设动点P的坐标为，由题中条件利用直接法求出轨迹方程即可；
（2）设点，，直线的方程为，与圆的方程联立可得，再利用韦达定理和斜率公式计算即可得出.
【详解】（1）设动点P的坐标为，
因为，，且，
所以，
整理得，
所以动点P的轨迹C的方程为；
（2）设点，，直线的方程为，
由消去y，整理得，（）
由得，①
由（）知，，②
所以，
即，③
将②代入③，整理得，④
由④得，解得，⑤
由①和④，解得或，⑥
要使，，有意义，则，，
所以0不是方程（）的根，
所以，即，⑦
由⑤⑥⑦，得k的取值范围是.
【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆的位置关系的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
33．（1）；（2）或；（3）证明详见解析，该点坐标为．
【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径即可求出.
（2）根据题意可得圆心到直线的距离，分类讨论，当斜率不存在时，，满足题意；当直线的斜率存在，利用点斜式求出直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.
（3）设直线AB：，直线： ，分别与圆的方程联立，求出点、，进而求出直线BC方程，根据直线方程即可求解.
【详解】解：（1）圆O：与直线相切，
圆心到直线的距离等于半径，即，
，
圆O的方程为；
（2）直线l被圆O所截得的弦长为4，
圆心到直线的距离，
斜率不存在时，，满足题意；
斜率存在时，设方程为，
即，
圆心到直线的距离，，
直线l的方程为，
综上所述，直线l的方程为或；
（3）由题意知，设直线AB：，
与圆方程联立，消去y得：，
，，即，
设直线： ，
与圆的方程联立，消去y得：，
，，
，用代替得：，
直线BC方程为，
令，可得，则直线BC定点
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、点斜式方程，考查了考生的基本运算能力，属于基础题.
34．(1);
(2)证明见解析，定点为.
【分析】（1）设圆的标准为，求出即得解；
（2）直线n斜率不存在时，不存在；直线n斜率存在时，设直线n：，，，，，求出直线的方程为即得解.
【详解】（1）设圆的标准为，y轴截圆C所得弦长为8，
即，
故圆的标准方程为．
（2）证明：令，可得，，又点在正半轴，故，
当直线n斜率不存在时，设，，
直线，的斜率之积为2，
，即，
点在圆上，
，
联立，，舍去，
当直线n斜率存在时，设直线n：，，，，，
①
联立方程，
，，
代入①，得，
化简得或，
若，则直线过，与题设矛盾， 舍.
直线n的方程为：，所以且
所以.
所以过定点．
35．(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求得圆一般方程，再将其转化为标准方程；
（2）求出点，的坐标，设，根据，得出，的坐标，当直线斜率存在时，设直线方程为，与圆方差联立方程组，利用根与系数关系化简得出与的关系，进而得出直线恒过的定点坐标，再验证斜率不存在时仍成立.
【详解】（1）设圆的一般方程为，
又圆过点，，，
则，
解得，
所以圆的一般方程为，
即其标准方程为；
（2）由题意得，所以直线，点，点，
设点，，，
所以，，
所以，
又，，
，
又，在圆上，
所以，，
，
即，
所以，
整理得：，
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
代入，
得，
则，，
所以，
即，
即，
得或，
当时，直线的方程为，过点，
当时，直线的方程为，过点，在直线上，不成立，
当直线斜率不存在时，，即，解得或（舍），所以直线过成立，
综上所述，直线恒过点.
36．（1）或；（2）①，②.
【详解】试题分析：（1）设出直线的方程，根据勾股定理和弦长得到圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式即得直线斜率的值；（2）①由于圆与圆半径相等，要使得圆都平分它们，必有，知在的中垂线上，求的垂直平分线方程即得点的轨迹；②根据的轨迹方程设出的坐标，由勾股定理得，从而得到圆的方程，分离参数，解方程组即得圆经过的定点.
试题解析：（1）设直线为，由弦长可得圆心到直线的距离为，
点到直线的距离为，化简得：，
解得，或
（2）①作出图形可证，知在的中垂线上，求得，
②设，作出图形知，
圆的方程：
，
得两个定点为，
考点：直线方程、圆的方程及直线与圆的位置关系的应用.
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆相交关系的应用，解决这类问题的关键是通过勾股定理建立半径、半弦与弦心距三者之间的关系，本题中第（1）问、第（2）问中的②都用到了这一关系；同时解答本题的难点是对“动圆同时平分圆与圆的周长”这一条件的处理，解答时应结合图形分析出其本质还是点到两点的距离相等，进而得到点的轨迹.
