资源简介

第34讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
【练基础】
1．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a α，a β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)
A．相交或平行　　　　　 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
4．给出下列命题，其中正确的两个命题是(　　)
①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；
②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；
③直线m⊥平面α，直线n⊥直线m，则n∥α；
④a，b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a，b都平行且与a，b的距离相等．
A．①与② B．②与③
C．③与④ D．②与④
5．下列命题中，错误命题的个数为(　　)
①直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行；
②直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直；
③异面直线a，b不垂直，则过直线a的任何平面与直线b都不垂直；
④若直线a和b共面，直线b和c共面，则直线a和c共面．
A．1 B．2
C．3 D．4
6．已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝4，则异面直线PA与MN所成角的大小是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
7．到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为(　　)
A．1 B．4
C．7 D．8
8．(多选)下列推断中，正确的是(　　)
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α l α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．l α，A∈l A α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线 α，β重合
9．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．
【练提升】
1．若平面α，β的公共点多于两个，则
①α，β平行；②α，β至少有三个公共点；③α，β至少有一条公共直线；④α，β至多有一条公共直线．
以上四个判断中不成立的个数为(　　)
A．0　　　 B．1
C．2　　　　 D．3
2．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线(　　)
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内
D．有无数条，不一定在平面α内
3．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
4.如图，在四面体A BCD中，AD＝BC＝2，AD⊥BC，截面四边形EFGH满足EF∥BC，FG∥AD，则下列结论正确的个数为(　　)
①四边形EFGH的周长为定值；
②四边形EFGH的面积为定值；
③四边形EFGH为矩形；
④四边形EFGH的面积有最大值1.
A．0 B．1
C．2 D．3
5．(多选)(2021·日照模拟)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则(　　)
A．A，M，N，B四点共面
B．平面ADM⊥平面CDD1C1
C．直线BN与B1M所成的角为60°
D．BN∥平面ADM
6.如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，ED∥PA，且PA＝ED＝AB，现将△CDE以直线DE为轴旋转一周后，求直线BP与动直线CE所成角的范围．
7．如图，在三棱锥A BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值是________．
8.如图，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
(1)求四棱锥O ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．
第34讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
【练基础】
1．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a α，a β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)
A．相交或平行　　　　　 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
【答案】D　【解析】依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.
2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A　【解析】若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，当直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．
3．正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
【答案】A　【解析】如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF 平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．
4．给出下列命题，其中正确的两个命题是(　　)
①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；
②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；
③直线m⊥平面α，直线n⊥直线m，则n∥α；
④a，b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a，b都平行且与a，b的距离相等．
A．①与② B．②与③
C．③与④ D．②与④
【答案】D　【解析】直线上有两点到平面的距离相等，则此直线可能与平面平行，也可能和平面相交；直线m⊥平面α，直线m⊥直线n，则直线n可能平行于平面α，也可能在平面α内，因此①③为假命题．
5．下列命题中，错误命题的个数为(　　)
①直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行；
②直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直；
③异面直线a，b不垂直，则过直线a的任何平面与直线b都不垂直；
④若直线a和b共面，直线b和c共面，则直线a和c共面．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C　【解析】对于①，若直线a在平面α内，这时直线a和平面α不平行，但是平面内存在直线和a是平行的，故①错误；对于②，若直线a在平面α内，这时直线a和平面α不垂直，但是平面内存在直线和直线a是垂直的，故②错误；对于③，根据线面垂直的定义可知，③是正确的；对于④，直线a，c有可能是异面直线，故④错误．综上所述，有3个命题是错误命题，故选C.
6．已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝4，则异面直线PA与MN所成角的大小是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】A　【解析】如图，取AC的中点D，连接DN，DM，由已知条件可得DN＝2，DM＝2.在△MND中，∠DNM为异面直线PA与MN所成的角，则cos∠DNM＝＝，∴∠DNM＝30°.
7．到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为(　　)
A．1 B．4
C．7 D．8
【答案】C　【解析】当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥．当平面一侧有一点，另一侧有三点时，如图①.令截面与三棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个；
当平面一侧有两点，另一侧有两点时，如图②，当平面过AB，BD，CD，AC的中点时，满足条件．因为三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面有3个．所以满足条件的平面共有7个，故选C.
