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第52讲 古典概型与几何概型
【练基础】
1．袋子里有3个白球，4个黑球，5个红球，某人一次抽取3个球，若每个球被抽到的机会均等，则此人抽到的球颜色互异的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
2．2022年河北新高考实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为(　　)
A. B.
C. D.
3.如图，在圆O的圆心O处有一个通信基站，θ＝2，假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域(该圆形区域内无其他信号来源，基站工作正常)，若在圆内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(　　)
A. B.
C.－ D.
4．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin x＋cos x≥”发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
5．有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)
A. B. C. D.
6．为了解我国古代数学的辉煌成就，学校决定从《周髀算经》《九章算术》等10部古代数学专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，已知这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期，则所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为(　　)
A. B.
C. D.
7．如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1 089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为(　　)
A．4 B．5
C．8 D．9
8.如图，矩形ABCD满足BC＝2AB，E为BC的中点，其中曲线为过A，D，E三点的抛物线，随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为(　　)
A. B. C. D.
9．已知正三棱锥S ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP ABC＜VS ABC的概率是(　　)
A. B.
C. D.
10．从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为________．
【练提升】
1．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为(　　)
A. B.
C. D.
2.如图，点C在以AB为直径的圆上，且满足CA＝CB，圆内的弧线是以C为圆心，CA为半径的圆的一部分．记△ABC三边所围成的区域(灰色部分)为Ⅰ，右侧月牙形区域(黑色部分)为Ⅱ，在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为P1，P2，则(　　)
A．P1＝P2 B．P1>P2
C．P1＋P2＝ D．P2－P1＝
3．小明和小勇玩一个四面分别标有数字1,2,3,4的正四面体形玩具，每人抛掷一次，则两次朝下面的数字之和不小于5的概率为(　　)
A. B.
C. D.
4．已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB＝5千米，BC＝12千米，AC＝13千米．为了方便市民生活，现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为(　　)
A. B. C．1－ D.
5．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为(　　)
A. B.
C. D.
6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是(　　)
A. B.
C．1－ D．1－
7．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.
8．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB内作射线AM，则使∠CAM＜30°的概率为________．
9.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
10．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁标价如下表．现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一趟地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每一站下车的可能性是相同的.
乘坐站数x，x∈N* 0＜x≤3 3＜x≤6 6＜x≤9
票价(元) 1 2 3
(1)若甲、乙两人共付费2元，则甲、乙下车方案共有多少种？
(2)若甲、乙两人共付费4元，求甲比乙先到达目的地的概率．
第52讲 古典概型与几何概型
【练基础】
1．袋子里有3个白球，4个黑球，5个红球，某人一次抽取3个球，若每个球被抽到的机会均等，则此人抽到的球颜色互异的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
【答案】D
【解析】基本事件总数为C＝220(种)，此人抽到的球颜色互异的情况有3×4×5＝60(种)，故所求概率为＝.故选D.
2．2022年河北新高考实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意，从政治、地理、化学、生物中四选二，共有6(种)方法，所以他们选课相同的概率为，故选D.
3.如图，在圆O的圆心O处有一个通信基站，θ＝2，假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域(该圆形区域内无其他信号来源，基站工作正常)，若在圆内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(　　)
A. B.
C.－ D.
【答案】D
【解析】设该圆的半径为R，则圆的面积是πR2，S阴影＝S扇形OAB－S△AOB＝×2R2－sin 2×R2＝R2，故P＝.
4．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin x＋cos x≥”发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得
即
解得0≤x≤，故所求的概率为＝.
5．有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，
由几何概型，得P1＝＝＝，
故点P到点O的距离大于1的概率P＝1－＝.
6．为了解我国古代数学的辉煌成就，学校决定从《周髀算经》《九章算术》等10部古代数学专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，已知这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期，则所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设事件“所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著”为事件A，所以事件“所选2部专著中2部都是魏晋南北朝时期的专著”为事件，因为P()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝1－＝，故选C.
7．如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1 089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为(　　)
A．4 B．5
C．8 D．9
【答案】B
【解析】由题意在正方形区域内随机投掷1 089个点，
其中落入白色部分的有484个点，
则其中落入黑色部分的有605个点，
由随机模拟试验可得：＝，又S正＝9，
可得S黑＝×9＝5，故选B.
8.如图，矩形ABCD满足BC＝2AB，E为BC的中点，其中曲线为过A，D，E三点的抛物线，随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】以BC所在的直线为x轴，以E为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
不妨设AB＝1，BC＝2，
则B(－1,0)，C(1,0)，A(－1,1)，D(1,1)，过A，D，E三点的抛物线方程为y＝x2，
阴影部分面积为
S′＝×2×1－?x2dx＝＝，
又矩形ABCD的面积为S矩形ABCD＝1×2＝2，
故该点落在阴影部分的概率为P＝＝＝.