37．(1)
(2)证明见解析，定点为与.
【分析】(1)利用直线被圆截得的弦长公式即可求解；(2)求出过的圆的方程，求解定点.
【详解】（1）设圆心，则圆心到直线的距离为.
因为圆被直线截得的弦长为，所以，
解得或（舍），故圆C：.
（2）已知P是直线上的动点，设，
∵为切线，∴，∴过三点的圆是以为直径的圆.
又中点坐标为，且.
∴经过三点的圆的方程为，
即.
若过定点，即定点与m无关，
将方程整理得，
令，
解得或，
所以定点为与.
38．（1）；（2）证明见解析，.
【分析】（1）由题可知，圆的半径，，，根据，可得，从而可求的大小；
（2）设的坐标，求出经过 三点的圆的方程即可得到圆过定点.
【详解】（1）由题可知，圆的半径，，
因为是圆的一条切线，所以
又因，
又，所以；
（2）设，因为，
所以经过 三点的圆以为直径，方程为：，
即
由，解得或，
所以圆过定点.
【点睛】本题主要考查直线与圆的综合，考查圆的定点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平..
39．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）将曲线C的方程改写为，解方程组得到答案；
（2）将曲线C的方程改写为，由此判断可得答案；
（3）根据条件得到，求解即可．
【详解】（1）将曲线C的方程改写为，
则不论为何值，曲线C必过圆与直线的交点，
解方程组，得，．
曲线C恒过定点．
（2）将曲线C的方程改写为．
当时，表示圆心为，半径为的圆，圆心在直线上．
（3）若曲线C与轴相切，可知，
则，即，解得．
40．(1)证明见解析，
(2)最小值为，P
【分析】（1）利用图形，建立等量关系，列式求得点满足的直线方程；
（2）由图形，将切线长表示为，代入坐标运算后，利用二次函数求最值，并求得点的坐标.
【详解】（1）证明:由得，
所以，
即
即动点P在定直线上；
（2）由(1)可得，
==
=，
故当时，，
即线段PQ长的最小值为，此时P.
41．(1)
(2)（i）7；（ii）是，
【分析】（1）先求出圆的方程，再根据对称性求出圆的方程即可得解；
（2）（i）设出直线、的方程，利用几何方法求出弦长和，再求出面积，然后根据基本不等式求出最大值可得结果；（ii）联立直线与圆的方程，设，，得到和.联立直线和的方程求出交点的横坐标，代入直线的方程，利用和变形可得交点的纵坐标为定值，从而可得结果.
【详解】（1）由题意得：圆M的半径为，
圆心M即AB的中点为，
圆M的方程为：，
因为圆N与圆M关于直线对称，
所以圆N的圆心，半径为，
所以圆N的标准方程为：；
（2）依题意可知，直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
（i）若，则直线斜率不存在，则，，
则，
若，则直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
则
，
当且仅当即时取等号，
综上所述，因为，所以S的最大值为；
（ii）设，，
联立，消去y得，恒成立，
则，，
直线OP的方程为，
直线DQ的方程为，
联立，解得，
因为，，所以，所以，
则
，
所以，
所以点G在定直线上.
42．(1)或；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据圆的弦长公式结合条件即得；
（2）根据圆的性质结合平面几何知识可得，然后根据距离公式即得.
【详解】（1）由圆，可知圆心为，半径为2，
因为，直线，即，
所以，
解得或，
所以直线方程为或，
即或；
（2）由直线可知直线过定点，
又，可知，又直线，，
所以，
如图设，又M为线段PQ的中点，直线l与直线交于点N，
所以，，
所以，即，
又，，
所以为定值，
若直线过圆心，则与重合，与重合，显然，
综上，为定值.
43．(1)或
(2)证明见解析
【分析】(1)首先考虑斜率不存在是否满足题意，再考虑斜率存在时，假设直线方程，结合垂径定理列方程求解斜率即可；
(2)由题设得到点坐标,假设直线方程并联立圆的方程，结合韦达定理写出的表达式，化简即可.
