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第32讲 基本不等式
【练基础】
1．设a>0，则a＋的最小值为(　　)
A．2　　　　　　　 B．2
C．4 D．5
2． x>0，使得＋x－a≤0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
3．设x为实数，则“x<0”是“x＋≤－2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知a, b∈R，且a＋2b－4＝0，则2a＋4b的最小值为(　　)
A．4 B．4
C．8 D．2
5．在下列各函数中，最小值等于2的函数是(　　)
A．y＝x＋
B．y＝sin x＋
C．y＝
D．y＝ex＋－2
6．若实数a, b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)
A. B．2
C．2 D．4
7．若不等式＋－m≥0对x∈恒成立，则实数m的最大值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
8．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为(　　)
A．9 cm2 B．16 cm2
C．4 cm2 D．5 cm2
9．若x>1，则x＋的最小值为________．
10．已知a>0，b>0，且a＋3b＝1，则＋的最小值是________．
【练提升】
1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
2.如图，三棱锥P ABC的四个顶点恰是长、宽、高分别是m,2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为(　　)
A. B.
C. D．36π
3．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
4．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)
A．0 B．1
C. D．3
5．已知a>0，b>0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为(　　)
A．16 B．9
C．5 D．4
6．在△ABC中，点F为线段BC上任一点(不含端点)，若＝2x＋y (x>0，y>0)，则＋的最小值为(　　)
A．1 B．8
C．2 D．4
7．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是(　　)
A．1 B．3
C．6 D．12
8．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)
A．7＋2 B．6＋2
C．7＋4 D．6＋4
9．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________ h后池水中药品的浓度达到最大．
10．已知a>0，b>0，若直线(a－1)x＋2y－1＝0与直线x＋by＝0互相垂直，则ab的最大值是________．
11．已知a>0，b>0，则的最小值为________．
12．某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”)．
(1)试将年利润w万元表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
第32讲 基本不等式
【练基础】
1．设a>0，则a＋的最小值为(　　)
A．2　　　　　　　 B．2
C．4 D．5
【答案】D
【解析】a＋＝a＋1＋≥1＋2 ＝5，当且仅当a＝2时取等号，故选D.
2． x>0，使得＋x－a≤0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
【答案】B
【解析】因为＋x－a≤0，所以a≥＋x≥2 ＝2，当且仅当x＝1时取等号，所以只需a≥2，故选B.
3．设x为实数，则“x<0”是“x＋≤－2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若x<0，则－x>0，x＋＝－(－x)＋≤－2，∴“x<0”是“x＋≤－2”的充分条件；若x＋≤－2，则≤0，得x<0，∴“x<0”是“x＋≤－2”的必要条件．综上，“x<0”是“x＋≤－2”的充要条件．故选C.
4．已知a, b∈R，且a＋2b－4＝0，则2a＋4b的最小值为(　　)
A．4 B．4
C．8 D．2
【答案】C
【解析】由a＋2b－4＝0得a＋2b＝4，∴2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝2＝8(当且仅当2a＝22b，即a＝2b时取等号)．
5．在下列各函数中，最小值等于2的函数是(　　)
A．y＝x＋
B．y＝sin x＋
C．y＝
D．y＝ex＋－2
【答案】D
【解析】对于选项A，当x>0时，y＝x＋≥2 ＝2；当x<0时，y＝x＋≤－2，故A不合题意．对于选项B，由于06．若实数a, b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)
A. B．2
C．2 D．4
【答案】C
【解析】∵＋＝，∴a>0，b>0，
∵＝＋≥2 ＝2 ，
∴ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，
∴ab的最小值为2，故选C.
7．若不等式＋－m≥0对x∈恒成立，则实数m的最大值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
【答案】C
【解析】将不等式化为＋≥m，只需当x∈时，min≥m即可，由＋＝(4x＋1－4x)＝4＋＋＋1≥5＋2 ＝5＋4＝9，当且仅当x＝时取等号，故m≤9，故m的最大值为9.故选C.
