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第50讲 二项式定理
【练基础】
1．在9的展开式中，常数项是(　　)
A．C　　　　　　　　 B．－C
C．8C D．－8C
2．若6展开式的常数项为60，则a值为(　　)
A．4 B．±4
C．2 D．±2
3．(2x＋y)(x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．30 B．10
C．－30 D．－10
4．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是(　　)
A．60 B．80
C．84 D．120
5．若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为(　　)
A．1 B．2
C．129 D．2 188
6．已知(a＋x2)(1＋x)n的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x4的系数为(　　)
A．30 B．45
C．60 D．81
7．在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为(　　)
A．－126 B．－70
C．－56 D．－28
8.5的展开式中，xy3z的系数为(　　)
A．16 B．8
C．－1 D．－20
9．若二项式7的展开式中的各项系数之和为－1，则含x2的项的系数为(　　)
A．560 B．－560
C．280 D．－280
10．(＋x)5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为(　　)
A．1 B．20
C．21 D．31
【练提升】
1．已知(1＋2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A．512 B．210
C．211 D．212
2．已知(2m＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则m＝(　　)
A. B.
C．4 D．7
3．在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为(　　)
A．50 B．70
C．90 D．120
4．设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
5．已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
6．在5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
7．(＋x)5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为(　　)
A．1 B．20
C．21 D．31
8．在5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
9.5的展开式中常数项是________．
10．已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项．
第50讲 二项式定理
【练基础】
1．在9的展开式中，常数项是(　　)
A．C　　　　　　　　 B．－C
C．8C D．－8C
【答案】D
【解析】9展开式的通项公式为Tr＋1＝C9－r(－2x)r＝C(－2)rx，令＝0，解得r＝3.所以常数项是－8C.
2．若6展开式的常数项为60，则a值为(　　)
A．4 B．±4
C．2 D．±2
【答案】D
【解析】因为6展开式的通项为Tk＋1＝Ca6－kx6－k(－1)kx＝Ca6－k(－1)kx，令6－k＝0，则k＝4，所以常数项为Ca6－4(－1)4＝60，即7a2＝60，所以a＝±2.故选D.
3．(2x＋y)(x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．30 B．10
C．－30 D．－10
【答案】D
【解析】(x－y)5的展开式中x3y2，x2y3的系数分别为C，－C，所以(2x＋y)(x－y)5的展开式中x3y3的系数为C－2C＝－10.故选D.
4．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是(　　)
A．60 B．80
C．84 D．120
【答案】D
【解析】(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数为C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＝120.故选D.
5．若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为(　　)
A．1 B．2
C．129 D．2 188
【答案】C
【解析】令x＝0，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27.二项式(2－x)7＝[3－(1＋x)]7的通项Tr＋1＝C37－r(－1)r(1＋x)r，令r＝7，得T8＝C30[－(1＋x)]7＝－(1＋x)7.∴a7＝－1，∴a0＋a1＋a2＋…＋a6＝129.
6．已知(a＋x2)(1＋x)n的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x4的系数为(　　)
A．30 B．45
C．60 D．81
【答案】B
【解析】令x＝0，得a＝2，所以(a＋x2)(1＋x)n＝(2＋x2)(1＋x)n，令x＝1，得3×2n＝192，所以n＝6，故该展开式中x4的系数为2C＋C＝45.故选B.
7．在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为(　　)
A．－126 B．－70
C．－56 D．－28
【答案】C
【解析】∵只有第5项的二项式系数最大，
∴n＝8，8的展开式的通项为
Tk＋1＝(－1)kCx (k＝0,1,2，…，8)，
∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3C＝－56.
8.5的展开式中，xy3z的系数为(　　)
A．16 B．8
C．－1 D．－20
【答案】D
【解析】因为Tr＋1＝C5－r(2z)r，所以r＝1.
因为4的展开式的通项公式为Tk＋1＝C4－k·(－y)k，所以k＝3，所以xy3z的系数为C×2×C××(－1)3＝－20.
9．若二项式7的展开式中的各项系数之和为－1，则含x2的项的系数为(　　)
A．560 B．－560
C．280 D．－280
【答案】A
【解析】取x＝1，得二项式7的展开式中的各项系数之和为(1＋a)7，即 (1＋a)7＝－1，解得a＝－2.二项式7的展开式的通项为Tr＋1＝C·(x2)7－r·r＝ C·(－2)r·x14－3r.令14－3r＝2，得r＝4.因此，二项式7的展开式中含x2项的系数为 C·(－2)4＝560，故选A.
