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第41讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
【练基础】
1．圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的切线方程中有一个是(　　)
A．x－y＝0　　　　　 B．x＋y＝0
C．x＝0 D．y＝0
2．已知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝(　　)
A．－3 B．1
C．－3或1 D．
3．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)
A．相交 B．外切
C．相离 D．内切
4．若直线：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则k＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
5．在圆x2＋y2＋2x－4y＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是(　　)
A. B.
C. D.
6．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是(　　)
A．相切　　　　　　　　 B．相交
C．相离 D．不能确定
7．已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：ax－y＋4＝0.若直线l上存在点M，以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3]∪[3，＋∞)　　　 B．[－3,3]
C．(－∞，－ ]∪[，＋∞) D．[－， ]
8．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2,1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝6
B．(x－2)2＋(y－1)2＝22
C．(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22
D．(x－2)2＋(y－1)2＝36或(x－2)2＋(y－1)2＝32
9．已知圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M被x轴所截得的弦长为2，则下列结论错误的是(　　)
A．圆M的圆心在定直线x－y－2＝0上
B．圆M的面积的最大值为50π
C．圆M的半径的最小值为1
D．满足条件的所有圆M的半径之积为10
10．(多选)已知圆M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1, 直线l：y＝kx. 则下列选项中正确的是(　　)
A．对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点
B．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切
C．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切
D．存在实数k与θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3
【练提升】
1．已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，)，则弦长为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
2．在平面直角坐标系内，过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，则△ABC面积的最大值是(　　)
A．2　　　　　　　　 B．4
C. D．2
3．设过点P(－2,0)的直线l与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的两个交点为A，B，若8＝5，则|AB|＝(　　)
A. B.
C. D.
4．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　　)
A．3 B．4
C．2 D．8
5．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　)
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
6．已知圆E：x2＋y2－2x＝0，若A为直线l：x＋y＋m＝0上的点，过点A可作两条直线与圆E分别切于点B，C，且△ABC为等边三角形，则实数m的取值范围是________．
7．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
8．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
9．已知圆C：x2＋y2－8x－6y＋F＝0与圆O：x2＋y2＝4相外切，切点为A，过点P(4,1)的直线与圆C交于点M，N，线段MN的中点为Q.
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)若|AQ|＝|AP|，点P与点Q不重合，求直线MN的方程及△AMN的面积．
10．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
第41讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
【练基础】
1．圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的切线方程中有一个是(　　)
A．x－y＝0　　　　　 B．x＋y＝0
C．x＝0 D．y＝0
【答案】C　【解析】结合图形易知y轴为圆的一条切线，故选C.
2．已知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝(　　)
A．－3 B．1
C．－3或1 D．
【答案】C　【解析】由圆的方程知，圆的圆心为(1，b)，半径为.由直线与圆相切，得＝，解得b＝－3或b＝1，故选C．
3．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)
A．相交 B．外切
C．相离 D．内切
【答案】A　【解析】圆O1圆心坐标为O1(1,0)，半径r1＝1，圆O2圆心坐标为O2(0,2)，半径r2＝2，圆心距|O1O2|＝＝，因为2－1<<2＋1，即r2－r1<|O1O2|4．若直线：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则k＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【答案】A　【解析】由x2＋y2－2x－3＝0，得(x－1)2＋y2＝4.易知直线y＝kx＋1恒过定点A(0,1)，要使截得的弦最短，需圆心(1,0)和A点的连线与直线y＝kx＋1垂直，所以k·＝－1，即k＝1.故选A．
5．在圆x2＋y2＋2x－4y＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B　【解析】易知圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，即倾斜角是，故选B.
6．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是(　　)
A．相切　　　　　　　　 B．相交
C．相离 D．不能确定
【答案】A　【解析】由已知得C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，即圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圆心C(1,2)到直线x＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．故选A．
7．已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：ax－y＋4＝0.若直线l上存在点M，以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3]∪[3，＋∞)　　　 B．[－3,3]
C．(－∞，－ ]∪[，＋∞) D．[－， ]
【答案】C　【解析】由题意知，圆C：x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线l：ax－y＋4＝0的距离d≤2，即≤2，解得a≤－或a≥ ，故选C.
