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第43讲 双曲线
【练基础】
1．双曲线－x2＝1的渐近线方程为(　　)
A．y＝±4x　　　　　 B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为 ，则双曲线的标准方程为(　　)
A．－＝1　　　　　　 B．x2－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
3．已知离心率为2的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与椭圆＋＝1有公共焦点，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，焦距为6，则该双曲线的实轴长为(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
5．若双曲线C：－＝1的离心率e∈(，2)，则实数m的取值范围为(　　)
A．(3,6) B．(1,3)
C．(2,3) D．(2,4)
6．已知F2为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，且F2在C的渐近线上的射影为点H，O为坐标原点，若|OH|＝|F2H|，则C的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0　　　　　　　　 B．x±y＝0
C．x±y＝0 D．x±2y＝0
7．若m为实数，则“1＜m＜2”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)是C上的点，且x＋y20＝b2，若＋＝0，且||＝3||，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
9．若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A到一条渐近线的距离为a，则双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C．3 D．2
10．已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)
A．(1，) B．(1,2)
C．(，＋∞) D．(2，＋∞)
【练提升】
1．已知P是双曲线C：－＝1上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是(　　)
①双曲线的方程为－y2＝1；②双曲线的离心率为；③函数y＝loga(x＋1＋)(a＞0，a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点；④直线x－y＝0与双曲线C有两个交点．
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
2．(多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为－＝1的条件是(　　)
A．双曲线的离心率为
B．双曲线过点
C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0
D．双曲线的实轴长为4
3．已知直线l与双曲线－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，O为坐标原点，则·＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．与P的位置有关
4．(多选)已知点P是双曲线E：－＝1的右支上一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　)
A．点P的横坐标为
B．△PF1F2的周长为
C．∠F1PF2小于
D．△PF1F2的内切圆半径为
5．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A.　　　　 B.
C. D.
6．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若＝，则双曲线的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
7．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
8．已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为48，求此双曲线的方程．
9．设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t (O为坐标原点)，求t的值及点D的坐标．
第43讲 双曲线
【练基础】
1．双曲线－x2＝1的渐近线方程为(　　)
A．y＝±4x　　　　　 B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
【答案】C　
【解析】由题意可知，双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±2x.
2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为 ，则双曲线的标准方程为(　　)
A．－＝1　　　　　　 B．x2－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
【答案】A　
【解析】因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为，可得＝，c＝2，所以b＝＝＝4，则双曲线的标准方程为－＝1.
3．已知离心率为2的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与椭圆＋＝1有公共焦点，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
【答案】C　
【解析】∵双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与椭圆＋＝1有公共焦点，由椭圆＋＝1可得c2＝8－4＝4，∴c＝2，∵双曲线离心率e＝＝2，∴a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，∴双曲线的方程为：x2－＝1.
4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，焦距为6，则该双曲线的实轴长为(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
【答案】B　
【解析】因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以－2＝－1.又因为焦距为6，故2c＝6，结合a2＋b2＝c2，解得a＝3，b＝3，c＝3，故实轴长2a＝6.故选B.
5．若双曲线C：－＝1的离心率e∈(，2)，则实数m的取值范围为(　　)
A．(3,6) B．(1,3)
C．(2,3) D．(2,4)
【答案】B　
【解析】由题意有m＞0，e＝＝，＜＜2，解得1＜m＜3.
6．已知F2为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，且F2在C的渐近线上的射影为点H，O为坐标原点，若|OH|＝|F2H|，则C的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0　　　　　　　　 B．x±y＝0
C．x±y＝0 D．x±2y＝0
【答案】A　
【解析】由题意F2H⊥OH，∴|F2H|＝＝b，又|F2O|＝c，∴|OH|＝＝a，又|OH|＝|F2H|，∴a＝b，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.故选A．
7．若m为实数，则“1＜m＜2”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A　
【解析】若方程＋＝1表示双曲线，则m(m－2)＜0，得0＜m＜2，由1＜m＜2可以得到0＜m＜2，故充分性成立；由0＜m＜2推不出1＜m＜2，故必要性不成立．则“1＜m＜2”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件．
8．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)是C上的点，且x＋y20＝b2，若＋＝0，且||＝3||，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
【答案】C
【解析】依题意，四边形MF1NF2为平行四边形，因为||＝3||，且|MF1|－|MF2|＝2a, 故|MF2|＝a，而x＋y＝b2，故|OM|＝b，而|OF2|＝c，故∠OMF2＝90°.在△NMF2中，|MN|＝2b，|NF2|＝3a，|MF2|＝a，则(2b)2＋a2＝(3a)2，则b2＝2a2，则双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
9．若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A到一条渐近线的距离为a，则双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C．3 D．2
【答案】C　
【解析】由题意得右顶点A(a,0)，渐近线方程为y＝±x，所以点A到一条渐近线的距离d＝＝＝a，所以＝，所以＝＝1－＝，得＝9，所以e＝＝3，故选C．
10．已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)
A．(1，) B．(1,2)
C．(，＋∞) D．(2，＋∞)
【答案】D　
【解析】由题意，圆心(1,0)到切线的距离d＝＝，解得k＝±，因为圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，所以＞，所以e2＝1＋＞4，所以e＞2.
