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第03讲 函数及其表示
【练基础】
1．（2023·河北衡水二中模拟）函数f(x)＝＋ln(3x－x2)的定义域是(　　)
A．(2，＋∞)　　　　　　　 B．(3，＋∞)
C．(2，3) D．(2，3)∪(3，＋∞)
2．（2023·山西省长治市六中模拟）若f＝，则当x≠0，且x≠1时，f(x)等于(　　)
A. B.
C. D.－1
3．（2023·辽宁省沈阳拟）下列哪个函数与y＝x相等(　　)
A．y＝　　　　　　　　　 B．y＝2log2x
C．y＝ D．y＝()3
4．（2023·浙江省奉化中学模拟）设f(x)＝则f[f(－2)]等于(　　)
A．－1 B.
C. D.
5．（2023·江苏省南京市秦淮中学模拟）已知f＝，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝－
C．f(x)＝ D．f(x)＝－
6．（2023·安徽省太湖中学模拟）已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
7．（2023·河北邯郸模拟）设函数f(x)＝，若f(f())＝2，则实数n为(　　)
A．－ B．－
C. D.
8．（2023·福建省莆田一中模拟）若函数f(x)在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．
【练提升】
1．（2023·河北石家庄质检）具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：
①y＝x－；②y＝ln ；③y＝
其中满足“倒负”变换的函数是(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①
2．（2023·福建省龙岩市一中模拟）设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　　)
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
3．（2023·江西省赣州市二中模拟）已知下列各式：①f(|x|＋1)＝x2＋1；②f()＝x；③f(x2－2x)＝|x|；④f(|x|)＝3x＋3－x.其中存在函数f(x)对任意的x∈R都成立的序号为________．
4．（2023·山东省济宁模拟）设函数f(x)＝已知f(a)＞1，则a的取值范围是________．
5．（2023·湖北省石首模拟）已知函数f(x)＝则f(2＋log32)的值为________．
6．（2023·湖南省郴州模拟）已知f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f(g(2))与g(f(2))；
(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．
7．（2023·广东省茂名模拟）已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0，1]上有表达式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－2，2]上的表达式．
8．（2023·重庆市凤鸣山中学模拟）已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0,1]上有表达式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－1,1]上的表达式．
第03讲 函数及其表示
【练基础】
1．（2023·河北衡水二中模拟）函数f(x)＝＋ln(3x－x2)的定义域是(　　)
A．(2，＋∞)　　　　　　　 B．(3，＋∞)
C．(2，3) D．(2，3)∪(3，＋∞)
【答案】C
【解析】由解得2＜x＜3，则该函数的定义域为(2，3)，故选C.
2．（2023·山西省长治市六中模拟）若f＝，则当x≠0，且x≠1时，f(x)等于(　　)
A. B.
C. D.－1
【答案】B
【解析】当x≠0，且x≠1时，f＝＝，所以f(x)＝.
3．（2023·辽宁省沈阳拟）下列哪个函数与y＝x相等(　　)
A．y＝　　　　　　　　　 B．y＝2log2x
C．y＝ D．y＝()3
【答案】D
【解析】y＝x的定义域为R，而y＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，y＝2log2x的定义域为{x|x∈R，且x>0}，排除A、B；y＝＝|x|的定义域为x∈R，对应关系与y＝x的对应关系不同，排除C；而y＝()3＝x，定义域和对应关系与y＝x均相同，故选D.
4．（2023·浙江省奉化中学模拟）设f(x)＝则f[f(－2)]等于(　　)
A．－1 B.
C. D.
【答案】C
【解析】由已知得，f(－2)＝2－2＝，f[f(－2)]＝f＝1－＝1－＝.
5．（2023·江苏省南京市秦淮中学模拟）已知f＝，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝－
C．f(x)＝ D．f(x)＝－
【答案】C
【解析】令＝t，则x＝，所以f(t)＝＝，故函数f(x)的解析式为f(x)＝，故选C.
6．（2023·安徽省太湖中学模拟）已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
【答案】A
【解析】当a≤1时，不符合题意，所以a>1，即－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－.
