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第35讲 直线、平面平行的判定及性质
【练基础】
1．(多选)已知直线a，b，l，平面α，β，则下列命题中错误的选项为(　　)
A．若α⊥β，l⊥α，则l∥β　　 B．若a⊥l，b⊥l，则a∥b
C．若α⊥β，l α，则l⊥β D．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
2．若直线l不平行于平面α，且l α，则(　　)
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α与直线l至少有两个公共点
D．α内的直线与l都相交
3．(多选)已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线．给出下列命题，其中正确的命题是(　　)
A．若l上两点到α的距离相等，则l∥α
B．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
C．若α∥β，l β，且l∥α，则l∥β
D．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n
4．已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是(　　)
A．l α，m β，α∥β　　 B．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m
C．l∥α，m α D．l α，α∩β＝m
5．m，n是平面α外的两条直线，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A．若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线
B．若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线
C．已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥β
D．若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行
7．若平面β截三棱锥所得的截面为平行四边形，则该三棱锥的所有棱中与平面β平行的棱有(　　)
A．0条 B．1条
C．2条 D．1条或2条
8.如图，已知四棱锥P ABCD的底面是平行四边形，点F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，则λ的值为(　　)
A．1 B.
C．3 D．2
9．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.
其中真命题的序号是(　　)
A．②③ B．③④
C．①④ D．①②
5.如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点．则下列叙述中正确的是(　　)
A．直线BQ∥平面EFG
B．直线A1B∥平面EFG
C．平面APC∥平面EFG
D．平面A1BQ∥平面EFG
【练提升】
1.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：
①没有水的部分始终呈棱柱形；
②水面EFGH所在四边形的面积为定值；
③棱A1D1始终与水面所在平面平行；
④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　)
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
3.如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　　)
A. B.
C. D.
4．如图所示，三棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．
5.如图所示，三棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．
6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；
④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中是真命题的是________(填序号)．
7．如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________.
8．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________．
9.如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
求证：(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
10.如图，已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中点．
(1)求证：PC∥平面BDE；
(2)平面BDE分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比．
第35讲 直线、平面平行的判定及性质
【练基础】
1．(多选)已知直线a，b，l，平面α，β，则下列命题中错误的选项为(　　)
A．若α⊥β，l⊥α，则l∥β　　 B．若a⊥l，b⊥l，则a∥b
C．若α⊥β，l α，则l⊥β D．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
【答案】ABC　【解析】对于A，由α⊥β，l⊥α，可知l β或l∥β，故A错误；对于B，当a⊥l，b⊥l时，直线a与b可能平行，也可能相交，还可能异面，故B错误；对于C，当α⊥β，l α时，l可能与平面β平行，也可能斜交，故C错误；对于D，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故D正确．
2．若直线l不平行于平面α，且l α，则(　　)
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α与直线l至少有两个公共点
D．α内的直线与l都相交
【答案】B　【解析】因为l α，直线l不平行于平面α，所以直线l只能与平面α相交，于是直线l与平面α只有一个公共点，所以平面α内不存在与l平行的直线．
3．(多选)已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线．给出下列命题，其中正确的命题是(　　)
A．若l上两点到α的距离相等，则l∥α
B．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
C．若α∥β，l β，且l∥α，则l∥β
D．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n
【答案】BC　【解析】对于A，若直线l在平面α内，l上有两点到α的距离为0，相等，此时l不与α平行，所以A错误；对于B，因为l∥β，所以存在直线m β使得l∥m，因为l⊥α，所以m⊥α，又m β，所以β⊥α，所以B正确；对于C，l∥α，故存在m α使得l∥m，因为α∥β，所以m∥β，因为l∥m，l β，所以l∥β，C正确；对于D，因为m⊥α，n⊥β，α⊥β，所以m⊥n，所以D错误，故选B、C.
4．已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是(　　)
A．l α，m β，α∥β　　 B．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m
C．l∥α，m α D．l α，α∩β＝m
【答案】B　【解析】选项A中，直线l，m也可能异面；选项B中，根据面面平行的性质定理，可推出l∥m，B正确；选项C中，直线l，m也可能异面；选项D中，直线l，m也可能相交．故选B.
