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第19讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
【练基础】
1．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，，　　　　　　 B．2，，
C．2，， D．2，，－
2．为了得到y＝3sin函数的图象，只需把y＝3sin x上所有的点(　　)
A．先把横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位
B．先把横坐标伸长到原来的2倍，然后向左平移个单位
C．先把横坐标伸长到原来的2倍，然后向左平移个单位
D．先把横坐标缩短到原来的倍，然后向右平移个单位
3．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
4．将函数f(x)＝sin的图象上每一个点向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
5．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)
A．－ B．
C．1 D．
已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则函数f(x)在区间上的值域是(　　)
A.　　　　 B．(－1,1)
C．(0,2] D．(－1,2]
7.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则φ的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
8.如图所示是函数f(x)＝sin(ω>0)的部分图象，若|AB|＝4，则f(－1)＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D.
9.已知函数f(x)＝sin ωx－2cos2＋1(ω>0)，将f(x)的图象向右平移φ个单位，所得函数g(x)的部分图象如图所示，则φ的值为(　　)
A. B.
C. D.
10．若将函数y＝tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
【练提升】
1.函数f(x)＝cos(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则函数g(x)＝的最小正周期为(　　)
A．π B．2π
C．4π D．
2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调，且f＝f＝－f，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)在区间[－t，t]上单调递增，则t的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
3．将函数f(x)＝tan(0<ω<10)的图象向右平移个单位长度之后与函数f(x)的图象重合，则ω＝(　　)
A．9 B．6
C．4 D．8
4.如图，一个大风车的半径为8 m，12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是(　　)
A．h(t)＝－8sint＋10
B．h(t)＝－cost＋10
C．h(t)＝－8sint＋8
D．h(t)＝－8cost＋10
5.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈)的部分图象如图所示，其中f(0)＝1，|MN|＝，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式是(　　)
A．g(x)＝2cos x B．g(x)＝2sin
C．g(x)＝2sin D．g(x)＝－2cos x
6.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时，x的集合为______________________．
7．已知函数f(x)＝cos ωx＋sin(ω>0)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则ω的取值范围是________．
8．已知函数f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋，g(x)＝sin x.
(1)若x∈，求函数f(x)的值域．
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数h(x)的图象，并设F(x)＝h(x)＋t.若F(x)>0在上有解，求实数t的取值范围．
9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
10.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的值域．
第19讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
【练基础】
1．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，，　　　　　　 B．2，，
C．2，， D．2，，－
【答案】A
【解析】由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为.
2．为了得到y＝3sin函数的图象，只需把y＝3sin x上所有的点(　　)
A．先把横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位
B．先把横坐标伸长到原来的2倍，然后向左平移个单位
C．先把横坐标伸长到原来的2倍，然后向左平移个单位
D．先把横坐标缩短到原来的倍，然后向右平移个单位
【答案】A
【解析】把y＝3sin x上所有的点横坐标缩短到原来的倍可得到函数y＝3sin 2x的图象，再把y＝3sin 2x的图象向左平移个单位得到函数y＝3sin ＝3sin的图象，故选A.
3．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
【答案】A
【解析】把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度得函数g(x)＝sin＝sin 2x的图象，由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得≤x≤，即函数g(x)＝sin 2x的一个单调递增区间为.
4．将函数f(x)＝sin的图象上每一个点向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
【答案】D
【解析】由题意可知平移后的解析式为g(x)＝sin，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故选D.
5．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)
A．－ B．
C．1 D．
【答案】D
【解析】由题意可知该函数的周期为，
∴＝，即ω＝2，∴f(x)＝tan 2x.
∴f＝tan ＝.
已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则函数f(x)在区间上的值域是(　　)
A.　　　　 B．(－1,1)
C．(0,2] D．(－1,2]
【答案】D
【解析】由函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得最小正周期T＝×2＝π.又因为ω>0，所以＝π，解得ω＝2.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)＝2sin的图象．因为函数g(x)为偶函数，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z.由|φ|<，解得φ＝－，所以f(x)＝2sin.因为07.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则φ的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
【答案】B
【解析】由题图，得＝－＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又因为f＝sin＝0，－<φ<，所以φ＝.
8.如图所示是函数f(x)＝sin(ω>0)的部分图象，若|AB|＝4，则f(－1)＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D.
【答案】D
【解析】设f(x)的最小正周期为T，则|AB|2＝(2)2＋2，即16＝12＋，则T＝4，所以ω＝＝，所以f(x)＝sin，所以f(－1)＝sin＝sin ＝×＝.
