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第05讲 函数的奇偶性与周期性
【练基础】
1．(2020·浙江舟山模拟)下列函数既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝－x2　　　　　　　　　 B．y＝x3
C．y＝log2x D．y＝－3－x
2．(2021·河北石家庄模拟)函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能为(　　)
3．(2021·安徽省太湖中学模拟)若f(x)＝(ex－e－x)(ax2＋bx＋c)是偶函数，则一定有(　　)
A．b＝0 B．ac＝0
C．a＝0且c＝0 D．a＝0，c＝0且b≠0
4．(2021·福建省福州市三中模拟)已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
5．(2021·江西省宜春中学模拟)若函数f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，则a的值为(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．0
6．(2021·四川成都模拟)若函数f(x)＝1－的图象关于原点对称，则实数a等于(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
7．(2021·杭州四中模拟)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(2)＝0，则不等式≤0的解集为(　　)
A．(－∞，－2]∪(0，2] B．[－2，0)∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2，0)∪(0，2]
8．(2021·沈阳市高三质检)已知函数f(x)＝，实数a，b满足不等式f(2a＋b)＋f(4－3b)＞0，则下列不等关系恒成立的是(　　)
A．b－a＜2 B．a＋2b＞2
C．b－a＞2 D．a＋2b＜2
【练提升】
1．(2021·河北模拟)已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a＞0)上的奇函数，若g(x)＝f(x)＋2019，则g(x)的最大值与最小值之和为(　　)
A．0 B．1
C．2019 D．4038
2．(2021·山东省聊城市三中模拟)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1，3]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为　(　　)
A. B．2
C. D.
3．(2021·河南南阳模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为(　　)
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
4．(2021·浙江宁波效实中学模拟)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)
5．(2021·湖北省葛洲坝中学模拟)若函数f(x)＝x为偶函数，则a＝________.
6．(2021·石家庄二中高三质检)已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．
(1)求证：对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；
(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．7．(2021·河北重点中学联考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2,0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：
①f(x)的图象关于点P(1,0)对称；②f(0)是函数f(x)的最大值；③f(x)在[2,3]上是减函数；④f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z.
其中正确的是________(正确的序号都填上)．
8．(2021·山东济南高三模拟)设常数a∈R，函数f(x)＝(a－x)|x|.
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)是奇函数，且关于x的不等式mx2＋m>f[f(x)]对所有的x∈[－2，2]恒成立，求实数m的取值范围．
第05讲 函数的奇偶性与周期性
【练基础】
1．(2020·浙江舟山模拟)下列函数既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝－x2　　　　　　　　　 B．y＝x3
C．y＝log2x D．y＝－3－x
【答案】B
【解析】A.函数y＝－x2为偶函数，不满足条件．
B．函数y＝x3为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，满足条件．
C．y＝log2x的定义域为(0，＋∞)，为非奇非偶函数，不满足条件．
D．函数y＝－3－x为非奇非偶函数，不满足条件．
2．(2021·河北石家庄模拟)函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能为(　　)
【答案】A
【解析】因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以y＝f(x)·g(x)为奇函数，排除B；由两函数的图象可知当x∈时，y＝f(x)·g(x)<0；当x∈时，y＝f(x)·g(x)>0，所以只有选项A符合题意，故选A.
3．(2021·安徽省太湖中学模拟)若f(x)＝(ex－e－x)(ax2＋bx＋c)是偶函数，则一定有(　　)
A．b＝0 B．ac＝0
C．a＝0且c＝0 D．a＝0，c＝0且b≠0
【答案】C
【解析】设函数g(x)＝ex－e－x.g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．因为f(x)＝g(x)(ax2＋bx＋c)是偶函数．所以h(x)＝ax2＋bx＋c为奇函数．即h(－x)＋h(x)＝0恒成立，有ax2＋c＝0恒成立．所以a＝c＝0.当a＝c＝b＝0时，f(x)＝0，也是偶函数，故选C.
4．(2021·福建省福州市三中模拟)已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】D
【解析】∵y＝f(x)＋x是偶函数，∴f(－x)＋(－x)＝f(x)＋x，∴f(－x)＝f(x)＋2x，令x＝2，则f(－2)＝f(2)＋4＝5，故选D.
