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第26讲 数列的概念与简单表示
【练基础】
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－2n＋1，则a3＝(　　)
A．－1 B．－2
C．－4 D．－8
2．如图所示，这是一个正六边形的序列，则第n个图形的边数为( )
A．5n－1 B．6n
C．5n＋1 D．4n＋2
3．已知数列{an}中a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则an＝(　　)
A．2n－1 B.n－1
C．n D．n2
4．数列，－，，－，…的第10项是( )
A．－ B．－
C．－ D．－
5．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是( )
A．103 B．108
C．103 D．108
6．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)
A. B.
C．4 D．0
7．已知数列{an}中a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则an＝( )
A．2n－1 B.n－1
C．n D．n2
8．设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，则a18＝(　　)
A. B.
C．3 D.
9．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝( )
A. B.
C. D.
10．设数列{an}中a1＝a2＝1，且满足a2n＋1＝3a2n－1与a2n＋2－a2n＋1＝a2n，则数列{an}的前12项的和为(　　)
A．364 B．728
C．907 D．1 635
【练提升】
1．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”．在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，{an}满足a1＝1，且an＝则解下4个环所需的最少移动次数为( )
A．7 B．10
C．12 D．22
2．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的( )
A．第127项 B．第128项
C．第129项 D．第130项
3．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1,2Sn＝(n＋1)an，若关于正整数n的不等式a－tan≤2t2的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．在数列{an}中，an>0，且前n项和Sn满足4Sn＝(an＋1)2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
6．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
7．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．
8．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{an}是递减数列．
9．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)，有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝1－(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1<0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．
第26讲 数列的概念与简单表示
【练基础】
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－2n＋1，则a3＝(　　)
A．－1 B．－2
C．－4 D．－8
【答案】D
【解析】∵数列{an}的前n项和Sn＝2－2n＋1，∴a3＝S3－S2＝(2－24)－(2－23)＝ －8.故选D.
2．如图所示，这是一个正六边形的序列，则第n个图形的边数为( )
A．5n－1 B．6n
C．5n＋1 D．4n＋2
【答案】C
【解析】第一个图形是六边形，即a1＝6，以后每个图形是在前一个图形的基础上增加5条边，所以a2＝6＋5＝11，a3＝11＋5＝16，观察可得选项C满足此条件．
3．已知数列{an}中a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则an＝(　　)
A．2n－1 B.n－1
C．n D．n2
【答案】C
【解析】由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，即＝，∴为常数列，即＝＝1，故an＝n.故选C.
4．数列，－，，－，…的第10项是( )
A．－ B．－
C．－ D．－
【答案】C
【解析】观察前4项可知，此数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1·，所以a10＝－.
5．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是( )
A．103 B．108
C．103 D．108
【答案】D
【解析】an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－22＋3＋.结合二次函数的性质可得此数列的最大项为a7＝108.
6．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)
A. B.
C．4 D．0
【答案】D
【解析】因为an＝－32＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大值为0.
7．已知数列{an}中a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则an＝( )
A．2n－1 B.n－1
C．n D．n2
【答案】C
【解析】解法一：特值法可确定C正确．
解法二：an＝n(an＋1－an)，而＝，则an＝××…××＝××…××＝n.故选C.
8．设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，则a18＝(　　)
A. B.
C．3 D.
【答案】B
【解析】令bn＝nan，
则由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，
得2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2且n∈N*)，
∴数列{bn}是以1为首项，以2a2－a1＝3为公差的等差数列，
则bn＝1＋3(n－1)＝3n－2，即nan＝3n－2，∴an＝，∴a18＝＝.故选B.
9．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，Sn＋nan＝2，当n≥2时，(n＋1)an＝(n－1)an－1，从而···…·＝××…×，得an＝，n＝1时，上式也成立．故选B.
10．设数列{an}中a1＝a2＝1，且满足a2n＋1＝3a2n－1与a2n＋2－a2n＋1＝a2n，则数列{an}的前12项的和为(　　)
A．364 B．728
C．907 D．1 635
【答案】C
【解析】数列{an}中a1＝a2＝1，且满足a2n＋1＝3a2n－1，则a3＝3a1＝3，a5＝3a3＝9，a7＝3a5＝27，a9＝3a7＝81，a11＝3a9＝243.
由于a2n＋2－a2n＋1＝a2n，所以a2n＋2＝a2n＋1＋a2n，
故a4＝a3＋a2＝4，a6＝a5＋a4＝13，a8＝a7＋a6＝40，a10＝a9＋a8＝121，a12＝a11＋a10＝364，
所以数列{an}的前12项的和为1＋1＋3＋4＋9＋13＋27＋40＋81＋121＋243＋364＝907.故选C.