10．(＋x)5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为(　　)
A．1 B．20
C．21 D．31
【答案】C
【解析】因为(＋x)5展开式的通项为Tk＋1＝C()5－kxk＝C2xk，因此，要使系数为有理数，只需为正整数，又因为0≤k≤5且k∈Z，所以k＝2,5，
因此系数为有理数的项为C()3x2，x5，
故所求系数之和为20＋1＝21.
【练提升】
1．已知(1＋2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A．512 B．210
C．211 D．212
【答案】A
【解析】因为(1＋2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，所以(1＋2x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29＝512，故选A。
2．已知(2m＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则m＝(　　)
A. B.
C．4 D．7
【答案】B
【解析】设(2m＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得(2m＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(2m＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×64，解得m＝，故选B。
3．在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为(　　)
A．50 B．70
C．90 D．120
【答案】C
【解析】令x＝1，则n＝4n，所以n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5。二项展开式的通项Tk＋1＝Cx5－kk＝C3kx5－k，令5－k＝2，得k＝2，所以x2的系数为C32＝90。
4．设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
【答案】C
【解析】由二项式定理，得a1＝－C·24＝－80，a2＝C·23＝80，a3＝－C·22＝－40，a4＝C·2＝10，所以＝－，故选C.
5．已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】B
【解析】由题意可知，a＝C，b＝C，
∵13a＝7b，∴13·＝7·，即＝，解得m＝6.
6．在5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】B
【解析】　5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－rr＝(－a)rCx5－2r，令5－2r＝3，则r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1，展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C＝10，故选B.
7．(＋x)5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为(　　)
A．1 B．20
C．21 D．31
【答案】C
【解析】因为(＋x)5展开式的通项为Tk＋1＝C()5－kxk＝C2xk，因此，要使系数为有理数，只需为正整数，又因为0≤k≤5且k∈Z，所以k＝2,5，
因此系数为有理数的项为C()3x2，x5，
故所求系数之和为20＋1＝21.
8．在5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】B
【解析】5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－rr＝(－a)rCx5－2r，令5－2r＝3，则r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1.又展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C＝10，故选B.
9.5的展开式中常数项是________．
【解析】5表示五个相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个中分别抽取2x,2x，，，－3，则此时的常数项为C·C·22·(－3)＝－360；第二种情况是从五个中都抽取－3，则此时的常数项为(－3)5＝－243；第三种情况是从五个中分别抽取2x，，－3，－3，－3，则此时的常数项为C·C·21·(－3)3＝－1 080.综上，展开式中常数项为－360－243－1 080＝－1 683.
【答案】－1 683
10．已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项．
【解析】(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C，
由已知得2×C＝C＋C，解得n＝8(n＝1舍去)．
(2)8的展开式的通项Tr＋1＝C()8－r·r＝2－rCx(r＝0,1，…，8)，
要求有理项，则4－必为整数，即r＝0,4,8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝x，T9＝.
(3)设第r＋1项的系数ar＋1最大，则ar＋1＝2－rC，
则＝＝≥1，
＝＝≥1，解得2≤r≤3.
当r＝2时，a3＝2－2C＝7，当r＝3时，a4＝2－3C＝7，
因此，第3项和第4项的系数最大，
故系数最大的项为T3＝7x，T4＝7x.第50讲 二项式定理
【学科素养】
1.结合二项式定理的推导，考查对二项式定理及通项公式的理解，凸显逻辑推理的核心素养．
2.结合求二项展开式中的特定项及二项式系数性质的研究，考查二项式定理的应用，凸显数学运算的核心素养．
【课标解读】
1.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲为每年高考的常考知识点．预测2022年将会考查：①求二项式的特定项或项的系数；②求二项式系数的最大项或二项式系数的和；③与其他知识进行综合考查。题型以客观题形式考查，难度不大，属中、低档题型。
【核心知识】
1．二项式定理
(1)定理：
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(2)通项：
第k＋1项为Tk＋1＝Can－kbk.