8．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为(　　)
A．9 cm2 B．16 cm2
C．4 cm2 D．5 cm2
【答案】C
【解析】设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.故选C.
9．若x>1，则x＋的最小值为________．
解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.
当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．
答案：5
10．已知a>0，b>0，且a＋3b＝1，则＋的最小值是________．
解析：＋＝(a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2 ＝25，当且仅当a＝，b＝时等号成立．
答案：25
【练提升】
1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
【答案】D
【解析】由1＝2x＋2y≥2，变形为2x＋y≤，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号．则x＋y的取值范围是(－∞，－2]．
2.如图，三棱锥P ABC的四个顶点恰是长、宽、高分别是m,2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为(　　)
A. B.
C. D．36π
【答案】C
【解析】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为n，所以·n··m·2＝2，所以mn＝6，又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球，该外接球的直径是长方体的体对角线，设外接球的半径为R，所以2R＝，所以2R≥＝＝4，当且仅当m＝n＝时，等号成立，所以R≥2，所以该三棱锥外接球的体积为πR3≥π×23＝.故选C.
3．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】B
【解析】法一：由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.
法二：由题意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.
4．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)
A．0 B．1
C. D．3
【答案】B
【解析】＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.
5．已知a>0，b>0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为(　　)
A．16 B．9
C．5 D．4
【答案】A
【解析】∵，，成等差数列，∴＋＝1，∴a＋9b＝(a＋9b)＝10＋＋≥10＋2 ＝16，当且仅当＝且＋＝1，即a＝4，b＝时等号成立，故选A.
6．在△ABC中，点F为线段BC上任一点(不含端点)，若＝2x＋y (x>0，y>0)，则＋的最小值为(　　)
A．1 B．8
C．2 D．4
【答案】B
【解析】由于点F在线段BC上，由向量共线定理可得2x＋y＝1，则＋＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当y＝2x，即x＝，y＝时等号成立，故选B.
7．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是(　　)
A．1 B．3
C．6 D．12
【答案】B
【解析】∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝，∴2x＋y＝2x＋＝＝＋≥ 2 ＝3，当且仅当＝，即x＝1时取等号．故选B.
8．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)
A．7＋2 B．6＋2
C．7＋4 D．6＋4
【答案】C
【解析】由题意得＝，∴3a＋4b＝ab，∴＋＝1(a>0，b>0)．
∴a＋b＝(a＋b)＝4＋3＋＋≥7＋2 ＝7＋4，当且仅当a＝2b时取等号．故选C.
9．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________ h后池水中药品的浓度达到最大．
解析：C＝＝≤＝5，当且仅当t＝2时取等号，因此经过2 h后池水中药品的浓度达到最大．
答案：2
10．已知a>0，b>0，若直线(a－1)x＋2y－1＝0与直线x＋by＝0互相垂直，则ab的最大值是________．
解析：由两条直线互相垂直得(a－1)×1＋2b＝0，即a＋2b＝1，又a>0，b>0，所以ab＝(a·2b)≤2＝，当且仅当a＝，b＝时取等号．故ab的最大值是.
答案：
11．已知a>0，b>0，则的最小值为________．
解析：＝＋＋ab≥2＋ab＝＋ab≥2 ＝4，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为4.
答案：4
12．某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”)．
(1)试将年利润w万元表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
解析：(1)由题意，每件售价为×150%＋×50%＝，则w＝·Q－x－3－32Q＝＝.
因为当x＝100时，w＝<0，所以企业亏损．
(2)w＝＝－＋50≤50－8＝42(当且仅当x＝7时等号成立)．
故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．第32讲 基本不等式
【学科素养】
1.结合作差法，了解基本不等式的证明过程，凸显逻辑推理的核心素养．
2.结合求函数最值问题，考查灵活运用基本不等式解决问题的能力，凸显数学运算的核心素养．
3.结合实际应用问题，考查利用基本不等式求最值问题，凸显数学建模的核心素养．
【课标解读】
1.了解基本不等式的证明过程；
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2022年将会考查利用基本不等式求最值或比较大小，也可能与其他知识综合考查，体现基本不等式的工具性．试题难度不大，但技巧性强，灵活多变，客观题或解答题均可能出现.