【练提升】
1．已知P是双曲线C：－＝1上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是(　　)
①双曲线的方程为－y2＝1；②双曲线的离心率为；③函数y＝loga(x＋1＋)(a＞0，a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点；④直线x－y＝0与双曲线C有两个交点．
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
【答案】B　
【解析】设A(－2,0)，B(2,0)，P(x，y)(x≠±2)，则－＝1，所以k1＝，k2＝，所以k1k2＝×＝＝，又|k1|＋|k2|≥2＝2＝，当且仅当|k1|＝|k2|＝时等号成立，且|k1|＋|k2|≥t，实数t的最大值为1，所以＝1，即m＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1，故①正确；双曲线的离心率e＝＝＝ ＝，故②错误；双曲线的焦点坐标为(±，0)，函数y＝loga(x＋1＋)(a＞0，a≠1)的图象过定点(－，0)，故③正确；双曲线的渐近线为y＝±x，而直线x－y＝0的斜率为1＞，所以直线x－y＝0与双曲线C没有交点，故④错误．综上，正确的是①③，故选B.
2．(多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为－＝1的条件是(　　)
A．双曲线的离心率为
B．双曲线过点
C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0
D．双曲线的实轴长为4
【答案】ABC　
【解析】由题意可得焦点在x轴上，且c＝5，A选项，若双曲线的离心率为，则a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，此时双曲线的方程为－＝1，故A正确；B选项，若双曲线过点，则得此时双曲线的方程为－＝1，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线的方程为－＝m(m>0)，所以c2＝16m＋9m＝25，解得m＝1，所以此时双曲线的方程为－＝1，故C正确；D选项，若双曲线的实轴长为4，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝21，此时双曲线的方程为－＝1，故D错误．故选A、B、C．
3．已知直线l与双曲线－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，O为坐标原点，则·＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．与P的位置有关
【答案】A　
【解析】设切点P(x0，y0)，则－y＝1，切线l的方程为x0x－y0y＝1.由题意知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设M为直线l与渐近线y＝x的交点，由得即交点M，，
同理可得N，所以·＝＝＝3，故选A.
4．(多选)已知点P是双曲线E：－＝1的右支上一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　)
A．点P的横坐标为
B．△PF1F2的周长为
C．∠F1PF2小于
D．△PF1F2的内切圆半径为
【答案】ABCD　
【解析】如图，双曲线E：－＝1的a＝4，b＝3，c＝5，不妨设P(m，n)，m＞0，n＞0，由△PF1F2的面积为20，可得|F1F2|n＝cn＝5n＝20，即n＝4.由－＝1，可得m＝，故A正确；由P，且F1(－5,0)，F2(5,0)，可得kPF1＝，k＝，则tan∠F1PF2＝＝∈(0，)，则∠F1PF2＜，故C正确；由|PF1|＋|PF2|＝ ＋ ＝＋＝，则△PF1F2的周长为＋10＝，故B正确；设△PF1F2的内切圆半径为r，可得r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)＝·|F1F2|·4，可得r＝40，解得r＝，故D正确．故选A、B、C、D.
5．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A.　　　　 B.
C. D.
【答案】A　
【解析】由题意知a＝，b＝1，c＝，
设F1(－，0)，F2(，0)，
则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
∵·<0，
∴(－－x0)(－x0)＋y<0，
即x－3＋y<0.
