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第10讲 函数与方程
【练基础】
1．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　)
A．2个　　　　　　　　　 B．3个
C．4个 D．5个
2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)
A．0,2 B．0，
C．0，－ D．2，－
3．已知函数f(x)＝－cos x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
5．已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)
A. B.
C．－ D．－
6．已知函数f(x)＝－kx2(k∈R)有四个不同的零点，则实数k的取值范围是(　　)
A．k<0 B．k<1
C．01
7．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．[1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
8．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．
9．若函数f(x)＝2x－a2－a在(－∞，1]上存在零点，则正实数a的取值范围是________．
10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．
【练提升】
1．函数f(x)＝xcos(x2－2x－3)在区间[－1,4]上的零点个数为(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
2．已知函数f(x)＝，则下列关于函数y＝f[f(kx)＋1]＋1(k≠0)的零点个数的判断正确的是(　　)
A．当k>0时，有3个零点；当k<0时，有4个零点
B．当k>0时，有4个零点；当k<0时，有3个零点
C．无论k为何值，均有3个零点
D．无论k为何值，均有4个零点
3．设方程10x＝|lg (－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　)
A．x1x2<0 B．x1x2＝0
C．x1x2>1 D．04．若关于x的不等式x2＋|x－a|<2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是________．
5．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点．
(1)求m的值；
(2)求函数的零点．
6．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围．
第10讲 函数与方程
【练基础】
1．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　)
A．2个　　　　　　　　　 B．3个
C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．
2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)
A．0,2 B．0，
C．0，－ D．2，－
【答案】C
【解析】因为函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，所以2a＋b＝0，b＝－2a，所以g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，由g(x)＝0得x＝0或－，故g(x)的零点是0，－.
3．已知函数f(x)＝－cos x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】作出g(x)＝与h(x)＝cos x的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.
4．若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
【答案】C
【解析】因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得05．已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)
A. B.
C．－ D．－
【答案】C
【解析】因为函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0 f(2x2＋1)＝－f(λ－x) f(2x2＋1)＝f(x－λ) 2x2＋1＝x－λ，所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－.故选C.
6．已知函数f(x)＝－kx2(k∈R)有四个不同的零点，则实数k的取值范围是(　　)
A．k<0 B．k<1
C．01
【答案】D
【解析】分别画出y＝与y＝kx2的图象如图所示，
当k<0时，y＝kx2的开口向下，此时与y＝只有一个交点，显然不符合题意；
当k＝0时，此时与y＝只有一个交点，显然不符合题意，
当k>0，x≥0时，
令f(x)＝－kx2＝0，
即kx3＋2kx2－x＝0，
即x(kx2＋2kx－1)＝0，
即x＝0或kx2＋2kx－1＝0，
因为Δ＝4k2＋4k>0，且－<0，所以方程有一正根，一负根，所以当x>0时，方程有唯一解．即当x≥0时，方程有两个解．
当k>0，x<0时，f(x)＝－kx2＝0，
即kx3＋2kx2＋x＝0，kx2＋2kx＋1＝0，
此时必须有两个解才满足题意，所以Δ＝4k2－4k>0，解得k>1，
综上所述k>1.
7．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．[1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
【答案】C
【解析】当a＝0时，函数f(x)的零点是－1，－1 {x|0即解得a>1；当Δ＝0，即a＝－时，函数f(x)的零点是－2，－2 {x|08．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．
【解析】由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.
【答案】－
9．若函数f(x)＝2x－a2－a在(－∞，1]上存在零点，则正实数a的取值范围是________．
【答案】(0,1]
【解析】当x∈(－∞，1]时，2x∈(0,2]．由函数f(x)＝2x－a2－a在(－∞，1]上存在零点，可得010．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．
【解析】(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
所以函数f(x)的零点为3和－1.
(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0 a2－a<0，解得0【练提升】
1．函数f(x)＝xcos(x2－2x－3)在区间[－1,4]上的零点个数为(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
【答案】B
【解析】由题意可知x＝0或cos(x2－2x－3)＝0，又x∈[－1,4]，所以x2－2x－3＝(x－1)2－4∈[－4,5]，当cos(x2－2x－3)＝0时，x2－2x－3＝kπ＋，k∈Z，在相应的范围内，k只有－1,0,1三个值可取，所以总共有4个零点，故选B.
2．已知函数f(x)＝，则下列关于函数y＝f[f(kx)＋1]＋1(k≠0)的零点个数的判断正确的是(　　)
A．当k>0时，有3个零点；当k<0时，有4个零点
B．当k>0时，有4个零点；当k<0时，有3个零点
C．无论k为何值，均有3个零点
D．无论k为何值，均有4个零点
【答案】C
【解析】令f[f(kx)＋1]＋1＝0得，
或，
解得f(kx)＋1＝0或f(kx)＋1＝；
由f(kx)＋1＝0得，
或；
即x＝0或kx＝；
由f(kx)＋1＝得，
或；
即ekx＝1＋(无解)或kx＝e－1；
综上所述，x＝0或kx＝或kx＝e－1；
故无论k为何值，均有3个解，故选C.
3．设方程10x＝|lg (－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　)
A．x1x2<0 B．x1x2＝0
C．x1x2>1 D．0【答案】D
【解析】作出y＝10x与y＝
|lg (－x)|的大致图象，如图．
显然x1<0，x2<0.