9．已知正三棱锥S ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP ABC＜VS ABC的概率是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足VP ABC＜VS ABC，故使得VP ABC＜VS ABC的概率：
P＝＝.
10．从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为________．
【解析】从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C＝36种，从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选3组，有C＝4种选法，故这7个数的平均数是5的概率P＝＝.
【答案】
【练提升】
1．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】将5张奖票不放回地依次取出共有A＝120(种)不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有CCA＝36(种)取法，所以P＝＝.
2.如图，点C在以AB为直径的圆上，且满足CA＝CB，圆内的弧线是以C为圆心，CA为半径的圆的一部分．记△ABC三边所围成的区域(灰色部分)为Ⅰ，右侧月牙形区域(黑色部分)为Ⅱ，在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为P1，P2，则(　　)
A．P1＝P2 B．P1>P2
C．P1＋P2＝ D．P2－P1＝
【答案】A
【解析】设圆的半径为1，则区域Ⅰ的面积为
S1＝×2×1＝1，
区域Ⅱ的面积为
S2＝π×12－＝1，
圆的面积为π×12＝π，所以P1＝P2＝.
3．小明和小勇玩一个四面分别标有数字1,2,3,4的正四面体形玩具，每人抛掷一次，则两次朝下面的数字之和不小于5的概率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】用(x，y)表示两次朝下面的数字的结果：
由题意可得(x，y)可能出现的结果有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个基本事件．
满足“两次朝下面的数字之和不小于5”的基本事件有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共10个基本事件，所以两次朝下面的数字之和不小于5的概率为＝.故选C.
4．已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB＝5千米，BC＝12千米，AC＝13千米．为了方便市民生活，现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为(　　)
A. B. C．1－ D.
【答案】C
【解析】在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，
则△ABC为直角三角形，且∠B为直角，则△ABC的面积S＝×5×12＝30，若在△ABC内任取一点，该点到三个定点A，B，C的距离都不小于2，则该点位于阴影部分，则三个小扇形的圆心角转化为180°，半径为2，则对应的面积之和为S＝＝2π，则阴影部分的面积S＝30－2π，则对应的概率P＝＝＝1－.
5．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，∴最近的行走路线共有CC＝210(种)．∵不能连续向上，∴最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有CC＝60(种)，∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P＝＝.故选B.
6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是(　　)
A. B.
C．1－ D．1－
【答案】D　
【解析】直角三角形的斜边长为＝17，
设内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3.
∴内切圆的面积为πr2＝9π，
∴豆子落在内切圆外的概率P＝1－＝1－.
7．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.
【答案】3
【解析】由|x|≤m，得－m≤x≤m(易知m>0)．
当0当28．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB内作射线AM，则使∠CAM＜30°的概率为________．
【解析】如图，在∠CAB内作射线AM0，使∠CAM0＝30°，于是有P(∠CAM＜30°)＝＝＝.
【答案】
9.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
【解析】用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)}|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以基本事件总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的基本事件共5个，
即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，
所以P(A)＝，
即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B包含的基本事件共6个，
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
所以P(B)＝＝.
事件C包含的基本事件共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
所以P(C)＝.
因为＞，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
10．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁标价如下表．现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一趟地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每一站下车的可能性是相同的.
乘坐站数x，x∈N* 0＜x≤3 3＜x≤6 6＜x≤9
票价(元) 1 2 3
(1)若甲、乙两人共付费2元，则甲、乙下车方案共有多少种？
(2)若甲、乙两人共付费4元，求甲比乙先到达目的地的概率．
【解析】(1)由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过3站，前3站设为A1，B1，C1，甲、乙两人共有(A1，A1)，(A1，B1)，(A1，C1)，(B1，A1)，(B1，B1)，(B1，C1)，(C1，A1)，(C1，B1)，(C1，C1)9种下车方案．
(2)设9站分别为A1，B1，C1，A2，B2，C2，A3，B3，C3，因为甲、乙两人共付费4元，共有甲付1元，乙付3元；甲付3元，乙付1元；甲付2元，乙付2元三类情况．由(1)可知每类情况中有9种方案，所以甲、乙两人共付费4元共有27种方案．而甲比乙先到达目的地的方案有(A1，A3)，(A1，B3)，(A1，C3)，(B1，A3)，(B1，B3)，(B1，C3)，(C1，A3)，(C1，B3)，(C1，C3)，(A2，B2)，(A2，C2)，(B2，C2)，共12种，故所求概率为＝.所以甲比乙先到达目的地的概率为.第52讲 古典概型与几何概型
【学科素养】
1．理解古典概型及其概率计算公式，培养数学运算的核心素养．
2．结合古典概型的概率公式及基本事件的概念，考查古典概型的概率计算公式，凸显数据分析、数学运算的核心素养．
【课标解读】
1.理解古典概型及其概率计算公式.　
2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.　