7．（2023·河北邯郸模拟）设函数f(x)＝，若f(f())＝2，则实数n为(　　)
A．－ B．－
C. D.
【答案】D
【解析】因为f()＝2×＋n＝＋n，当＋n＜1，即n＜－时，f(f())＝2(＋n)＋n＝2，解得n＝－，不符合题意；当＋n≥1，即n≥－时，f(f())＝log2(＋n)＝2，即＋n＝4，解得n＝，故选D.
8．（2023·福建省莆田一中模拟）若函数f(x)在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．
【答案】f(x)＝
【解析】由题意，当－1≤x＜0时，直线的斜率为1，方程为y＝x＋1；当0≤x≤2时，直线的斜率为－，方程为y ＝－x.所以函数的解析式为
f(x)＝
【练提升】
1．（2023·河北石家庄质检）具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：
①y＝x－；②y＝ln ；③y＝
其中满足“倒负”变换的函数是(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①
【答案】B
【解析】对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f(x)＝ln ，则f＝ln ≠－f(x)，不满足；对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足题意．
2．（2023·福建省龙岩市一中模拟）设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　　)
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
【答案】D
【解析】当x<0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，x·sgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D.
3．（2023·江西省赣州市二中模拟）已知下列各式：①f(|x|＋1)＝x2＋1；②f()＝x；③f(x2－2x)＝|x|；④f(|x|)＝3x＋3－x.其中存在函数f(x)对任意的x∈R都成立的序号为________．
【解析】①f(|x|＋1)＝x2＋1，由t＝|x|＋1(t≥1)，可得|x|＝t－1，则f(t)＝(t－1)2＋1，即有f(x)＝(x－1)2＋1对x∈R均成立；②f()＝x，令t＝(0＜t≤1)，x＝± ，对0＜t≤1，y＝f(t)不能构成函数，故不成立；③f(x2－2x)＝|x|，令t＝x2－2x，若t＜－1时，x∈ ；t≥－1，可得x＝1±(t≥－1)，y＝f(t)不能构成函数；④f(|x|)＝3x＋3－x，当x≥0时，f(x)＝3x＋3－x；当x＜0时，f(－x)＝3x＋3－x；将x换为－x可得f(x)＝3x＋3－x；故恒成立．综上可得①④符合条件．
【答案】①④
4．（2023·山东省济宁模拟）设函数f(x)＝已知f(a)＞1，则a的取值范围是________．
【答案】(－∞，－2)∪
【解析】解法一：(数形结合)画出f(x)的图象，如图所示，作出直线y＝1，由图可见，符合f(a)＞1的a的取值范围为(－∞，－2)∪.
解法二：(分类讨论)
①当a≤－1时，由(a＋1)2>1，得a＋1>1或a＋1<－1，得a>0或a<－2，
又a≤－1，∴a<－2；
②当－11，得a＞－，
又－1③当a≥1时，由－1>1，得0又a≥1，∴此时a不存在．
综上可知，a的取值范围为(－∞，－2)∪.
5．（2023·湖北省石首模拟）已知函数f(x)＝则f(2＋log32)的值为________．
【答案】
【解析】∵2＋log31<2＋log32<2＋log33，即2<2＋log32<3，
∴f(2＋log32)＝f(2＋log32＋1)＝f(3＋log32)．
又3<3＋log32<4，
∴f(3＋log32)＝3＋log32＝3×log32＝×(3－1)log32＝×3－log32＝×3log3＝×＝，∴f(2＋log32)＝.
6．（2023·湖南省郴州模拟）已知f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f(g(2))与g(f(2))；
(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．
【解析】(1)g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝0；f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)当x>0时，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x<0时，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
所以f(g(x))＝
同理可得g(f(x))＝
7．（2023·广东省茂名模拟）已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0，1]上有表达式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－2，2]上的表达式．
【解析】(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－.
(2)当x∈[0，1]时，f(x)＝x2；
当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，f(x)＝－f(x－1)＝－(x－1)2；
当x∈[－1，0)时，x＋1∈[0，1)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；
当x∈[－2，－1)时，x＋1∈[－1，0)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2×[－2(x＋1＋1)2]＝4(x＋2)2.