不妨设x1所以10x1＝lg (－x1)，10x2＝－lg (－x2)，
此时10x1<10x2，
即lg (－x1)<－lg (－x2)，
由此得lg (x1x2)<0，所以04．若关于x的不等式x2＋|x－a|<2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是________．
【解析】不等式为2－x2>|x－a|，则0<2－x2.
在同一坐标系画出y＝2－x2(y≥0，x≥0)和y＝|x|两个函数图象，将绝对值函数y＝|x|向左移动，当右支经过(0，2)点时，a＝－2；将绝对值函数y＝|x|向右移动让左支与抛物线y＝2－x2(y≥0，x≥0)相切时，
由，可得x2－x＋a－2＝0，
再由Δ＝0解得a＝.
数形结合可得，实数a的取值范围是.
【答案】
5．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点．
(1)求m的值；
(2)求函数的零点．
【解析】(1)因为f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，所以m＝±2，
当m＝－2时，t＝1；
当m＝2时，t＝－1(不符合题意，舍去)．
所以2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ>0时，即m>2或m<－2，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，
即f(x)有两个零点或没有零点．
所以这种情况不符合题意．
综上可知，当m＝－2时，f(x)有唯一零点．
(2)由(1)可知，该函数的零点为0.
6．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围．
【解析】由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，
所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，
所以函数图象关于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有三个不同的根，
则如图满足
解得【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算
【课标解读】
1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．
2.根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法．
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存。预测2022年高考将以零点个数的判断或根据零点的个数求参数的取值范围为主要命题方向，以客观题或解答题中一问的形式呈现。
【核心知识】
知识点一 函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
知识点二 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点
零点个数 2 1 0
【特别提醒】
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
【高频考点】
高频考点一 函数零点所在区间的判定
例1．设函数f (x)＝x－ln x，则函数y＝f (x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
【方法技巧】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【变式探究】设f(x)＝0.8x－1，g(x)＝ln x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)存在的零点一定位于下列哪个区间(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，e) D．(e，3)
高频考点二 判断函数零点个数
例2.(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【变式探究】（2023·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．
【方法技巧】
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．
【变式探究】设函数f (x)＝x－ln x，则函数y＝f (x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
高频考点三 根据函数零点个数或存在情况求参数范围
例3．【2020·天津卷】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【举一反三】【2019·浙江卷】已知，函数．若函数恰有3个零点，则（ ）
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
高频考点四 根据函数零点的区间求参数范围
例4.已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则实数a的取值范围为________．
【方法技巧】解决此类问题应先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围。
【变式探究】函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)【举一反三】若函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是________．
第10讲 函数与方程
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算
【课标解读】
1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．
2.根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法．
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存。预测2022年高考将以零点个数的判断或根据零点的个数求参数的取值范围为主要命题方向，以客观题或解答题中一问的形式呈现。
【核心知识】
知识点一 函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
知识点二 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点
零点个数 2 1 0
【特别提醒】
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
【高频考点】
高频考点一 函数零点所在区间的判定
例1．设函数f (x)＝x－ln x，则函数y＝f (x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
【答案】D　
【解析】当x∈时，函数图象连续不断，且f ′(x)＝－＝<0，所以函数f (x)在上单调递减．又f ＝＋1>0，f (1)＝>0，f (e)＝e－1<0，所以函数f (x)有唯一的零点在区间(1，e)内．
【方法技巧】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【变式探究】设f(x)＝0.8x－1，g(x)＝ln x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)存在的零点一定位于下列哪个区间(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，e) D．(e，3)
【答案】A
【解析】h(x)＝f(x)－g(x)的零点等价于方程f(x)－g(x)＝0的根，
即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点的横坐标，其大致图象如图，从图象可知它们仅有一个交点A，横坐标的范围为(0，1)，故选A.
高频考点二 判断函数零点个数
例2.(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B　
【解析】由f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x·(1－cos x)＝0得sin x＝0或cos x＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π，即零点有3个，故选B.
【变式探究】（2023·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．
【答案】3
【解析】由题意可知，当3x＋＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝0.∵x∈[0，π]，∴3x＋∈，
∴当3x＋取值为，，时，f(x)＝0，
即函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为3.
【方法技巧】
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．
【变式探究】设函数f (x)＝x－ln x，则函数y＝f (x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
【答案】D　
【解析】当x∈时，函数图象连续不断，且f ′(x)＝－＝<0，所以函数f (x)在上单调递减．又f ＝＋1>0，f (1)＝>0，f (e)＝e－1<0，所以函数f (x)有唯一的零点在区间(1，e)内．
高频考点三 根据函数零点个数或存在情况求参数范围
例3．【2020·天津卷】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选D。
【举一反三】【2019·浙江卷】已知，函数．若函数恰有3个零点，则（ ）
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
【答案】C
【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，
，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；
当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点 函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如图：
∴0且，
解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，则a>–1，b<0，故选C。
【变式探究】（2023·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
【答案】C
【解析】令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.
高频考点四 根据函数零点的区间求参数范围
例4.已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则实数a的取值范围为________．
【答案】　
【解析】设f (x)＝x2＋ax＋1，
由题意知
解得－【方法技巧】解决此类问题应先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围。
【变式探究】函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
【答案】C　
【解析】因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3，故选C。
【举一反三】若函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是________．
【答案】　
【解析】由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解．设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是，所以实数a的取值范围是.

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