资源简介

第07讲 指数与指数函数
【练基础】
1．(2021·河北承德模拟)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)
2．(2021·江西上饶摸底)已知a＝20.4，b＝90.2，c＝()3，则(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
3．(2021·湖北省沙市模拟)下列各式比较大小正确的是(　　)
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
4．(2021·四川宜宾模拟)若函数f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，则m＋n＝(　　)
A．3 B．1
C．－1 D．－2
5．(2021·宁波效实中学高三质检)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是　(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
6．(2021·湖南省浏阳模拟)函数y＝ax(a＞0且a≠1)与函数y＝(a－1)x2－2x－1在同一个坐标系内的图象可能是(　　)
7．(2021·广东省深圳模拟)已知函数y＝f(x)与y＝F(x)的图象关于y轴对称，当函数y＝f(x)和y＝F(x)在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫作函数y＝f(x)的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y＝|2x－t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是(　　)
A．(0，2] B.
C. D.∪
8．(2021·广西百色模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为(　　)
A. B.
C. D.
【练提升】
1．(2021·四川省广元中学模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
2．(2021·山东菏泽联考)函数y＝2x－x2的值域为(　　)
A. B.
C. D．(0,2]
3．(2021·陕西省铜川模拟)已知函数f(x)＝，则此函数图象上关于原点对称的点有(　　)
A．0对 B．1对
C．2对 D．3对
4．(2021·湖南株洲模拟)如图，四边形OABC是面积为8的平行四边形，AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点E，B，则a＝(　　)
A. B.
C．2 D．3
5．(2021·安徽省淮南五中模拟)已知函数f(x)＝e|x|，将函数f(x)的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数g(x)的图象，函数h(x)＝若对于任意的x∈[3，λ](λ>3)，都有h(x)≥g(x)，则实数λ的最大值为________．
6．(2021·福建省厦门模拟)已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3，0]上的值域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．
7．(2021·山东省栖霞模拟)已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，求实数a的取值范围．
8．(2021·河北衡水中学模拟)已知函数f(x)＝，x∈[－1，1]，函数g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值为h(a)．
(1)求h(a)；
(2)是否存在实数m，n同时满足下列条件：
①m>n>3；
②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
第07讲 指数与指数函数
【练基础】
1．(2021·河北承德模拟)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)
【答案】A
【解析】将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．
2．(2021·江西上饶摸底)已知a＝20.4，b＝90.2，c＝()3，则(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【答案】A
【解析】因为c＝()3＝3＝30.75＞30.4，b＝90.2＝30.4，所以b＜c，又20.4＜30.4，即a＜b，所以a＜b＜c.
3．(2021·湖北省沙市模拟)下列各式比较大小正确的是(　　)
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
【答案】B
【解析】A中，因为函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73.B中，因为y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，所以0.6－1>0.62.C中，因为0.8－1＝1.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．因为y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，所以1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D中，因为1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1.
4．(2021·四川宜宾模拟)若函数f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，则m＋n＝(　　)
A．3 B．1
C．－1 D．－2
【答案】C
【解析】因为函数f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，所以－1＋m＝0，且2·a0－n＝4.解得m＝1，n＝－2，所以m＋n＝－1.
5．(2021·宁波效实中学高三质检)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是　(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
【答案】B
【解析】由f(1)＝得a2＝.
又a>0，所以a＝，因此f(x)＝.
因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
6．(2021·湖南省浏阳模拟)函数y＝ax(a＞0且a≠1)与函数y＝(a－1)x2－2x－1在同一个坐标系内的图象可能是(　　)
【答案】C
【解析】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A，D；二次函数的对称轴为直线x＝，当0＜a＜1时，指数函数单调递减，＜0，C符合题意；当a＞1时，指数函数单调递增，＞0，B不符合题意，故选C.
7．(2021·广东省深圳模拟)已知函数y＝f(x)与y＝F(x)的图象关于y轴对称，当函数y＝f(x)和y＝F(x)在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫作函数y＝f(x)的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y＝|2x－t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是(　　)
A．(0，2] B.
C. D.∪
【答案】C
【解析】因为函数y＝f(x)与y＝F(x)的图象关于y轴对称，
所以F(x)＝f(－x)＝|2－x－t|，
因为区间[1，2]为函数f(x)＝|2x－t|的“不动区间”，
所以函数f(x)＝|2x－t|和函数F(x)＝|2－x－t|在[1，2]上单调性相同，
因为y＝2x－t和函数y＝2－x－t的单调性相反，
所以(2x－t)(2－x－t)≤0在[1，2]上恒成立，
即1－t(2x＋2－x)＋t2≤0在[1，2]上恒成立，
即2－x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，
即≤t≤2，故答案为C.