所以f(x)＝.
8．（2023·重庆市凤鸣山中学模拟）已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0,1]上有表达式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－1,1]上的表达式．
【解析】(1)由题意知
f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－.
(2)当x∈[0,1]时，f(x)＝x2；
因为 x∈R，都有f(x)＝－2f(x＋1)，
所以当x∈[－1,0)时，x＋1∈[0,1)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；
所以f(x)＝第03讲 函数及其表示
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析
【课标解读】
1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域.
2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.
3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.
【备考策略】
1．理解函数的概念、函数的定义域、值域、函数的表示方法；
2．以分段函数为背景考查函数的相关性质问题.
【核心知识】
知识点1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f (x)，x∈A．
知识点2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f (x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
知识点3．函数的表示方法
(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．
(2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法．
(3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．
知识点4．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．
知识点5．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
知识点6．复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．
【高频考点】
高频考点一 求函数的定义域
例1.（2023·北京卷）函数的定义域是____________．
　
【方法技巧】
1.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
2．抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
【举一反三】（2023·安徽省巢湖市四中模拟）函数y＝＋log2(tan x－1)的定义域为________；
【变式探究】（2023·江苏卷）函数的定义域是 .
高频考点二 求函数的解析式
例2.（2023·福建省厦门市一中模拟）已知f (x)是一次函数，且f (f (x))＝4x＋3，则f (x)的解析式为________．
【方法技巧】函数解析式的常见求法
(1)配凑法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子，然后用x将h(x)代换．
(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．
(3)换元法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．
(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
【举一反三】（2023·江西省庐山中学模拟）已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________.
【变式探究】（2023·河北衡水模拟）已知f ＝＋，则f (x)＝(　　)
A．(x＋1)2 B．(x－1)2
C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1
高频考点三 分段函数求值
例3.（2023·山东省曲阜一中模拟）设f (x)＝则f (f (1))的值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【方法技巧】
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．
(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。
【变式探究】（2023·河南省安阳市二中模拟）已知函数f(x)＝则f等于(　　)
A．4 B.
C．－4 D．－
高频考点四　已知函数值求参数的值(或取值范围)
例4．（2023·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
【方法技巧】解分段函数与方程或不等式问题的策略
求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围．【举一反三】（2023·湖北大学附属中学模拟）设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________________．
【变式探究】（2023·湖南省岳阳市一中模拟）已知函数f (x)＝若f (a)－f (－a)>0，则实数a的取值范围为________．
高频考点五 函数的新定义问题
例5.（2023·广东省深圳市观澜中学模拟）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：
①f(x)＝sin 2x； ②g(x)＝x3；
③h(x)＝； ④φ(x)＝ln x.
其中是一阶整点函数的是(　　)
A．①②③④ B．①③④
C．①④ D．④
【感悟提升】本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．
【变式探究】（2023·四川省绵阳中学模拟）若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f(－x)＝f(x)，则称f(x)为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是(　　)
A．f(x)＝cos x B．f(x)＝sin x
C．f(x)＝x2－2x D．f(x)＝x3－2x
第03讲 函数及其表示
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析
【课标解读】
1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域.
2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.
3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.
【备考策略】
1．理解函数的概念、函数的定义域、值域、函数的表示方法；
2．以分段函数为背景考查函数的相关性质问题.
【核心知识】
知识点1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f (x)，x∈A．
知识点2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f (x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
知识点3．函数的表示方法
(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．
(2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法．
(3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．
知识点4．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．
知识点5．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
知识点6．复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．
【高频考点】
高频考点一 求函数的定义域
例1.（2023·北京卷）函数的定义域是____________．
【答案】(0，＋∞)　
【解析】要使函数有意义，需满足即x>0，所以函数f (x)的定义域为(0，＋∞)．
【方法技巧】
1.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
2．抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
【举一反三】（2023·安徽省巢湖市四中模拟）函数y＝＋log2(tan x－1)的定义域为________；
【答案】.