5．m，n是平面α外的两条直线，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A　【解析】由已知条件m∥α，结合线面平行的性质定理可得，过直线m作一平面β交α于直线l，则m∥l，从而存在l α有m∥l，再由m∥n可得n∥l，从而有n∥α.反之，不一定成立，m，n可能相交、平行或异面．所以m∥n是n∥α的充分不必要条件，故选A.
6．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A．若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线
B．若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线
C．已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥β
D．若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行
【答案】B　【解析】A中，m，n可为相交直线；B正确；C中，n可以平行β，也可以在β内；D中，m，n也可能异面．
7．若平面β截三棱锥所得的截面为平行四边形，则该三棱锥的所有棱中与平面β平行的棱有(　　)
A．0条 B．1条
C．2条 D．1条或2条
【答案】C　【解析】如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.
∵EF 平面BCD，GH 平面BCD，
∴EF∥平面BCD，又∵EF 平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.
又EF 平面EFGH，CD 平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.同理，AB∥平面EFGH.故有2条棱与平面EFGH平行．因此选C.
8.如图，已知四棱锥P ABCD的底面是平行四边形，点F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，则λ的值为(　　)
A．1 B.
C．3 D．2
【答案】A　【解析】连接AC交BD于点O，连接OF，
∵四棱锥P ABCD的底面是平行四边形，
∴AO＝OC，
∵点F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，
∴OF∥PC，∴λ＝1.故选A.
9．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.
其中真命题的序号是(　　)
A．②③ B．③④
C．①④ D．①②
【答案】A　【解析】对于命题①，直线m，n可以相交、平行或异面，故是错误的；易知②③正确；对于命题④，直线m，n可以相交、平行或异面，故是错误的．故选A.
5.如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点．则下列叙述中正确的是(　　)
A．直线BQ∥平面EFG
B．直线A1B∥平面EFG
C．平面APC∥平面EFG
D．平面A1BQ∥平面EFG
【答案】B　【解析】过点E，F，G的截面如图所示(H，I分别为AA1，BC的中点)，
∵A1B∥HE，A1B 平面EFG，HE 平面EFG，∴A1B∥平面EFG.故选B.
【练提升】
1.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：
①没有水的部分始终呈棱柱形；
②水面EFGH所在四边形的面积为定值；
③棱A1D1始终与水面所在平面平行；
④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C　【解析】由题图，显然①是正确的，②是错误的；
对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，
∴A1D1∥FG且A1D1 平面EFGH，FG 平面EFGH，
∴A1D1∥平面EFGH(水面)．
∴③是正确的；
对于④，∵水是定量的(定体积V)，∴S△BEF·BC＝V，
即BE·BF·BC＝V.
∴BE·BF＝(定值)，即④是正确的，故选C.
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　)
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
【答案】D　【解析】m∥α，m∥β，则有m∥l，又AB∥l，所以AB∥m，所以A成立；由于m∥l，l⊥AC，所以m⊥AC，所以B成立；AB∥l，且A∈α，A l，α∩β＝l，所以AB∥β，所以C成立；C点可以在平面β内，AC与直线l异面垂直，如图所示，此时AC⊥β不成立，所以D不一定成立．
3.如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B　【解析】如图，分别取C1D1，
B1C1的中点P，Q，
连接PQ，B1D1，DP，BQ，NP，
易知MN∥B1D1∥BD，AD∥NP，AD＝NP，
所以四边形ANPD为平行四边形，所以AN∥DP.
又BD和DP为平面DBQP内的两条相交直线，MN和AN是平面AMN内的两条相交直线，
所以平面DBQP∥平面AMN，四边形DBQP的面积即为所求．
因为PQ∥DB，所以四边形DBQP为梯形，
PQ＝BD＝，
梯形的高h＝ ＝，
所以四边形DBQP的面积为(PQ＋BD)h＝.故选B.
4．如图所示，三棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．
【解析】设BC1∩B1C＝O，连接OD.
∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，
∴A1B∥OD，
∵四边形BCC1B1是菱形，
∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1.
【答案】1
5.如图所示，三棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．
【解析】如图，设BC1∩B1C＝O，连接OD.
∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，
∵四边形BCC1B1是菱形，
∴O为BC1的中点，
∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.
【答案】1
6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；
④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中是真命题的是________(填序号)．
【解析】①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误．
【答案】②
7．如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________.
