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第18讲 三角恒等变换
【练基础】
1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．
C. D．－
2．tan 105°＝(　　)
A．2＋　　　　　　　 B．－2＋
C．2－ D．－2－
3．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A. B．
C. D．
4．sin 140°cos 10°＋cos 40°sin 350°＝(　　)
A. B．－
C. D．－
5．若cos＝－，则cos＋cos α＝(　　)
A．－ B．±
C．－1 D．±1
6．已知sin α＝，则cos(－2α)的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
7．已知α为第三象限角，且sin2α－2＝2cos 2α，则sin的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
8．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
9．已知函数f(x)＝4cos2x，则下列说法中正确的是(　　)
A．f(x)为奇函数
B．f(x)的最小正周期为
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)的值域为[0,4]
10．在平面直角坐标系中，角α＋的终边经过点P(1,2)，则sin α＝(　　)
A. B.
C. D.
【练提升】
1．已知cos＝－cos(π－α)，则cos＝(　　)
A．－　　　　　　 B.
C. D．－
2．已知sin＋sin α＝－，则cos等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
3．已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋sin2ωx－(ω＞0)，若将函数f(x)的图象平移后能与函数y＝sin 2x的图象完全重合，则下列说法不正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称
C．当x∈时，函数f(x)的值域为
D．当函数f(x)取得最值时，x＝＋(k∈Z)
4.在如图所示的直角坐标系中，角α，角β均以Ox为始边，终边分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标为－，且满足S△AOB＝，则sin＋的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
5.如图，点P是单位圆上的一个动点，它从初始位置P0(单位圆与x轴正半轴的交点)开始沿单位圆按逆时针方向运动角α到达点P1，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点P2，若点P2的横坐标为－，则cos α的值等于________．
6．已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan β的值．
7．已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋sinsin.
(1)求f(x)的对称中心；
(2)若x＝x0为f(x)的一个零点，求cos 2x0的值．
8．已知＝－4.
(1)求tan α的值；
(2)若0＜β ＜π，且tan(α－β)＝，求β.
9．已知函数f(x)＝sin＋2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
10．已知函数f(x)＝cos 2x＋2cos2.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若α∈，f(α)＝，求cos 2α.
第18讲 三角恒等变换
【练基础】
1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．
C. D．－
【答案】B
【解析】sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝.
2．tan 105°＝(　　)
A．2＋　　　　　　　 B．－2＋
C．2－ D．－2－
【答案】D
【解析】因为105°＝45°＋60°，所以tan 105°＝tan(45°＋60°)＝＝＝＝－2－.
3．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A. B．
C. D．
【答案】B
【解析】由二倍角公式可知4sin αcos α＝2cos2α.
∵α∈，∴cos α≠0，sin α>0，
∴2sin α＝cos α，又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin α＝.故选B.
4．sin 140°cos 10°＋cos 40°sin 350°＝(　　)
A. B．－
C. D．－
【答案】A
【解析】依题意，原式＝sin 40°cos 10°－cos 40°sin 10°＝sin(40°－10°)＝sin 30°＝，故选A.
5．若cos＝－，则cos＋cos α＝(　　)
A．－ B．±
C．－1 D．±1
【答案】C
【解析】cos＋cos α＝cos α＋sin α＋cos α＝cos α＋sin α＝ cos＝－1.
6．已知sin α＝，则cos(－2α)的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
【答案】C
【解析】cos(－2α)＝cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.
7．已知α为第三象限角，且sin2α－2＝2cos 2α，则sin的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
【答案】D
【解析】sin2α－2＝2cos 2α sin2α－2＝2(1－2sin2α) sin α＝±，由α为第三象限角，所以sin α＝－，cos α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝1－2sin2α＝－，
所以sin＝(sin 2α－cos 2α)＝.
8．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
【答案】B
【解析】∵α为锐角，即0＜α＜，∴＜α＋＜，∵cos＝，
∴sin＝＝，
∴sin＝sin
＝2sincos
＝2××＝，故选B.
9．已知函数f(x)＝4cos2x，则下列说法中正确的是(　　)
A．f(x)为奇函数
B．f(x)的最小正周期为
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)的值域为[0,4]
【答案】D
【解析】f(x)＝4cos2x＝2cos 2x＋2，该函数的定义域为R.∵f(－x)＝2cos(－2x)＋2＝2cos 2x＋2＝f(x)，∴函数y＝f(x)为偶函数，A选项错误；函数y＝f(x)的最小正周期为T＝＝π，B选项错误；∵f＝2cos＋2＝2，∴f既不是函数y＝f(x)的最大值，也不是该函数的最小值，C选项错误；∵－1≤cos 2x≤1，∴f(x)＝2cos 2x＋2∈[0,4]，D选项正确．
10．在平面直角坐标系中，角α＋的终边经过点P(1,2)，则sin α＝(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意知sin＝，cos＝，故sin α＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.
