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第55讲 坐标系
【练基础】
1．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心C为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
2.如图，在极坐标系中，曲线C：ρ＝4cos θ，以极点O为旋转中心，将曲线C逆时针旋转得到曲线C′.
(1)求曲线C′的极坐标方程；
(2)求曲线C与曲线C′公共部分围成图形的面积．
3．设M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的动点，求M，N的最小距离．
4．在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
5．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0.
(1)求直线l的极坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求AB的长．
6．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，将曲线C1绕极点逆时针旋转后得到曲线C2.
(1)求曲线C2的极坐标方程；
(2)若直线l：θ＝α(ρ∈R)与C1，C2分别相交于异于极点的A，B两点，求|AB|的最大值．
7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：
(m>0，α为参数)，直线C2：y＝x，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出曲线C1，直线C2的极坐标方程；
(2)直线C3：θ＝(ρ∈R)，设曲线C1与直线C2交于点O，A，曲线C1与直线C3交于点O，B，△OAB的面积为6，求实数m的值．
8．在平面直角坐标系xOy中，由x2＋y2＝1经过伸缩变换得到曲线C1，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；
(2)若直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)，l与曲线C1，曲线C2在第一象限分别交于P，Q两点，且|OP|＝|PQ|，点M的极坐标为，求△PMQ的面积．
【练提升】
9.在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.,(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；,(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
10．在平面直角坐标系中，直线m的参数方程为(t为参数，0≤α<π)．以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0，直线m与曲线E交于A，C两点．
(1)求曲线E的直角坐标方程和直线m的极坐标方程；
(2)过原点且与直线m垂直的直线n与曲线E交于B，D两点，求四边形ABCD面积的最大值．
11．在平面直角坐标系xOy中，直线C1：x＋y－1＝0，曲线C2：(φ为参数，a>0)，以坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)说明C2是哪一种曲线，并将C2的方程化为极坐标方程；
(2)曲线C3的极坐标方程为θ＝α0(ρ>0)，其中tanα0＝2，α0∈，且曲线C3分别交C1，C2于A，B两点．若|OB|＝3|OA|＋，求a的值．
12．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.
13.如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．
14．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(x－1)2＋y2＝1，曲线C2：＋＝1.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(且A，B均异于原点O)，当0<α<时，求|OB|2－|OA|2的最小值．
第55讲 坐标系
【练基础】
1．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心C为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
【解析】在直线ρsin＝－中，
令θ＝0得ρ＝2.所以圆C的圆心坐标为C(2,0)．
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径|PC|＝ ＝2，
所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.
2.如图，在极坐标系中，曲线C：ρ＝4cos θ，以极点O为旋转中心，将曲线C逆时针旋转得到曲线C′.
(1)求曲线C′的极坐标方程；
(2)求曲线C与曲线C′公共部分围成图形的面积．
【解析】(1)设曲线C上的点(ρ，θ)旋转之后为(ρ′，θ′)，
故即代入曲线C：ρ＝4cos θ，
得曲线C′：ρ′＝4cos，即曲线C′的极坐标方程为ρ＝4cos.
(2)易知曲线C，C′是半径均为2的两个圆，如图，两圆相交于点O，A，连接OA，AC，OC′，AC′，
显然四边形OC′AC为菱形，∠COC′＝，
故∠OC′A＝，
所以曲线C与曲线C′公共部分的面积S＝2S弓形OCA＝2(S扇形OC′A－S△OC′A)＝－2.
3．设M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的动点，求M，N的最小距离．
【解析】因为M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的动点，即M，N分别是圆x2＋y2＋2y＝0和直线x＋y－1＝0上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线x＋y－1＝0上找一点到圆x2＋y2＋2y＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x＋y－1＝0的距离减去半径，故最小值为－1＝－1.
4．在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
【解析】(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，
当θ0＝时，ρ0＝4sin＝2.
由已知得|OP|＝|OA|cos＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．
连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.
经检验，点P在曲线ρcos＝2上，
所以l的极坐标方程为ρcos＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，
所以θ的取值范围是.
所以P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.
5．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0.
