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第31讲 二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
【练基础】
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为(　　)
A．(－24,7)
B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
2．点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则(　　)
A．a＜－7或a＞24 B．－7＜a＜24
C．a＝－7或a＝24 D．以上都不正确
3．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
4．若变量x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
5．若x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值为(　　)
A．－3 B．1 C．－2 D．2
6．若不等式组所表示的平面区域被直线l：mx－y＋m＋1＝0分为面积相等的两部分，则m＝(　　)
A. B．2
C．－ D．－2
7．若x，y满足则z＝2x－y的取值范围是(　　)
A．[0,3] B．[1,3]
C．[－3,0] D．[－3，－1]
8．设点M是表示的区域Ω1内任一点，点N是区域Ω1关于直线l：y＝x的对称区域Ω2内的任一点，则|MN|的最大值为(　　)
A． B．2
C．4 D．5
9．不等式组表示的平面区域的面积为________．
10．设点(x，y)满足约束条件且x∈Z，y∈Z，则这样的点共有________个．
【练提升】
1.若实数x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为(　　)
A．0 B．2
C．4 D．6
2．已知实数x，y满足不等式组且z＝2x－y的最大值是最小值的2倍，则a等于(　　)
A. B. C. D.
3．记不等式组的解集为D，若 (x，y)∈D，不等式a≤2x＋y恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，3] B．[3，＋∞)
C．(－∞，6] D．(－∞，8]
4．设实数x，y满足则u＝－的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________．
6．若x，y满足约束条件则z＝log2(x＋y－1)的最大值为________．
7．已知O是坐标原点，点A(－1，1)．若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是________．
8．2021年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，某高中学校需要安排男教师x名，女教师y名做义工，x和y需满足条件则该校安排教师最多为________人．
9．已知约束条件若目标函数z＝x＋ay(a≥0)恰好在点(2，2)处取到最大值，则a的取值范围为________．
10．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
第31讲 二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
【练基础】
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为(　　)
A．(－24,7)
B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
【答案】B
【解析】根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，
即(a＋7)(a－24)<0，解得－72．点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则(　　)
A．a＜－7或a＞24 B．－7＜a＜24
C．a＝－7或a＝24 D．以上都不正确
【答案】B
【解析】点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，说明将这两点坐标代入3x－2y＋a后，符号相反，所以(9－2＋a)(－12－12＋a)<0，解得－73．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析】不等式组表示的平面区域是以点(0,0)，(0,2)和(1,1)为顶点的三角形区域(含边界)，则面积为×2×1＝1.
4．若变量x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】B
【解析】法一：(验证法)由约束条件可知可行域的边界分别为直线y＝1，x＋y＝0，x－y－2＝0，
则边界的交点分别为(－1，1)，(3，1)，(1，－1)，
分别代入z＝x－2y，
得对应的z分别为－3，1，3，
可得z的最大值为3，故选B.
法二：(数形结合法)作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，
作出直线x－2y＝0并平移，
由图可知，当直线过点(1，－1)时，z取得最大值，
即zmax＝1－2×(－1)＝3，故选B.
5．若x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值为(　　)
A．－3 B．1 C．－2 D．2
【答案】C
【解析】先作可行域如图阴影部分(含边界)所示，
则直线z＝x－y过点A(0,2)时取最小值－2.
6．若不等式组所表示的平面区域被直线l：mx－y＋m＋1＝0分为面积相等的两部分，则m＝(　　)
A. B．2
C．－ D．－2
【答案】A
【解析】由题意可画出可行域为△ABC及其内部所表示的平面区域，如图所示．联立可行域边界所在直线方程，可得A(－1，1)，B，C(4，6)．因为直线l：y＝m(x＋1)＋1过定点A(－1，1)，直线l将△ABC分为面积相等的两部分，所以直线l过边BC的中点D，易得D，代入mx－y＋m＋1＝0，得m＝，故选A.
