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第25讲 数系的扩充与复数的引入
【练基础】
1．设z＝i3＋，则z的虚部是(　　)
A．－1 B.－i
C．－2i D.－2
2．已知i为虚数单位，z＝，则复数z的虚部为(　　)
A．－2i　　　　　　　　　　 B．2i
C．2 D．－2
3．在复平面内，复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D.第四象限
4．设复数z＝，f(x)＝x2 020＋x2 019＋…＋x＋1，则f(z)＝(　　)
A．i B．－i
C．1 D．－1
5．若复数z满足(1＋z)(1＋i)＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝(　　)
A. B.
C. D.
6．若z＝＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－3 D．3
7．若z＝(a－)＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝(　　)
A．i B.1
C．－i D.－1
8．复数z＝在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．已知m为实数，i为虚数单位，若m＋(m2－4)i>0，则＝(　　)
A．i B.1
C．－i D.－1
10．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a＋i，z·＝4，则a＝(　　)
A．1或－1 B．或－
C．－ D．
【练提升】
1．已知i为虚数单位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，则|x＋yi|＝(　　)
A．2 B.
C．2 D.4
2．已知m∈R，复数z1＝1＋3i，z2＝m＋2i，且z1·2为实数，则m＝(　　)
A．－ B．
C．3 D．－3
3．复数z＝a＋bi(a，b∈R)，i为虚数单位，为z的共轭复数，则以下结论正确的是(　　)
A．z2＝|z|2
B．若a＝0则z为纯虚数
C．(z－)(z＋)＝0
D．若a＝b，则z对应复平面上的点在复平面一、三象限角平分线上
4．已知复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3－i(i为虚数单位)，则＝(　　)
A.－i B．－＋i
C．－－i D．＋i
5．欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当θ＝π时，就有eiπ＋1＝0.根据上述背景知识，试判断e－i表示的复数在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D.第四象限
6．(多选)已知复数z满足z(2－i)＝i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为，则(　　)
A．|z|＝
B.＝－
C．复数z的实部为－1
D．复数z对应复平面上的点在第二象限
7．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于(　　)
A．2－2i B.2＋2i
C．－2＋2i D.－2－2i
8．(多选)已知集合M＝，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是(　　)
A．(1－i)(1＋i) B．
C. D．(1－i)2
9．已知复数z＝(a－2)＋(a＋1)i(a∈R)的对应点在复平面的第二象限，则|1＋ai|的取值范围是________．
10．已知复数z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)对应的点在x轴上方，则m的取值范围是________．
第25讲 数系的扩充与复数的引入
【练基础】
1．设z＝i3＋，则z的虚部是(　　)
A．－1 B.－i
C．－2i D.－2
【答案】D
【解析】z＝i3＋＝－i＋＝－i＋＝－i－i＝－2i，∴z的虚部为－2.故选D.
2．已知i为虚数单位，z＝，则复数z的虚部为(　　)
A．－2i　　　　　　　　　　 B．2i
C．2 D．－2
【答案】C
【解析】z＝＝＝＝2＋2i，虚部即为i的系数，为2，故选C.
3．在复平面内，复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】z＝＝＝＝－1－2i，其共轭复数＝－1＋2i对应的点(－1,2)在第二象限．
4．设复数z＝，f(x)＝x2 020＋x2 019＋…＋x＋1，则f(z)＝(　　)
A．i B．－i
C．1 D．－1
【答案】C
【解析】∵z＝＝＝＝－i，
∴f(z)＝f(－i)＝(－i)2 020＋(－i)2 019＋…＋(－i)＋1.
∵(－i)＋(－i)2＋(－i)3＋(－i)4＝－i－1＋i＋1＝0，
∴f(z)＝505×0＋1＝1.故选C.
5．若复数z满足(1＋z)(1＋i)＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解法一：由(1＋z)(1＋i)＝1＋2i，得z＝－1＝＋i，所以|z|＝ ＝.故选A.
解法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)．由(1＋z)(1＋i)＝1＋2i，得(1＋a＋bi)(1＋i)＝1＋2i，所以(1＋a－b)＋(1＋a＋b)i＝1＋2i，所以解得所以z＝＋i，则|z|＝ ＝.故选A.
6．若z＝＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－3 D．3
【答案】C
【解析】因为z＝＋(m－2)i为纯虚数，所以解得m＝－3，故选C.
7．若z＝(a－)＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝(　　)
A．i B.1
C．－i D.－1
【答案】C
【解析】∵z为纯虚数，∴∴a＝，∴＝＝＝＝－i.故选C.