9.已知函数f(x)＝sin ωx－2cos2＋1(ω>0)，将f(x)的图象向右平移φ个单位，所得函数g(x)的部分图象如图所示，则φ的值为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得f(x)＝sin ωx－2cos2＋1＝sin ωx－cos ωx＝2sin，则g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω(x－φ)－))＝2sin，由图知T＝2＝π，∴ω＝2，g(x)＝2sin，则g＝2sin＝2sin＝2，由0<φ<，得－2φ＝，解得φ的值为，故选A.
10．若将函数y＝tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将函数y＝tan(ω>0)的图象向右平移个单位得y＝tan＝tan的图象，所以－＋＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝－6k＋，k∈Z，又ω>0，所以ω的最小值为.
【练提升】
1.函数f(x)＝cos(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则函数g(x)＝的最小正周期为(　　)
A．π B．2π
C．4π D．
【答案】A
【解析】根据函数f(x)＝cos(ωx＋φ) 的部分图象，
可得＝π－＝，
∴T＝π＝，∴ω＝2.
点是五点作图的第二个点，则2×＋φ＝，
∴φ＝－，∴f(x)＝cos.
∴g(x)＝＝，
易知y＝g(x)与y＝cos＋的最小正周期相同，均为T＝＝π.故选A.
2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调，且f＝f＝－f，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)在区间[－t，t]上单调递增，则t的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵－≤，∴T≥.
又f＝f＝－f，－＝∴x＝＝是函数的一条对称轴．
同理得是函数的一个对称中心，
∵－＝<≤，∴和x＝是同一周期内相邻的对称中心和对称轴，得T＝π.∴ω＝2，φ＝，
∴f(x)＝sin.∴g(x)＝sin，它在(k∈Z)上单调递增，故[－t，t] .故t的最大值为.
3．将函数f(x)＝tan(0<ω<10)的图象向右平移个单位长度之后与函数f(x)的图象重合，则ω＝(　　)
A．9 B．6
C．4 D．8
【答案】B
【解析】函数f(x)＝tan的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为f(x)＝tan＝tan，∵平移后的图象与函数f(x)的图象重合，∴－＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－6k(k∈Z)．又0<ω<10，∴ω＝6.故选B.
4.如图，一个大风车的半径为8 m，12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是(　　)
A．h(t)＝－8sint＋10
B．h(t)＝－cost＋10
C．h(t)＝－8sint＋8
D．h(t)＝－8cost＋10
【答案】D
【解析】设h(t)＝Acos ωt＋B，因为12 min旋转一周，
所以＝12，所以ω＝，由于最大值与最小值分别为18,2.所以解得A＝－8，B＝10.所以h(t)＝－8cost＋10.
5.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈)的部分图象如图所示，其中f(0)＝1，|MN|＝，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式是(　　)
A．g(x)＝2cos x B．g(x)＝2sin
C．g(x)＝2sin D．g(x)＝－2cos x
【答案】A
【解析】设函数f(x)的最小正周期为T.由题图及|MN|＝，得＝，则T＝6，ω＝.又由f(0)＝1，φ∈得sin φ＝，φ＝.所以f(x)＝2sin(x＋).则g(x)＝2sin＝2cos x.故选A.
6.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时，x的集合为______________________．
【解析】根据所给图象，周期T＝4×＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点，代入有2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，再由|φ|<，得φ＝－，∴f(x)＝sin，∴f＝sin，当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f取得最小值．
【答案】
7．已知函数f(x)＝cos ωx＋sin(ω>0)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则ω的取值范围是________．
【解析】f(x)＝cos ωx＋sin＝cos ωx＋sin ωx＝sin，由x∈[0，π]，ω>0，得ωx＋∈.因为f(x)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，所以2π≤ωπ＋<，解得≤ω<，所以ω的取值范围是.
【答案】
8．已知函数f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋，g(x)＝sin x.
(1)若x∈，求函数f(x)的值域．
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数h(x)的图象，并设F(x)＝h(x)＋t.若F(x)>0在上有解，求实数t的取值范围．
【解析】(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
∵x∈，∴2x＋∈，
∴sin∈[0,1]，∴2sin∈[0,2]，即函数f(x)的值域为[0,2]．
(2)由题意可得h(x)＝4sin 2x，F(x)＝4sin 2x＋t(sin x＋cos x)>0，
∵x∈，∴sin x＋cos x>0，可得
t>＝＝
＝2.