7．若x，y满足则z＝2x－y的取值范围是(　　)
A．[0,3] B．[1,3]
C．[－3,0] D．[－3，－1]
【答案】A
【解析】作出表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
联立解得
即B(1，－1)，
化目标函数z＝2x－y为y＝2x－z，
由图可知，当直线y＝2x－z过原点时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值，为2×0－0＝0；
当直线y＝2x－z过点B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值，为2×1－(－1)＝3，
∴z＝2x－y的取值范围是[0,3]．
8．设点M是表示的区域Ω1内任一点，点N是区域Ω1关于直线l：y＝x的对称区域Ω2内的任一点，则|MN|的最大值为(　　)
A． B．2
C．4 D．5
【答案】D
【解析】不等式组表示的区域Ω1如图中阴影部分所示，因为区域Ω1与区域Ω2关于直线y＝x对称，并且M是区域Ω1内任一点，N是区域Ω2内任一点，所以当点M到直线y＝x的距离最大，并且点N为M关于直线y＝x的对称点时，|MN|最大，最大值为点M到直线y＝x距离的2倍，因此转化为求区域Ω1内的点到直线y＝x的距离的最大值，由图可知点A(－4，1)到直线y＝x的距离最大，为，所以|MN|的最大值为5.
9．不等式组表示的平面区域的面积为________．
【答案】3
【解析】依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示．
平面区域为△ABC及其内部，其中A(2,0)，B(0,2)，C(2,3)，
所以所求面积为
×2×|AC|＝3.
10．设点(x，y)满足约束条件且x∈Z，y∈Z，则这样的点共有________个．
【答案】12
【解析】画出表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，
由图可知，满足x∈Z，y∈Z的(x，y)为(－4，－1)，(－3，0)，(－2，1)，(－2，0)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，共12个．
【练提升】
1.若实数x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为(　　)
A．0 B．2
C．4 D．6
【答案】A
【解析】解法一：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作出y＝x并平移，由图可知，当动直线y＝x－z经过点A时，z取得小值，由得A1，，即zmin＝1－2×＝0，故选A．
解法二：由得此时z＝0；由得此时z＝2；由得此时z＝1.综上所述，z最小值为0，故选A．
2．已知实数x，y满足不等式组且z＝2x－y的最大值是最小值的2倍，则a等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图阴影部分(含边界)所示：
作出直线l：y＝2x，平移直线l，由图可知，
当直线经过点D时，直线在y轴上的截距最小，
此时z＝2x－y取得最大值，
由可得D(1,1)，
所以z＝2x－y的最大值是1；
当直线经过点B时，直线在y轴上的截距最大，
此时z＝2x－y取得最小值，
由可得B(a,2－a)，
所以z＝2x－y的最小值是3a－2，
因为z＝2x－y的最大值是最小值的2倍，
所以6a－4＝1，解得a＝，故选B.
3．记不等式组的解集为D，若 (x，y)∈D，不等式a≤2x＋y恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，3] B．[3，＋∞)
C．(－∞，6] D．(－∞，8]
【答案】C
【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z＝2x＋y，作出直线2x＋y＝0，并平移，由图知目标函数z＝2x＋y取得最小值的最优解为A(1，4)，所以目标函数z＝2x＋y的最小值为6.因为 (x，y)∈D，不等式a≤2x＋y恒成立，所以a≤6，故选C．
4．设实数x，y满足则u＝－的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令＝t，由图可得kBO≤t≤kOA，而≤t≤2，则u＝t－在上显然是增函数，所以当t＝时，umin＝－；当t＝2时，umax＝，因此u＝－的取值范围为.
5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________．
【答案】2 800元
【解析】设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，则根据题意得x，y的约束条件为
设获利z元，则z＝300x＋400y.
画出可行域如图．
画直线l：300x＋400y＝0，
即3x＋4y＝0.
平移直线l，从图中可知，
当直线过点M时，
目标函数取得最大值．
由
解得
即M的坐标为(4,4)，
∴zmax＝300×4＋400×4＝2 800(元)．
6．若x，y满足约束条件则z＝log2(x＋y－1)的最大值为________．
【答案】1
【解析】作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，
设t＝x＋y，由图可知，t在点A处取到最大值，联立解得A(1,2)，所以t＝x＋y的最大值为3，
由于y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，
故z＝log2(x＋y－1)的最大值为1.
7．已知O是坐标原点，点A(－1，1)．若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是________．
【答案】[0，2]
【解析】满足约束条件的平面区域如图阴影部分所示．
将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式．
当x＝1，y＝1时，·＝－1×1＋1×1＝0；
当x＝1，y＝2时，·＝－1×1＋1×2＝1；
当x＝0，y＝2时，·＝－1×0＋1×2＝2.