5．(2021·江西省宜春中学模拟)若函数f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，则a的值为(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．0
【答案】C
【解析】因为f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0.即ln(－ax＋)＋ln(ax＋)＝0恒成立，所以ln[(1－a2)x2＋1]＝0，即(1－a2)x2＝0恒成立，所以1－a2＝0，即a＝±1.
6．(2021·四川成都模拟)若函数f(x)＝1－的图象关于原点对称，则实数a等于(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【答案】A
【解析】由已知得，函数f(x)为奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即1－＋1－＝0,1－a＋1＋2a＝0，解得a＝－2.
7．(2021·杭州四中模拟)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(2)＝0，则不等式≤0的解集为(　　)
A．(－∞，－2]∪(0，2] B．[－2，0)∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2，0)∪(0，2]
【答案】D
【解析】因为函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(2)＝0，所以函数f(x)在(0，2)上的函数值为正，在(2，＋∞)上的函数值为负，当x>0时，不等式≤0等价于3f(－x)－2f(x)≤0，又f(x)是奇函数，所以有f(x)≥0，所以有08．(2021·沈阳市高三质检)已知函数f(x)＝，实数a，b满足不等式f(2a＋b)＋f(4－3b)＞0，则下列不等关系恒成立的是(　　)
A．b－a＜2 B．a＋2b＞2
C．b－a＞2 D．a＋2b＜2
【答案】C
【解析】由题意知f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，又f(x)＝＝＝－1，所以f(x)在R上为减函数，由f(2a＋b)＋f(4－3b)＞0，得f(2a＋b)＞－f(4－3b)＝f(3b－4)，故2a＋b＜3b－4，即b－a＞2.故选C.
【练提升】
1．(2021·河北模拟)已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a＞0)上的奇函数，若g(x)＝f(x)＋2019，则g(x)的最大值与最小值之和为(　　)
A．0 B．1
C．2019 D．4038
【答案】D
【解析】因为函数f(x)是定义在区间[－a，a]上的奇函数，所以f(x)max＋f(x)min＝0，所以g(x)max＋g(x)min＝[f(x)max＋2019]＋[f(x)min＋2019]＝f(x)max＋f(x)min＋4038＝4038.
2．(2021·山东省聊城市三中模拟)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1，3]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为　(　　)
A. B．2
C. D.
【答案】A
【解析】设x＞0，则－x＜0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)＋2]＝－x2＋3x－2.所以在[1，3]上，当x＝时，f(x)max＝；当x＝3时，f(x)min＝－2.所以m≥且n≤－2.故m－n≥.
3．(2021·河南南阳模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为(　　)
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
【答案】C
【解析】若x∈[－2,0]，则－x∈[0,2]，∵当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，∴f(－x)＝－x－1，∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝－x－1＝f(x)，即当x∈[－2,0]时，f(x)＝－x－1，即在一个周期[－2,2]内，f(x)＝若x∈[2,4]，则x－4∈[－2,0]，即f(x)＝f(x－4)＝－(x－4)－1＝－x＋3，x∈[2,4]，作出函数f(x)在[－2,4]上的图象如图：
则当x∈[－1,3]时，不等式xf(x)>0等价为或即10在[－1,3]上的解集为(－1,0)∪(1,3)．
4．(2021·浙江宁波效实中学模拟)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)
【答案】D
【解析】由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图象关于x＝a(a≠0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的图象关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．
5．(2021·湖北省葛洲坝中学模拟)若函数f(x)＝x为偶函数，则a＝________.
【答案】1或－1
【解析】令u(x)＝1－，根据函数f(x)＝x为偶函数，可知u(x)＝1－为奇函数，利用u(0)＝1－＝0，可得a2＝1，所以a＝1或a＝－1.
6．(2021·石家庄二中高三质检)已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．
(1)求证：对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；
(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．
【解析】(1)证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立．
若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，
因为f(x)在[－1，1]上是减函数且为奇函数，
所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，
所以f(x1)＋f(x2)＞0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1，
同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
综上得证，对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．
(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0 f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定义域[－1，1]上是减函数，得即解得0≤a＜1.
故所求实数a的取值范围是[0，1)．
7．(2021·河北重点中学联考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2,0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：
①f(x)的图象关于点P(1,0)对称；②f(0)是函数f(x)的最大值；③f(x)在[2,3]上是减函数；④f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z.
