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第08讲 对数与对数函数
【练基础】
1．（2023·山西省忻州一中模拟）实数lg 4＋2lg 5的值为(　　)
A．2 B．5
C．10 D．20
2.(2021·辽宁沈阳模拟)设函数f(x)＝则f＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D.
3．（2023·江苏省南京模拟函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．(－3，0)　　　　　　　 B．(－3，0]
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3，0)
4．（2023·辽宁省锦州模拟若实数a满足loga＞1＞loga，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
5．（2023·安徽省怀远模拟若函数f(x)＝ax－1的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝loga的图象是(　　)
6．(2021·云南曲靖模拟)设a＝log0.30.4，b＝log30.4，则(　　)
A．ab＜a＋b＜0 B．a＋b＜ab＜0
C．ab＜0＜a＋b D．a＋b＜0＜ab
7．（2023·安徽省阜阳一中模拟设函数f(x)＝log(x2＋1)＋，则不等式f(log2x)＋f(logx)≥2的解集为(　　)
A．(0，2] B.
C．[2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
8．（2023·福建省莆田模拟已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则(　　)
A．f(x)在(0,2)上单调递增
B．f(x)在(0,2)上单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
【练提升】
1．（2023·江西省新余一中模拟设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x<3y<5z　　　　　　 B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
2．（2023·山东省东营模拟设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
3．(2021·浙江宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，其中“同形”函数是(　　)
A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)
C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)
4．(2021·北京海淀模拟)如图，点A，B在函数y＝log2x＋2的图象上，点C在函数y＝log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为(m，n)，则m＝(　　)
A．2 B．3
C. D.
5．(2021·湖北宜昌模拟)若函数f(x)＝log0.9(5＋4x－x2)在区间(a－1，a＋1)上单调递增，且b＝lg 0.9，c＝20.9，则(　　)
A．cC．a6．(2021·浙江宁波高三调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a满足f(log3a)＋f(loga)≥2f(1)，则a的取值范围是________．
7．（2023· 河南省汝州模拟若函数f(x)＝loga(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)没有最小值，则a的取值范围是________．
8．（2023·湖北省钟祥模拟函数f(x)＝log(ax－3)(a>0且a≠1)．
(1)若a＝2，求函数f(x)在(2，＋∞)上的值域；
(2)若函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，求a的取值范围．
第08讲 对数与对数函数
【练基础】
1．（2023·山西省忻州一中模拟）实数lg 4＋2lg 5的值为(　　)
A．2 B．5
C．10 D．20
【答案】A
【解析】lg 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A.
2.(2021·辽宁沈阳模拟)设函数f(x)＝则f＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D.
【答案】A
【解析】f＝log2＝－1.
3．（2023·江苏省南京模拟函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．(－3，0)　　　　　　　 B．(－3，0]
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3，0)
【答案】A
【解析】因为f(x)＝，所以要使函数f(x)有意义，需使即－34．（2023·辽宁省锦州模拟若实数a满足loga＞1＞loga，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由loga>1>loga，得
由①得，当a>1时，a<，此时a∈ ；当0，则.因此5．（2023·安徽省怀远模拟若函数f(x)＝ax－1的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝loga的图象是(　　)
【答案】D
【解析】由题意可知f(4)＝2，即a3＝2，a＝.
所以g(x)＝log＝－log(x＋1)．
由于g(0)＝0，且g(x)在定义域上是减函数，故排除A，B，C.
6．(2021·云南曲靖模拟)设a＝log0.30.4，b＝log30.4，则(　　)
A．ab＜a＋b＜0 B．a＋b＜ab＜0
C．ab＜0＜a＋b D．a＋b＜0＜ab
【答案】A
【解析】因为a＝log0.30.4＞log0.31＝0，b＝log30.4＜log31＝0，所以ab＜0，又＝＋＝log0.40.3＋log0.43＝log0.40.9∈(0,1)，所以0＜＜1，所以ab＜a＋b＜0.
7．（2023·安徽省阜阳一中模拟设函数f(x)＝log(x2＋1)＋，则不等式f(log2x)＋f(logx)≥2的解集为(　　)
A．(0，2] B.
C．[2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
【答案】B
【解析】因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝log(x2＋1)＋＝f(x)，所以f(x)为R上的偶函数．
易知其在区间[0，＋∞)上单调递减，
令t＝log2x，所以logx＝－t，
则不等式f(log2x)＋f(logx)≥2可化为f(t)＋f(－t)≥2，
即2f(t)≥2，所以f(t)≥1，
又因为f(1)＝log2＋＝1，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，在R上为偶函数，所以－1≤t≤1，即log2x∈[－1，1]，所以x∈，故选B.
8．（2023·福建省莆田模拟已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则(　　)
A．f(x)在(0,2)上单调递增
B．f(x)在(0,2)上单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
【答案】C
【解析】f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln (－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝ln u在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln (－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴A，B错误．∵f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴C正确．∵f(2－x)＋f(x)＝[ln (2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln (2－x)]＝2[ln x＋ln (2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴D错误．故选C.