【解析】(1)要使函数y＝＋log2(tan x－1)有意义，则1－x2≥0，tan x－1>0，且x≠kπ＋(k∈Z).
∴－1≤x≤1且＋kπ可得则函数的定义域为.
【变式探究】（2023·江苏卷）函数的定义域是 .
【答案】 [-1,7 ]
【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.
由已知得,即，解得，故函数的定义域为[-1,7 ].
高频考点二 求函数的解析式
例2.（2023·福建省厦门市一中模拟）已知f (x)是一次函数，且f (f (x))＝4x＋3，则f (x)的解析式为________．
【答案】f (x)＝－2x－3或f (x)＝2x＋1　
【解析】设f (x)＝ax＋b(a≠0)，则f (f (x))＝f (ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.
所以
解得或
故f (x)＝－2x－3或f (x)＝2x＋1.
【方法技巧】函数解析式的常见求法
(1)配凑法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子，然后用x将h(x)代换．
(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．
(3)换元法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．
(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
【举一反三】（2023·江西省庐山中学模拟）已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________.
【答案】＋
【解析】在f(x)＝2f·－1中，
将x换成，则换成x，
得f＝2f(x)·－1，
由解得f(x)＝＋.
【变式探究】（2023·河北衡水模拟）已知f ＝＋，则f (x)＝(　　)
A．(x＋1)2 B．(x－1)2
C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1
【答案】C　
【解析】f ＝＋＝－＋1.令＝t，得f (t)＝t2－t＋1，即f (x)＝x2－x＋1.
高频考点三 分段函数求值
例3.（2023·山东省曲阜一中模拟）设f (x)＝则f (f (1))的值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B　
【解析】因为f (x)＝ 所以f (1)＝22－1＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝log28＝3. 故选B．
【方法技巧】
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．
(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。
【变式探究】（2023·河南省安阳市二中模拟）已知函数f(x)＝则f等于(　　)
A．4 B.
C．－4 D．－
【答案】B
【解析】f＝log5＝－2，
f＝f(－2)＝.
高频考点四　已知函数值求参数的值(或取值范围)
例4．（2023·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
【答案】D
【解析】将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知解得x<0，所以满足f(x＋1)【方法技巧】解分段函数与方程或不等式问题的策略
求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围．
【举一反三】（2023·湖北大学附属中学模拟）设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________________．
【答案】(－∞，－2]∪[0，10]
【解析】因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x＜1时，f(x)≥1 (x＋1)2≥1 x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x＜1.当x≥1时，f(x)≥1 4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0，10]．
【变式探究】（2023·湖南省岳阳市一中模拟）已知函数f (x)＝若f (a)－f (－a)>0，则实数a的取值范围为________．
【答案】(－2,0)∪(2，＋∞)
【解析】当a＝0时，显然不成立．当a>0时，不等式f (a)－f (－a)>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2. 当a<0时，不等式f (a)－f (－a)>0可化为－a2－2a>0，解得－2高频考点五 函数的新定义问题
例5.（2023·广东省深圳市观澜中学模拟）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：
①f(x)＝sin 2x； ②g(x)＝x3；
③h(x)＝； ④φ(x)＝ln x.
其中是一阶整点函数的是(　　)
A．①②③④ B．①③④
C．①④ D．④
【答案】C
【解析】对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D；
对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；
对于函数h(x)＝，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.
【感悟提升】本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．
【变式探究】（2023·四川省绵阳中学模拟）若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f(－x)＝f(x)，则称f(x)为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是(　　)
A．f(x)＝cos x B．f(x)＝sin x
C．f(x)＝x2－2x D．f(x)＝x3－2x
【答案】D
【解析】A中函数为偶函数，则在定义域内均满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；B中，当x＝kπ(k∈Z)时，满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；C中，由f(x)＝f(－x)，得x2－2x＝x2＋2x，解得x＝0，不符合题意；D中，由f(x)＝f(－x)，得x3－2x＝－x3＋2x，解得x＝0或x＝±，满足题意，故选D.

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