8．复数z＝在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由题得复数z＝＝＝＝1－i，所以复数z对应的点位于复平面第四象限，故选D.
9．已知m为实数，i为虚数单位，若m＋(m2－4)i>0，则＝(　　)
A．i B.1
C．－i D.－1
【答案】A
【解析】因为m＋(m2－4)i>0，所以m＋(m2－4)i是实数，所以故m＝2.所以＝＝＝i.
10．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a＋i，z·＝4，则a＝(　　)
A．1或－1 B．或－
C．－ D．
【答案】A
【解析】∵z＝a＋i，∴＝a－i，
∴z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，
∴a2＝1，∴a＝±1，故选A.
【练提升】
1．已知i为虚数单位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，则|x＋yi|＝(　　)
A．2 B.
C．2 D.4
【答案】A
【解析】∵(1＋i)x＝2＋yi，x＋ix＝2＋yi.∴x＝2，y＝2，∴|x＋yi|＝2.故选A.
2．已知m∈R，复数z1＝1＋3i，z2＝m＋2i，且z1·2为实数，则m＝(　　)
A．－ B．
C．3 D．－3
【答案】B
【解析】因为z1·2＝(1＋3i)(m－2i)＝(m＋6)＋(3m－2)i为实数，所以3m－2＝0，解得m＝.故选B.
3．复数z＝a＋bi(a，b∈R)，i为虚数单位，为z的共轭复数，则以下结论正确的是(　　)
A．z2＝|z|2
B．若a＝0则z为纯虚数
C．(z－)(z＋)＝0
D．若a＝b，则z对应复平面上的点在复平面一、三象限角平分线上
【答案】D
【解析】z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝()2＝a2＋b2，故A错误；当a＝0，b≠0时，z为纯虚数，故B错误；因为z＝a＋bi(a，b∈R)，所以＝a－bi，(z－)(z＋)＝2bi·2a＝4abi≠0，故C错误；z＝a＋bi，对应复平面上的点坐标为(a，b)，若a＝b，则此点在复平面一、三象限角平分线上，故D正确．
4．已知复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3－i(i为虚数单位)，则＝(　　)
A.－i B．－＋i
C．－－i D．＋i
【答案】A
【解析】由题意，复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3－i，则z2＝3＋i，则根据复数的运算，得＝＝－i.
5．欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当θ＝π时，就有eiπ＋1＝0.根据上述背景知识，试判断e－i表示的复数在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】由题意，e－i＝cos＋isin＝－cos＋isin＝－＋i，则e－i表示的复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．故选B.
6．(多选)已知复数z满足z(2－i)＝i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为，则(　　)
A．|z|＝
B.＝－
C．复数z的实部为－1
D．复数z对应复平面上的点在第二象限
【答案】BD
【解析】因为复数z满足z(2－i)＝i，所以z＝＝＝－＋i，所以|z|＝ ＝，故A错误；＝－－i，故B正确；复数z的实部为－，故C错误；复数z对应复平面上的点在第二象限，故D正确．
7．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于(　　)
A．2－2i B.2＋2i
C．－2＋2i D.－2－2i
【答案】A
【解析】由题意得b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，整理得(b2＋4b＋4)＋(a＋b)i＝0，所以所以所以z＝2－2i.
8．(多选)已知集合M＝，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是(　　)
A．(1－i)(1＋i) B．
C. D．(1－i)2
【答案】BC
【解析】根据题意，M＝，
∴M＝.
选项A中，(1－i)(1＋i)＝2,2 M；
选项B中，＝＝－i∈M；
选项C中，＝＝i∈M；
选项D中，(1－i)2＝－2i M，故选B、C.
9．已知复数z＝(a－2)＋(a＋1)i(a∈R)的对应点在复平面的第二象限，则|1＋ai|的取值范围是________．
【答案】[1，)
【解析】复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，因为该点位于第二象限，所以
解得－110．已知复数z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)对应的点在x轴上方，则m的取值范围是________．
【解析】复数z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)在复平面上对应的点的坐标为(m－1,3－m)，如果该点落在x轴上方，则有3－m>0，解得m<3.
【答案】(－∞，3)第25讲 数系的扩充与复数的引入
【学科素养】
1.通过方程的解，认识复数．
2．结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的认识，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
3．结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算，凸显数学运算的核心素养．
【课标解读】
1.理解复数的基本概念，复数相等的充要条件；
2.了解复数的代数表示法及其几何意义；
3.会进行复数代数形式的四则运算；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲在高考中属于必考内容．预测2022年将会考查：①复数的基本概念与四则运算；②复数模的计算；③复数的几何意义．题型为客观题，难度一般不大，属于基础题型.
