资源简介

第49讲 计数原理 排列与组合
【练基础】
1．从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是(　　)
A．26　　　　　　　　　 B．60
C．18 D．1 080
2．将3张不同的武汉军运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是(　　)
A．2 160 B．720
C．240 D．120
3．从集合{0,1,2,3,4,5}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　)
A．36个 B．30个
C．25个 D．20个
4．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是(　　)
A．18 B．24
C．30 D．36
5．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　　)
A．4种 B．6种
C．10种 D．16种
6．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有(　　)
A．24种 B．60种
C．90种 D．120种
7．5 400的正约数有(　　)
A．48个 B．46个
C．36个 D．38个
8．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有(　　)
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
9．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)．有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有(　　)
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
10．从集合{1,2,3,4，…，10}中选出5个数组成该集合的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有(　　)
A．32个 B．34个
C．36个 D．38个
【练提升】
1．某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有(　　)
A．28种 B．30种
C．27种 D．29种
2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
3．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)
A．24 B．48
C．60 D．72
4．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有(　　)
A．36种 B．24种
C．22种 D．20种
5.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有(　　)
A．120种 B．260种
C．340种 D．420种
6．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为(　　)
A．6 B．12
C．18 D．19
7．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有(　　)
A．50种 B．60种
C．80种 D．90种
8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能(六艺)：礼、乐、射、御、书、数，某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“射”不能排在第一，“数”不能排在最后，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有________种．
9．从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排．
(1)共有多少种不同的排法？
(2)若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？(用数字表示)
10．用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？
(1)比21 034大的偶数；
(2)左起第二、四位是奇数的偶数．
第49讲 计数原理 排列与组合
【练基础】
1．从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是(　　)
A．26　　　　　　　　　 B．60
C．18 D．1 080
【答案】A
【解析】由分类加法计数原理知有5＋12＋3＋6＝26(种)不同走法．
2．将3张不同的武汉军运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是(　　)
A．2 160 B．720
C．240 D．120
【答案】B
【解析】分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．
3．从集合{0,1,2,3,4,5}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　)
A．36个 B．30个
C．25个 D．20个
【答案】C
【解析】因为a，b互不相等且a＋bi为虚数，所以b只能从{1,2,3,4,5}中选，有5种选法，a从剩余的5个数中选，有5种选法，所以共有虚数5×5＝25(个)，故选C.
4．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是(　　)
A．18 B．24
C．30 D．36
【答案】C
【解析】法一：选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有CC＋CC＝30种．故选C.
法二：从7名同学中任选3名的方法数，再减去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C－C－C＝30.故选C.
5．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　　)
A．4种 B．6种
C．10种 D．16种
【答案】B
【解析】分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)；同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式．由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．
6．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有(　　)
A．24种 B．60种
C．90种 D．120种
【答案】B
【解析】可先排C，D，E三人，共有A种，剩余A，B两人只有一种排法，故满足条件的排法共有A×1＝60(种)．
7．5 400的正约数有(　　)
A．48个 B．46个
C．36个 D．38个
【答案】A
【解析】5 400＝23×33×52,5 400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，所以正约数个数为(3＋1)×(3＋1)×(2＋1)＝48.故选A.
8．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有(　　)
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
【答案】D
【解析】按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．
9．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)．有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有(　　)
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
【答案】D
【解析】按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．
10．从集合{1,2,3,4，…，10}中选出5个数组成该集合的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有(　　)
A．32个 B．34个
C．36个 D．38个
【答案】A
【解析】先把数字分成5组：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，所以从每组中任选一个数字即可，故共有2×2×2×2×2＝32(个)这样的子集．
【练提升】
1．某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有(　　)
A．28种 B．30种
C．27种 D．29种
【答案】A
【解析】有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，则有2人既会踢足球又会打篮球，有3人只会打篮球，有4人只会踢足球，所以选派的方案有四类：选派两种球都会的运动员有2种方案；选派两种球都会的运动员中一名踢足球，只会打篮球的运动员打篮球，有2×3＝6(种)方案；选派两种球都会的运动员中一名打篮球，只会踢足球的运动员踢足球，有2×4＝8(种)方案；选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球，有3×4＝12(种)方案．综上可知，共有2＋6＋8＋12＝28(种)方案，故选A.
2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
【答案】A
【解析】将4名学生均分为2个小组共有＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A＝2(种)分法；最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A＝2(种)分法．故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种)．
3．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)
A．24 B．48
C．60 D．72
【答案】D
【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有A种排法，所以奇数的个数为3A＝72，故选D.
4．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有(　　)
A．36种 B．24种
C．22种 D．20种
【答案】B
【解析】根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有AA＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有CAA＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法．
5.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有(　　)
A．120种 B．260种
C．340种 D．420种
【答案】D
【解析】由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同，则共有5×4×3×1×3＋5×4×3×2×2＝180＋240＝420(种)涂色方案．故选D.