【解析】因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
所以B1D1∥PQ.
又因为B1D1∥BD，所以BD∥PQ，设PQ∩AB＝M，因为AB∥CD，所以△APM∽△DPQ.
所以＝＝2，即PQ＝2PM.
又知△APM∽△ADB，
所以＝＝，
所以PM＝BD，又BD＝a，所以PQ＝a.
【答案】a
8．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________．
【解析】①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，
∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图)．
④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.
在②③中不能判定AB∥平面MNP.
【答案】①④
9.如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
求证：(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，
则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO，
又BE 平面DMF，MO 平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE 平面MNG，GN 平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，
又BD 平面MNG，MN 平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG.
10.如图，已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中点．
(1)求证：PC∥平面BDE；
(2)平面BDE分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比．
【解析】(1)证明：在平行四边形ABCD中，连接AC，设AC，BD的交点为O(图略)，则O是AC的中点．
又E是PA的中点，连接EO，
则EO是△PAC的中位线，所以PC∥EO，
又EO 平面EBD，PC 平面EBD，所以PC∥平面EBD.
(2)设三棱锥E ABD的体积为V1，高为h，四棱锥P ABCD的体积为V，
则三棱锥E ABD的体积V1＝×S△ABD×h，
因为E是PA的中点，所以四棱锥P ABCD的高为2h，所以四棱锥P ABCD的体积V＝×S四边形ABCD×2h＝4×S△ABD×h＝4V1，所以(V－V1)∶V1＝3∶1，
所以平面BDE分此棱锥得到的两部分的体积比为3∶1或1∶3.第35讲 直线、平面平行的判定及性质
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算
【课标解读】
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
【备考策略】
从近三年卷情况来看，本讲是卷的重点考查内容．预测2022年将会以以下两种方式进行考查：①以几何体为载体，考查线面平行的判定；②根据平行关系的性质进行转化．试题常以解答题的第一问直接考查，难度不大，属中档题型.
【核心知识】
知识点一 直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行 线面平行) ∵l∥a，a α，l α，∴l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行 线线平行) ∵l∥α，l β，α∩β＝b，∴l∥b
知识点二 平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行 面面平行) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α，∴α∥β
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
(1)应用线面平行判定定理的注意点：在推证线面平行时，一定要强调直线a不在平面内，直线b在平面内，且a∥b，否则会出现错误．
(2)应用线面平行性质定理的注意点：一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．
(3)线面平行的判定定理和性质定理使用的区别：如果结论中有a∥α，则要用判定定理，在α内找与a平行的直线；如果条件中有a∥α，则要用性质定理，找(或作)过a且与α相交的平面．
应用定理证明有关平行问题时，一定要满足定理的前提条件．
(4)面面平行判定定理的一个推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．符号表示：a α，b α，a∩b＝O，a′ β，b′ β，a′∩b′＝O′，a∥a′，b∥b′ α∥β.
【知识必备】
1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
5．同一条直线与两个平行平面所成角相等．
6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
【高频考点】
高频考点一　与线、面平行相关命题的判定
【例1】（2023·浙江卷）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【变式探究】【2019·全国Ⅱ卷】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
【变式探究】(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1，则下列说法正确的是(　　)
A．MN∥平面APC
B．C1Q∥平面APC
C．A，P，M三点共线
D．平面MNQ∥平面APC
【变式探究】【2019·北京卷】已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m； ②m∥； ③l⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
高频考点二 直线与平面平行的判定与性质
【例2】（2023·北京卷）如图，在正方体中，E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【方法技巧】线面平行问题的解题关键
(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行，从而证明直线与平面平行．
(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．
【变式探究】如图，在几何体E ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
求证：GF∥平面ADE.
高频考点三 面面平行的判定与性质
【例3】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝4，M是棱CC1上的一点．若N是AB的中点，且CN∥平面AB1M，求CM的长．
【方法技巧】证明面面平行的常用方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主要方法)；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)；
(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)；
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明．
【变式探究】（2023·天津卷）如图，平面，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若二面角的余弦值为，求线段的长．
【变式探究】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，CD，SC的中点，求证：
(1)EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
高频考点四 平行关系的综合应用
【例4】如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.
