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第16讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
【练基础】
1．已知α∈(0，π)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α))＝－，则tan(α＋π)＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．－
C．2 D．－2
2．已知x∈，cos x＝，则tan x的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C. D．－
3．若＝，则tan θ＝(　　)
A．1 B．－1
C．3 D．－3
4．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝(　　)
A. B．－
C. D．－
5．若tan α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
6．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
7．已知sin＝，则cos的值是(　　)
A．－ B.
C. D．－
8．若θ是三角形的一个内角，且tan θ＝－，则sin＋cos＝(　　)
A. B．－
C. D．－
9.若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋))的值等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
10．已知角α的终边上的一点P(1,2)，则eq \f(sin＋3sin α,2cos α＋sinπ－α)的值为(　　)
A. B.
C. D.
【练提升】
1．已知sin＝，则cos等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
2．已知＝－tan 22.5°，则实数m的值为(　　)
A．－ B.
C．－1 D．1
3．若θ∈，则 等于(　　)
A．sin θ－cos θ B．cos θ－sin θ
C．±(sin θ－cos θ) D．sin θ＋cos θ
4．已知α≠(k∈Z)，＋＋的值为(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
5．已知α∈(0，π)，且cos α＝－，则sin·tan(π＋α)＝(　　)
A. B.
C．－ D.
6．已知直线l与曲线f(x)＝sin x切于点A(α，sin α)，且直线l与曲线f(x)＝sin x交于点B(β，sin β)．若α－β＝π，则tan α的值为________．
7．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝________.
8．已知sin·cos＝，且0<α<，则sin α＝________，cos α＝________.
9．已知cos α－sin α＝，α∈.
(1)求sin αcos α的值；
(2)求的值．
10．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；
(3)求满足f(α)≥的α的取值集合．
第16讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
【练基础】
1．已知α∈(0，π)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α))＝－，则tan(α＋π)＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．－
C．2 D．－2
【答案】D
【解析】因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α))＝cos α＝－，且α∈(0，π)，所以sin α＝＝，所以tan α＝＝－2，所以tan(α＋π)＝tan α＝－2，故选D.
2．已知x∈，cos x＝，则tan x的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C. D．－
【答案】B
【解析】因为x∈，所以sin x＝－＝－，所以tan x＝＝－.故选B.
3．若＝，则tan θ＝(　　)
A．1 B．－1
C．3 D．－3
【答案】D
【解析】因为
＝＝，
所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，
所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.
4．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝(　　)
A. B．－
C. D．－
【答案】B
【解析】∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，从而sin 80°＝＝，∴tan 80°＝＝，故tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝－.
5．若tan α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
【答案】D
【解析】∵tan α＝，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝＝＝－.故选D.
6．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
【答案】A
【解析】sin 2α＝2sin αcos α＝＝－.
7．已知sin＝，则cos的值是(　　)
A．－ B.
C. D．－
【答案】A
【解析】∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－.故选A.
8．若θ是三角形的一个内角，且tan θ＝－，则sin＋cos＝(　　)
A. B．－
C. D．－
【答案】C
【解析】由题意得，tan θ＝＝－，θ∈(0，π)，
故sin θ>0，cos θ<0.
又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin θ＝，cos θ＝－.
因此，sin＋cos＝－cos θ＋sin θ＝.
9.若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋))的值等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
【答案】A
【解析】由点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，得tan α＝－2，故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋))＝cos 2α＝＝＝－.
10．已知角α的终边上的一点P(1,2)，则eq \f(sin＋3sin α,2cos α＋sinπ－α)的值为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】＝＝.
因为角α的终边上的一点P(1,2)，所以tan α＝＝2，
所以＝＝.
【练提升】
1．已知sin＝，则cos等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
【答案】A
【解析】cos＝cos＝sin＝.故选A.
2．已知＝－tan 22.5°，则实数m的值为(　　)
A．－ B.
C．－1 D．1
【答案】C
【解析】由题意得＝－，
所以sin 22.5°cos 22.5°＋mcos222.5°＝msin222.5°－sin 22.5°cos 22.5°，
移项得m(cos222.5°－sin222.5°)＝－2sin 22.5°cos 22.5°，
所以mcos 45°＝－sin 45°，即m＝－＝－tan 45°＝－1.
3．若θ∈，则 等于(　　)
A．sin θ－cos θ B．cos θ－sin θ
C．±(sin θ－cos θ) D．sin θ＋cos θ
【答案】A
【解析】因为
＝＝
＝|sin θ－cos θ|，
又θ∈，所以sin θ－cos θ>0，
所以原式＝sin θ－cos θ.故选A.
4．已知α≠(k∈Z)，＋＋的值为(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
【答案】B
【解析】＋＋
＝＋＋
＝＋＋＝－1.
5．已知α∈(0，π)，且cos α＝－，则sin·tan(π＋α)＝(　　)
A. B.
C．－ D.
【答案】D
【解析】sin·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α，
因为α∈(0，π)，且cos α＝－，所以sin α＝＝＝，
即sin·tan(π＋α)＝.故选D.
6．已知直线l与曲线f(x)＝sin x切于点A(α，sin α)，且直线l与曲线f(x)＝sin x交于点B(β，sin β)．若α－β＝π，则tan α的值为________．
【解析】由题意f′(x)＝cos x，
∴直线l的方程为y－sin α＝cos α(x－α)，
又直线l过点B(β，sin β)，
∴sin β－sin α＝cos α(β－α)，由α－β＝π得β＝α－π，
∴sin(α－π)－sin α＝cos α(－π)，整理得2sin α＝πcos α，
∴tan α＝.