(1)求直线l的极坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求AB的长．
【解析】(1)由得y＝x，∴在平面直角坐标系中，
直线l经过坐标原点，倾斜角是，
因此，直线l的极坐标方程是θ＝(ρ∈R)．
(2)把θ＝代入曲线C的极坐标方程
ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0，得ρ2－ρ－3＝0，
由一元二次方程根与系数的关系，得ρ1＋ρ2＝，ρ1ρ2＝－3，
∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝
＝
＝.
6．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，将曲线C1绕极点逆时针旋转后得到曲线C2.
(1)求曲线C2的极坐标方程；
(2)若直线l：θ＝α(ρ∈R)与C1，C2分别相交于异于极点的A，B两点，求|AB|的最大值．
【解析】(1)设C2上任意一点的极坐标为(ρ，θ)，
则在C1上，所以ρ＝4sin，
故曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin.
(2)设A(ρA，α)，B(ρB，α)，
则|AB|＝|ρA－ρB|＝
＝|6sin α＋2cos α|＝4≤4，
当且仅当α＝时，等号成立，
故|AB|的最大值为4.
7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：
(m>0，α为参数)，直线C2：y＝x，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出曲线C1，直线C2的极坐标方程；
(2)直线C3：θ＝(ρ∈R)，设曲线C1与直线C2交于点O，A，曲线C1与直线C3交于点O，B，△OAB的面积为6，求实数m的值．
【解析】(1)由题意消去曲线C1的参数α，得曲线C1的普通方程为(x－m)2＋y2＝m2.
∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝2mcosθ.
直线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
(2)由得∴A.
由得∴B.
∴S△OAB＝ρA·|ρB |·sin∠AOB＝6，
即·m·m·sin＝6，解得m2＝8.
又m>0，∴m＝2.
8．在平面直角坐标系xOy中，由x2＋y2＝1经过伸缩变换得到曲线C1，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；
(2)若直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)，l与曲线C1，曲线C2在第一象限分别交于P，Q两点，且|OP|＝|PQ|，点M的极坐标为，求△PMQ的面积．
【解析】(1)由得代入x2＋y2＝1得到曲线C1的直角坐标方程为＋y′2＝1，即＋y2＝1，
又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以曲线C1的极坐标方程为ρ2＝.
C2：ρ＝4cos θ ρ2＝4ρcos θ，又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，
所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4.
(2)由解得ρP＝，
由解得ρQ＝4cos α.
由于|OP|＝|PQ|，所以ρQ＝2ρP，
故4cos α＝2，解得sin2α＝，cos2α＝，
所以ρP＝＝，ρQ＝4cos α＝.
S△PQM＝S△OQM－S△OPM
＝|OQ|·|OM|sin－|OP|·|OM|sin
＝×(ρQ－ρP)sin
＝×(ρQ－ρP)cos α
＝.
【练提升】
9.在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.,(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；,(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
【解析】(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，,所以当θ0＝时，ρ0＝4sin＝2.,由已知得|OP|＝|OA|cos＝2.,设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．,在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.
经检验，点P在曲线ρcos＝2上，
所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，
即ρ＝4cosθ.
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，
所以θ的取值范围是.
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈.
10．在平面直角坐标系中，直线m的参数方程为(t为参数，0≤α<π)．以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0，直线m与曲线E交于A，C两点．
(1)求曲线E的直角坐标方程和直线m的极坐标方程；
(2)过原点且与直线m垂直的直线n与曲线E交于B，D两点，求四边形ABCD面积的最大值．
【解析】(1)由ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，得曲线E的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4，
直线m的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
(2)设点A，C的极坐标分别为(ρ1，α)，(ρ2，α)．
由得ρ2＋2ρcos α－3＝0，
∴ρ1＋ρ2＝－2cos α，ρ1ρ2＝－3，
∴|AC|＝|ρ1－ρ2|＝2.
同理得|BD|＝2.
∵S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝2·≤cos2α＋3＋sin2α＋3＝7，
当且仅当cos2α＋3＝sin2α＋3，即α＝或时，等号成立，
∴四边形ABCD面积的最大值为7.
11．在平面直角坐标系xOy中，直线C1：x＋y－1＝0，曲线C2：(φ为参数，a>0)，以坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)说明C2是哪一种曲线，并将C2的方程化为极坐标方程；
(2)曲线C3的极坐标方程为θ＝α0(ρ>0)，其中tanα0＝2，α0∈，且曲线C3分别交C1，C2于A，B两点．若|OB|＝3|OA|＋，求a的值．
【解析】(1)由消去参数φ，
得C2的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2.