【练提升】
1．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”．在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，{an}满足a1＝1，且an＝则解下4个环所需的最少移动次数为( )
A．7 B．10
C．12 D．22
【答案】A
【解析】依题意a4＝2a3－1＝2(2a2＋2)－1＝2[2(2a1－1)＋2]－1＝7.
2．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的( )
A．第127项 B．第128项
C．第129项 D．第130项
【答案】B
【解析】将该数列的第一项1写成，再将该数列分组，第一组1项：；第二组2项：，；第三组3项：，，；第四组4项：，，，，…，容易发现：每组中各个分数的分子与分母之和均为该组序号加1，且从第二组起每组的分子从1开始依次增加1，因此应位于第十六组中第八位．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得是该数列的第128项．
3．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1,2Sn＝(n＋1)an，若关于正整数n的不等式a－tan≤2t2的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵a1＝1,2Sn＝(n＋1)an，∴当n≥2时，2Sn－1＝nan－1，
∴2an＝2(Sn－Sn－1)＝(n＋1)an－nan－1，整理得＝(n≥2)，
∴＝＝…＝＝＝1，∴an＝n(n∈N*)．
不等式a－tan≤2t2可化为(n－2t)(n＋t)≤0，t>0，
∴04．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是有3>2λ，λ<.由λ<1可推得λ<，但反过来，由λ<不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件，故选A.
5．在数列{an}中，an>0，且前n项和Sn满足4Sn＝(an＋1)2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
【解析】当n＝1时，4S1＝(a1＋1)2，解得a1＝1；
当n≥2时，由4Sn＝(an＋1)2＝a＋2an＋1，
得4Sn－1＝a＋2an－1＋1，
两式相减得4Sn－4Sn－1＝a－a＋2an－2an－1＝4an，
整理得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
因为an>0，所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，
又a1＝1，故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
【答案】an＝2n－1
6．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
【解析】 (1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.
由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)当n>1时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
整理得an＝an－1.
又a1＝1，
所以a2＝a1，
a3＝a2，
…
an－1＝an－2，
an＝an－1，
将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝.
当n＝1时，满足上式．
综上，{an}的通项公式an＝.
7．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．
【解析】(1)由n2－5n＋4<0，解得1因为n∈N*，所以n＝2,3，
所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.
因为an＝n2－5n＋4＝2－，
由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.
(2)由an＋1>an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，解得k>－3.
所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．
8．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{an}是递减数列．
【解析】 (1)因为f(x)＝2x－，f(log2an)＝－2n，所以an－＝－2n，所以a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±，
因为an>0，所以an＝－n，n∈N*.
(2)证明：＝
＝<1，
因为an>0，所以an＋19．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)，有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝1－(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1<0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．
【解析】(1)依题意，当f(x)＝0时，Δ＝a2－4a＝0，
所以a＝0或a＝4.
又由a>0得a＝4，所以f(x)＝x2－4x＋4.
所以Sn＝n2－4n＋4.
当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.
所以an＝
(2)由题意得cn＝
由cn＝1－可知，当n≥5时，恒有cn>0.
又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝，
即c1·c2<0，c2·c3<0，c4·c5<0，
所以数列{cn}的变号数为3.第26讲 数列的概念与简单表示
【学科素养】
1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．
2.与函数相结合，考查数列的概念性质，凸显数学抽象的核心素养．
3.与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．
【课标解读】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．　
2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲一般不单独命题．预测2022年高考可能与递推数列、等差、等比数列及前n项和综合考查，涉及题型有：①由Sn求an；②由递推关系求an；③根据an＝f(n)求最值．题型一般为客观题，也可能作为解答题中的一问，试题难度一般不大，属中档题型.
【核心知识】
知识点1. 数列的有关概念
(1)数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列的分类
分类原则 类型 满足条件
按项数分类 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1>an 其中n∈N*
递减数列 an＋1常数列 an＋1＝an
按周期分类 周期数列 对于n∈N*，存在正整数k，使an＋k＝an
按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
(3)数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．
知识点2．数列的通项公式
(1)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
(2)数列的递推公式
如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
(3)已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
【必会结论】
1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，
则an＝
2．在数列{an}中，若an最大，则
若an最小，则
3．数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．
【高频考点】
高频考点一 由an与Sn的关系求通项公式
例1. （2023·新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块
【变式探究】(2019·上海卷)已知数列{an}前n项和为Sn，且满足Sn＋an＝2，则S5＝________.