【详解】（1）①直线垂直于轴时，可得出直线为，
此时直线与圆的两交点距离为，满足题意；
②当直线不垂直轴时，设直线方程为，
因为，所以半弦长为，由勾股定理得弦心距，
又有点到直线的距离公式可得弦心距，解得，
此时直线方程为，
所以满足题设条件的直线的方程为或
（2）由题设容易得到点坐标，
设直线方程为，联立圆的方程，可得关于的一元二次方程：，
设点，，由根与系数的关系（韦达定理）可得，，
的斜率，
的斜率，
则
，
所以与的斜率之和为定值，从而结论得证．
44．（1）；（2）；（3）定值为：.
【分析】（1）由为圆上的点即可得；
（2）设，，，，根据利用韦达定理即可求解；
（3）直线和直线的斜率之积为，设，，，，，，即可得，，由可得，代入，求得即可．
【详解】解：（1）∵为圆上，
所以
∴
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，，将代入得，
所以
令，则，
当，即时面积取得最大值
（3）设直线和直线的斜率之积为
设，，则
①，
因为，为圆上，所以，
化简得
整理得②
因为，所以
从而，又因为为曲线的动点
所以展开得
将①代入得
化简得
将②代入得
，整理得
，
因为所以从而
又所以
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查两直线的斜率之积是否为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用，属于中档题．
45．.
【分析】根据给定条件，判断两圆位置关系，再把两个方程相减即可作答.
【详解】圆的圆心，半径，
圆圆心，半径，

显然，即圆与圆相交，设它们的交点坐标为，
由，得，同理，
显然点都满足方程，
所以两圆交点所在直线的方程为.
46．，.
【分析】先证明两圆相交，再将两圆方程相减可得公共弦方程，根据弦长公式求弦长.
【详解】方程可化为，
所以圆的圆心坐标为，半径，
方程可化为，
所以圆的圆心坐标为，半径，
所以两圆的圆心距为，
又，
所以圆与圆相交.
将两圆的方程相减可得，即，
所以两圆公共弦所在直线方程为，
又点到直线的距离为，
所以公共弦长为.
47．（1）两圆相交；（2）公共弦所在的直线方程为,公共弦长为.
【解析】（1）先求出的大小，再比较它们的关系即得解；
（2）两圆作差得公共弦所在的直线方程，再求出公共弦长.
【详解】（1）由题意可知：圆心，半径；圆心，半径
两圆心距离
且满足.
所以，两圆相交.
（2）两圆作差得公共弦所在的直线方程为.
所以到直线的距离为，
所以公共弦长为.
【点睛】本题主要考查两圆位置关系的判定，考查两圆公共弦所在直线方程的求法和公共弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
48．或或或
【分析】分类讨论公切线的斜率不存在，根据点到直线的距离公式结合切线的性质可得，运算求解即可.
【详解】因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
所以，
所以圆与圆相离，所以有4条公切线，如图所示．

当公切线的斜率不存在时，直线是两圆的一条公切线．
当公切线的斜率存在时，设公切线方程为，
到直线的距离为，
到直线的距离为，
所以，
所以或，整理得或，
当时，，解得，
所以公切线方程为3x＋4y＋10＝0；
当时，，
所以，整理得，解得或，
当时，，公切线方程为；
当时，，公切线方程为；
综上所述：公切线的方程为或或或．
49．(1)
(2)和
【分析】（1）联立两圆方程可得公共弦直线方程，求出点到的距离，利用半径、到的距离、公共弦长的一半构成的直角三角形可得答案；
（2）由图象、方程特征可知一条公切线为：；求出直线与的交点，设另一条公切线的方程为，利用点到此公切线的距离解得，可得答案.
【详解】（1）易知圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3，
两圆方程、相减可得公共弦直线方程为
，所以点到的距离为，
所以公共弦长为；
（2）因为圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3，
由图象可知，有一条公切线为：，
直线与的交点为，
设另一条公切线的方程为，也即，
则点到此公切线的距离，解得：，
所以另一条公切线的方程为：，
综上，两圆的公切线方程为和．
50．，，，.
【分析】设公切线方程，利用几何法求切线方程.
【详解】由题意得，圆心为，半径，，圆心为，半径，
可知两圆的公切线所在直线的斜率存在，
设公切线所在直线的方程为，即
由，得，得或，
当时，，解得或，
当时，，解得或，
综上，两圆的公切线所在直线的方程为，，，.
51．(1)
(2)最大值为3
【分析】（1）根据切线的性质构造直角三角形，结合勾股定理求解；
（2）平移公切线构造直角三角形，由勾股定理结合基本不等式求解的最大值.
【详解】（1）如图，由题意可知与圆相切，与圆相切，
且，
故，
即.