8．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2,1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝6
B．(x－2)2＋(y－1)2＝22
C．(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22
D．(x－2)2＋(y－1)2＝36或(x－2)2＋(y－1)2＝32
【答案】C　【解析】设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)．因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，所以直线AB的方程为4x＋4y＋r2－10＝0.圆心O1到直线AB的距离d＝，由d2＋22＝6，得＝2，所以r2－14＝±8，r2＝6或22.故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22.
9．已知圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M被x轴所截得的弦长为2，则下列结论错误的是(　　)
A．圆M的圆心在定直线x－y－2＝0上
B．圆M的面积的最大值为50π
C．圆M的半径的最小值为1
D．满足条件的所有圆M的半径之积为10
【答案】C　【解析】因为圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，所以直线AM与直线x＋y＋2＝0垂直，即点M落在直线x－y－2＝0上，所以选项A正确；设点M的坐标为(a，a－2)，则圆M的半径r＝|a|，圆M的方程为(x－a)2＋(y－a＋2)2＝2a2.令y＝0，则(x－a)2＋(－a＋2)2＝2a2，即x2－2ax－4a＋4＝0.因为圆M被x轴所截得的弦长为2，所以＝2，解得a＝－5或a＝1，故圆M的面积的最大值为50π，圆M半径的最小值为，满足条件的所有圆M的半径之积为5×＝10，所以选项B、D正确，选项C错误．
10．(多选)已知圆M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1, 直线l：y＝kx. 则下列选项中正确的是(　　)
A．对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点
B．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切
C．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切
D．存在实数k与θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3
【答案】AC　【解析】圆M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1恒过原点O(0,0)，所以A正确；圆心M(－cos θ，sin θ)到直线l的距离为d，d＝＝|sin(θ＋φ)|≤1，∴对于任意实数k，直线l与圆相交或相切，所以选项C正确，选项B不正确；圆上的点到直线l距离最大值为d＋1≤2，所以选项D不正确．故选A、C．
【练提升】
1．已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，)，则弦长为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】A　【解析】将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，整理，得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C的圆心坐标为(3,0)，半径为2.∵线段AB的中点坐标为D(2，)，∴|CD|＝＝，∴|AB|＝2＝2.故选A.
2．在平面直角坐标系内，过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，则△ABC面积的最大值是(　　)
A．2　　　　　　　　 B．4
C. D．2
【答案】A　【解析】过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，在y轴上所截得的线段长为d＝2×＝2，所以S△ABC＝×2×1＝.
②当直线的斜率存在时，设圆心到直线的距离为d，则所截得的弦长l＝2，所以S△ABC＝×2×d＝×≤＝2，当且仅当d＝时等号成立．又2>，所以△ABC面积的最大值为2.
3．设过点P(－2,0)的直线l与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的两个交点为A，B，若8＝5，则|AB|＝(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my－2，由
得(m2＋1)y2－(8m＋2)y＋13＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，又8＝5，
所以8(x1＋2，y1)＝5(x2－x1，y2－y1)，
故8y1＝5(y2－y1)，即y2＝y1，代入y1y2＝得：
y＝，故y＝×，
又(y1＋y2)2＝2，
即y＋y＋2y1y2＝×＋＝2，
整理得：m2－40m＋76＝0，解得m＝2或m＝38.
又|AB|＝
＝2，
当m＝2时，|AB|＝；
当m＝38时，|AB|＝.
综上，|AB|＝.故选A.
4．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　　)
A．3 B．4
C．2 D．8
【答案】B　【解析】如图，连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C．在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝，∴在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2O1＝2×＝2，∴|AB|＝2|AC|＝4.故选B.
5．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　)
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
【答案】A　【解析】计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1.
6．已知圆E：x2＋y2－2x＝0，若A为直线l：x＋y＋m＝0上的点，过点A可作两条直线与圆E分别切于点B，C，且△ABC为等边三角形，则实数m的取值范围是________．
【解析】设圆E的圆心为E，半径为r，圆E：x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，则圆心E(1,0)，半径r为1，由题意知直线l上存在点A，使得＝sin 30°＝，即|AE|＝2r.又因为|AE|≥d(d为圆心到直线l的距离)，故要使点A存在，只需d≤2r＝2，可得≤2，解得m∈[－2－1，2－1]．
【答案】[－2－1,2－1]
7．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
【解析】(1)根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，则圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，其圆心为(0,4)，半径r＝2，若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－.