(1)求证：EF∥平面β；
(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．
【方法技巧】利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．　　
【变式探究】已知正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为a，点P是平面AA′D′D的中心，Q为B′D′上一点，且PQ∥平面AA′B′B，求线段PQ的长．
第35讲 直线、平面平行的判定及性质
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算
【课标解读】
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
【备考策略】
从近三年卷情况来看，本讲是卷的重点考查内容．预测2022年将会以以下两种方式进行考查：①以几何体为载体，考查线面平行的判定；②根据平行关系的性质进行转化．试题常以解答题的第一问直接考查，难度不大，属中档题型.
【核心知识】
知识点一 直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行 线面平行) ∵l∥a，a α，l α，∴l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行 线线平行) ∵l∥α，l β，α∩β＝b，∴l∥b
知识点二 平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行 面面平行) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α，∴α∥β
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
(1)应用线面平行判定定理的注意点：在推证线面平行时，一定要强调直线a不在平面内，直线b在平面内，且a∥b，否则会出现错误．
(2)应用线面平行性质定理的注意点：一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．
(3)线面平行的判定定理和性质定理使用的区别：如果结论中有a∥α，则要用判定定理，在α内找与a平行的直线；如果条件中有a∥α，则要用性质定理，找(或作)过a且与α相交的平面．
应用定理证明有关平行问题时，一定要满足定理的前提条件．
(4)面面平行判定定理的一个推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．符号表示：a α，b α，a∩b＝O，a′ β，b′ β，a′∩b′＝O′，a∥a′，b∥b′ α∥β.
【知识必备】
1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
5．同一条直线与两个平行平面所成角相等．
6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
【高频考点】
高频考点一　与线、面平行相关命题的判定
【例1】（2023·浙江卷）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【答案】A
【解析】
连，在正方体中，
M是的中点，所以为中点，
又N是的中点，所以，
平面平面，
所以平面.
因为不垂直，所以不垂直
则不垂直平面，所以选项B,D不正确；
在正方体中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直线是异面直线，
所以选项B错误，选项A正确，故选A。
【变式探究】【2019·全国Ⅱ卷】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．
【变式探究】(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1，则下列说法正确的是(　　)
A．MN∥平面APC
B．C1Q∥平面APC
C．A，P，M三点共线
D．平面MNQ∥平面APC
【答案】BC　
【解析】如图，对于A，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN.
易得AM，CN交于点P，即MN 平面APC，
所以A选项错误．
对于B，由A知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，且AN 平面APC，C1Q平面APC.所以B选项正确．
对于C，由A知，A，P，M三点共线，所以C选项正确．
对于D，由A知MN 平面APC，又MN 平面MNQ，所以D选项错误．
【变式探究】【2019·北京卷】已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m； ②m∥； ③l⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.
【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m，正确；
（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α，不正确，有可能m在平面α内；
（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α，不正确，有可能l与α斜交、l∥α.
故答案为：如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.
高频考点二 直线与平面平行的判定与性质
【例2】（2023·北京卷）如图，在正方体中，E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）如下图所示：
在正方体中，且，且，
且，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面；
（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则.
.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
【方法技巧】线面平行问题的解题关键
(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行，从而证明直线与平面平行．
(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．
【变式探究】如图，在几何体E ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
求证：GF∥平面ADE.
证明：(方法一：线线平行，则线面平行)如图，取AE的中点H，连接HG，HD.
因为G是BE的中点，
所以GH∥AB，且GH＝AB.
又F是CD的中点，
所以DF＝CD.
由四边形ABCD是矩形得
AB∥CD，AB＝CD，
所以GH∥DF，且GH＝DF，
从而四边形HGFD是平行四边形，
所以GF∥DH.
又DH 平面ADE，GF 平面ADE，
所以GF∥平面ADE.
(方法二：面面平行，则线面平行)如图，取AB的中点M，连接MG，MF.
因为G是BE的中点，所以GM∥AE.
又AE 平面ADE，GM 平面ADE，
所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中，
由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD.
又AD 平面ADE，MF 平面ADE.
所以MF∥平面ADE.
又因为GM∩MF＝M，GM 平面GMF，MF 平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE.
因为GF 平面GMF，所以GF∥平面ADE.