8．(多选)下列推断中，正确的是(　　)
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α l α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．l α，A∈l A α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线 α，β重合
【答案】ABD　直线不在平面内时，直线上可能有一个点在平面内，即直线与平面相交，所以C错，根据点、线、面的关系可知其余都对，故选A、B、D.
9．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．
【解析】如果这四点在同一平面内，那么确定1个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定1个平面，所以可确定4个．
【答案】1或4
【练提升】
1．若平面α，β的公共点多于两个，则
①α，β平行；②α，β至少有三个公共点；③α，β至少有一条公共直线；④α，β至多有一条公共直线．
以上四个判断中不成立的个数为(　　)
A．0　　　 B．1
C．2　　　　 D．3
【答案】C　【解析】由条件知，当平面α，β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α，β相交；若公共点不共线，则α，β重合．故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立．
2．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线(　　)
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内
D．有无数条，不一定在平面α内
【答案】B　【解析】假设过点P且平行于l的直线有两条分别为m与n，则m∥l且n∥l.由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交于点P相矛盾，故过点P且平行于l的直线只有一条．又因为点P在平面α内，所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面α内．故选B.
3．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
【答案】C　【解析】CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A错误；由题意知，上底面是一个正三角形，故AC不可能垂直于平面ABB1A1，所以B错误；因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，且因为△ABC为正三角形，点E为BC中点，所以AE⊥BC，又因为BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1，所以C正确；因为A1C1所在的平面A1B1C1与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确，所以D错误．故选C.
4.如图，在四面体A BCD中，AD＝BC＝2，AD⊥BC，截面四边形EFGH满足EF∥BC，FG∥AD，则下列结论正确的个数为(　　)
①四边形EFGH的周长为定值；
②四边形EFGH的面积为定值；
③四边形EFGH为矩形；
④四边形EFGH的面积有最大值1.
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D　【解析】因为EF∥BC，EF 平面BCD，
所以EF∥平面BCD，
又平面EFGH∩平面BCD＝GH，
所以EF∥GH.同理FG∥EH，
所以四边形EFGH为平行四边形，
又AD⊥BC，所以四边形EFGH为矩形．
所以③是正确的；
由相似三角形的性质得＝，＝，
所以＋＝＋＝1，
因为BC＝AD＝2，所以EF＋FG＝2，
所以四边形EFGH的周长为定值4，所以①是正确的；
因为S四边形EFGH＝EF×FG≤2＝1，
所以四边形EFGH的面积有最大值1，所以④是正确的．故选D.
5．(多选)(2021·日照模拟)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则(　　)
A．A，M，N，B四点共面
B．平面ADM⊥平面CDD1C1
C．直线BN与B1M所成的角为60°
D．BN∥平面ADM
【答案】BC　【解析】如图所示，对于A，直线AM，BN是异面直线，故A，M，N，B四点不共面，故A错误；对于B，在长方体ABCD A1B1C1D1中，可得AD⊥平面CDD1C1，所以平面ADM⊥平面CDD1C1，故B正确；对于C，取CD的中点O，连接BO，ON，可知三角形BON为等边三角形，故C正确；对于D，因为BN∥平面AA1D1D，显然BN与平面ADM不平行，故D错误．故选B、C.
6.如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，ED∥PA，且PA＝ED＝AB，现将△CDE以直线DE为轴旋转一周后，求直线BP与动直线CE所成角的范围．
【解析】如图所示，将PB平移到EB1的位置，C1点在以D为圆心，半径为1的圆上运动．
则∠B1EC1就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，EB1，EC1为定值，故最值由B1C1来确定，故当C1在C处线线角最小，在C2处线线角最大．由于PA＝ED＝AB，故∠PBA＝∠EB1D＝.而DE＝DC＝1，故∠ECD＝，所以∠CEB1＝－＝.而∠EC2D＝∠ECD＝，故∠B1EC2＝π－－＝.所以所求线线角的取值范围是.