故·的取值范围为[0，2]．
8．2021年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，某高中学校需要安排男教师x名，女教师y名做义工，x和y需满足条件则该校安排教师最多为________人．
【答案】13
【解析】由于x和y需满足约束条件画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
由于要求该校安排的教师人数最多，设目标函数为z＝x＋y，得y＝－x＋z，
则题意转化为，在可行域内任意取x，y且为整数，使得目标函数的斜率为定值－1，截距最大时的直线为过的交点A(6,7)，此时z取最大值，即zmax＝6＋7＝13.
9．已知约束条件若目标函数z＝x＋ay(a≥0)恰好在点(2，2)处取到最大值，则a的取值范围为________．
【答案】　
【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分所示，
当a＝0时，z＝x，即x＝z，此时不成立．
故a≠0.由z＝x＋ay得y＝－x＋.
由解得即A(2，2)．
要使目标函数z＝x＋ay(a≥0)仅在点A(2，2)处取得最大值，则阴影部分区域在直线y＝－x＋的下方，即目标函数的斜率k＝－，满足k＞kAC，即－＞－3.
∵a＞0，∴a＞，即a的取值范围为.
10．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
【解析】(1)作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，
可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线x－y＋＝0，当直线过A(3,4)时，z取最小值－2，过C(1,0)时，z取最大值1.
所以z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，
解得－4故a的取值范围是(－4,2)．第31讲 二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算
【课标解读】
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲是高考必考内容．预测2022年的考查，主要命题方向为：在约束条件下求目标函数的最值或根据最值情况求参数，同时能用线性规划解决实际问题．试题以客观题形式呈现，属中档题型.
【核心知识】
知识点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式 表示区域
Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0 包括边界直线
不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分
知识点二 点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.
知识点三 简单的线性规划中的基本概念
名称 意义
约束条件 由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件 由变量x，y组成的一次不等式(组)
目标函数 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数 关于x，y的一次函数解析式
可行解 满足线性约束条件的解(x，y)
可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
【高频考点】
高频考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
【例1】(2019·全国Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p： (x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q： (x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题：
①p∨q；②(綈p)∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧(綈q)．
这四个命题中，所有真命题的编号是(　　)
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
【方法技巧】
(1)平面区域的确定：直线定界，特殊点定域．
①直线定界：当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线；
②特殊点定域：常用的特殊点为(0，0)，(1，0)，(0，1)．
(2)平面区域的形状问题主要有两种题型：
①确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；
②根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．
【变式探究】（2023·湖南长郡中学模拟）若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)
A. B．1
C. D．2高频考点二 求线性目标函数的最值
【例2】（2023·全国卷）若满足约束条件则的最小值为（ ）
A．18 B．10 C．6 D．4
【变式探究】（2023·浙江卷）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】(2020·全国Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝x＋7y的最大值为________．
【举一反三】【2019·北京卷】若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x+y的最大值为
A． 7 B．1
C．5 D．7
【方法技巧】线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以直接解出可行域的顶点，将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值。
【变式探究】【2019·天津卷】设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为
A．2 B．3
C．5 D．6
高频考点三 求非线性目标函数的最值
【例3】已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的范围．
【方法技巧】
目标函数是非线性形式的函数时，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：
(1)表示点(x，y)与原点(0,0)间的距离，表示点(x，y)与点(a，b)间的距离；
(2)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
【变式探究】已知实数x，y满足约束条件则的最小值为________．
高频考点四 求参数值或取值范围
【例4】【2020·浙江卷】若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】 由目标函数的最值求参数的2种基本方法
一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
【变式探究】若且z＝2x＋4y取得最小值－12，则k等于(　　)
A．2 B．9
C．3 D．0
第31讲 二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算
【课标解读】
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲是高考必考内容．预测2022年的考查，主要命题方向为：在约束条件下求目标函数的最值或根据最值情况求参数，同时能用线性规划解决实际问题．试题以客观题形式呈现，属中档题型.
【核心知识】
知识点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式 表示区域
Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0 包括边界直线
不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分
知识点二 点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.