【核心知识】
知识点一 基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
知识点二 几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；
(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)2≤(a，b∈R)；
(5)≤≤≤ (a＞0，b＞0)．
知识点三 算术平均数与几何平均数
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
知识点四 利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
【特别提醒】
1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.
2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.
【高频考点】
高频考点一 利用基本不等式求最值
【例1】（2023·天津卷）若，则的最小值为____________．
【变式探究】(2020·天津卷)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．
【举一反三】【2020·江苏卷】已知，则的最小值是 ▲ ．
【方法技巧】
1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点
拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．　
2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．　　
【变式探究】若对任意x>0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【举一反三】若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　)
A． B． C． D．
高频考点二 利用基本不等式解决实际问题
【例2】（2023·江苏卷）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低 并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润 并求最大利润.
【变式探究】经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【变式探究】【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
，，，，，，，，
【方法技巧】
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
【变式探究】某厂家拟在2021年“双十一”举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t＝5－(其中0≤x≤k，k为正常数)．现假定产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本(10＋2t)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【举一反三】经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝
(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？
(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
高频考点三 基本不等式的综合应用
【例3】（2023·江苏卷）已知函数的定义域是.
（1）求实数的取值范围;
（2）解关于的不等式.
【变式探究】(2020·天津卷)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．
【方法技巧】
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
【变式探究】(2019·天津卷)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________．
【举一反三】(1)如图，在△ABC中，＝2，过点M的直线分别交射线AB，AC于不同的两点P，Q，若＝m，＝n，则mn＋m的最小值为(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．2
C．6 D．6
(2)已知x>0，y>0，且＝1，不等式＋≥m恒成立，则实数m的取值范围是________．
第32讲 基本不等式
【学科素养】
1.结合作差法，了解基本不等式的证明过程，凸显逻辑推理的核心素养．
2.结合求函数最值问题，考查灵活运用基本不等式解决问题的能力，凸显数学运算的核心素养．
3.结合实际应用问题，考查利用基本不等式求最值问题，凸显数学建模的核心素养．
【课标解读】
1.了解基本不等式的证明过程；
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2022年将会考查利用基本不等式求最值或比较大小，也可能与其他知识综合考查，体现基本不等式的工具性．试题难度不大，但技巧性强，灵活多变，客观题或解答题均可能出现.
【核心知识】
知识点一 基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
知识点二 几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；
(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)2≤(a，b∈R)；
(5)≤≤≤ (a＞0，b＞0)．
知识点三 算术平均数与几何平均数
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
知识点四 利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
【特别提醒】
1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.
2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.
【高频考点】
高频考点一 利用基本不等式求最值
【例1】（2023·天津卷）若，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【变式探究】(2020·天津卷)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．
【解析】依题意得＋＋＝＋＝＋≥2 ＝4，当且仅当＝，即a＋b＝4时取等号．因此，＋＋的最小值为4.
【答案】4
【举一反三】【2020·江苏卷】已知，则的最小值是 ▲ ．
【答案】
【解析】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
【方法技巧】
1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点
拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．　
2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．　　
【变式探究】若对任意x>0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为对任意x>0，≤a恒成立，所以对x∈(0，＋∞)，a≥max，而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，当且仅当x＝时等号成立，所以a≥.故选A.
【举一反三】若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，
所以y＝.
由即解得0所以x＋2y＝x＋＝＋≥2＝，
当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．
故x＋2y的最小值为.
高频考点二 利用基本不等式解决实际问题
【例2】（2023·江苏卷）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低 并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润 并求最大利润.