【练提升】
1．（2023·江西省新余一中模拟设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x<3y<5z　　　　　　 B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
【答案】D
【解析】设2x＝3y＝5z＝k>1，
所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.
因为2x－3y＝2log2k－3log3k＝－＝＝＝>0，
所以2x>3y；
因为3y－5z＝3log3k－5log5k＝－＝＝＝<0，
所以3y<5z；
因为2x－5z＝2log2k－5log5k＝－＝＝＝<0，
所以5z>2x.
所以5z>2x>3y，故选D.
2．（2023·山东省东营模拟设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
【答案】D
【解析】∵2x＝3y＝5z，∴ln 2x＝ln 3y＝ln 5z，∴xln 2＝yln 3＝zln 5，∴＝，∴＝＝＝＞1，∴2x＞3y，同理可得2x＜5z.∴3y＜2x＜5z.故选D.
3．(2021·浙江宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，其中“同形”函数是(　　)
A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)
C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)
【答案】A
【解析】f3(x)＝log2x2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f3(x)的图象重合，故排除选项B，D；f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，将f2(x)＝log2(x＋2)的图象沿着x轴先向右平移两个单位得到y＝log2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的图象，根据“同形”函数的定义可知选A.
4．(2021·北京海淀模拟)如图，点A，B在函数y＝log2x＋2的图象上，点C在函数y＝log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为(m，n)，则m＝(　　)
A．2 B．3
C. D.
【答案】D
【解析】因为直线BC∥y轴，所以B，C的横坐标相同；又B在函数y＝log2x＋2的图象上，点C在函数y＝log2x的图象上，所以|BC|＝2.即正三角形ABC的边长为2.由点A的坐标为(m，n)，得B(m＋，n＋1)，所以所以log2m＋2＋1＝log2(m＋)＋2，所以m＝.
5．(2021·湖北宜昌模拟)若函数f(x)＝log0.9(5＋4x－x2)在区间(a－1，a＋1)上单调递增，且b＝lg 0.9，c＝20.9，则(　　)
A．cC．a【答案】B
【解析】由5＋4x－x2>0，得－16．(2021·浙江宁波高三调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a满足f(log3a)＋f(loga)≥2f(1)，则a的取值范围是________．
【解析】由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，即有f(x)＝f(|x|)，
由实数a满足f(log3a)＋f(loga)≥2f(1)，
则有f(log3a)＋f(－log3a)≥2f(1)，
即2f(log3a)≥2f(1)即f(log3a)≥f(1)，
即有f(|log3a|)≥f(1)，
由于f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，
则|log3a|≤1，即有－1≤log3a≤1，
解得≤a≤3.
【答案】
7．（2023· 河南省汝州模拟若函数f(x)＝loga(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)没有最小值，则a的取值范围是________．
【答案】(0,1)∪[2，＋∞)
【解析】当0＜a＜1时，函数f(x)＝loga(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)没有最小值，当a＞1时，若函数f(x)＝loga(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)没有最小值，则x2－ax＋1≤0有解，所以Δ＝a2－4≥0，解得a≥2，综上可知，a的取值范围是(0,1)∪[2，＋∞)．
8．（2023·湖北省钟祥模拟函数f(x)＝log(ax－3)(a>0且a≠1)．
(1)若a＝2，求函数f(x)在(2，＋∞)上的值域；
(2)若函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，求a的取值范围．
【解析】(1)令t＝ax－3＝2x－3，则它在(2，＋∞)上是增函数，所以t>22－3＝1，
由复合函数的单调性原则可知，f(x)＝log(2x－3)在(2，＋∞)上单调递减，
所以f(x)(2)因为函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，根据复合函数的单调性法则，
所以t＝ax－3在(－∞，－2)上单调递减且恒为正数，即解得0【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析
【课标解读】
1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.
2．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.
3.了解对数函数的变化特征.
【备考策略】
1.对数运算的运算；
2.对数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；
3.图象过定点；
4.底数分类讨论问题.
【核心知识】
知识点一 对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
知识点二 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
知识点三 对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
知识点四 反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
【特别提醒】
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝；(2)logambn＝logab.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.