∵点M(x0，y0)在双曲线C上，
∴－y＝1，即x＝2＋2y，
∴2＋2y－3＋y<0，解得－6．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若＝，则双曲线的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C　
【解析】直线l：y＝－x＋a与渐近线l1：bx－ay＝0交于B，l与渐近线l2：bx＋ay＝0交于C，A(a,0)，所以＝，＝，因为＝，所以b＝2a，所以c2－a2＝4a2，所以e2＝＝5，所以e＝，故选C.
7．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
【解析】
(1)设双曲线的离心率为e，焦距为2c，
在－＝1中，
当BF⊥AF时，点B的横坐标为c，
则B点的纵坐标为y＝±，
因|AF|＝|BF|，
所以a＋c＝，即a2＋ac＝b2，
a2＋ac＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，又e＞1，解得e＝2.
(2)由(1)知2a＝c，b2＝3a2，
所以双曲线方程可化为－＝1.
如图，设B(x，y)(x＞0，y＞0)，
则kAB＝，kBF＝，
设∠BAF＝θ，则tan θ＝，
所以tan 2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，
又因为0≤2∠BAF＜π，0≤∠BFA＜π，所以∠BFA＝2∠BAF.
8．已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为48，求此双曲线的方程．
【解析】
(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，所以点F2到渐近线的距离为＝b(其中c是双曲线的半焦距)，由题意知c＋a＝2b，又因为a2＋b2＝c2，解得b＝a，故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y＝0.
(2)因为∠F1PF2＝60°，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝4c2.　　　 ①
又由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，
平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，　②
①②相减得|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2.
根据三角形的面积公式得S＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝·4b2＝b2＝48，得b2＝48.
再由(1)得a2＝b2＝27，故所求双曲线方程是－＝1.
9．设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t (O为坐标原点)，求t的值及点D的坐标．
【解析】
(1)由题意知a＝2，
因为一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0，
所以由焦点到渐近线的距离为，得＝.
又因为c2＝a2＋b2，所以b2＝3，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)(x0＞0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12.
所以解得
所以t＝4，点D的坐标为(4，3)．第43讲 双曲线
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算
【课标解读】
　 1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)。
2．掌握直线与双曲线位置关系的判断，并能求解与双曲线有关的简单问题，理解数形结合思想在解决问题中的应用。
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点。预测2022年高考会考查：①双曲线定义的应用与标准方程的求解；②渐近线方程与离心率的求解。试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中档题为主。
【核心知识】
知识点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
知识点二 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝　　，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
【特别提醒】双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为b．
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
(3)双曲线为等轴双曲线 双曲线的离心率e＝ 双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为．
(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|．
(6)双曲线的离心率公式可表示为e＝．
【高频考点】
高频考点一 双曲线的定义及其应用
【例1】（2023·全国高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
【变式探究】（2023·北京卷）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．
【方法技巧】
(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立为|PF1|·|PF2|的关系．
(3)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．
【变式探究】(2020·浙江卷)已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3图象上的点，则|OP|＝(　　)
A． B． C． D．
高频考点二 双曲线的标准方程
【例2】（2023·北京高考真题）双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
，
【变式探究】(2020·天津卷)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　　)
A．－＝1 B．x2－＝1
C．－y2＝1 D．x2－y2＝1
【方法技巧】求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
【变式探究】．与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为____________．
高频考点三 双曲线的离心率
【例3】（2023·全国高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
，
【变式探究】(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为________．
【举一反三】（2023·新课标Ⅲ）设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【变式探究】(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　)
A. B．3
C. D．2
【变式探究】(2020·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是________．
高频考点四 双曲线的渐近线方程
例4.（2023·新课标Ⅱ）设O为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于D、E两点，若的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【变式探究】(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．
【举一反三】(2020·天津高考)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1　　　　　 B．x2－＝1
C.－y2＝1 D．x2－y2＝1
【变式探究】双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
高频考点四 直线与双曲线的综合应用
【例4】（2023·浙江高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
【方法技巧】解有关直线与双曲线的位置关系的方法
(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入．
(2)与中点有关的问题常用点差法．
(3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．
【变式探究】若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．
第43讲 双曲线
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算
【课标解读】
　 1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)。
2．掌握直线与双曲线位置关系的判断，并能求解与双曲线有关的简单问题，理解数形结合思想在解决问题中的应用。
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点。预测2022年高考会考查：①双曲线定义的应用与标准方程的求解；②渐近线方程与离心率的求解。试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中档题为主。
【核心知识】
知识点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
知识点二 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝　　，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
【特别提醒】双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为b．
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
(3)双曲线为等轴双曲线 双曲线的离心率e＝ 双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为．
(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|．
(6)双曲线的离心率公式可表示为e＝．
【高频考点】
高频考点一 双曲线的定义及其应用
【例1】（2023·全国高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
【答案】4
【解析】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距，
故答案为4。
【变式探究】（2023·北京卷）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．
【答案】 (1). (2).