【举一反三】 （2023·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．
【变式探究】已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝n　　 B．an＝n2
C．an＝ D．an＝高频考点二 由递推关系式求数列的通项公式
例2.设[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则＝(　　)
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
【方法技巧】由递推公式求通项公式的方法
方法 适用类型 要点
累加法 an＋1＝an＋f(n)，变形为an＋1－an＝f(n) 利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解
累乘法 an＋1＝f(n)an，变形为＝f(n) 利用恒等式an＝a1···…·(an≠0，n≥2，n∈N*)求解
待定系数法 an＋1＝pan＋q(p≠0且p≠1，q≠0，n∈N*) 变形为an＋1＋t＝p(an＋t)(可用待定系数法求t)，可得以p为公比的等比数列{an＋t}的通项公式，进而可求an
取倒数法 an＋1＝(p，q，r是常数)变形为＝·＋ ①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项；②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解
赋值法 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n) 由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，①得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝f(n－1)(n≥2)，②再由①－②可得an(注意对n＝1的情况进行讨论)
【变式探究】数列{an}满足a1＝3，且对于任意的n∈N*都有an＋1－an＝n＋2，则a39＝________.
高频考点三 数列的周期性及应用
例3. （2023·新课标Ⅱ）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）
A. 11010…… B. 11011…… C. 10001…… D. 11001……
【变式探究】设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Pn，则P2 021(　　)
A．－ B． C．1 D．－1
【变式探究】在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N*)，则a2 021的值为(　　)
A．－　　　　　　　 B．5
C. D.
高频考点四 数列的单调性及应用
例4. (2020·四川绵阳中学模拟) 已知an＝，那么数列{an}是(　　)
A．递减数列　 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列【变式探究】(2020·河南新乡一中模拟)数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·，则此数列的最大项是第________项．
【举一反三】已知数列{an}满足a1＝2,2anan＋1＝a＋1，设bn＝，则数列{bn}是(　　)
A．常数列 B．摆动数列
C．递增数列 D．递减数列
高频考点五 数列中的最大(小)项
【例5】已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列中的最大项为________．
【方法技巧】求数列最大项或最小项的方法
(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项．
(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
(3)比较法：
①若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0（或an>0时，>1），则an＋1>an，即数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；
②若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0（或an>0时，<1），则an＋1【变式探究】若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 021的值为(　　)
A．2 B．－3
C．－ D.
【举一反三】若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是(　　)
A．第2项 B．第3项
C．第4项 D．第5项
第26讲 数列的概念与简单表示
【学科素养】
1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．
2.与函数相结合，考查数列的概念性质，凸显数学抽象的核心素养．
3.与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．
【课标解读】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．　
2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲一般不单独命题．预测2022年高考可能与递推数列、等差、等比数列及前n项和综合考查，涉及题型有：①由Sn求an；②由递推关系求an；③根据an＝f(n)求最值．题型一般为客观题，也可能作为解答题中的一问，试题难度一般不大，属中档题型.
【核心知识】
知识点1. 数列的有关概念
(1)数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列的分类
分类原则 类型 满足条件
按项数分类 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1>an 其中n∈N*
递减数列 an＋1常数列 an＋1＝an
按周期分类 周期数列 对于n∈N*，存在正整数k，使an＋k＝an
按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
(3)数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．
知识点2．数列的通项公式
(1)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
(2)数列的递推公式
如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
(3)已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
【必会结论】
1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，
则an＝
2．在数列{an}中，若an最大，则
若an最小，则
3．数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．
【高频考点】
高频考点一 由an与Sn的关系求通项公式
例1. （2023·新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块
【答案】C
【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
【变式探究】(2019·上海卷)已知数列{an}前n项和为Sn，且满足Sn＋an＝2，则S5＝________.
【答案】　
【解析】当n＝1时，S1＋a1＝2，所以a1＝1.
当n≥2时，由Sn＋an＝2得Sn－1＋an－1＝2，
两式相减得an＝an－1(n≥2)，
所以{an}是以1为首项，为公比的等比数列，
所以Sn＝eq \f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))),1－\f(1,2))，
所以S5＝eq \f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))),1－\f(1,2))＝.
【举一反三】 （2023·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．
【解析】因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.
【答案】－63
【变式探究】已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝n　　 B．an＝n2
C．an＝ D．an＝
【答案】B　
【解析】∵＋＋…＋＝，
∴＋＋…＋＝(n≥2)，
两式相减得＝－＝n(n≥2)，
∴an＝n2(n≥2)，①
又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，适合①式，
∴an＝n2，n∈N*.故选B。
高频考点二 由递推关系式求数列的通项公式
例2.设[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则＝(　　)
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
A　解析：由an＋1＝an＋n＋1，得an－an－1＝n(n≥2)．
又a1＝1，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝，
则＝＝2.
所以＋＋…＋＝2
＝2＝.
所以＝＝1.