其中正确的是________(正确的序号都填上)．
【答案】①②④
【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点P(1,0)对称，所以①正确；由f(x＋2)＝－f(x)知，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(x0)＝f(4k＋x0)(k∈Z)，所以④正确；因为f(x)是以4为周期的函数，且在[－2,0]上是增函数，所以f(x)在[2,4]上也是增函数，因此③不正确；因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上的最大值是f(0)，又f(x)是以4为周期的函数，所以②正确．所以正确的判断是①②④.
8．(2021·山东济南高三模拟)设常数a∈R，函数f(x)＝(a－x)|x|.
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)是奇函数，且关于x的不等式mx2＋m>f[f(x)]对所有的x∈[－2，2]恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝(1－x)|x|＝，
当x≥0时，f(x)＝(1－x)x＝－＋，
所以f(x)在内是增函数，
在内是减函数；
当x<0时，f(x)＝(x－1)x＝－，
所以f(x)在(－∞，0)内是减函数；
综上可知，f(x)的单调增区间为，
单调减区间为(－∞，0)，.
(2)因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，
即(a＋1)·1＝－(a－1)·1，解得a＝0.
所以f(x)＝－x|x|，f[f(x)]＝x3|x|；
所以mx2＋m>f[f(x)]＝x3|x|，
即m>对所有的x∈[－2，2]恒成立．
因为x∈[－2，2]，所以x2＋1∈[1，5]．
所以≤＝＝x2＋1＋－2≤.
所以m>.
所以实数m的取值范围为.第05讲 函数的奇偶性与周期性
【学科素养】数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象
【课标解读】
1.抽象函数的奇偶性与周期性；
2.利用奇偶性与周期性求参数取值范围；
3.函数性质的综合应用问题.
【备考策略】
1.判断函数的奇偶性与周期性；
2.函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查，常结合三角函数加以考查．
【核心知识】
知识点一 函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称
知识点二 函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【特别提醒】
1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
【高频考点】
高频考点一 函数奇偶性的判定
例1．【2020·全国Ⅱ卷】设函数，则f(x)
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【方法技巧】判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法：
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)图象法：
f(x)的图像关于原点对称，f(x)为奇函数；
f(x)的图像关于y轴对称，f(x)为偶函数。
(3)性质法：
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
【举一反三】(2021·湖北省丹江口市一中模拟)设f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是(　　)
A．|g(x)|是偶函数　　　　 B．f(x)g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是偶函数 D．f(x)＋g(x)是奇函数
【变式探究】【2020年高考浙江】函数y=xcos x+sin x在区间[–π，π]上的图象可能是
高频考点二 函数奇偶性的应用
例2．【2020·江苏卷】已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则的值是 ．
【方法技巧】与函数奇偶性有关的问题及解题策略
(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数 f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数 f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．
【举一反三】(2019·全国卷Ⅱ)设f (x)为奇函数，且当x≥0时，f (x)＝ex－1，则当x<0时，f (x)＝(　　)
A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1
【变式探究】(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________.
高频考点三 函数的周期性
例3. （2023·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A.－50 B.0 C.2 D.50
【方法技巧】
(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性．
【变式探究】(2021·广东省韶关市一中模拟)已知函数f (x)的图象关于原点对称，且周期为4，若f (－1)＝2，则f (2 021)＝(　　)
A．2 B．0 C．－2 D．－4
高频考点四 函数性质的综合应用
例4. (2021·河北模拟)定义在R上的偶函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，且在[－1,0]上单调递减．设a＝f (－2.8)，b＝f (－1.6)，c＝f (0.5)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>c>a D．a>c>b
【举一反三】(2021·海南省三亚市一中模拟)定义在R上的偶函数f (x)满足f (x＋3)＝f (x)．若f (2)>1，f (7)＝a，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
【方法技巧】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性。
(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解。
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解。
（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称。
【变式探究】(2021·陕西省延安中学模拟)在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)(　　)
A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
第05讲 函数的奇偶性与周期性
【学科素养】数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象
【课标解读】
1.抽象函数的奇偶性与周期性；
2.利用奇偶性与周期性求参数取值范围；
3.函数性质的综合应用问题.