知识点三 简单的线性规划中的基本概念
名称 意义
约束条件 由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件 由变量x，y组成的一次不等式(组)
目标函数 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数 关于x，y的一次函数解析式
可行解 满足线性约束条件的解(x，y)
可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
【高频考点】
高频考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
【例1】(2019·全国Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p： (x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q： (x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题：
①p∨q；②(綈p)∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧(綈q)．
这四个命题中，所有真命题的编号是(　　)
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
【答案】A
【解析】方法一　
画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．
目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y在y轴上的截距．
显然，当直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，
即z＝2x＋y≥8.
∴2x＋y∈[8，＋∞)．
由此得命题p： (x，y)∈D,2x＋y≥9正确；
命题q： (x，y)∈D,2x＋y≤12不正确．
∴①③真，②④假．
方法二　取x＝4，y＝5，满足不等式组且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．
∴①③真，②④假．
【方法技巧】
(1)平面区域的确定：直线定界，特殊点定域．
①直线定界：当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线；
②特殊点定域：常用的特殊点为(0，0)，(1，0)，(0，1)．
(2)平面区域的形状问题主要有两种题型：
①确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；
②根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．
【变式探究】（2023·湖南长郡中学模拟）若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)
A. B．1
C. D．2
【答案】B
【解析】在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由图可知，当m≤1时，函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1。
高频考点二 求线性目标函数的最值
【例2】（2023·全国卷）若满足约束条件则的最小值为（ ）
A．18 B．10 C．6 D．4
【答案】C
【解析】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，
由可得点,
转换目标函数为，
上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，
此时，故选C。
【变式探究】（2023·浙江卷）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画出满足约束条件的可行域，
如下图所示：
目标函数化为，
由，解得，设，
当直线过点时，
取得最小值为.
故选B.
【举一反三】(2020·全国Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝x＋7y的最大值为________．
【答案】1
【解析】画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
由z＝x＋7y，得y＝－x＋z.
平移直线l0：y＝－x，
可知当直线y＝－x＋z过点A时z最大．
由得即A(1,0)，
∴zmax＝1＋7×0＝1.
【举一反三】【2019·北京卷】若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x+y的最大值为
A． 7 B．1
C．5 D．7
【答案】C
【解析】由题意，作出可行域如图阴影部分所示.
设z＝3x＋y，y＝z－3x，当直线l0：y＝z－3x经过点C(2，－1)时，z取最大值5.故选C。
【方法技巧】线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以直接解出可行域的顶点，将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值。
【变式探究】【2019·天津卷】设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为
A．2 B．3
C．5 D．6
【答案】D
【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.
目标函数的几何意义是直线在y轴上的截距，
故目标函数在点A处取得最大值.
由，得，
所以.
故选C。
高频考点三 求非线性目标函数的最值
【例3】已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的范围．
【解析】作出可行域，如图阴影部分所示．
通过联立方程，解得A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．
(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方．
过点M作AC的垂线，垂足为点N，
故|MN|＝＝，|MN|2＝2＝.
故z的最小值为.
(2)z＝2·表示可行域内点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍．
因为kQA＝，kQB＝，所以z的范围是.
【方法技巧】
目标函数是非线性形式的函数时，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：
(1)表示点(x，y)与原点(0,0)间的距离，表示点(x，y)与点(a，b)间的距离；
(2)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
【变式探究】已知实数x，y满足约束条件则的最小值为________．
【答案】
【解析】画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．
则表示可行域内的点(x，y)到定点P(－1,0)的距离．
解方程组得设M(2,2)．
由图可知，()min＝|MP|＝＝.
高频考点四 求参数值或取值范围
【例4】【2020·浙江卷】若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最小值为：
且目标函数没有最大值.
故目标函数的取值范围是。
【方法技巧】 由目标函数的最值求参数的2种基本方法
一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
【变式探究】若且z＝2x＋4y取得最小值－12，则k等于(　　)
A．2 B．9
C．3 D．0
【答案】A
【解析】作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
当目标函数z＝2x＋4y过A点时取得最小值－12，
此时目标函数对应的方程为2x＋4y＋12＝0，
且点A为直线x＝2与x＋y＋k＝0的交点，
由解得∴A(2，－4)，k＝2.

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