令m＝sin∈，
则φ(m)＝2在上单调递减，
∴φ(m)min＝φ(1)＝－2.
F(x)>0在上有解，需t>φ(m)min，∴t>－2，故实数t的取值范围为(－2，＋∞)．
9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
【解析】(1)依题意得A＝5，周期T＝4＝π，
∴ω＝＝2.
故y＝5sin(2x＋φ)，又图象过点P，
∴5sin＝0，
由已知可得＋φ＝kπ(k∈Z)，
∵|φ|<，∴φ＝－，
∴y＝5sin.
(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
10.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的值域．
【解析】(1)由图可知，＝－＝，∴T＝π，ω＝2，
∴2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，得φ＝2kπ－(k∈Z)，
又|φ|<，∴φ＝－.
又f(0)＝Asin＝－A＝－1，
∴A＝，∴f(x)＝sin.
(2)易知g(x)＝sin，
当x∈[0，π]时，x＋∈，
∴g(x)max＝，g(x)min＝－1，
∴g(x)在区间[0，π]上的值域为[－1， ]．第19讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析
【课标解读】
1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．　　
【核心知识】
知识点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相
(A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x － － －
ωx＋φ 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
知识点二 三角函数模型的简单应用
三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
【高频考点】
高频考点一 函数y＝Asin(ωx＋)的图象及变换
【例1】(2020·江苏高考)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________．
【方法技巧】三角函数图象变换的两个要点
常规方法 主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位长度和方向
方程思想 可以把判断的两函数变为同名的函数，且x的系数变为一致，通过列方程求解，如y＝sin 2x变为y＝sin2x＋，可设平移φ个单位长度，即由2(x＋φ)＝2x＋解得φ＝，向左平移，若φ＜0说明向右平移|φ|个单位长度
【变式探究】要得到函数y＝sin x的图象，只需将y＝sin的图象上所有点(　　)
A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
高频考点二 由图象求函数y＝Asin(ωx＋)的解析式
【例2】(多选)(2020·新高考全国卷Ⅰ)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　)
A．sin B．sin C．cos D．cos
【方法技巧】确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；
(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．　　
【变式探究】(2020·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为(　　)
A.　　　　　　　　　 .
C. D．
高频考点三 三角函数图象与性质的综合应用
【例3】(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g()＝，则f()＝(　　)
A．－2 B．－
C. D．2【方法技巧】三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路
(1)将函数整理成y＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω>0)的形式；
(2)把ωx＋φ看成一个整体；
(3)借助正弦函数y＝sin x的图象与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
【举一反三】 (2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝sin(ω＞0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：
①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点；③f(x)在单调递增；④ω的取值范围是.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④【变式探究】已知函数f(x)＝2sin＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)＝0，x∈，求x的值；
(3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象．若曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，求函数h(x)在的值域．
高频考点四 三角函数模型的应用
例4.如图所示，某幼儿园有一个矩形游乐场ABCD，其中AB＝50米，BC＝40米，由于幼儿园招生规模增大，需将该游乐场扩大成矩形区域EFGH，要求A，B，C，D四个点分别在矩形EFGH的四条边(不含顶点)上．设∠BAE＝θ(弧度)，EF的长为y米．
(1)求y关于θ的函数表达式；
(2)求矩形区域EFGH的面积S的最大值．
【方法技巧】三角函数模型的应用策略
(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．
(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．　　
【变式探究】某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
第19讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析
【课标解读】
1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．　　
【核心知识】
知识点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相
(A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x － － －
ωx＋φ 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
知识点二 三角函数模型的简单应用
三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
【高频考点】
高频考点一 函数y＝Asin(ωx＋)的图象及变换
【例1】(2020·江苏高考)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________．
【解析】将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，得到y＝3sin＝3sin的图象，由2x－＝＋kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，其中与y轴最近的对称轴的方程是 x＝－.
【答案】x＝－
【方法技巧】三角函数图象变换的两个要点
常规方法 主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位长度和方向
方程思想 可以把判断的两函数变为同名的函数，且x的系数变为一致，通过列方程求解，如y＝sin 2x变为y＝sin2x＋，可设平移φ个单位长度，即由2(x＋φ)＝2x＋解得φ＝，向左平移，若φ＜0说明向右平移|φ|个单位长度
【变式探究】要得到函数y＝sin x的图象，只需将y＝sin的图象上所有点(　　)
A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得y＝sin的图象，再向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin x的图象，故选C.