【高频考点】
高频考点一　对数的化简与求值
例1．【2020·全国Ⅲ卷】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则
A．aC．b【方法技巧】
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【举一反三】(2021·杭州市七校联考)计算：若a＝log43，则2a＋2－a＝________
【变式探究】(2021·北京二中高三月考)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据： lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)
A． B． C． D．
高频考点二 对数函数图象及其应用
例2.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(x＋)(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　)
A　　　　　　B
C　　　　　　 D
【方法技巧】
(1)识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界：当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y轴为渐近线．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【变式探究】（2023·湖北武汉模拟）已知函数f (x)＝关于x的方程f (x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
高频考点三 比较对数值的大小
例3．【2020·全国Ⅱ卷】若2x 2y<3 x 3 y，则
A．ln(y x+1)>0 B．ln(y x+1)<0
C．ln|x y|>0 D．ln|x y|<0
【举一反三】【2019·天津卷】已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A． B．
C． D．
【方法技巧】
（1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较
（2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较
（3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较
【变式探究】【2019·全国Ⅰ卷】已知，则（ ）
A． B．
C． D．
高频考点四 解简单的对数不等式
例4.（2023·山东菏泽模拟）设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
【方法技巧】解决此类问题时应注意两点：(1)真数大于0；(2)底数a的值．
【变式探究】（2023·广东湛江一中模拟） 若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则a的取值范围是________．
高频考点五 对数函数的综合应用
例5.（2023·河北衡水中学模拟）若函数f (x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，4) B．(－4,4]
C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D．[－4,4)
【方法技巧】解决此类问题有以下三个步骤：
(1)求出函数的定义域；
(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；
(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性
【变式探究】（2023·湖南长郡中学模拟）已知函数f(x)＝loga(3－ax).
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由。
第08讲 对数与对数函数
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析
【课标解读】
1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.
2．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.
3.了解对数函数的变化特征.
【备考策略】
1.对数运算的运算；
2.对数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；
3.图象过定点；
4.底数分类讨论问题.
【核心知识】
知识点一 对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
知识点二 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
知识点三 对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
知识点四 反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
【特别提醒】
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝；(2)logambn＝logab.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.
【高频考点】
高频考点一　对数的化简与求值
例1．【2020·全国Ⅲ卷】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则
A．aC．b【答案】A
【解析】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
【方法技巧】
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【举一反三】(2021·杭州市七校联考)计算：若a＝log43，则2a＋2－a＝________
【答案】
【解析】因为a＝log43＝log223＝log23＝log2，
所以2a＋2－a＝2log2＋2－log2
＝＋2log2
＝＋
＝.
【变式探究】(2021·北京二中高三月考)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据： lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)
A． B． C． D．
【答案】C　
【解析】由题设有＝＝1014[H＋]2.又10－7.45≤[H＋]≤10－7.35 ，所以10－0.9≤1014[H＋]2≤10－0.7.所以－0.9≤lg1014[H＋]2≤－0.7.又lg ≈－0.3，lg ＝－0.48，lg ＝－0.78，lg ＝－1，只有lg 在范围之中．故选C．
高频考点二 对数函数图象及其应用
例2.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(x＋)(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　)
A　　　　　　B
C　　　　　　 D
【答案】D　
【解析】对于函数y＝loga(x＋)，当y＝0时，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga(x＋)的图象恒过定点(，0)，排除选项A、C；函数y＝与y＝loga(x＋)在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D。
【方法技巧】
(1)识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界：当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y轴为渐近线．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【变式探究】（2023·湖北武汉模拟）已知函数f (x)＝关于x的方程f (x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
【答案】(1，＋∞)　
【解析】问题等价于函数y＝f (x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合图象可知a>1.
高频考点三 比较对数值的大小
例3．【2020·全国Ⅱ卷】若2x 2y<3 x 3 y，则
A．ln(y x+1)>0 B．ln(y x+1)<0
C．ln|x y|>0 D．ln|x y|<0
【答案】A
【解析】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A．
【举一反三】【2019·天津卷】已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为a＝log52＜log5＝，b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，c＝0.50.2＝＞，0.50.2＜1，所以a＜c＜b，故选A。
【方法技巧】
（1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较
（2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较
（3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较
【变式探究】【2019·全国Ⅰ卷】已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
即
则．
故选B．
高频考点四 解简单的对数不等式
例4.（2023·山东菏泽模拟）设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
【解析】由题意，得
或
解得a>1或－1【答案】C
【方法技巧】解决此类问题时应注意两点：(1)真数大于0；(2)底数a的值．
【变式探究】（2023·广东湛江一中模拟） 若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则a的取值范围是________．
【答案】(，1)
【解析】由题意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a，
又loga(a2＋1)＜loga2a＜0，所以0＜a＜1，
同时2a＞1，所以a＞.综上，a∈(，1)．
高频考点五 对数函数的综合应用
例5.（2023·河北衡水中学模拟）若函数f (x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，4) B．(－4,4]
C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D．[－4,4)
【答案】D　
【解析】由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立，且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得－4≤a<4.所以实数a的取值范围是[－4,4)．故选D．
【方法技巧】解决此类问题有以下三个步骤：
(1)求出函数的定义域；
(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；
(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性
【变式探究】（2023·湖南长郡中学模拟）已知函数f(x)＝loga(3－ax).
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由。
【解析】(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立.
∴3－2a>0.∴a<.
又a>0且a≠1，∴a的取值范围是(0，1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，
∴函数t(x)为减函数.
∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，
∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1。

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