【练提升】
1．已知cos＝－cos(π－α)，则cos＝(　　)
A．－　　　　　　 B.
C. D．－
【答案】B
【解析】由cos＝－cos(π－α)可得cos α－sin α＝＋cos α，即sin α＋cos α＝－，即cos＝－，所以cos＝2cos2－1＝2×－1＝－，cos＝cos＝－cos＝，故选B.
2．已知sin＋sin α＝－，则cos等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
【答案】D
【解析】因为sin＋sin α＝－，
所以sin＋sin＝－，
所以sin＋sincos－cossin＝－，所以sin－cos＝－，
所以－＝－，
所以－cos＝－，即cos＝，
所以cos＝cos＝，故选D.
3．已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋sin2ωx－(ω＞0)，若将函数f(x)的图象平移后能与函数y＝sin 2x的图象完全重合，则下列说法不正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称
C．当x∈时，函数f(x)的值域为
D．当函数f(x)取得最值时，x＝＋(k∈Z)
【答案】C
【解析】f(x)＝sin ωxcos ωx＋sin2ωx－
＝sin 2ωx＋－＝sin 2ωx－cos 2ωx
＝sin，
因为函数f(x)的图象平移后能与函数y＝sin 2x的图象完全重合，所以ω＝1，所以f(x)＝sin，所以函数的最小正周期T＝＝π，A正确；将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin
＝sin＝cos 2x的图象，该函数为偶函数，图象关于y轴对称，B正确；
当x∈时，2x－∈，sin∈[－1,1)，即函数的值域为[－1,1)，C不正确；令2x－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，即当函数f(x)取得最值时，x＝＋(k∈Z)，D正确，故选C.
4.在如图所示的直角坐标系中，角α，角β均以Ox为始边，终边分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标为－，且满足S△AOB＝，则sin＋的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
【答案】B
【解析】由题知∠xOA＝α，∠xOB＝β，sin β＝－.
因为S△AOB＝·OA·OB·sin∠AOB＝，
所以sin∠AOB＝，又sin β＝－>－，
所以∠AOB＝，即α－β＝，即α＝＋β，
则sin＋
＝sincos－sin2＋
＝sin α－(1－cos α)＋
＝sin α＋cos α＝sin
＝sin＝sin
＝cos β＝＝.故选B.
5.如图，点P是单位圆上的一个动点，它从初始位置P0(单位圆与x轴正半轴的交点)开始沿单位圆按逆时针方向运动角α到达点P1，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点P2，若点P2的横坐标为－，则cos α的值等于________．
【解析】由三角函数的定义可知：点P2的坐标为，因为0<α<，
所以<α＋<.
已知点P2的横坐标为－，即cos＝－，
所以sin＝ ＝，
因此有cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.
【答案】
6．已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan β的值．
【解析】(1)因为α为锐角，所以cos α≠0，因为tan α＝，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α
＝＝＝＝.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，
因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝ ＝，
所以tan(α＋β)＝－3，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.
7．已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋sinsin.
(1)求f(x)的对称中心；
(2)若x＝x0为f(x)的一个零点，求cos 2x0的值．
【解析】(1)f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋sin·sin＝sin2x＋sin 2x＋(sin x＋cos x)(sin x－cos x)＝＋sin 2x－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋＝2sin＋，
令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，
∴f(x)的对称中心为：，k∈Z.
(2)根据题意得：f(x0)＝2sin＋＝0，
∴sin＝－，
∵0≤x0≤，－≤2x0－≤，
又sin<0，
∴－≤2x0－≤0，∴cos＝，
∴cos 2x0＝cos＝×＋×＝.
8．已知＝－4.
(1)求tan α的值；
(2)若0＜β ＜π，且tan(α－β)＝，求β.
【解析】(1)＝＝＝＝－4，解得tan α＝－.
(2)由两角差的正切公式得tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝－1.
又0＜β ＜π，因此，β＝.
9．已知函数f(x)＝sin＋2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
【解析】(1)f(x)＝sin 2xcos－cos 2xsin＋1－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin＋1，
∴T＝＝π，即f(x)的最小正周期为π.
(2)∵x∈，∴2x－∈，
∴－≤sin≤1，
∴－≤sin＋1≤＋1，
∴f(x)的值域为.