【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
【解析】（1），
当且仅当时，即取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又，∴当时，.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
【变式探究】经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【解析】(1)由题意可知，当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，即x＝3－，
每1万件产品的销售价格为1.5×(万元)，
∴2021年的利润y＝x－(8＋16x＋m)
＝4＋8x－m＝4＋8－m
＝28－－m(m≥0)．
∴利润y表示为年促销费用的函数关系式是y＝28－－m(m≥0)．
(2)由(1)知y＝－＋29(m≥0)．
∵当m≥0时，＋(m＋1)≥2 ＝8，
当且仅当＝m＋1，即m＝3时取等号．
∴y≤－8＋29＝21，
即当m＝3时，y取得最大值21.
∴当该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元．
【变式探究】【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
【答案】①130 ；②15.
【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.
（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，
元时，李明得到的金额为，符合要求.
元时，有恒成立，即，即元，所以x的最大值为15。
【方法技巧】
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
【变式探究】某厂家拟在2021年“双十一”举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t＝5－(其中0≤x≤k，k为正常数)．现假定产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本(10＋2t)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【解析】(1)由题意知，该产品售价为2×元/件，所以y＝2××t－10－2t－x，
代入t＝5－化简，
得y＝20－(0≤x≤k)．
(2)y＝20－＝21－
≤21－2＝17，
当且仅当＝x＋1，即x＝1时，上式取等号．
当k≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当00，
故y＝21－在0≤x≤k上单调递增．
所以，在x＝k时，函数有最大值，即促销费用投入k万元时，厂家的利润最大．
综上，当k≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当0【举一反三】经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝
(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？
(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
【解析】(1)当x∈[50,80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，当x＝65时，y有最小值，为×675＝9；当x∈[80,120]时，函数y＝12－单调递减，故当x＝120时，y有最小值，为10.因为9＜10，所以该型号汽车的速度为65 km/h时，每小时耗油量最低．
(2)设总耗油量为l，由题意可知l＝y·，当x∈[50,80)时，l＝y·＝≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝16，当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16；当x∈[80,120]时，l＝y·＝－2为减函数，故当x＝120时，l取得最小值，最小值为10.因为10＜16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少．
高频考点三 基本不等式的综合应用
【例3】（2023·江苏卷）已知函数的定义域是.
（1）求实数的取值范围;
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为函数的定义域是，
所以恒成立，
则，解得，的取值范围为.
（2），即，
因为，所以，即，解得，
故不等式的解集为.
【变式探究】(2020·天津卷)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．
【答案】4　
【解析】因为a>0，b>0，且ab＝1，
所以＋＋＝＋＋
＝＋≥2＝4.
当且仅当＝且ab＝1，即
或时，等号成立．
故＋＋的最小值为4.
【方法技巧】
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
【变式探究】(2019·天津卷)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________．
【答案】4　
【解析】因为 x>0，y>0，所以 >0.
因为 x＋2y＝5，所以 ＝＝＝2＋≥2＝4. 当且仅当2＝，即x＝3，y＝1时取等号．所以 的最小值为4.
【举一反三】(1)如图，在△ABC中，＝2，过点M的直线分别交射线AB，AC于不同的两点P，Q，若＝m，＝n，则mn＋m的最小值为(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．2
C．6 D．6
(2)已知x>0，y>0，且＝1，不等式＋≥m恒成立，则实数m的取值范围是________．
【解析】(1)连接AM，由已知可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋.因为P，M，Q三点共线，所以＋＝1，所以mn＋m＝＋m＝＋＝＝＋＋≥＋2 ＝2，当且仅当＝，即m＝n＝1时取等号，
所以mn＋m的最小值为2.故选A.
(2)不等式＋≥m恒成立可转化为min≥m.
由＝1，得2y＋3x＝xy，即＋＝1.
因为x>0，y>0，所以＋＝＝＋＋2≥2 ＋2＝4，
当且仅当即时取等号，所以min＝4.
故实数m的取值范围是(－∞，4]．
【答案】(1)A　(2)(－∞，4]

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