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第15讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
【练基础】
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．－ D．－
2．把－1 125°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)
A．－－6π　　　　　　　　 B.－6π
C．－－8π D.－8π
3．已知点P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为(　　)
A．－ B.
C．－ D．－
4．已知锐角α的终边上一点P(sin 40°，1＋cos 40°)，则锐角α＝(　　)
A．80° B．20°
C．70° D．10°
5．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋＝(　　)
A．－ B.
C. D.
6．下列结论中错误的是(　　)
A．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sin α＝
B．若α是第二象限角，则为第一或第三象限角
C．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度
D．若0<α<，则sin α7．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为(　　)
A．(1，) B．(，1)
C．(，) D．(1,1)
8．已知点P(4m，－3m)(m<0)在角α的终边上，则2sin α＋cos α＝________.
9．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.
10．已知一个扇形的周长为8 cm，则当该扇形的半径r＝________ cm时，面积最大．
【练提升】
1．已知角α的终边经过点(，－1)，则角α的最小正值是(　　)
A. B.
C. D.
2．在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的正半轴，顶点为坐标原点O，已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，将l绕原点逆时针旋转与单位圆交于点B(x，y)，若tan α＝－，则x＝(　　)
A．0.6 B．0.8
C．－0.6 D．－0.8
3．已知α，β是第一象限角，且sin α>sin β，则(　　)
A．α>β B．α<β
C．cos α>cos β D．tan α>tan β
4．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)
A. B.
C. D．1
5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(sin 132°，cos 132°)，则tan(α＋12°)＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
6．已知扇形的周长为4，当它的半径为________和圆心角为______弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．
7．已知角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
8．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．
9．已知sin α＜0，tan α＞0.
(1)求α角的集合；
(2)求终边所在的象限；
(3)试判断 tansin cos的符号．
10．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长等于9 m的弧田．
(1)计算弧田的实际面积；
(2)按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少m2？(结果保留两位小数)
第15讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
【练基础】
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．－ D．－
【答案】C
【解析】将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的，即为－×2π＝－.
2．把－1 125°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)
A．－－6π　　　　　　　　 B.－6π
C．－－8π D.－8π
【答案】D
【解析】－1 125°＝－1 440°＋315°＝－8π＋，故选D.
3．已知点P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为(　　)
A．－ B.
C．－ D．－
【答案】D
【解析】因为P(sin(－30°)，cos(－30°))，所以P，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－.
4．已知锐角α的终边上一点P(sin 40°，1＋cos 40°)，则锐角α＝(　　)
A．80° B．20°
C．70° D．10°
【答案】C
【解析】∵锐角α的终边上一点P(sin 40°，1＋cos 40°)，
∴tan α＝＝＝＝＝tan 70°，∴α＝70°.
5．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋＝(　　)
A．－ B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－，cos α＝，∴sin α＋＝－＋＝.故选D.
6．下列结论中错误的是(　　)
A．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sin α＝
B．若α是第二象限角，则为第一或第三象限角
C．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度
D．若0<α<，则sin α【答案】A
【解析】当k＝－1时，P(－3，－4)，则sin α＝－，故A错误；∵2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z，∴kπ＋<7．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为(　　)
A．(1，) B．(，1)
C．(，) D．(1,1)
【答案】D
【解析】设P(x，y)，则sin α＝＝sin，∴y＝1.
又cos α＝＝cos，∴x＝1，∴P(1,1)．
8．已知点P(4m，－3m)(m<0)在角α的终边上，则2sin α＋cos α＝________.
解析：∵m<0，∴r＝＝－5m，∴sin α＝＝＝，cos α＝＝－，∴2sin α＋cos α＝2×－＝.
答案：
9．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.
解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，
令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.
答案：120°或－240°
10．已知一个扇形的周长为8 cm，则当该扇形的半径r＝________ cm时，面积最大．
解析：设扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝8，扇形的面积为rl＝(8－2r)r＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以当r＝2时，面积最大为4.
答案：2
【练提升】
1．已知角α的终边经过点(，－1)，则角α的最小正值是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵sin α＝＝－，且α的终边在第四象限，∴角α的最小正值是.
2．在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的正半轴，顶点为坐标原点O，已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，将l绕原点逆时针旋转与单位圆交于点B(x，y)，若tan α＝－，则x＝(　　)
A．0.6 B．0.8
C．－0.6 D．－0.8
【答案】B
【解析】已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，且tan α＝－，则tan α＝＝－，解得m＝－0.8，所以A(0.6，－0.8)在第四象限，角α为第四象限角．由l绕原点逆时针旋转与单位圆交于点B(x，y)，可知点B(x，y)在第一象限，则∠BOx＝＋α，所以cos∠BOx＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋α))＝－sin α，即：＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())，解得x＝0.8.