高频考点三 面面平行的判定与性质
【例3】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝4，M是棱CC1上的一点．若N是AB的中点，且CN∥平面AB1M，求CM的长．
【解析】(方法一)如图①，取AB1的中点P，连接NP，PM.因为N是AB的中点，所以NP∥BB1.
因为CM∥BB1，所以NP∥CM，所以NP与CM共面．
因为CN∥平面AB1M，平面CNPM∩平面AB1M＝MP，所以CN∥MP.
所以四边形CNPM为平行四边形，所以CM＝NP＝CC1＝2.
图①
(方法二)如图②，取BB1的中点Q，连接NQ，CQ.因为N是AB的中点，所以NQ∥AB1.
图②
因为NQ平面AB1M，AB1 平面AB1M，
所以NQ∥平面AB1M.
因为CN∥平面AB1M，NQ∩NC＝N，NQ，NC 平面NQC，
所以平面NQC∥平面AB1M.
因为平面BCC1B1∩平面NQC＝QC，
平面BCC1B1∩平面AB1M＝MB1，
所以CQ∥MB1.
因为BB1∥CC1，所以四边形CQB1M是平行四边形，所以CM＝B1Q＝CC1＝2.
(方法三)如图③，分别延长BC，B1M并交于一点S，连接AS.
图③
因为CN∥平面AB1M，CN 平面ABS，平面ABS∩平面AB1M＝AS，所以CN∥AS.
由于AN＝NB，所以BC＝CS.
又CM∥BB1，同理可得SM＝MB1，
所以CM＝BB1＝CC1＝2.
【方法技巧】证明面面平行的常用方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主要方法)；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)；
(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)；
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明．
【变式探究】（2023·天津卷）如图，平面，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若二面角的余弦值为，求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，．设，则．
（1）依题意，是平面的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面．
（2）依题意，．
设为平面的法向量，则即不妨令，
可得．因此有．
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
（3）设为平面的法向量，则即
不妨令，可得．
由题意，有，解得．经检验，符合题意．
所以，线段的长为．
【变式探究】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，CD，SC的中点，求证：
(1)EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：(1)如图，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB.
又因为SB 平面BDD1B1，
EG平面BDD1B1，
所以直线EG∥平面BDD1B1.
(2)如图，连接SD，因为F，G分别是CD，SC的中点，所以FG∥SD.
又因为SD 平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，
所以FG∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1，EG 平面EFG，FG 平面EFG，EG∩FG＝G，
所以平面EFG∥平面BDD1B1.
高频考点四 平行关系的综合应用
【例4】如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.
(1)求证：EF∥平面β；
(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．
【解析】(1)证明：①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD.
∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.
又EF β，BD β，∴EF∥平面β.
②当AB与CD异面时，如图所示，
设平面ACD∩平面β＝HD，
且HD＝AC，
∵平面α∥平面β，
平面α∩平面ACDH＝AC，
∴AC∥HD，
∴四边形ACDH是平行四边形．
在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，
连接EG，FG，BH.
∵AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH，
∴GF∥HD，EG∥BH.
又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，
∴平面EFG∥平面β.
又EF 平面EFG，∴EF∥平面β.
综合①②可知，EF∥平面β.
(2)如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴ME∥BD，MF∥AC，
且ME＝BD＝3，MF＝AC＝2.
∴∠EMF为AC与BD所成的角或其补角，
∴∠EMF＝60°或120°.
∴在△EFM中，由余弦定理得
EF＝
＝ ＝，
即EF＝或EF＝.
【方法技巧】利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．　　
【变式探究】已知正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为a，点P是平面AA′D′D的中心，Q为B′D′上一点，且PQ∥平面AA′B′B，求线段PQ的长．
【解析】如图，过点Q作QE∥A′D′，交A′B′于点E，取AA′的中点F，连接EF，PF.
由题可得PF∥AD，AD∥A′D′，
所以QE∥PF.
所以Q，E，F，P四点共面．
又PQ∥平面AA′B′B，平面PQEF∩平面AA′B′B＝EF，
所以PQ∥EF，
所以四边形PQEF为平行四边形，
所以QE＝PF＝A′D′，即E是A′B′的中点．
连接AB′，则EF＝AB′＝a，即PQ＝EF＝a.

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