高频考点二 由图象求函数y＝Asin(ωx＋)的解析式
【例2】(多选)(2020·新高考全国卷Ⅰ)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　)
A．sin B．sin C．cos D．cos
【答案】BC
【解析】由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2.
当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，
将点代入得，sin＝0，
∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴y＝sin，故A错误；
由sin＝sin＝sin知B正确；
由sin＝sin＝cos知C正确；
由sin＝cos＝cos＝－cos知D错误．
综上可知，正确的选项为B、C.
【方法技巧】确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；
(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．　　
【变式探究】(2020·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为(　　)
A.　　　　　　　　　 .
C. D．
解析：选C　法一：由题图知，f＝0，
∴－ω＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－(k∈Z)．
设f(x)的最小正周期为T，
易知T＜2π＜2T，∴＜2π＜，∴1＜|ω|＜2，
当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝，
∴T＝＝.故选C.
法二：由题图知，f＝0且f(－π)＜0，f(0)＞0，
∴－ω＋＝－(ω＞0)，解得ω＝，
∴f(x)的最小正周期T＝＝.故选C.
高频考点三 三角函数图象与性质的综合应用
【例3】(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g()＝，则f()＝(　　)
A．－2 B．－
C. D．2
【答案】C　
【解析】∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数， ∴φ＝kπ，k∈Z，又|φ|＜π，∴φ＝0，∴f(x)＝Asin ωx，则g(x)＝Asin(x)．由g(x)的最小正周期T＝2π，得＝＝1，∴ω＝2.又g()＝Asin ＝A＝，∴A＝2，
∴f(x)＝2sin 2x，∴f()＝2sin ＝，故选C。
【方法技巧】三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路
(1)将函数整理成y＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω>0)的形式；
(2)把ωx＋φ看成一个整体；
(3)借助正弦函数y＝sin x的图象与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
【举一反三】 (2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝sin(ω＞0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：
①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点；③f(x)在单调递增；④ω的取值范围是.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④
【答案】D　
【解析】如图，根据题意知，xA≤2π＜xB，根据图象可知函数f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据xA≤2π＜xB，有≤2π＜，得≤ω＜，所以④正确；当x∈时，＜ωx＋＜＋，因为≤ω＜，所以＋＜＜，所以函数f(x)在单调递增，所以③正确．
【变式探究】已知函数f(x)＝2sin＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)＝0，x∈，求x的值；
(3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象．若曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，求函数h(x)在的值域．
【解析】(1)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴y＝f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由f(x)＝0，得2sin＋1＝0，
∴sin＝－.
又∵x∈，∴2x－∈，
∴2x－＝－或2x－＝－或2x－＝，
解得x＝0或x＝－或x＝.
(3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，
可得函数图象的解析式为y＝2sin＋1＝2sin＋1＝2cos 2x＋1.
再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2cos x＋1的图象．
又∵曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，
∴h(x)＝g＝2cos＋1＝2sin x＋1.
∵x∈，∴sin x∈，
∴2sin x＋1∈(0,3]．
∴函数h(x)在上的值域为(0,3]．
高频考点四 三角函数模型的应用
例4.如图所示，某幼儿园有一个矩形游乐场ABCD，其中AB＝50米，BC＝40米，由于幼儿园招生规模增大，需将该游乐场扩大成矩形区域EFGH，要求A，B，C，D四个点分别在矩形EFGH的四条边(不含顶点)上．设∠BAE＝θ(弧度)，EF的长为y米．
(1)求y关于θ的函数表达式；
(2)求矩形区域EFGH的面积S的最大值．
【解析】(1)由∠BAE＝θ，∠E＝，得∠ABE＝－θ，
又∠ABC＝，所以∠CBF＝θ，
由AB＝50，BC＝40，
得EF＝EB＋BF＝50sin θ＋40cos θ，
即y＝50sin θ＋40cos θ.
(2)由(1)知，EF＝50sin θ＋40cos θ，GF＝CF＋CG＝40sin θ＋50cos θ，
所以S＝2 000＋4 100sin θcos θ＝2 000＋2 050sin 2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<))，
当θ＝时，S取得最大值，且最大值为4 050平方米．
【方法技巧】三角函数模型的应用策略
(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．
(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．　　
【变式探究】某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解：(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，又0≤t<24，
所以≤t＋<，所以－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，即sin<－.
又0≤t<24，因此所以10

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