3．已知α，β是第一象限角，且sin α>sin β，则(　　)
A．α>β B．α<β
C．cos α>cos β D．tan α>tan β
【答案】D
【解析】因为α，β是第一象限角，所以sin α>0，sin β>0，又sin α>sin β，所以sin2α>sin2β>0，所以1－cos2α>1－cos2β，所以cos2α>0，所以tan2α>tan2β，因为tan α>0，tan β>0，所以tan α>tan β.故选D.
4．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)
A. B.
C. D．1
【答案】B
【解析】由O，A，B三点共线，从而得到b＝2a，因为cos 2α＝2cos2α－1＝
2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())2－1＝，解得a2＝， 即|a|＝，所以|a－b|＝|a－2a|＝，故选B.
5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(sin 132°，cos 132°)，则tan(α＋12°)＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
【答案】D
【解析】由α终边过点P(sin 132°，cos 132°)，即x＝sin 132°>0，y＝cos 132°<0，所以tan α＝＝＝＝－tan 42°＝tan(－42°)，取α＝－42°，则tan(α＋12°)＝tan(－42°＋12°)＝－tan 30°＝－.
6．已知扇形的周长为4，当它的半径为________和圆心角为______弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．
解析：设扇形圆心角为α，半径为r，则
2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2.
∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.
答案：1　2　1
7．已知角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－.
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.
(2)当a＞0时，sin θ＝∈，
cos θ＝－∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin＜0；
当a＜0时，sin θ＝－∈，
cos θ＝∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin ＞0.
综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；
当a＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．
8．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．
解：设角α终边上任一点为P(k，－3k)，
则r＝＝|k|.
当k＞0时，r＝k，
所以sin α＝＝－，＝＝，
所以10sin α＋＝－3＋3＝0；
当k＜0时，r＝－k，
所以sin α＝＝，
＝＝－，
所以10sin α＋＝3－3＝0.
综上，10sin α＋＝0.
9．已知sin α＜0，tan α＞0.
(1)求α角的集合；
(2)求终边所在的象限；
(3)试判断 tansin cos的符号．
解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，
其集合为.
(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，
故终边在第二、四象限．
(3)当在第二象限时，tan ＜0，
sin ＞0, cos ＜0，
所以tansincos取正号；
当在第四象限时，tan＜0，
sin＜0, cos＞0，
所以 tansincos也取正号．
因此，tansin cos 取正号．
10．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长等于9 m的弧田．
(1)计算弧田的实际面积；
(2)按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少m2？(结果保留两位小数)
解：(1)在△OAB中，AB＝9，∠AOB＝，
则∠AOC＝，∠ACO＝，
则AC＝，OA＝3，
即扇形半径r＝3.
所以扇形面积S扇＝αr2＝××(3)2＝9π，S△AOB＝r2sin＝，
故弧田面积S＝S扇－S△AOB＝9π－(m2)．
(2)因为圆心到弦的距离等于r，所以矢长为r，按照上述弧田面积经验公式计算得
(弦×矢＋矢2)＝＝.
因为9π－－－≈1.52，
所以按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52 m2.第15讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析
【课标解读】
1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念．
2.能进行弧度与角度的互化．
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范围．预测2022年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值．常以客观题形式考查，属中、低档试题.
【核心知识】
知识点一 角的概念
1．角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的分类
角的分类
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
知识点二 弧度制及应用
1．弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．弧度制下的有关公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
知识点三 任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α
各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋
Ⅱ ＋ － －
Ⅲ － － ＋
Ⅳ － ＋ －
三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线
【高频考点】
高频考点一 象限角的判断
【例1】(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则(　　)
A．cos 2α＞0　　　　　　　 B．cos 2α＜0
C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
【方法技巧】象限角的两种判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
【变式探究】设集合M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么(　　)
A．M＝N B．M N
C．N M D．M∩N＝
【举一反三】终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________．
高频考点二　扇形的弧长及面积公式的应用
【例2】若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l等于(　　)
A.π cm B．π cm
C．4 cm D．8 cm
【方法技巧】
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积的最大值时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【变式探究】“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，M为ON的一个靠近点N的三等分点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面(扇环)部分的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
高频考点三 三角函数的概念
【例3】我国古代数学家僧一行应用“九服晷(ɡuǐ)影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.已知天顶距θ＝1°时，晷影长l≈0.14.现测得午中晷影长度l≈0.42，则天顶距θ为(　　)
(参考数据：tan 1°≈0.017 5，tan 2°≈0.034 9，tan 3°≈0.052 4，tan 22.8°≈0.420 4)
A．2° B．3°
C．11° D．22.8°【方法技巧】三角函数定义解题的技巧
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，根据定义中的两个量列方程求参数值．
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
(4)已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．
【变式探究】已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________.