6．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为(　　)
A．6 B．12
C．18 D．19
【答案】D
【解析】从六科中选考三科的选法有C种，其中不选物理、政治、历史中任意一科的选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C－1＝19种．
7．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有(　　)
A．50种 B．60种
C．80种 D．90种
【答案】C
【解析】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论：若甲选择牛，此时乙的选法有2种，丙的选法有10种，共有2×10＝20种不同的选法；若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选法有3种，丙的选法有10种，共有2×3×10＝60种不同的选法．综上，一共有20＋60＝80种选法．
8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能(六艺)：礼、乐、射、御、书、数，某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“射”不能排在第一，“数”不能排在最后，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有________种．
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①“数”排在第一，则剩下的“五艺”全排列，安排在剩下的5节，有A＝120(种)情况．
②“数”不排在第一，则“数”的排法有4种，“射”的排法有4种，剩下的“四艺”全排列，安排在剩下的4节，有A＝24(种)情况，则此时共有4×4×24＝384(种)情况．
综上，共有120＋384＝504(种)排课顺序．
【答案】504
9．从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排．
(1)共有多少种不同的排法？
(2)若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？(用数字表示)
【解析】(1)从4名男生中选出2人，有C种选法，
从6名女生中选出3人，有C种选法，
根据分步乘法计数原理知选出5人，再把这5个人进行排列，共有CCA＝14 400(种)．
(2)在选出的5个人中，若2名男生不相邻，则第一步先排3名女生，第二步再让男生插空，根据分步乘法计数原理知共有CCAA＝8 640(种)．
10．用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？
(1)比21 034大的偶数；
(2)左起第二、四位是奇数的偶数．
【解析】(1)可分五类，当末位数字是0，而首位数字是2时，有6个五位数；
当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有CA＝12个五位数；
当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有CA＝12个五位数；
当末位数字是4，而首位数字是2时，有3个五位数；
当末位数字是4，而首位数字是3时，有A＝6个五位数．
故共有6＋12＋12＋3＋6＝39个满足条件的五位数．
(2)可分为两类：
末位数是0，个数有A·A＝4；
末位数是2或4，个数有A·C＝4.
故共有4＋4＝8个满足条件的五位数．第49讲 计数原理 排列与组合
【学科素养】
1.结合“分类”“分步”完成一件事，考查对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解及简单应用，凸显数学建模的核心素养．
2．结合排列、组合的概念及两个计数原理，考查常见排列、组合问题的解法，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
3．结合排列数、组合数公式，考查常见排列数、组合数问题的化简及计算，凸显数学运算的核心素养．
【课标解读】
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.
2.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.3.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，预测2022年高考将会综合考查两个计数原理与排列组合知识、有条件限制的排列、组合问题、排列、组合与其他知识的综合问题。试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中、低档题型。
【核心知识】
1．两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
条件 完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法
结论 完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法 完成这件事共有N＝m·n种不同的方法
2．排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列
组合 合成一组
3．排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．
(3)全排列：把n个不同元素全部取出来按照一定的顺序排列起来，叫做n个不同元素的全排列．用A表示n个不同元素的全排列数．
4．排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝；(2)C＝＝＝
性质 (1)0！＝；A＝；(2)C＝；C＝
【高频考点】
高频考点一　分类加法计数原理
例1．哈六中开展劳动教育，决定在5月12日植树节派小明、小李等5名学生去附近的两个植树点去植树，若小明和小李必须在同一植树点，且各个植树点至少去两名学生，则不同的分配方案种数为(　　)
A．8 B．10
C．12 D．14
【变式探究】甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
命题点二　分步乘法计数原理
例2．已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为(　　)
A．32　　　　　　　　　 B．23
C．43 D．24
2．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有(　　)
A．21种 B．315种
C．153种 D．143种
高频考点三　两个计数原理的综合应用
例3．(1)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为(　　)
A．72　　　　　　　 B．120
C．192 D．240
(2)现有5种不同的颜色，给如图所示的几何体的五个顶点P，A，B，C，D涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，则不同的涂色方法有(　　)
A．240种 B．360种
C．420种 D．480种
【方法技巧】
(1)涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，但也有几种常用方法：按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；以颜色为主分类讨论，适用于区域、点、线段等问题，用分类加法计数原理分析；将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题．
(2)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类；分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，只有完成每一步，整件事才算完成．若综合利用两个计数原理，一般先分类再分步．　　
【变式探究】中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示1～9的一种方法，则据此，3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹．据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的两位数的个数为(　　)
A．9 B．13
C．16 D．18
高频考点四　排列问题
例4.3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体站成一排，男、女各站在一起；
(4)全体站成一排，男生不能站在一起．
【方法技巧】求解排列应用问题的5种主要方法
适用于没有限制条件的问题
优先安排特殊元素或特殊位置
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的间隔中
正难则反，等价转化的方法
【变式探究】某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(　　)
A．A种　　　　　　 B．A种
C．AAA种 D．AA种
高频考点五　组合问题
例5．（2023·山东省高考真题）某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（ ）
A．10 B．20 C．60 D．100
【变式探究】(2020·新高考全国卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)
A．120种　　　　　　　 B．90种
C．60种 D．30种
【变式探究】已知男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1人．选派5人外出比赛．在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)队长中至少有1人参加；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
【方法技巧】组合问题的2种题型及解法
题型 解法
“含有”或“不含有”某些元素的组合 “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取
“至少”或“至多”含有几个元素的组合 解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理
【变式探究】在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(　　)
A．若任意选科，选法总数为C
B．若化学必选，选法总数为CC
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为CCC
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1
高频考点六 排列与组合的综合应用
例6.（2023·全国高考）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【变式探究】由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数.