8．(2021·广西百色模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】当a＜1时，41－a＝21，所以a＝；当a＞1时，4a－1＝2a－(1－a)，无解．故选B.
【练提升】
1．(2021·四川省广元中学模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
【答案】D
【解析】作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，因为af(c)>f(b)，结合图象知，00，所以0<2a<1.所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，所以f(c)<1，所以0f(c)，所以1－2a>2c－1，所以2a＋2c<2，故选D.
2．(2021·山东菏泽联考)函数y＝2x－x2的值域为(　　)
A. B.
C. D．(0,2]
【答案】A
【解析】因为2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，所以2x－x2≥1＝.所以函数y＝2x－x2的值域为.
3．(2021·陕西省铜川模拟)已知函数f(x)＝，则此函数图象上关于原点对称的点有(　　)
A．0对 B．1对
C．2对 D．3对
【答案】B
【解析】作出函数y＝f(x)图象如图所示：
再作出－y＝f(－x)，即y＝x2－4x，恰好与函数图象位于y轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称，记为曲线C，发现y＝与曲线C有且仅有一个交点，
因此满足条件的对称点只有一对，图中的A、B就是符合题意的点．故选B.
4．(2021·湖南株洲模拟)如图，四边形OABC是面积为8的平行四边形，AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点E，B，则a＝(　　)
A. B.
C．2 D．3
【答案】A
【解析】设C(0，yC)，因为AC⊥CO，则设A(xA，yC)，于是B(xA，2yC)，E.
因为平行四边形OABC的面积为8，所以yC·xA＝8，因为点E，B在y＝ax的图象上，则axA＝2yC，a＝yC，所以y＝2yC，解得yC＝2或yC＝0(舍去)，则xA＝4，于是a4＝4，因为a>0，所以a＝.
5．(2021·安徽省淮南五中模拟)已知函数f(x)＝e|x|，将函数f(x)的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数g(x)的图象，函数h(x)＝若对于任意的x∈[3，λ](λ>3)，都有h(x)≥g(x)，则实数λ的最大值为________．
【解析】依题意，g(x)＝f(x－3)＋2＝e|x－3|＋2，在同一坐标系中分别作出g(x)，h(x)的图象如图所示，观察可得，要使得h(x)≥g(x)，则有4e6－x＋2≥e(x－3)＋2，故4≥e2x－9，解得2x－9≤ln 4，故x≤ln 2＋，实数λ的最大值为ln 2＋.
【答案】ln 2＋
6．(2021·福建省厦门模拟)已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3，0]上的值域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．
【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1
＝2(2x)2－2x－1，
令t＝2x，x∈[－3，0]，则t∈.
故y＝2t2－t－1＝2－，t∈，
故值域为.
(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，
设2x＝m>0，
等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，
记g(m)＝2am2－m－1，
当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立．
当a<0时，开口向下，对称轴m＝<0，
过点(0，－1)，不成立．
当a>0时，开口向上，对称轴m＝>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a>0.
7．(2021·山东省栖霞模拟)已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，求实数a的取值范围．
【解析】①当0若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(0则由图象可知0<3a<2，所以0②当a>1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象如图2.
若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，此时无解．
所以实数a的取值范围是.
8．(2021·河北衡水中学模拟)已知函数f(x)＝，x∈[－1，1]，函数g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值为h(a)．
(1)求h(a)；
(2)是否存在实数m，n同时满足下列条件：
①m>n>3；
②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)因为x∈[－1，1]，
所以f(x)＝∈，
设t＝∈.
则y＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.
当a<时，ymin＝h(a)＝φ＝－；
当≤a≤3时，ymin＝h(a)＝φ(a)＝3－a2；
当a>3时，ymin＝h(a)＝φ(3)＝12－6a.
所以h(a)＝
(2)假设存在m，n满足题意．
因为m>n>3，h(a)＝12－6a在(3，＋∞)上是减函数，
又因为h(a)的定义域为[n，m]，
值域为[n2，m2]，
所以两式相减得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，即m＋n＝6，与m>n>3矛盾，
所以满足题意的m，n不存在．第07讲 指数与指数函数
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析
【课标解读】
1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。
2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.
3.了解指数函数的变化特征.
【备考策略】
1.有理指数幂的运算；
2.指数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；
3.图象过定点；
4.底数分类讨论问题.