【备考策略】
1.判断函数的奇偶性与周期性；
2.函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查，常结合三角函数加以考查．
【核心知识】
知识点一 函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称
知识点二 函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【特别提醒】
1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
【高频考点】
高频考点一 函数奇偶性的判定
例1．【2020·全国Ⅱ卷】设函数，则f(x)
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确。
【方法技巧】判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法：
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)图象法：
f(x)的图像关于原点对称，f(x)为奇函数；
f(x)的图像关于y轴对称，f(x)为偶函数。
(3)性质法：
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
【举一反三】(2021·湖北省丹江口市一中模拟)设f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是(　　)
A．|g(x)|是偶函数　　　　 B．f(x)g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是偶函数 D．f(x)＋g(x)是奇函数
【答案】D
【解析】f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，f(x)为偶函数．
g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数．
|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]
＝－f(x)g(x)，
所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；
f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，
所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；
f(x)＋g(x)＝2ex，
f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，
且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，
所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D.
【变式探究】【2020年高考浙江】函数y=xcos x+sin x在区间[–π，π]上的图象可能是
【答案】A
【解析】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误，故选A。
高频考点二 函数奇偶性的应用
例2．【2020·江苏卷】已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则的值是 ．
【答案】－4
【解析】，因为为奇函数，所以。
【方法技巧】与函数奇偶性有关的问题及解题策略
(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数 f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数 f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．
【举一反三】(2019·全国卷Ⅱ)设f (x)为奇函数，且当x≥0时，f (x)＝ex－1，则当x<0时，f (x)＝(　　)
A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1
【答案】D　
【解析】当x<0时，－x>0.因为当x≥0时，f (x)＝ex－1，所以 f (－x)＝e－x－1. 又因为 f (x)为奇函数，所以f (x)＝－f (－x)＝－e－x＋1.
【变式探究】(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________.
【答案】－3
【解析】法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，
∴x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，
则f(ln 2)＝e－aln 2＝8，
∴－aln 2＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3.
法二：由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln 2)＝－f＝－(－eeq \s\up5(aln ))＝8，∴aln ＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3.
高频考点三 函数的周期性
例3. （2023·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A.－50 B.0 C.2 D.50
【答案】C
【解析】
方法一：　∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
方法二：取一个符合题意的函数f(x)＝2sin，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
【方法技巧】
(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性．
【变式探究】(2021·广东省韶关市一中模拟)已知函数f (x)的图象关于原点对称，且周期为4，若f (－1)＝2，则f (2 021)＝(　　)
A．2 B．0 C．－2 D．－4
【答案】C　
【解析】因为函数f (x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f (x)为奇函数，所以f (2 021)＝f (505×4＋1)＝f (1)＝－f (－1)＝－2，故选C。
高频考点四 函数性质的综合应用
例4. (2021·河北模拟)定义在R上的偶函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，且在[－1,0]上单调递减．设a＝f (－2.8)，b＝f (－1.6)，c＝f (0.5)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>c>a D．a>c>b
【答案】D　
【解析】因为偶函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为2.所以a＝f (－2.8)＝f (－0.8)，b＝f (－1.6)＝f (0.4)＝f (－0.4)，c＝ f (0.5)＝f (－0.5)．因为－0.8<－0.5<－0.4，且函数f (x)在[－1,0]上单调递减，所以a>c>b.故选D．
【举一反三】(2021·海南省三亚市一中模拟)定义在R上的偶函数f (x)满足f (x＋3)＝f (x)．若f (2)>1，f (7)＝a，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
【答案】D　
【解析】因为f (x＋3)＝f (x)，所以f (x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f (7)＝f (7－9)＝f (－2)．又因为函数f (x)是偶函数，所以f (－2)＝f (2)，所以f (7)＝f (2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)，故选D。
【方法技巧】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性。
(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解。
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解。
（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称。
【变式探究】(2021·陕西省延安中学模拟)在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)(　　)
A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
【答案】B
【解析】由f(x)＝f(2－x)，函数f(x)关于x＝1对称，
又因为f(x)在R上是偶函数，所以f(x)关于y轴对称．
又因为f(x)在区间[1，2]上是减函数，
所以f(x)在[0，1]上为增函数，在[－1，0]上为减函数，故函数图象如图所示．由图可知B正确．

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