【核心知识】
知识点一 复数的有关概念
内容 意义 备注
复数的概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等 a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数 a＋bi与c＋di共轭 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模 设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝
知识点二 复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
知识点三 复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝＝(c＋di≠0).
【知识必备】
1.赋值号左边只能是变量(不是表达式)，在一个赋值语句中只能给一个变量赋值.
2.直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”，两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反.
3.i的乘方具有周期性
in＝(k∈Z).
4.复数的模与共轭复数的关系
z·＝|z|2＝||2.
5.两个注意点
(1)两个虚数不能比较大小；
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
【高频考点】
高频考点一 复数的相关概念
【例1】（2023·浙江卷）已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【变式探究】(2020·浙江卷)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．－1
C．2 D．－2
【举一反三】(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝(　　)
A．0 B．1
C. D．2
【变式探究】（2023·新课标Ⅲ）复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【变式探究】（2023·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)
A．0 B. C．1 D.【方法技巧】
1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
2．解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【变式探究】已知z为复数，i为虚数单位．若复数为纯虚数，则|z|＝(　　)
A．2　　B．　　C．1　　D．
高频考点二 复数的运算
【例2】（2023·北京卷）在复平面内，复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
，
【举一反三】
(1)(2020·新高考全国卷Ⅱ)(1＋2i)(2＋i)＝(　　)
A．－5i　　　　　　　 B．5i
C．－5 D．5
(2)(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　　)
A．0 B．1
C. D．2
(3)(2020·新高考全国卷Ⅰ)＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
【变式探究】(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
【方法技巧】复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化解题中要注意把i的幂写成最简形式．
【变式探究】(1)（2023·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝(　　)
A.－3－i B.－3＋i
C.3－i D.3＋i
(2)（2023·全国Ⅰ卷)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)
A.0 B. C.1 D.
(3)（2023·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝(　　)
A.3－2i B.3＋2i
C.－3－2i D.－3＋2i
【举一反三】设复数z满足＝i，则z＝(　　)
A.＋i B.－i
C．－＋i D.－－i
高频考点三 复数的几何意义
【例3】（2023·全国卷）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式探究】（2023·北京卷）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）．
A. B. C. D.
【变式探究】(1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
(2)(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内z对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【方法技巧】与复数几何意义相关的问题的一般解法
第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．
【变式探究】欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，eeq \s\up8(i)表示的复数位于复平面中的(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
高频考点四　复数运算的综合应用
【例4】(1)若复数z与其共轭复数满足z－2＝1＋3i，则|z|＝(　　)
A． B．
C．2 D．
(2)已知复数z＝－1＋i(i是虚数单位)，则＝(　　)
A．－1 B．1
C．－i D．i
【变式探究】若复数z满足z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)，则|z|等于(　　)
A． B．3
C．5 D．25
第25讲 数系的扩充与复数的引入
【学科素养】
1.通过方程的解，认识复数．
2．结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的认识，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
3．结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算，凸显数学运算的核心素养．
【课标解读】
1.理解复数的基本概念，复数相等的充要条件；
2.了解复数的代数表示法及其几何意义；
3.会进行复数代数形式的四则运算；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲在高考中属于必考内容．预测2022年将会考查：①复数的基本概念与四则运算；②复数模的计算；③复数的几何意义．题型为客观题，难度一般不大，属于基础题型.
【核心知识】
知识点一 复数的有关概念
内容 意义 备注
复数的概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等 a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数 a＋bi与c＋di共轭 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模 设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝
知识点二 复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
知识点三 复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝＝(c＋di≠0).
【知识必备】
1.赋值号左边只能是变量(不是表达式)，在一个赋值语句中只能给一个变量赋值.
2.直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”，两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反.
3.i的乘方具有周期性
in＝(k∈Z).
4.复数的模与共轭复数的关系
z·＝|z|2＝||2.
5.两个注意点
(1)两个虚数不能比较大小；
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
【高频考点】
高频考点一 复数的相关概念
【例1】（2023·浙江卷）已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【解析】，利用复数相等的充分必要条件可得：.
故选C。
【变式探究】(2020·浙江卷)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．－1
C．2 D．－2
【答案】C　
【解析】因为a－1＋(a－2)i是实数，所以a－2＝0，所以a＝2，故选C.