(3)二项式系数：
二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0,1,2，…，n)．
2．二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性 当k<时，二项式系数逐渐增大；当k>时，二项式系数逐渐减小
最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为
二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋…＋C＝2n.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1
【高频考点】
高频考点一　二项展开式中特定项及系数问题
例1. （2023·北京高考）展开式中常数项为__________．
【变式探究】(1)(2020·北京高考)在(－2)5的展开式中，x2的系数为(　　)
A．－5　　　　　　　　 B．5
C．－10 D．10
(2)若二项式n的展开式中含有常数项，则n的值可以是(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
【变式探究】(2020·全国卷Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
【方法技巧】求形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．　　
高频考点二　二项式系数的性质及应用
例2.（2023·天津高考）在的展开式中，的系数是__________．
【变式探究】(1)已知n(n∈N*)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中x2的系数为(　　)
A．280　　　　　　　 B．－280
C．35 D．－35
(2)把1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则＝(　　)
A．2n B．2n－1
C．2 D．2－
【方法技巧】(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，对于式子(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n展开式中的各项的系数的和为g(1)，(a＋bx)n展开式中的奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n展开式中的偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．　　
【变式探究】(1)在二项式n的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为(　　)
A．－360 B．－160
C．160 D．360
(2)已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在2n的展开式中，二项式系数最大的项为________．
【方法技巧】求二项式系数最大项
(1)如果n是偶数，那么中间一项的二项式系数最大．
(2)如果n是奇数，那么中间两项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第项与第eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋1))项))的二项式系数相等且最大．　　
【变式探究】(1)若n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是(　　)
A．6 B.
C．4x D.或4x
(2)若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．
高频考点三　多项展开式的特定项
例3.4．（2023·浙江高考真题）已知多项式，则___________，___________.
【变式探究】(1)已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中x3的系数为－2，则a等于(　　)
A．2　　　　　　　 B．2
C．－2 D．－1
(2)(x2－x＋2)(x－1)4的展开式中x项的系数为(　　)
A．－9 B．－5
C．7 D．8
【方法技巧】
(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并．通常要用到方程或不等式的知识求解．
(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：先分别将每个多项式化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项进行合并即可．　　
【变式探究】(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．60
【方法技巧】三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法
(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．
(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形，再逐一求出每种情形对应的项，最后合并即可．　　
第50讲 二项式定理
【学科素养】
1.结合二项式定理的推导，考查对二项式定理及通项公式的理解，凸显逻辑推理的核心素养．
2.结合求二项展开式中的特定项及二项式系数性质的研究，考查二项式定理的应用，凸显数学运算的核心素养．
【课标解读】
1.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲为每年高考的常考知识点．预测2022年将会考查：①求二项式的特定项或项的系数；②求二项式系数的最大项或二项式系数的和；③与其他知识进行综合考查。题型以客观题形式考查，难度不大，属中、低档题型。
【核心知识】
1．二项式定理
(1)定理：
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(2)通项：
第k＋1项为Tk＋1＝Can－kbk.
(3)二项式系数：
二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0,1,2，…，n)．
2．二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性 当k<时，二项式系数逐渐增大；当k>时，二项式系数逐渐减小
最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为
二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋…＋C＝2n.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1
【高频考点】
高频考点一　二项展开式中特定项及系数问题
例1. （2023·北京高考）展开式中常数项为__________．
【答案】-4
【解析】的展开式的通项 令得常数项为.
【变式探究】(1)(2020·北京高考)在(－2)5的展开式中，x2的系数为(　　)
A．－5　　　　　　　　 B．5
C．－10 D．10
(2)若二项式n的展开式中含有常数项，则n的值可以是(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
【解析】(1)由二项式定理得(－2)5的展开式的通项Tr＋1＝C()5－r(－2)r＝ C(－2)rx，令＝2，得r＝1，所以T2＝C(－2)x2＝－10x2，所以x2的系数为－10，故选C.
(2)二项式n的通项公式为Tr＋1＝C(x6)n－r·(－1)r·(x)r＝C·(－1)r·x，由题意可知含有常数项，所以只需4n－5r＝0，对照选项当n＝10时，r＝8，故选C.