【方法技巧】由递推公式求通项公式的方法
方法 适用类型 要点
累加法 an＋1＝an＋f(n)，变形为an＋1－an＝f(n) 利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解
累乘法 an＋1＝f(n)an，变形为＝f(n) 利用恒等式an＝a1···…·(an≠0，n≥2，n∈N*)求解
待定系数法 an＋1＝pan＋q(p≠0且p≠1，q≠0，n∈N*) 变形为an＋1＋t＝p(an＋t)(可用待定系数法求t)，可得以p为公比的等比数列{an＋t}的通项公式，进而可求an
取倒数法 an＋1＝(p，q，r是常数)变形为＝·＋ ①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项；②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解
赋值法 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n) 由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，①得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝f(n－1)(n≥2)，②再由①－②可得an(注意对n＝1的情况进行讨论)
【变式探究】数列{an}满足a1＝3，且对于任意的n∈N*都有an＋1－an＝n＋2，则a39＝________.
820　解析：因为an＋1－an＝n＋2，
所以a2－a1＝3，a3－a2＝4，a4－a3＝5，…，an－an－1＝n＋1(n≥2)．
上面(n－1)个式子左右两边分别相加得an－a1＝(n≥2)，
即an＝(n≥2)．
当n＝1时，a1＝3适合上式，
所以an＝，n∈N*，
所以a39＝＝820.
高频考点三 数列的周期性及应用
例3. （2023·新课标Ⅱ）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）
A. 11010…… B. 11011…… C. 10001…… D. 11001……
【答案】C
【解析】由知，序列的周期为m，由已知，，
对于选项A，
，不满足；
对于选项B，
，不满足；
对于选项D，
，不满足；
【变式探究】设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Pn，则P2 021(　　)
A．－ B． C．1 D．－1
D　解析：a1＝2，an＋1＝1－，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，此时数列的项开始重复出现，呈现周期性，周期为3.
且P3＝－1,2021＝3×673＋2，
所以P2 021＝(－1)673×a1a2＝－1.
【变式探究】在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N*)，则a2 021的值为(　　)
A．－　　　　　　　 B．5
C. D.
【答案】B
【解析】因为在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N*)，
所以a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－，
所以{an}是以3为周期的周期数列，
所以a2 021＝a673×3＋2＝a2＝5.
高频考点四 数列的单调性及应用
例4. (2020·四川绵阳中学模拟) 已知an＝，那么数列{an}是(　　)
A．递减数列　 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
【答案】B　
【解析】an＝1－，将an看作关于n的函数，n∈N*，易知{an}是递增数列．
【变式探究】(2020·河南新乡一中模拟)数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·，则此数列的最大项是第________项．
【答案】9或10　
【解析】∵an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)＝×，
当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an，
∴该数列中有最大项，且最大项为第9，10项．
【举一反三】已知数列{an}满足a1＝2,2anan＋1＝a＋1，设bn＝，则数列{bn}是(　　)
A．常数列 B．摆动数列
C．递增数列 D．递减数列
【答案】D
【解析】∵2anan＋1＝a＋1，∴an＋1＝.
∵bn＝，
∴bn＋1＝＝＝＝b>0.
∵a1＝2，∴b1＝＝，b2＝2，b3＝2＝4，b4＝2＝8，
∴数列{bn}是递减数列，故选D.
高频考点五 数列中的最大(小)项
【例5】已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列中的最大项为________．
【解析】法一：an＋1－an＝－＝·，
当n<8时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝8时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>8时，an＋1－an<0，即an＋1则a1a10>a11>…，故数列{an}中的最大项为第8项和第9项，且a8＝a9＝＝.
法二：设数列{an}中的第n项最大，
则即
解得8≤n≤9.
又n∈N*，则n＝8或n＝9.
故数列{an}中的最大项为第8项和第9项，且a8＝a9＝.
【答案】
【方法技巧】求数列最大项或最小项的方法
(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项．
(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
(3)比较法：
①若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0（或an>0时，>1），则an＋1>an，即数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；
②若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0（或an>0时，<1），则an＋1【变式探究】若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 021的值为(　　)
A．2 B．－3
C．－ D.
【答案】A　
【解析】因为a1＝2，an＋1＝，
所以a2＝＝－3，a3＝＝－，
a4＝＝，a5＝＝2，
故数列{an}是以4为周期的周期数列，
故a2 021＝a505×4＋1＝a1＝2.
【举一反三】若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是(　　)
A．第2项 B．第3项
C．第4项 D．第5项
【答案】D　
【解析】∵Sn＝n2－10n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；
当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．
∴an＝2n－11(n∈N*)．
记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，
此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N*，
∴当n＝3时，f(n)取最小值．
∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．

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