【举一反三】(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝(　　)
A．0 B．1
C. D．2
【答案】C　
【解析】因为z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，所以|z|＝＝，故选C.
【变式探究】（2023·新课标Ⅲ）复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以复数的虚部为.
【变式探究】（2023·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)
A．0 B. C．1 D.
【答案】C　
【解析】法一：因为z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C.
法二：因为z＝＋2i＝＝，所以|z|＝＝＝＝1，故选C。
【方法技巧】
1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
2．解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【变式探究】已知z为复数，i为虚数单位．若复数为纯虚数，则|z|＝(　　)
A．2　　B．　　C．1　　D．
【答案】C　
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，
所以复数＝＝＝.
因为复数为纯虚数，所以a2＋b2＝1，a≠0.
所以|z|＝＝1.
高频考点二 复数的运算
【例2】（2023·北京卷）在复平面内，复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，故选D。
【举一反三】
(1)(2020·新高考全国卷Ⅱ)(1＋2i)(2＋i)＝(　　)
A．－5i　　　　　　　 B．5i
C．－5 D．5
(2)(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　　)
A．0 B．1
C. D．2
(3)(2020·新高考全国卷Ⅰ)＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
【解析】(1)(1＋2i)(2＋i)＝2＋4i＋i－2＝5i，故选B.
(2)法一：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2－2i|＝2.故选D.
法二：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|z||z－2|＝×|－1＋i|＝×＝2.故选D.
(3)＝＝＝－i.
【答案】(1)B　(2)D　(3)D
【变式探究】(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
【答案】D　
【解析】由题意得z＝＝＝1＋i，故选D.
【方法技巧】复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化解题中要注意把i的幂写成最简形式．
【变式探究】(1)（2023·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝(　　)
A.－3－i B.－3＋i
C.3－i D.3＋i
(2)（2023·全国Ⅰ卷)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)
A.0 B. C.1 D.
(3)（2023·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝(　　)
A.3－2i B.3＋2i
C.－3－2i D.－3＋2i
【答案】(1)D　(2)C　 (3)D
【解析】(1)(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.故选D.
(2)∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝|i|＝1.故选C.
(3)i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.
【举一反三】设复数z满足＝i，则z＝(　　)
A.＋i B.－i
C．－＋i D.－－i
【答案】C
【解析】解法一：由＝i得1＋2z＝i－iz，所以z＝＝＝－＋i.故选C.
解法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝i可化为1＋2a＋2bi＝i－ai＋b，则1＋2a＋2bi＝b＋(1－a)i，所以解得所以z＝－＋i.故选C.
高频考点三 复数的几何意义
【例3】（2023·全国卷）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，故选A。
【变式探究】（2023·北京卷）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，.
【变式探究】(1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
(2)(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内z对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】(1)C　(2)C　
【解析】(1)设复数z与i分别表示复平面内的点Z与点P，则P(0，1)，且|z－i|表示复平面内点Z与点P之间的距离，所以点Z(x，y)到点P(0，1)的距离为定值1，所以Z的轨迹是以(0，1)为圆心，1为半径的圆，故选C.
(2)∵z＝－3＋2i，∴z＝－3－2i，
∴在复平面内，z对应的点为(－3，－2)，此点在第三象限．
【方法技巧】与复数几何意义相关的问题的一般解法
第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．
【变式探究】欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，eeq \s\up8(i)表示的复数位于复平面中的(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A　
【解析】根据题意eix＝cos x＋isin x，故eeq \s\up8(i)＝cos＋isin＝＋i，表示的复数在第一象限．
高频考点四　复数运算的综合应用
【例4】(1)若复数z与其共轭复数满足z－2＝1＋3i，则|z|＝(　　)
A． B．
C．2 D．
【答案】A　
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－2＝a＋bi－2a＋2bi＝－a＋3bi＝1＋3i，故a＝－1，b＝1，z＝－1＋i，|z|＝.
(2)已知复数z＝－1＋i(i是虚数单位)，则＝(　　)
A．－1 B．1
C．－i D．i
【答案】A　
【解析】因为z＝－1＋i，所以z2＝(－1＋i)2＝－2i，则z2＋z＝－1－i，
所以＝＝＝＝－1.故选A．
【变式探究】若复数z满足z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)，则|z|等于(　　)
A． B．3
C．5 D．25
【答案】C　
【解析】由题意z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)＝10－5i，
则z＝＝＝5，所以|z|＝5.

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