（2）作于点H，连接PQ，
在中，，
其中，
故，
又，当且仅当时取等号，
故，
即的最大值为3.
52．(1)24
(2)
【分析】（1）根据题意设直线的方程为，联立抛物线的方程可得关于的一元二次方程，从而可得，，进而可得点的坐标，即可得到的坐标表示，同理可得，求解即可；
（2）结合（1），根据抛物线的定义得，，进而可得，即可得到圆的半径，从而可得到圆的方程，同理也可得到圆的方程，两圆方程相减即可得到直线的方程，再根据点到直线的距离公式即可求解．
【详解】（1）依题意，抛物线的焦点为，且其在抛物线内部，设直线的方程为，
由，得，
设，两点的坐标分别为，则是上述方程的两个实数根，
所以
所以点的坐标为，，
同理可得的坐标为，，
于是，
又，所以．
（2）结合（1），
由抛物线的定义得，，
所以，
所以圆的半径，
所以圆的方程为
化简得，
同理可得圆的方程为，
于是圆与圆的公共弦所在直线的方程为，
又，则直线的方程为，
所以点到直线的距离，
故当时，取最小值．
【点睛】关键点点睛：解答小问（2）的关键是根据抛物线的定义求得，，进而可得，从而得到圆的半径，可得到圆的方程，同理可得到圆的方程，再根据点到直线的距离公式求解．
53．(1)；
(2)证明见解析，；
(3)证明见解析，.
【分析】（1）根据给定条件，求出圆C的半径即可作答.
（2）在直线n的斜率存在时，设其方程，再与圆C的方程联立，借助韦达定
理及已知探求k，t的关系，然后讨论斜率不存在的情况作答.
（3）设出直线AM，AN的方程，与圆C的方程联立，求出点M，N的坐标，再用斜率坐标公式计算作答.
【详解】（1）依题意，圆C的半径，
所以圆C的标准方程是：.
（2）当直线n的斜率不存在时，设，由直线AM，AN的斜率之积为2，得，
即，又由点M，N在圆C上得，消去b得：，
而，则，此时，因此，无解，
当直线n的斜率存在时，设其方程为，由消去y并整理得：
，设，
则，，直线斜率，直线斜率，
则
，整理得，此时直线n：过定点，
所以直线n过一个定点，该定点坐标是.
（3）设直线方程为：，由消去y并整理得：，
则有点，而直线：，同理，
于是得直线的斜率，
所以直线m的斜率是定值，该定值为.
【点睛】思路点睛：与曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与曲线方程联立，
借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.
54．(1)证明见解析；
(2)；
(3)点Q恒在直线上，理由见解析.
【分析】（1）求出直线过定点，得到在圆内部，故证明直线l与圆C相交；（2）设出点，利用垂直得到等量关系，整理后即为轨迹方程；（3）利用Q、A、B、C四点共圆，得到此圆的方程，联立，求出相交弦的方程，即直线的方程，根据直线过的定点，得到，从而得到点Q恒在直线上.
【详解】（1）证明：直线过定点，代入得：，故在圆内，故直线l与圆C相交；
（2）圆的圆心为，设点，由垂径定理得：，即，化简得：，点M的轨迹方程为：
（3）设点，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为：，即，与圆C的方程联立，消去二次项得：，即为直线的方程，因为直线过定点，所以，解得：，所以当m变化时，点Q恒在直线上.
【点睛】本题的第三问是稍有难度的，处理方法是根据四点共圆，直径的端点坐标，求出此圆的方程，与曲线联立后得到相交弦的方程，是处理此类问题的关键.
55．(1)
(2)或
【分析】（1）通过求圆的圆心和半径来求得圆的方程.
（2）首先判断出，求得到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案.
【详解】（1）由，
化为标准方程：.
所以圆的圆心坐标为，
又圆的圆心在直线上，
所以当两圆外切时，切点为，设圆的圆心坐标为，
则有，
解得，
所以圆的圆心坐标为，半径，
故圆的方程为.

（2）因为圆弧PQ恰为圆C周长的，所以.
所以点到直线的距离为.
当直线的斜率不存在时，点C到轴的距离为，直线即为轴，
所以此时直线的方程为.

当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，
即.
所以，解得.
所以此时直线的方程为，
即，故所求直线的方程为或.

【点睛】求圆的方程，有很多方法，一是求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；一是根据圆所过的三个点，设出圆的一般方程，然后列方程组来求解；一是利用相关点代入法进行求解.求解直线和圆的位置关系有关题目时，要注意直线的斜率是否存在.