(2)设圆心C到直线l的距离为d，则2＋d2＝r2，即2＋d2＝4，解得d＝，
则有d＝＝，解得a＝－1或－7，则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.
8．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
【解析】(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．
由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，
所以|PM|＝，S△POM＝××＝，
故△POM的面积为.
9．已知圆C：x2＋y2－8x－6y＋F＝0与圆O：x2＋y2＝4相外切，切点为A，过点P(4,1)的直线与圆C交于点M，N，线段MN的中点为Q.
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)若|AQ|＝|AP|，点P与点Q不重合，求直线MN的方程及△AMN的面积．
【解析】(1)圆C的标准方程为(x－4)2＋(y－3)2＝25－F，圆心C(4,3)，半径为，
由圆C与圆O相外切知＋2＝，所以F＝16，圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝9.
又点P(4,1)在圆C内，弦MN过点P，且Q是MN的中点，则CQ⊥MN，所以点Q的轨迹就是以CP为直径的圆，方程为(x－4)2＋(y－2)2＝1.
(2)线段OC与圆O的交点为A，联立y＝x与x2＋y2＝4，解得点A.
若|AQ|＝|AP|，则P，Q是以点A为圆心，AP为半径的圆与点Q的轨迹的交点，由2＋2＝2＋2与(x－4)2＋(y－2)2＝1得3x＋y－13＝0，所以直线MN的方程为3x＋y－13＝0.
因为C(4,3)到直线MN的距离d＝＝，
所以|MN|＝2，
又点A到直线MN的距离h＝＝，
所以△AMN的面积S＝|MN|·h＝.
10．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)设圆心C(a,0).
则＝2，解得a＝0或a＝－5(舍去)．
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，
则kAN＝－kBN，即＋＝0，
则＋＝0，
即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，
亦即－＋2t＝0，解得t＝4，
所以当点N坐标为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立，即x轴平分∠ANB.第41讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算
【课标解读】
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系。
2.能够求出圆的切线、弦长、能利用圆系解决相关问题，同时在解题时注意基本运算、等价转化及数形结合思想的运用。
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲为高考必考内容。预测2022年高考将会考查：①直线与圆位置关系的判断及应用；②直线与圆相交的弦长问题；③利用直线与圆位置关系求参数的取值范围问题．试题以客观题形式呈现，难度一般不大，属中档题型．此外也不要忽略在解答题中出现的可能性。
【核心知识】
知识点一 直线与圆的位置关系
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
知识点二 圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
　方法位置关系　　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离 d>r1＋r2 无解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解
【知识必备】
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆系方程
(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)。
【高频考点】
高频考点一 直线与圆的位置关系
【例1】(2020·全国卷Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
【变式探究】（2023·新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【变式探究】（2023·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[ ,3] D．[2，3]
【方法技巧】判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
【变式探究】若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
高频考点二 圆的弦长问题
【例2】（2023·北京高考真题）已知圆，直线，当变化时，截得圆弦长的最小值为2，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·天津卷）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
【变式探究】(2020·全国卷Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)
A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
【方法技巧】弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
【变式探究】直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[,3] D．[2,3]
高频考点三 圆的切线问题
【例3】(2020·全国卷Ⅲ)若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋
C．y＝x＋1 D．y＝x＋
【举一反三】（2023·浙江卷）设直线，圆，，若直线与，都相切，则_______；b=______．
【方法技巧】求圆的切线方程应注意的问题
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．
【举一反三】【2019·浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．
高频考点四 圆与圆的位置关系
【例4】如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是________________．
【方法技巧】
(1)判断两圆的位置关系多用几何法，即用两圆圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．
(2)求两圆公共弦长的方法是在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
【变式探究】在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x－y－4＝0相切．
(1)求圆O的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点Q，使得＝＋？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，请说明理由．
第41讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算
【课标解读】
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系。
2.能够求出圆的切线、弦长、能利用圆系解决相关问题，同时在解题时注意基本运算、等价转化及数形结合思想的运用。
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲为高考必考内容。预测2022年高考将会考查：①直线与圆位置关系的判断及应用；②直线与圆相交的弦长问题；③利用直线与圆位置关系求参数的取值范围问题．试题以客观题形式呈现，难度一般不大，属中档题型．此外也不要忽略在解答题中出现的可能性。
【核心知识】
知识点一 直线与圆的位置关系
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
知识点二 圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
　方法位置关系　　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离 d>r1＋r2 无解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解
【知识必备】
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆系方程
(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)。
【高频考点】
高频考点一 直线与圆的位置关系
【例1】(2020·全国卷Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
【答案】D　
【解析】圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝4，点M到直线l的距离为d＝＝＞2，所以直线l与圆相离．由圆的知识可知，A，P，B，M四点共圆，且AB⊥MP，所以|MP|·|AB|＝4S△PAM＝4××|PA|×|AM|＝4|PA|，而|PA|＝，
当直线MP⊥l时，|MP|min＝，|PA|min＝1，
此时|MP|·|AB|最小．
易知直线MP的方程为y－1＝(x－1)，即y＝x＋.