7．如图，在三棱锥A BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值是________．
【解析】如图所示，连接DN，
取线段DN的中点K，连接MK，CK.
∵M为AD的中点，∴MK∥AN，
∴∠KMC(或其补角)为异面直线AN，CM所成的角．
∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，
由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2，∴MK＝.
在Rt△CKN中，CK＝ ＝.
在△CKM中，由余弦定理，
得cos∠KMC＝＝，
∴异面直线AN，CM所成角的余弦值是.
【答案】
8.如图，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
(1)求四棱锥O ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．
【解析】(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，
∴四棱锥O ABCD的体积V＝×4×2＝.
(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA的中点，
∴ME∥OC，
则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝，EM＝，MD＝，
∵()2＋()2＝()2，即DE2＋EM2＝MD2，
∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，
∴tan∠EMD＝＝＝.
∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.第34讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算
【课标解读】
1.理解空间直线、平面位置关系的定义；
2.了解可以作为推理依据的公理和定理；
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
【备考策略】
从近三年卷情况来看，尽管空间点、线、面的位置关系是立体几何的理论基础，但却很少独立命题．预测2022年卷会有以下两种命题方式：①以命题形式考查空间点、线、面的位置关系；②以几何体为载体考查线、面的位置关系或求异面直线所成的角．题型为客观题，难度一般不大，属中档题型.
【核心知识】
知识点一 平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
知识点二 空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
　　　 　　　　　　　　　　　　
(1)两条异面直线不能确定一个平面．
(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补．
(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．
(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．　　　　　　　
知识点三 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
【知识必备】
1．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2．异面直线的两个结论
(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
【高频考点】
高频考点一 平面的基本性质及应用
【例1】(多选题)(2020·全国卷Ⅱ)下列选项正确的是(　　)
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B．过空间中任意三点有且仅有一个平面
C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D．若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l
【方法技巧】
1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.
2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.
3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
【变式探究】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点.
高频考点二 判断空间直线的位置关系
【例2】（2023·全国卷）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
【变式探究】(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
【举一反三】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是(　　)
A．相交但不垂直 B．相交且垂直 C．异面 D．平行
【方法技巧】
1.异面直线的判定方法：
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.
(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系。
【变式探究】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
高频考点三 异面直线所成的角
【例3】（2023·浙江卷）如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．
（I）证明：EF⊥DB；
（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．
【变式探究】已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
【举一反三】在正四面体A BCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
第34讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算
【课标解读】
1.理解空间直线、平面位置关系的定义；
2.了解可以作为推理依据的公理和定理；
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
【备考策略】
从近三年卷情况来看，尽管空间点、线、面的位置关系是立体几何的理论基础，但却很少独立命题．预测2022年卷会有以下两种命题方式：①以命题形式考查空间点、线、面的位置关系；②以几何体为载体考查线、面的位置关系或求异面直线所成的角．题型为客观题，难度一般不大，属中档题型.
【核心知识】
知识点一 平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
知识点二 空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
　　　 　　　　　　　　　　　　
(1)两条异面直线不能确定一个平面．
(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补．
(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．
(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．　　　　　　　
知识点三 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
【知识必备】
1．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2．异面直线的两个结论
(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
【高频考点】
高频考点一 平面的基本性质及应用
【例1】(多选题)(2020·全国卷Ⅱ)下列选项正确的是(　　)
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B．过空间中任意三点有且仅有一个平面
C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D．若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l
【答案】AD　
【解析】对于选项A，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3与l1相交，则交点B在平面α内，同理，l3与l2的交点A也在平面α内，所以，AB α，即l3 α，选项A正确．对于选项B，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，选项B错误．对于选项C，空间中两条直线可能相交、平行或异面，选项C错误．对于选项D，若直线m⊥平面α，则m垂直于平面α内所有直线．因为直线l 平面α，所以直线m⊥直线l，选项D正确．
【方法技巧】
1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.
2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.
3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
【变式探究】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点.
【证明】(1)如图，连接CD1，EF，A1B，
因为E，F分别是AB和AA1的中点，
所以EF∥A1B且EF＝A1B.