【解析】在双曲线C中，，，则，则双曲线C的右焦点坐标为，
双曲线C的渐近线方程为，即，
所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为.
【方法技巧】
(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立为|PF1|·|PF2|的关系．
(3)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．
【变式探究】(2020·浙江卷)已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3图象上的点，则|OP|＝(　　)
A． B． C． D．
【答案】D　【解析】由双曲线定义可知，点P在以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上．设P(x，y)，则x2－＝1(x≥1)，
将y＝3代入可得x2＝，
所以y2＝3(x2－1)＝，所以|OP|＝＝.
故选D．
高频考点二 双曲线的标准方程
【例2】（2023·北京高考真题）双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为，故选A。
【变式探究】(2020·天津卷)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　　)
A．－＝1 B．x2－＝1
C．－y2＝1 D．x2－y2＝1
【答案】D　
【解析】由题意知双曲线的两条渐近线互相垂直，所以双曲线C为等轴双曲线，渐近线的斜率分别为1和－1.因为直线l与一条渐近线平行，抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，所以＝－1，即b＝1.所以双曲线C的方程为x2－y2＝1.故选D．
【方法技巧】求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
【变式探究】．与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为____________．
【答案】－＝1　
【解析】设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k.将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，所以双曲线的标准方程为－＝1.
高频考点三 双曲线的离心率
【例3】（2023·全国高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即，故选A。
【变式探究】(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为________．
【解析】由双曲线的一条渐近线为y＝x可知，＝，即b＝a.在双曲线中，c2＝a2＋b2，所以c2＝3a2，所以e＝＝.
【答案】
【举一反三】（2023·新课标Ⅲ）设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】
，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
【变式探究】(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　)
A. B．3
C. D．2
【答案】B　【解析】设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2,0)，F2(2,0)．
又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，
所以△PF1F2是直角三角形，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.
不妨令点P在双曲线C的右支上，
则有|PF1|－|PF2|＝2，
两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，所以|PF1|·|PF2|＝6，
则S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6＝3，故选B.
【变式探究】(2020·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是________．
【答案】　
【解析】因为双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝，所以a＝2，则离心率e＝＝＝.
高频考点四 双曲线的渐近线方程
例4.（2023·新课标Ⅱ）设O为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于D、E两点，若的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】B
【解析】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于D、E两点
不妨设D为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
C的焦距的最小值为8。
【变式探究】(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．
【答案】y＝±x　
【解析】∵双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，∴32－＝1，解得b2＝2，即b＝.
又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝±x.
【举一反三】(2020·天津高考)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1　　　　　 B．x2－＝1
C.－y2＝1 D．x2－y2＝1
【答案】D
【解析】由题知y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，则过焦点和点(0，b)的直线方程为x＋＝1，而－＝1的渐近线方程为＋＝0和－＝0，由l与一条渐近线平行，与另一条渐近线垂直，得a＝1，b＝1，故选D.
【变式探究】双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
【答案】A　
【解析】(方法一)由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
(方法二)由e＝＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a))))＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
高频考点四 直线与双曲线的综合应用
【例4】（2023·浙江高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
【答案】C
【解析】由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故选C。
【方法技巧】解有关直线与双曲线的位置关系的方法
(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入．
(2)与中点有关的问题常用点差法．
(3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．
【变式探究】若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．
【解析】(1)由得故双曲线E的方程为x2－y2＝1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
因为直线与双曲线右支交于A，B两点，所以
即即
所以1＜k＜，即k的取值范围是(1，)．
(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝·＝2＝6，整理得28k4－55k2＋25＝0，所以k2＝或k2＝，又1＜k＜，所以k＝，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.设C(x3，y3)，由＝m(＋)得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(4m,8m)，因为点C是双曲线上一点，所以80m2－64m2＝1，得m＝±，故k＝，m＝±.

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