10．已知函数f(x)＝cos 2x＋2cos2.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若α∈，f(α)＝，求cos 2α.
【解析】(1)∵f(x)＝cos 2x＋1＋cos
＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＋1
＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1，
∴T＝＝π，
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由f(α)＝可得，sin＝，∵α∈，∴2α＋∈，又∵0＜sin＝＜，
∴2α＋∈，∴cos＝－，
∴cos 2α＝cos＝coscos＋sinsin＝.第18讲 三角恒等变换
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析
【课标解读】
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。
2．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换。　　　
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考内容，但很少独立命题．预测2022年高考仍是以两角和与差的公式为基础，结合辅助角公式及三角函数的相关性质，如周期性、单调性、最值、对称性求三角函数的值等．题型既可能是客观题，也可能是解答题，难度属中档.
【核心知识】
知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β) cos(α－β)＝cos α cos β＋sinα sin β
C(α＋β) cos(α＋β)＝cosα cosβ－sinα sinβ
S(α－β) sin(α－β)＝sinα cosβ－cosα sinβ
S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosα sinβ
T(α－β) tan(α－β)＝；变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β) tan(α＋β)＝；变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
知识点二 二倍角公式
S2α sin 2α＝2sin_αcos_α；变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；变形：cos2α＝，sin2α＝
T2α tan 2α＝
【高频考点】
高频考点一 公式的直接应用
【例1】(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)
A.　　　 B．　　　 　C.　　 　 D.
【方法技巧】两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
【变式探究】(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
高频考点二　公式的逆用与变形用
例２．(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
【变式探究】设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．a＞c＞b【方法技巧】逆用、变形用公式的关键
观察题中所给的式子，准确找出与相关公式的异同，创造条件应用公式．
常用和差角公式变形：
sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，
cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1 tan α·tan β)，
tan α·tan β＝1－＝－1.　　
【变式探究】已知sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围________．
高频考点三 三角函数式的化简求值
【例３】（2023·全国卷）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】＝________ 。
【方法技巧】
1.三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．
2．三角恒等式的证明方法
(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．
(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．
(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．
3．三角函数式的化简遵循的三个原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．
(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．
(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．
【变式探究】已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝(　　)
A．－3 B.
C．－ D．3
高频考点四 三角函数的给值求值(角)
【例４】(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【变式探究】(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)
A.　　　 B．　　　　
C.　　　　 D.
【方法技巧】
1．给值求值问题的求解思路
(1)化简所求式子．
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
2．给值求角问题的解题策略
(1)讨论所求角的范围．
(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好．
(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角．　　
【举一反三】已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sin B＝，则A＋B＝(　　)
A. B．
C. D．
高频考点五 三角恒等变换的综合问题
【例５】（2023·浙江卷）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【举一反三】已知函数f(x)＝2sincos＋sin 2x＋a的最大值为1.
(1)求实数a的值；
(2)若将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
【变式探究】(2019·浙江卷)设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝[f(x＋)]2＋[f(x＋)]2的值域．
【方法技巧】求函数周期、最值、单调区间的方法步骤
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式；
(2)利用公式T＝(ω>0)求周期；
(3)根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；
(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．　　
【变式探究】设函数f(x)＝coscos x－sin2(π－x)－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若f(α)＝－1，且α∈，求f的值．
第18讲 三角恒等变换
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析
【课标解读】
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。
2．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换。　　　
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考内容，但很少独立命题．预测2022年高考仍是以两角和与差的公式为基础，结合辅助角公式及三角函数的相关性质，如周期性、单调性、最值、对称性求三角函数的值等．题型既可能是客观题，也可能是解答题，难度属中档.
【核心知识】
知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β) cos(α－β)＝cos α cos β＋sinα sin β
C(α＋β) cos(α＋β)＝cosα cosβ－sinα sinβ
S(α－β) sin(α－β)＝sinα cosβ－cosα sinβ
S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosα sinβ
T(α－β) tan(α－β)＝；变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β) tan(α＋β)＝；变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
知识点二 二倍角公式
S2α sin 2α＝2sin_αcos_α；变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；变形：cos2α＝，sin2α＝
T2α tan 2α＝
【高频考点】
高频考点一 公式的直接应用
【例1】(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)
A.　　　 B．　　　 　C.　　 　 D.
【答案】A　
【解析】∵3cos 2α－8cos α＝5，
∴3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．
∵α∈(0，π)，∴sin α＝＝.故选A.