∴C2是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
∴C2的极坐标方程为(ρcosθ)2＋(ρsinθ－1)2＝a2，
即C2的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.
(2)曲线C3的极坐标方程为θ＝α0(ρ>0)，tanα0＝2，α0∈，
∴曲线C3的直角坐标方程为y＝2x(x>0)，sinα0＝.
由解得∴A.
∴|OA|＝.
∵|OB|＝3|OA|＋，∴|OB|＝2.
故点B的极坐标为(2，α0)，
代入ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，得a＝.
12．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.
【解析】(1)曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，
则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0.
由于直线C2过原点，且倾斜角为，
故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
(2)由
得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，
设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，
则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，
∴＋＝＝＝.
13.如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．
【解析】(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ，
所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，
M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，
M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ.
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：
若0≤θ≤，则2cos θ＝，解得θ＝；
若≤θ≤，则2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；
若≤θ≤π，则－2cos θ＝，解得θ＝.
综上，P的极坐标为或或，或.
14．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(x－1)2＋y2＝1，曲线C2：＋＝1.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(且A，B均异于原点O)，当0<α<时，求|OB|2－|OA|2的最小值．
【解析】(1)C1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，
C2的极坐标方程为ρ2＝.
(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2＝4cos2α，
联立θ＝α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2＝，
则|OB|2－|OA|2＝－4cos2α＝－4(1－sin2α)＝＋4(1＋sin2α)－8
≥2－8＝8－8，
当且仅当sin α＝时取等号，
所以|OB|2－|OA|2的最小值为8－8.第55讲 坐标系
【课标解读】
1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.
3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2022年将会考查：极坐标与直角坐标的转化，极坐标方程化为直角坐标方程，要特别注意图象的伸缩变换．题型为解答题，属中、低档题型.
【核心知识】
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
【特别提醒】极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向．四者缺一不可．
(2)极坐标
①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.由极径的意义知ρ＞0时，当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系．约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．
②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.
③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．
一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
④极坐标与直角坐标的重要区别：多值性．
3．极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
【特别提醒】把直角坐标化为极坐标时，一定要明确点所在的象限(即极角的终边的位置)和极角的范围，以便正确求出极角，否则点的极坐标将不唯一．
4．简单曲线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程
圆心为极点，半径为r的圆 (0≤θ<2π)
圆心为(r,0)，半径为r的圆
圆心为，半径为r的圆 (0≤θ<π)
过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或
θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线
过点，与极轴平行的直线 (0<θ<π)
【高频考点】
高频考点一　平面直角坐标系中的伸缩变换
例1．在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
(1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标；
(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程．
【变式探究】在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．
(1)5x＋2y＝0.
(2)x2＋y2＝1.
【举一反三】将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式φ：(λ，μ>0)，求λ，μ的值．
高频考点二　极坐标与直角坐标的互化
例2．（2023·全国高考真题）在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
【举一反三】在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρsin＝，C2：ρ2＝.
(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；
(2)曲线C1，C2的交点为M，N，求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标．
【方法技巧】
1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法
(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．
(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．
2．极角的确定
由tan θ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．
(1)当x≠0时，θ角才能由tan θ＝按上述方法确定．
(2)当x＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：
当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y>0时，可取θ＝；当x＝0，y<0时，可取θ＝.　　
【变式探究】在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.
(1)求圆 O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的一个极坐标．
高频考点三　极坐标方程及应用
例3.在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
【方法技巧】利用极坐标系解决问题的技巧
(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．
(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，这种方法比在直角坐标系中求最值的运算量小．
(3)根据极坐标方程判断曲线的位置关系时，只需联立曲线的极坐标方程得方程组，判断方程组解的情况即可．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．　　
【变式探究】C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π) .
第55讲 坐标系
【课标解读】
1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.
3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2022年将会考查：极坐标与直角坐标的转化，极坐标方程化为直角坐标方程，要特别注意图象的伸缩变换．题型为解答题，属中、低档题型.
【核心知识】
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
【特别提醒】极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向．四者缺一不可．
(2)极坐标
①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.由极径的意义知ρ＞0时，当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系．约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．
②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.