【答案】
7．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝________.
【解析】因为tan A＝>0，所以A为锐角，
由tan A＝＝以及sin2A＋cos2A＝1，
可求得sin A＝.
【答案】
8．已知sin·cos＝，且0<α<，则sin α＝________，cos α＝________.
【解析】sincos＝(－cos α)·(－sin α)
＝sin αcos α＝.
∵0<α<，∴0联立解得sin α＝，cos α＝.
【答案】　
9．已知cos α－sin α＝，α∈.
(1)求sin αcos α的值；
(2)求的值．
【解析】(1)∵cos α－sin α＝，α∈，
平方可得1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝.
(2)∵sin α＋cos α＝
＝＝，
∴原式＝＝
＝(cos α＋sin α)＝.
10．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；
(3)求满足f(α)≥的α的取值集合．
【解析】(1)f(α)＝＝sin αcos α.
(2)由(1)可得f(α)＝sin αcos α＝，
则(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，
∵<α<，∴sin α>cos α，
即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－.
(3)由题意得f(α)＝sin αcos α＝sin 2α≥，∴sin 2α≥，
∴＋2kπ≤2α≤＋2kπ，k∈Z，
即＋kπ≤α≤＋kπ，k∈Z，
∴α的取值集合为.第16讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析
【课标解读】
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x．
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲内容在高考中一般不单独命题，但它是三角函数的基础．预测2022年高考将以诱导公式为基础内容，结合同角三角函数关系式及三角恒等变换进行考查，试题以客观题为主，难度小，具有一定的技巧性.
【核心知识】
知识点一 同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝.
2．同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧 解读 适合题型
切弦互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ
“1”的变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝ (sin θ±cos θ)2 2sin θcos θ＝tan 表达式中需要利用“1”转化
和积转换 利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或 sin θcos θ
知识点二 三角函数的诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α
【高频考点】
高频考点一 三角函数的诱导公式
【例1】已知角α的终边过点P(－7,24)，则sin(π＋α)＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α))的值为(　　)
A．－　　　　　　　　　 B.
C．0 D.
【方法技巧】
1.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
2．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.
3．三角形中的三角函数关系式
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC；
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；
sin＝sin＝cos；
cos＝cos＝sin.
【变式探究】设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________.
高频考点二　同角三角函数的基本关系及应用
【例2】（2023·新课标Ⅰ）已知，且，则（ ）
A B.
C. D.
【方法技巧】同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．
(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
(3)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．
(4)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【变式探究】(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A.　　 　B.　　 　C.　　 　D.
高频考点三 同角三角函数的基本式和诱导公式的综合应用
【例3】已知f(α)＝ .
(1)化简f(α)；
(2)若－<α<，且f(α)<，求α的取值范围．
【方法技巧】同角三角函数基本关系在求值与化简时，常用方法有
(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切．
(2)和积转换法：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二．
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ·＝tan＝….
【变式探究】已知sin α＋cos α＝－，且＜α＜π，则＋的值为________．
第16讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析
【课标解读】
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x．
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲内容在高考中一般不单独命题，但它是三角函数的基础．预测2022年高考将以诱导公式为基础内容，结合同角三角函数关系式及三角恒等变换进行考查，试题以客观题为主，难度小，具有一定的技巧性.
【核心知识】
知识点一 同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝.
2．同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧 解读 适合题型
切弦互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ
“1”的变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝ (sin θ±cos θ)2 2sin θcos θ＝tan 表达式中需要利用“1”转化
和积转换 利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或 sin θcos θ
知识点二 三角函数的诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α
【高频考点】
高频考点一 三角函数的诱导公式
【例1】已知角α的终边过点P(－7,24)，则sin(π＋α)＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α))的值为(　　)
A．－　　　　　　　　　 B.
C．0 D.
解析：选A　因为角α的终边过点P(－7,24)，
所以sin α＝＝，
则sin(π＋α)＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α))＝－sin α－sin α＝－2sin α＝－.
【方法技巧】
1.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
2．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.
3．三角形中的三角函数关系式
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC；
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；
sin＝sin＝cos；
cos＝cos＝sin.
【变式探究】设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________.
【答案】　
【解析】因为f(α)＝＝＝＝，所以f＝＝＝＝.
高频考点二　同角三角函数的基本关系及应用
【例2】（2023·新课标Ⅰ）已知，且，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又.
【方法技巧】同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．
(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
(3)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．
(4)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【变式探究】(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A.　　 　B.　　 　C.　　 　D.
【答案】B
【解析】由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2 sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2 α，解得sin α＝，故选B。
高频考点三 同角三角函数的基本式和诱导公式的综合应用
【例3】已知f(α)＝ .
(1)化简f(α)；
(2)若－<α<，且f(α)<，求α的取值范围．
解：(1)f(α)＝
＝＝＝－sin α.
(2)由已知得－sin α<，∴sin α>－，
∴2kπ－<α<2kπ＋，k∈Z.
∵－<α<，∴－<α<.
故α的取值范围为.
【方法技巧】同角三角函数基本关系在求值与化简时，常用方法有
(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切．
(2)和积转换法：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二．
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ·＝tan＝….
【变式探究】已知sin α＋cos α＝－，且＜α＜π，则＋的值为________．
【答案】　
【解析】由sin α＋cos α＝－平方得sin αcos α＝－，
∵＜α＜π，
∴sin α－cos α＝＝，
∴＋＝－＝＝＝.

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