【核心知识】
知识点一 根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
知识点二 分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
知识点三 指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，01；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
【特别提醒】
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
【高频考点】
高频考点一　指数幂的运算
例1.(2021·山东省青岛市模拟)化简a·b－2·÷(a，b>0)
【方法技巧】
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【变式探究】(2021·河南省登封模拟)若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．(aeq \s\up8(－))4＝
高频考点二 指数函数的图像及其应用
例2.(2021·湖北省武汉市二中模拟)函数y＝(a>1)的图象大致是(　　)
【方法技巧】有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．
【变式探究】(2021·广州市番禺中学模拟)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________．
高频考点三 比较指数式的大小
例3．【2020·天津卷】设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；
【变式探究】(2021·河北模拟)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b高频考点四 解简单的指数方程或不等式
例4.(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　)
A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0
C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0
【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；
【变式探究】(2021·山西省阳泉市模拟)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
高频考点五 指数函数性质的综合应用
例5.（2023·江西九江一中调研）已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
【方法技巧】解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。
【变式探究】(2021·北京朝阳区二模)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，经过t分钟后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80 ℃的物体，放在20 ℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40 ℃，则k约等于(参考数据：ln 3≈1.099)(　　)
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
第07讲 指数与指数函数
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析
【课标解读】
1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。
2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.
3.了解指数函数的变化特征.
【备考策略】
1.有理指数幂的运算；
2.指数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；
3.图象过定点；
4.底数分类讨论问题.
【核心知识】
知识点一 根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
知识点二 分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
知识点三 指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，01；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
【特别提醒】
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
【高频考点】
高频考点一　指数幂的运算
例1.(2021·山东省青岛市模拟)化简a·b－2·÷(a，b>0)
【解析】原式＝－a－b－3÷
＝－a－b－3÷＝－a－·b－
＝－·＝－.
【答案】.
【方法技巧】
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【变式探究】(2021·河南省登封模拟)若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．(aeq \s\up8(－))4＝
【答案】D
【解析】对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(aeq \s\up8(－))4＝，故D正确。
高频考点二 指数函数的图像及其应用
例2.(2021·湖北省武汉市二中模拟)函数y＝(a>1)的图象大致是(　　)
【答案】B
【解析】y＝因为a>1，依据指数函数的图象特征可知选B.
【方法技巧】有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．
【变式探究】(2021·广州市番禺中学模拟)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________．
【答案】　
【解析】y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．当a>1时，如图1，两个图象只有一个交点，不合题意；当0高频考点三 比较指数式的大小
例3．【2020·天津卷】设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，
，
，
所以.
故选D．
【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；
【变式探究】(2021·河北模拟)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b【解析】因为函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，
即b0，所以1.50.6>1.50＝1，即c>1.综上，b【答案】C
高频考点四 解简单的指数方程或不等式
例4.(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　)
A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0
C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0
【答案】A　
【解析】(方法一)由2x－2y＜3－x－3－y，可得2x－3－x＜2y－3－y，
令f (x)＝2x－3－x，则f (x)在R上单调递增，且f (x)＜f (y)，
所以x＜y，即y－x＞0，由于y－x＋1＞1，
故ln(y－x＋1)＞ln 1＝0.
(方法二)取x＝－1，y＝0，满足2x－2y＜3－x－3－y，
此时ln(y－x＋1)＝ln 2＞0，ln|x－y|＝ln 1＝0，可排除BCD．
【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；
【变式探究】(2021·山西省阳泉市模拟)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【解析】当a<0时，不等式f(a)<1可化为－7<1，即<8，即<，因为0<<1，所以a>－3，此时－3【答案】C
高频考点五 指数函数性质的综合应用
例5.（2023·江西九江一中调研）已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
【解析】(1)当a＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有
解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(3)由指数函数的性质知，要使f(x)的值域为(0，＋∞)，
应使y＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0(因为若a≠0，则y＝ax2－4x＋3为二次函数，其值域不可能为R)．
故a的值为0。
【方法技巧】解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。
【变式探究】(2021·北京朝阳区二模)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，经过t分钟后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80 ℃的物体，放在20 ℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40 ℃，则k约等于(参考数据：ln 3≈1.099)(　　)
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【答案】D　
【解析】由题知，80 ℃的物体放在20 ℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40 ℃，则40＝20＋(80－20)e－4k.从而e－4k＝.所以－4k＝ln ＝－ln 3，得k＝ln 3≈≈0.3.故选D．

展开更多......

收起↑