56．(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求得圆一般方程，再将其转化为标准方程；
（2）求出点，的坐标，设，根据，得出，的坐标，当直线斜率存在时，设直线方程为，与圆方差联立方程组，利用根与系数关系化简得出与的关系，进而得出直线恒过的定点坐标，再验证斜率不存在时仍成立.
【详解】（1）设圆的一般方程为，
又圆过点，，，
则，
解得，
所以圆的一般方程为，
即其标准方程为；
（2）由题意得，所以直线，点，点，
设点，，，
所以，，
所以，
又，，
，
又，在圆上，
所以，，
，
即，
所以，
整理得：，
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
代入，
得，
则，，
所以，
即，
即，
得或，
当时，直线的方程为，过点，
当时，直线的方程为，过点，在直线上，不成立，
当直线斜率不存在时，，即，解得或（舍），所以直线过成立，
综上所述，直线恒过点.
57．(1)
(2)．
【分析】(1) 设点为曲线上任意一点，利用两点间距离公式表示条件关系，化简等式可得轨迹方程；
(2) 设，联立直线的方程和曲线的方程求点的坐标，联立直线的方程和曲线的方程求点的坐标，求直线的方程，确定其与轴的交点坐标即可.
【详解】（1）设点为曲线上任意一点，
因为，，，
则，
化简得．
（2）由题意得，，
设，则直线的方程为，
直线的方程为，
联立得，
则，
即，，
所以
联立得，
则，即，，
所以
当时，直线的斜率，
则直线的方程为，
即，所以，
当时，直线垂直于轴，方程为，也过定点．
综上，直线恒过定点．
【点睛】本题为直线与圆的综合问题，解决的关键在于联立方程组求出交点坐标，对学生的运算能力要求较高.
58．(1)或
(2)或
【分析】（1）由题意，可设圆的方程为，判断出点在圆外，则圆与圆外切或内切，分类讨论两圆内切与外切两种情况，列方程求解，从而可得圆的方程；
（2）先排除过点与轴垂直的情况，从而设过点的直线方程为，再根据圆的弦长公式建立方程并化简可得，结合根与系数的关系以及，从而可得的方程，解方程即可得解.
【详解】（1）当时，，设圆的方程为，
因为，所以点在圆外，
所以圆与圆外切或内切，又，圆的半径为，
当两圆外切时：，可得；
当两圆内切时：，可得；
所以以为圆心且与圆相切的圆的方程为或.
（2）若过点的直线与轴垂直时，直线方程为，
圆心到直线的距离为，直线与圆相离，不满意题意；
设过点的直线方程为，即，
由题意得，，
化简得，设直线、的斜率分别为，
则，且，
对过点的直线，令，得，
，
，解得，
所以.
【点睛】方法点睛：解决直线与圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆的条件；
（2）强化利用几何法求解圆的弦长，代入公式化简得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题．
59．(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）设直线方程后由点到直线的距离公式列式求解即可；
（2）分类讨论直线斜率存在与否的情况，联立直线与圆的方程，直接求得或由韦达定理化简，从而证得直线过定点.
【详解】（1）因为圆，所以圆心，半径，
当直线斜率不存在时，直线为，易得圆心与的距离为，则直线与相离，不满足题意；
当直线斜率存在时，设切线方程为，即，
则，解得或，
所以切线方程为或，即或.
（2）若直线斜率不存在，由对称性得，
又，所以，故直线为，
联立，解得或（舍去），
故，则，直线方程为，
若直线斜率存在，设直线方程为，
联立，消去，得，
所以，，，
而，
化简得，解得或，
当时，直线为，显然过点，不符合题意，舍去，
故，直线为，显然过定点，而直线也过，
综上：直线过定点.
60．(1)x＝1和
(2)证明见解析，
(3)存在，或
【分析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况求切线方程即可；
（2）设，，，根据，得到，再结合，得到，同理得到，即可得到直线的方程为，再根据M在CD上，即可得到点的轨迹方程；
（3）设，根据得到，再设，，即可得到，再根据存在，使为定值，列方程求解即可.
【详解】（1）当斜率不存在时，显然x＝1与圆相切；
当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1，
∴，解得，则，整理得
综上，切线方程为x＝1和.