由解得
所以以MP为直径的圆的方程为(x－1)(x＋1)＋y(y－1)＝0，即x2＋y2－y－1＝0，
两圆的方程相减可得：2x＋y＋1＝0，
即为直线AB的方程．故选D.
【变式探究】（2023·新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
【变式探究】（2023·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[ ,3] D．[2，3]
【答案】A　
【解析】 圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(0，－2)，所以AB＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．
【方法技巧】判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
【变式探究】若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
【答案】C　
【解析】由题意得圆心为(a,0)，半径为，圆心到直线的距离为d＝.
由直线与圆有公共点可得≤，
即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
所以实数a的取值范围是[－3,1]．
高频考点二 圆的弦长问题
【例2】（2023·北京高考真题）已知圆，直线，当变化时，截得圆弦长的最小值为2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，弦长取得最小值为，解得.
故选：C.
（2023·天津卷）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．
【变式探究】(2020·全国卷Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)
A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
【答案】B　
【解析】将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9.
设圆心为C，则C(3,0)，半径r＝3.
设点(1,2)为点A，过点A(1,2)的直线为l.
因为(1－3)2＋22＜9，
所以点A(1,2)在圆C的内部，
则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.
易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小．
设此时圆心C到直线l的距离为d，
则d＝|AC|＝＝2，
所以|BD|min＝2＝2＝2，
即弦的长度的最小值为2，故选B.
【方法技巧】弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
【变式探究】直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[,3] D．[2,3]
【答案】A　
【解析】圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为(－2,0)，(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．
高频考点三 圆的切线问题
【例3】(2020·全国卷Ⅲ)若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋
C．y＝x＋1 D．y＝x＋
【答案】D　
【解析】设直线l在曲线y＝上的切点为(x0，)，则x0>0，函数y＝的导数为y′＝，则直线l的斜率k＝ .
设直线l的方程为y－＝(x－x0)，
即x－2y＋x0＝0.
由于直线l与圆x2＋y2＝相切，则＝，
两边平方并整理得5x－4x0－1＝0，
解得x0＝1或x0＝－(舍去)，
所以直线l的方程为x－2y＋1＝0，即y＝x＋.
【举一反三】（2023·浙江卷）设直线，圆，，若直线与，都相切，则_______；b=______．
【答案】 (1). (2).
【解析】由题意，到直线的距离等于半径，即，，
所以，所以（舍）或者，
解得.
【方法技巧】求圆的切线方程应注意的问题
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．
【举一反三】【2019·浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．
【答案】，
【解析】由题意可知，把代入直线AC的方程得，此时.
高频考点四 圆与圆的位置关系
【例4】如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是________________．
【答案】(－2，0)∪(0,2)
【解析】圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得0<<2＋2，所以0<|a|<2.所以a∈(－2，0)∪(0,2)．
【方法技巧】
(1)判断两圆的位置关系多用几何法，即用两圆圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．
(2)求两圆公共弦长的方法是在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
【变式探究】在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x－y－4＝0相切．
(1)求圆O的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点Q，使得＝＋？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)设圆O的半径为r，因为直线x－y－4＝0与圆O相切，所以r＝＝2，所以圆O的方程为x2＋y2＝4.
(2)假设存在点Q，使得＝＋.
因为A，B在圆上，且＝＋，同时||＝||，由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB为菱形，所以OQ与AB互相垂直且平分，所以原点O到直线l：y＝kx＋3的距离d＝|OQ|＝1.即＝1，解得k2＝8，则k＝±2，经验证满足条件．所以存在点Q，使得＝＋，此时直线l的斜率为±2.

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