【方法技巧】两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
【变式探究】(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【答案】D　
【解析】由已知得2tan θ－＝7，解得tan θ＝2.
高频考点二　公式的逆用与变形用
例２．(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝，故选B.
【变式探究】设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【答案】D　
【解析】由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y＝sin x，x∈[0，]为增函数，所以sin 13°＞sin 12°＞sin 11°，所以a＞c＞b。
【方法技巧】逆用、变形用公式的关键
观察题中所给的式子，准确找出与相关公式的异同，创造条件应用公式．
常用和差角公式变形：
sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，
cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1 tan α·tan β)，
tan α·tan β＝1－＝－1.　　
【变式探究】已知sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围________．
【答案】[－，]　
【解析】由题知sin αcos β＝，①
设cos αsin β＝t，②
①＋②得sin αcos β＋cos αsin β＝＋t，
即sin(α＋β)＝＋t，
①－②得sin αcos β－cos αsin β＝－t，
即sin(α－β)＝－t.
∵－1≤sin(α±β)≤1，
∴
∴－≤t≤.
高频考点三 三角函数式的化简求值
【例３】（2023·全国卷）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
，故选C。
【变式探究】＝________ 。
【解析】原式＝
＝
＝＝＝1.
【答案】1
【方法技巧】
1.三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．
2．三角恒等式的证明方法
(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．
(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．
(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．
3．三角函数式的化简遵循的三个原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．
(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．
(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．
【变式探究】已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝(　　)
A．－3 B.
C．－ D．3
【答案】C　
【解析】由cos＝2cos(π－α)，
得sin α＝－2cos α，即tan α＝－2.
∴tan＝＝＝－.
高频考点四 三角函数的给值求值(角)
【例４】(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【答案】D　
【解析】由已知得2tan θ－＝7，解得tan θ＝2.
【变式探究】(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)
A.　　　 B．　　　　
C.　　　　 D.
【答案】A　　
【解析】∵3cos 2α－8cos α＝5，
∴3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．
∵α∈(0，π)，∴sin α＝＝.故选A.
【方法技巧】
1．给值求值问题的求解思路
(1)化简所求式子．
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
2．给值求角问题的解题策略
(1)讨论所求角的范围．
(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好．
(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角．　　
【举一反三】已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sin B＝，则A＋B＝(　　)
A. B．
C. D．
【答案】C
【解析】因为sin2＋cos＝，
所以＋cos A－sin A＝，
即－sin A＝，解得sin A＝.
因为A为钝角，
所以cos A＝－＝－ ＝－.
由sin B＝，且B为钝角，
可得cos B＝－＝－ ＝－.
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝×－×＝.
又A，B都为钝角，即A，B∈，
所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝.故选C.
高频考点五 三角恒等变换的综合问题
【例５】（2023·浙江卷）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
方法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选C。
方法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
【举一反三】已知函数f(x)＝2sincos＋sin 2x＋a的最大值为1.
(1)求实数a的值；
(2)若将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
【解析】(1)f(x)＝2sincos＋sin 2x＋a＝sin＋sin 2x＋a＝ cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin＋a，
易知2＋a＝1，则a＝－1.
(2)∵将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，
∴g(x)＝f＝2sin－1
＝2sin－1，
∵x∈，∴2x＋π∈.
∴当2x＋π＝π，即sin＝时，g(x)取最大值－1；
当2x＋π＝π，即sin＝－1时，g(x)取最小值－3.
【变式探究】(2019·浙江卷)设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝[f(x＋)]2＋[f(x＋)]2的值域．
【解析】(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，
所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，
即sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，
故2sin xcos θ＝0，所以cos θ＝0.
又θ∈[0，2π)，因此θ＝或θ＝.
(2)y＝[f(x＋)]2＋[f(x＋)]2
＝sin2(x＋)＋sin2(x＋)
＝＋
＝1－(cos 2x－sin 2x)
＝1－cos(2x＋)．
因此，所求函数的值域是[1－，1＋]。
【方法技巧】求函数周期、最值、单调区间的方法步骤
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式；
(2)利用公式T＝(ω>0)求周期；
(3)根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；
(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．　　
【变式探究】设函数f(x)＝coscos x－sin2(π－x)－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若f(α)＝－1，且α∈，求f的值．
【解析】(1)∵f(x)＝sin xcos x－sin2x－＝(sin 2x＋cos 2x)－1＝sin－1，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)∵f(α)＝sin－1＝－1，
∴sin＝.
由α∈知2α＋∈，
∴cos＝－.
∴f＝sin－1
＝sin－1
＝－1
＝×－1＝－.

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