③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．
一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
④极坐标与直角坐标的重要区别：多值性．
3．极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
【特别提醒】把直角坐标化为极坐标时，一定要明确点所在的象限(即极角的终边的位置)和极角的范围，以便正确求出极角，否则点的极坐标将不唯一．
4．简单曲线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程
圆心为极点，半径为r的圆 (0≤θ<2π)
圆心为(r,0)，半径为r的圆
圆心为，半径为r的圆 (0≤θ<π)
过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或
θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线
过点，与极轴平行的直线 (0<θ<π)
【高频考点】
高频考点一　平面直角坐标系中的伸缩变换
例1．在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
(1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标；
(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程．
【解析】(1)设点A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：
得∴
∴点A′的坐标为(1，－1)．
(2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．
由伸缩变换φ：得代入y＝6x，得2y′＝6×＝2x′，即y′＝x′，∴y＝x为所求直线l′的方程．
【变式探究】在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．
(1)5x＋2y＝0.
(2)x2＋y2＝1.
【解析】伸缩变换则
(1)若5x＋2y＝0，则5(2x′)＋2(3y′)＝0，所以5x＋2y＝0经过伸缩变换后的方程为5x′＋3y′＝0，为一条直线．
(2)若x2＋y2＝1，则(2x′)2＋(3y′)2＝1，则x2＋y2＝1经过伸缩变换后的方程为4x′2＋9y′2＝1，为椭圆．
【举一反三】将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式φ：(λ，μ>0)，求λ，μ的值．
【解析】将变换后的椭圆＋＝1改写为＋＝1，把伸缩变换公式φ：(λ，μ>0)代入上式，
得＋＝1，
即2x2＋2y2＝1，
与x2＋y2＝1比较系数，
得所以
高频考点二　极坐标与直角坐标的互化
例2．（2023·全国高考真题）在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
【答案】（1），（为参数）；（2）或.
【解析】（1）由题意，的普通方程为，
所以的参数方程为，（为参数）
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，
由圆心到直线的距离等于1可得，
解得，所以切线方程为或，
将，代入化简得
或
【举一反三】在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρsin＝，C2：ρ2＝.
(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；
(2)曲线C1，C2的交点为M，N，求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标．
【解析】(1)由ρsin＝，得
ρ＝，
将代入上式得x＋y＝1，
即C1的直角坐标方程为x＋y－1＝0，
同理由ρ2＝，可得3x2－y2＝1，
∴C2的直角坐标方程为3x2－y2＝1.
(2)由题意可知，先求以MN为直径的圆，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得3x2－(1－x)2＝1，
即x2＋x－1＝0，
∴则MN的中点坐标为，
由弦长公式，可得|MN|＝|x1－x2|＝·＝.
∴以MN为直径的圆为2＋2＝2＝.
令x＝0，得＋2＝，即2＝，
∴y＝0或y＝3，
∴以MN为直径的圆与y轴的交点坐标为(0,0)或(0,3)．
【方法技巧】
1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法
(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．
(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．
2．极角的确定
由tan θ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．
(1)当x≠0时，θ角才能由tan θ＝按上述方法确定．
(2)当x＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：
当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y>0时，可取θ＝；当x＝0，y<0时，可取θ＝.　　
【变式探究】在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.
(1)求圆 O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的一个极坐标．
【解析】(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
所以圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，
即x2＋y2－x－y＝0.
直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
所以直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.
(2)由得
故直线l与圆O的公共点的一个极坐标为.
高频考点三　极坐标方程及应用
例3.在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
【解析】(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝时，l2与C2没有公共点．
综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.
【方法技巧】利用极坐标系解决问题的技巧
(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．
(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，这种方法比在直角坐标系中求最值的运算量小．
(3)根据极坐标方程判断曲线的位置关系时，只需联立曲线的极坐标方程得方程组，判断方程组解的情况即可．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．　　
【变式探究】C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π) .
【解析】(1)曲线C1的参数方程为(α为参数)，
转换为直角坐标方程为(x－2)2＋(y－4)2＝4，
转换为极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－8ρsin θ＋16＝0.
(2)曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
转换为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，
所以
整理出公共弦的直线方程为x＋y－4＝0，
联立
解得或
转换为极坐标为或.

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