（1）共可以组成多少个五位数？
（2）其中奇数有多少个？
（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由.
第49讲 计数原理 排列与组合
【学科素养】
1.结合“分类”“分步”完成一件事，考查对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解及简单应用，凸显数学建模的核心素养．
2．结合排列、组合的概念及两个计数原理，考查常见排列、组合问题的解法，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
3．结合排列数、组合数公式，考查常见排列数、组合数问题的化简及计算，凸显数学运算的核心素养．
【课标解读】
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.
2.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.3.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，预测2022年高考将会综合考查两个计数原理与排列组合知识、有条件限制的排列、组合问题、排列、组合与其他知识的综合问题。试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中、低档题型。
【核心知识】
1．两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
条件 完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法
结论 完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法 完成这件事共有N＝m·n种不同的方法
2．排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列
组合 合成一组
3．排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．
(3)全排列：把n个不同元素全部取出来按照一定的顺序排列起来，叫做n个不同元素的全排列．用A表示n个不同元素的全排列数．
4．排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝；(2)C＝＝＝
性质 (1)0！＝；A＝；(2)C＝；C＝
【高频考点】
高频考点一　分类加法计数原理
例1．哈六中开展劳动教育，决定在5月12日植树节派小明、小李等5名学生去附近的两个植树点去植树，若小明和小李必须在同一植树点，且各个植树点至少去两名学生，则不同的分配方案种数为(　　)
A．8 B．10
C．12 D．14
【答案】A　
【解析】当小明和小李单独去一个植树点时，有2种不同的分配方案；当小明和小李与另外一人去一个植树点时，有2×3＝6种不同的分配方案，则共有6＋2＝8种不同的分配方案，故选A.
【变式探究】甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
【答案】B　
【解析】根据题意，分两种情况讨论：①乙和甲一起去A社区，此时将丙、丁二人安排到B，C社区即可，有2种情况．②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙、丁都去B社区，有1种情况；若丙、丁中有1人去B社区，则先在丙、丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况．故不同的安排方法有2＋1＋4＝7种．
命题点二　分步乘法计数原理
例2．已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为(　　)
A．32　　　　　　　　　 B．23
C．43 D．24
【答案】B　
【解析】根据题意，教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到二层，有2种走法，同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法，则从一层到四层共有2×2×2＝23种走法．
2．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有(　　)
A．21种 B．315种
C．153种 D．143种
【答案】D　
【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7＝63种，选一本数学书一本英语书有7×5＝35种，选一本语文书一本英语书有9×5＝45种，∴共有63＋35＋45＝143种选法．故选D.
高频考点三　两个计数原理的综合应用
例3．(1)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为(　　)
A．72　　　　　　　 B．120
C．192 D．240
(2)现有5种不同的颜色，给如图所示的几何体的五个顶点P，A，B，C，D涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，则不同的涂色方法有(　　)
A．240种 B．360种
C．420种 D．480种
【解析】(1)将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，若末位数字为2，因为含有2个4，所以有＝60(种)情况；若末位数字为6，同理有60种情况；若末位数字为4，则有5×4×3×2×1＝120(种)情况．综上，共有60＋60＋120＝240(种)情况．
(2)当顶点A，C同色时，顶点P有5种颜色可供选择，顶点A有4种颜色可供选择，顶点B有3种颜色可供选择，此时顶点C与顶点A同色，只有1种颜色可选，顶点D有3种颜色可选，不同的方法共有5×4×3×1×3＝180种；当顶点A，C不同色时，顶点P有5种颜色可供选择，顶点A有4种颜色可供选择，顶点B有3种颜色可供选择，此时顶点C与顶点A不同色，有2种颜色可选，顶点D有2种颜色可选，不同的方法共有5×4×3×2×2＝240种．
综上，不同的方法共有180＋240＝420种，故选C.