又因为A1D1綉BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形.
所以A1B∥CD1，
所以EF∥CD1，
所以EF与CD1确定一个平面α.
所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面.
(2)由(1)知，EF∥CD1，且EF＝CD1，
所以四边形CD1FE是梯形，
所以CE与D1F必相交.设交点为P，
则P∈CE 平面ABCD，
且P∈D1F 平面A1ADD1，
所以P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.
又因为平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，
所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三线共点.
高频考点二 判断空间直线的位置关系
【例2】（2023·全国卷）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD
因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，
因为平面BCD，所以AO⊥CD
(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,连FM
因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD
所以EF⊥BD,EF⊥CD,,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因为FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME
则为二面角E-BC-D的平面角,
因为,为正三角形,所以为直角三角形
因为,
从而EF=FM=
平面BCD,
所以
【变式探究】(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
【答案】B
【解析】取CD的中点O，连接EO，ON.由△ECD是正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，知EO⊥平面ABCD.
∴EO⊥CD，EO⊥ON.
又N为正方形ABCD的中心，
∴ON⊥CD.
以O为坐标原点，方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设AD＝2，
则E(0,0，)，N(0,1,0)，M，B(－1,2,0)，
∴EN＝＝2，BM＝ ＝，
∴EN≠BM.
连接BD，BE，
∵点N是正方形ABCD的中心，
∴点N在BD上，且BN＝DN，
∴BM，EN是△DBE的中线，
∴BM，EN必相交．
【举一反三】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是(　　)
A．相交但不垂直 B．相交且垂直 C．异面 D．平行
【答案】D　
【解析】如图，连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点．
连接BF并延长，交AD于点N.因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且＝，＝，所以＝，所以EF∥BD1.
【方法技巧】
1.异面直线的判定方法：
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.
(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系。
【变式探究】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
【答案】B　
【解析】过点E作EQ⊥CD于点Q，连接BD，QN，BE，易知点N在BD上．
因为平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EQ⊥平面ABCD，所以EQ⊥QN.同理，BC⊥CE.
设CD＝2，则EN＝＝＝2，
BE＝＝＝2.
又在正方形ABCD中，BD＝＝2＝BE，所以△EBD是等腰三角形．又M为DE的中点，所以EM＝1，所以BM＝＝＝，所以BM＝>2＝EN，即BM≠EN.
又因为点M、N、B、E均在平面BED内，所以BM，EN在平面BED内．又BM与EN不平行，所以BM，EN是相交直线．故选B.
高频考点三 异面直线所成的角
【例3】（2023·浙江卷）如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．
（I）证明：EF⊥DB；
（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．
【答案】（I）证明见解析；（II）
【解析】
（Ⅰ）作交于，连接．
∵平面平面，而平面平面，平面，
∴平面，而平面，即有．
∵，
∴．
在中，，即有，∴．
由棱台的定义可知，，所以，，而，
∴平面，而平面，∴．
（Ⅱ）因为，所以与平面所成角即为与平面所成角．
作于，连接，由（1）可知，平面，
因为所以平面平面，而平面平面，
平面，∴平面．
即在平面内的射影为，即为所求角．
在中，设，则，，
∴．
故与平面所成角的正弦值为．
【变式探究】已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
【答案】B　
【解析】如图，设BC的中点为D，连接A1D，AD，A1B，易知∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角(或其补角)．
设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长均为1，
则AD＝，A1D＝，A1B＝.
由余弦定理，得cos∠A1AB＝＝＝.
【举一反三】在正四面体A BCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
【答案】B　
【解析】画出正四面体A BCD的直观图，如图所示．
设其棱长为2，取AD的中点F，连接EF，设EF的中点为O，连接CO，则EF∥BD，则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角．因为△ABC为等边三角形，所以CE⊥AB，易得CE＝，同理可得CF＝，故CE＝CF.因为OE＝OF，所以CO⊥EF.又EO＝EF＝BD＝，所以cos∠FEC＝＝＝.

展开更多......

收起↑