【答案】(1)C　(2)C
【变式探究】(2020·全国卷Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
【解析】因为(x＋y)5的通项公式为Cx5－ryr(r＝0,1,2,3,4,5)，所以r＝1时，Cx4y＝5x3y3；r＝3时，xCx2y3＝10x3y3，所以x3y3的系数为5＋10＝15.
【答案】C
【方法技巧】求形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．　　
高频考点二　二项式系数的性质及应用
例2.（2023·天津高考）在的展开式中，的系数是__________．
【答案】160
【分析】
求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出.
【解析】的展开式的通项为，
令，解得，
所以的系数是.
故答案为：160.
【变式探究】(1)已知n(n∈N*)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中x2的系数为(　　)
A．280　　　　　　　 B．－280
C．35 D．－35
(2)把1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则＝(　　)
A．2n B．2n－1
C．2 D．2－
【解析】(1)由题意，2n＝128，得n＝7.
∴n＝7，
其二项展开式的通项Tr＋1＝C·(2x2)7－r·(－x－1)r＝(－1)r·27－rC·x14－3r.
由14－3r＝2得r＝4，
∴展开式中x2的系数为(－1)423·C＝280.
(2)在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n中，
令x＝1，可得多项式各项系数的和an＝1＋2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－1.
∴＝＝2－.
【答案】(1)A　(2)D
【方法技巧】(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，对于式子(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n展开式中的各项的系数的和为g(1)，(a＋bx)n展开式中的奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n展开式中的偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．　　
【变式探究】(1)在二项式n的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为(　　)
A．－360 B．－160
C．160 D．360
(2)已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在2n的展开式中，二项式系数最大的项为________．
【解析】(1)∵展开式中，仅第四项的二项式系数最大，
∴展开式共有7项，则n＝6，
则展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx6－kk＝(－2)kCx6－2k，
由6－2k＝0得k＝3，
即常数项为T4＝(－2)3C＝－160.
(2)由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.
由二项式系数的性质知，10的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝C(2x)5·5＝－8 064.
【答案】(1)B　(2)－8 064
【方法技巧】求二项式系数最大项
(1)如果n是偶数，那么中间一项的二项式系数最大．
(2)如果n是奇数，那么中间两项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第项与第eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋1))项))的二项式系数相等且最大．　　
【变式探究】(1)若n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是(　　)
A．6 B.
C．4x D.或4x
(2)若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．
【解析】(1)令x＝1，可得n的展开式中各项系数之和为2n，即8<2n<32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C()22＝6.
(2)展开式的通项公式为Tk＋1＝2kCx，由题意可得，20C＋2C＋22C＝163，解得n＝9.
设展开式中Tk＋1项的系数最大，则
解得≤k≤，
又∵k∈N，∴k＝6，
故展开式中系数最大的项为T7＝5 376.
【答案】(1)A　(2)5 376
高频考点三　多项展开式的特定项
例3.4．（2023·浙江高考真题）已知多项式，则___________，___________.
【答案】5 10
【解析】，
，
所以，
，
所以.
【变式探究】(1)已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中x3的系数为－2，则a等于(　　)
A．2　　　　　　　 B．2
C．－2 D．－1
(2)(x2－x＋2)(x－1)4的展开式中x项的系数为(　　)
A．－9 B．－5
C．7 D．8
【解析】(1)(1＋ax)3，(1－x)5的展开式中x3的系数分别为a3，C(－1)3，由题可得a3－10＝－2，即a3＝8，解得a＝2.
(2)(x2－x＋2)(x－1)4＝x2(x－1)4－x(x－1)4＋2(x－1)4，
∵(x－1)4展开式的通项公式Tr＋1＝Cx4－r·(－1)r，
∴x2(x－1)4中不含x项，无须求解；
－x(x－1)4中含x项，即当r＝4时，－x·Cx4－4·(－1)4＝－x；
2(x－1)4中含x项，即当r＝3时，2Cx4－3·(－1)3＝－8x.
∴(x2－x＋2)(x－1)4的展开式中x项为－9x，故选A.
【答案】(1)B　(2)A
【方法技巧】
(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并．通常要用到方程或不等式的知识求解．
(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：先分别将每个多项式化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项进行合并即可．　　
【变式探究】(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．60
【解析】(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.
【答案】C
【方法技巧】三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法
(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．
(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形，再逐一求出每种情形对应的项，最后合并即可．　　

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