【答案】(1)D　(2)C
【方法技巧】
(1)涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，但也有几种常用方法：按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；以颜色为主分类讨论，适用于区域、点、线段等问题，用分类加法计数原理分析；将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题．
(2)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类；分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，只有完成每一步，整件事才算完成．若综合利用两个计数原理，一般先分类再分步．　　
【变式探究】中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示1～9的一种方法，则据此，3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹．据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的两位数的个数为(　　)
A．9 B．13
C．16 D．18
【答案】C　
【解析】根据题意，6根算筹可以表示的数字组合为(1,5)，(1,9)，(2,4)，(2,8)，(6,4)，(6,8)，(3,3)，(3,7)，(7,7)．
数字组合(1,5)，(1,9)，(2,4)，(2,8)，(6,4)，(6,8)，(3,7)中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7＝14个两位数；
数字组合(3,3)，(7,7)中，每组可以表示1个两位数，则可以表示2×1＝2个两位数．
综上，共可以表示14＋2＝16个两位数．故选C.
高频考点四　排列问题
例4.3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体站成一排，男、女各站在一起；
(4)全体站成一排，男生不能站在一起．
【解析】(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A＝2 520种排法．
(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A＝5 040种排法．
(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A·A·A＝288(种)．
(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A种排法，故N＝A·A＝1 440(种)．
【方法技巧】求解排列应用问题的5种主要方法
适用于没有限制条件的问题
优先安排特殊元素或特殊位置
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的间隔中
正难则反，等价转化的方法
【变式探究】某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(　　)
A．A种　　　　　　 B．A种
C．AAA种 D．AA种
【答案】D　
【解析】中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有A种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有A种站法．根据分步乘法计数原理可知，共有AA种站法．故选D.
高频考点五　组合问题
例5．（2023·山东省高考真题）某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（ ）
A．10 B．20 C．60 D．100
【答案】A
【解析】从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方式．（选取3人后剩下2名同窗干的活就定了），故选A。
【变式探究】(2020·新高考全国卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)
A．120种　　　　　　　 B．90种
C．60种 D．30种
【答案】C　
【解析】先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C种选法，再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C种选法，由分步乘法计数原理知，共有C·C·C＝60(种)不同的安排方法．故选C.
【变式探究】已知男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1人．选派5人外出比赛．在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)队长中至少有1人参加；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
【解析】(1)第1步，选3名男运动员，有C种选法；
第2步，选2名女运动员，有C种选法，共有C·C＝120(种)选法．
(2)法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理可得总选法数为CC＋CC＋CC＋CC＝246(种)．
法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．
从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种．
所以“至少有1名女运动员”的选法为C－C＝246(种)．
(3)法一：直接法
可分类求解：
“只有男队长”的选法为C；
“只有女队长”的选法为C；
“男、女队长都入选”的选法为C；
所以共有2C＋C＝196(种)选法．
法二：间接法
从10人中任选5人有C种选法．
其中不选队长的方法有C种．所以“至少有1名队长”的选法为C－C＝196(种)．
(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有C－C种．所以既有队长又有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种)．
【方法技巧】组合问题的2种题型及解法
题型 解法
“含有”或“不含有”某些元素的组合 “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取
“至少”或“至多”含有几个元素的组合 解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理
【变式探究】在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(　　)
A．若任意选科，选法总数为C
B．若化学必选，选法总数为CC
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为CCC
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1
【答案】BD　
【解析】若任意选科，选法总数为CC，A错误；若化学必选，选法总数为CC，B正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为C(CC＋1)，C错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1，D正确．
高频考点六 排列与组合的综合应用
例6.（2023·全国高考）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选C.
【变式探究】由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数.
（1）共可以组成多少个五位数？
（2）其中奇数有多少个？
（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由.
【答案】(1) 120 (2) 72 (3) 85
【解析】
（1）由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，共可以组成A55＝120个五位数
（2）∵由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数的奇数，
∴第五个数字必须从1、3、5中选出，共有C31种结果，
其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列，共有A44种结果，
根据分步计数原理得到共有C31A44＝72；
（3）根据题意，用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，有A55＝120种情况，即一共有120个五位数，
再考虑大于43125的数，分为以下四类讨论：
1、5在首位，将其他4个数字全排列即可，有A44＝24个，
2、4在首位，5在千位，将其他3个数字全排列即可，有A33＝6个，
3、4在首位，3在千位，5在百位，将其他2个数字全排列即可，有A22＝2个，
4、43215，43251，43152，共3个
故不大于43125的五位数有120﹣（24+6+2+3）＝85个，
即43125是第85项。

展开更多......

收起↑