高频考点四 三角函数线的应用
【例4】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P，Q从点A(1,0)出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P，Q两点在第2 019次相遇时，点P的坐标为________．
【方法技巧】利用三角函数线求解三角不等式的方法
对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态，注意实线与虚线)，再通过大小找到其所满足的角的区域，由此写出不等式的解集．　　
【变式探究】 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，.
(1)求sin α的值；
(2)求α＋β.
第15讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析
【课标解读】
1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念．
2.能进行弧度与角度的互化．
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范围．预测2022年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值．常以客观题形式考查，属中、低档试题.
【核心知识】
知识点一 角的概念
1．角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的分类
角的分类
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
知识点二 弧度制及应用
1．弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．弧度制下的有关公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
知识点三 任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α
各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋
Ⅱ ＋ － －
Ⅲ － － ＋
Ⅳ － ＋ －
三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线
【高频考点】
高频考点一 象限角的判断
【例1】(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则(　　)
A．cos 2α＞0　　　　　　　 B．cos 2α＜0
C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
【答案】D
【答案】∵α是第四象限角，
∴－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，
∴－π＋4kπ＜2α＜4kπ，k∈Z.
∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，
∴sin 2α<0，cos 2α可正、可负、可为零．
【方法技巧】象限角的两种判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
【变式探究】设集合M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么(　　)
A．M＝N B．M N
C．N M D．M∩N＝
【答案】B　由于M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M N.故选B.
【举一反三】终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________．
【解析】如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，
在[0,2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，π；
在[－2π，0)内，满足条件的角有两个：－π，－π.
故满足条件的角α构成的集合为.
【答案】
高频考点二　扇形的弧长及面积公式的应用
【例2】若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l等于(　　)
A.π cm B．π cm
C．4 cm D．8 cm
【答案】B
【解析】设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝，得r＝4 cm，
∴l＝|α|·r＝×4＝π cm.
【方法技巧】
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积的最大值时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【变式探究】“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，M为ON的一个靠近点N的三等分点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面(扇环)部分的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
【答案】D
【解析】设ON＝r，扇形的圆心角为α，
则整个扇形的面积为S′＝αr2，
扇环的面积为S＝αr2－αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())2＝αr2，
由几何概型的概率公式得P＝＝.
高频考点三 三角函数的概念
【例3】我国古代数学家僧一行应用“九服晷(ɡuǐ)影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.已知天顶距θ＝1°时，晷影长l≈0.14.现测得午中晷影长度l≈0.42，则天顶距θ为(　　)
(参考数据：tan 1°≈0.017 5，tan 2°≈0.034 9，tan 3°≈0.052 4，tan 22.8°≈0.420 4)
A．2° B．3°
C．11° D．22.8°
【答案】B
【解析】由题意，可得晷影长l＝htan θ，且顶距θ＝1°时，晷影长l＝0.14.
所以h＝＝＝8，
当晷影长度l≈0.42，则tan θ＝＝＝0.0524，
所以θ＝3°.
【方法技巧】三角函数定义解题的技巧
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，根据定义中的两个量列方程求参数值．
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
(4)已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．
【变式探究】已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________.
【解析】设P(x，y)．由题设知x＝－，y＝m，
所以r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，即r＝，
所以sin α＝＝＝＝，
所以r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±.
当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，
所以cos α＝＝＝－，tan α＝＝－；
当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，
所以cos α＝＝＝－，tan α＝＝.
【答案】－　－或
高频考点四 三角函数线的应用
【例4】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P，Q从点A(1,0)出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P，Q两点在第2 019次相遇时，点P的坐标为________．
【解析】因为点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，所以两点相遇1次的路程是单位圆的周长，即2π，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2 019次时，共用了2 019秒，所以此时点P所转过的弧度为＝＝＋336π.由终边相同的角的概念可知，与的终边相同，所以此时点P位于y轴正半轴上，故点P的坐标为(0,1)．
【答案】(0,1)
【方法技巧】利用三角函数线求解三角不等式的方法
对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态，注意实线与虚线)，再通过大小找到其所满足的角的区域，由此写出不等式的解集．　　
【变式探究】 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，.
(1)求sin α的值；
(2)求α＋β.
【解析】(1)因为点P为角α的终边与单位圆的交点，且纵坐标为，将y＝代入x2＋y2＝1，
因为α是锐角，x>0，所以x＝，P.
由三角函数的定义可得：sin α＝.
(2)由sin α＝，α是锐角，可得cos α＝，
因为锐角β的终边与单位圆相交于Q点，且纵坐标为，将y＝代入x2＋y2＝1，
因为β是锐角，x>0，可得x＝，Q，
所以sin β＝，cos β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝0.
因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，
所以α＋β＝.

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