（2）设，，，，，
∴由，则，即，又，
故，同理，∴直线CD为，又M在CD上，
∴，故E恒在直线上．
（3）由题设，若则，整理可得，
若存在，使为定值，而，．
∴，整理得，
∴，
整理得，
要使为定值，则,解得或.
综上，存在或，使为定值．
【点睛】关键点点睛：（1）过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况；
（2）求动点轨迹时，主要是要利用题目中的条件取列等式，然后利用等式去导出动点横纵坐标的关系；
（3）存在，使为定值，关键在于对任意点都要满足，也就是等式的成立跟，的值无关，将等式整理成关于，的等式，让，的系数等于零，同时保证等式成立，解方程，有解则存在，无解则不存在.
61．(1)
(2)证明见解析，定点为
【分析】（1）先求圆心到直线的距离，再根据勾股定理即可求得弦长；
（2）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合根与系数的关系，表示出直线SN的方程，从而确定定点.
【详解】（1）易知圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所以弦长.
（2）当直线的斜率不存在，即轴时，
直线的方程为，代入圆方程得：或，
设，，则直线方程为，
代入直线得：，
故，因为，
所以是的中点，得，
所以，
所以直线的方程为：，
即，直线过点.
当直线的斜率存在时，如图所示：
设直线方程为：，即，
设，
联立得：，
，解得或，
由韦达定理得：，
所以③，
④，且⑤，
将代入直线得：，
所以，是的中点，得，
所以，
所以直线的方程为：，
将点的坐标代入并整理，
化简得：，
将①③④⑤代入上式得：
，
显然成立.
综上可得：直线过定点.
【点睛】(1)解答直线与圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
62．(1)
(2)或
(3)直线和一定平行，理由见解析
【分析】（1）由题意可得点和点关于直线对称，设，由对称性求出点的坐标，再根据圆过点，求出半径，即可得解；
（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合圆的弦长公式计算即可得解；
（3）可设，，联立，利用韦达定理求得，同理求得，再证明即可.
【详解】（1）解：由题意可得点和点关于直线对称，
且圆和圆的半径相等，都等于，
设，则，解得，
故圆的方程为，
再把点代入圆的方程，求得，
故圆的方程为；
（2）解：直线过点，当直线的斜率不存在时，方程为，
截圆得到的弦长等于，满足条件，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
再由弦长公式可得，解得，
故所求的直线方程为，即，
综上可得，直线的方程为或；
（3）解：过点作两条相异直线分别与圆相交于，，且直线和直线的倾斜角互补，为坐标原点，
则得直线和平行，理由如下：
由题意知，直线和直线的斜率存在，且互为相反数，
故可设，，
由，得，
因为的横坐标一定是该方程的解，故利用韦达定理求得，
同理，所以，
则的斜率的斜率），
所以，直线和一定平行．
【点睛】本题考查了直线与圆当中关于直线对称性的问题，考查了圆的弦长公式，考查了直线位置关系的证明问题，考查了计算能力，有一定的难度.
63．(1)
(2)7
【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求解；
（2）设直线的方程为，分k＝0和k≠0两种情况讨论，利用圆的弦长公式分别求出，，再根据，结合基本不等式即可得出答案．
【详解】（1）设圆M的方程为，
则，解得，
所以圆M的标准方程为；
（2）设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
（i）若，则直线斜率不存在，则，，则，
（ii）若，则直线得方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述，因为，所以S的最大值为7．
64．(1)，过定点，
(2)
(3)
【分析】（1）求出以为圆心，为半径的圆的方程，再根据线段为圆和圆的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，再令直线中参数项的自变量为0求解定点即可；
（2）设的中点为点，直线过的定点为点，根据几何性质可得始终垂直于，进而求得方程即可；
（3）设切线方程为，根据直线与圆相切化简可得，设，的斜率分别为，，则，为的两根，表达出，再代入韦达定理，结合函数的范围求解即可.
【详解】（1），，，
故以为圆心，为半径的圆的方程为，
显然线段为圆和圆的公共弦，
则直线的方程为，即，
经判断直线过定点，即所以直线过定点
（2）因为直线过定点，的中点为直线与直线的交点，
设的中点为点，直线过的定点为点，
易知始终垂直于，所以点的轨迹为以为直径的圆，又，，故该圆圆点，半径，且不经过.
点的轨迹方程为
（3）设切线方程为，即，
故到直线的距离，即，
设，的斜率分别为，，则，，
把代入，得，
则，
故当时，取得最小值为．
答案第1页，共2页
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