4.了解几何概型的意义.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点之一．预测2022年将会考查：古典概型的基本计算、与长度有关的几何概型，常与函数、不等式、向量结合、与面积有关的几何概型，题型以解答题为主，也可出选择题、填空题，与实际背景相结合，试题难度中等。
【核心知识】
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
(1)古典概型的特征：
①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；
②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的．
(2)古典概型的概率计算的基本步骤：
①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；
②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；
③利用古典概型的概率公式P(A)＝，求出事件A的概率．
(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
名称 不同点 相同点
频率计算公式 频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值 都计算了一个比值
古典概型的概率计算公式 是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化
3．几何概型
(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
(2)几何概型的基本特点：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
②每个基本事件出现的可能性相等．
(3)计算公式：
P(A)＝.
【高频考点】
高频考点一　古典概型
例1．（2023·全国高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】(2020·全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
【变式探究】将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
【举一反三】我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)．在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a，b，则|a－b|<3的概率是(　　)
A. B.
C. D.
高频考点二　古典概型与其他知识交汇
例2.(1)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)将一个骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝的内部，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.【变式探究】在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n 1 2 3 4 5
成绩xn 70 76 72 70 72
(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s.
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．【举一反三】广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2018年某校社会实践小组对某小区参与广场舞的群众进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们的年龄分成6组：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)计算这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数；
(2)若从年龄在[20,40)的广场舞者中任选2名，求这2名广场舞者中恰有一人年龄在[30,40)的概率．高频考点三　几何概型
例3．（2023·全国高考真题）在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】(1)在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋3)与圆x2＋y2＝1相交的概率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的文化遗产，他提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是(　　)
A. B.
C. D.
【举一反三】阳马是中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，且两个三角形侧面与底面垂直的四棱锥．在阳马P ABCD中，PC为阳马P ABCD中最长的棱，AB＝1，AD＝2，PC＝3.若在阳马P ABCD的外接球内部随机取一点，则该点位于阳马内的概率为(　　)
A. B.
C. D.
第52讲 古典概型与几何概型
【学科素养】
1．理解古典概型及其概率计算公式，培养数学运算的核心素养．
2．结合古典概型的概率公式及基本事件的概念，考查古典概型的概率计算公式，凸显数据分析、数学运算的核心素养．
【课标解读】
1.理解古典概型及其概率计算公式.　
2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.　
4.了解几何概型的意义.
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点之一．预测2022年将会考查：古典概型的基本计算、与长度有关的几何概型，常与函数、不等式、向量结合、与面积有关的几何概型，题型以解答题为主，也可出选择题、填空题，与实际背景相结合，试题难度中等。
【核心知识】
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
(1)古典概型的特征：
①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；
②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的．
(2)古典概型的概率计算的基本步骤：
①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；
②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；
③利用古典概型的概率公式P(A)＝，求出事件A的概率．
(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
名称 不同点 相同点
频率计算公式 频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值 都计算了一个比值
古典概型的概率计算公式 是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化
3．几何概型
(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
(2)几何概型的基本特点：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
②每个基本事件出现的可能性相等．
(3)计算公式：
P(A)＝.
【高频考点】
高频考点一　古典概型
例1．（2023·全国高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，所以2个0不相邻的概率为，故选C。
【变式探究】(2020·全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况，所以在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为＝，故选A.
【变式探究】将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，基本事件总数n＝CCC＝90，每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m＝CCCCCC＝36，所以每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为P＝＝＝.
【举一反三】我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)．在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a，b，则|a－b|<3的概率是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】不超过15的素数有：2,3,5,7,11,13.
在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数，
所有的基本事件有：(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(7,11)，(7,13)，(11,13)，共15种情况，
其中事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a，b，且|a－b|<3”包含的基本事件有：(2,3)，(3,5)，(5,7)，(11,13)，共4种情况，
因此所求事件的概率P＝.故选B.
高频考点二　古典概型与其他知识交汇
例2.(1)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)将一个骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝的内部，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】(1)由题意可知m＝(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．
因为m⊥n，即m·n＝0，
所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，满足条件的有(3,3)，(5,5)，共2个，
故所求的概率为.故选A.
(2)对于a与b各有6种情形，故总数为36种．
两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，所以P1＝＝；两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行与重合(a＝1，b＝2)即可，所以P2＝＝，
因为点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝的内部，
所以2＋2＜，
解得－＜m＜，故选D.
【答案】　(1)A　(2)D
【变式探究】在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n 1 2 3 4 5
成绩xn 70 76 72 70 72
(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s.
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．
【解析】(1)因为这6位同学的平均成绩为75分，
所以(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90,
这6位同学成绩的方差
s2＝[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，
所以标准差s＝7.
(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种结果，
恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种结果，故所求的概率P＝＝，
即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为.
【举一反三】广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2018年某校社会实践小组对某小区参与广场舞的群众进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们的年龄分成6组：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)计算这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数；
(2)若从年龄在[20,40)的广场舞者中任选2名，求这2名广场舞者中恰有一人年龄在[30,40)的概率．
【解析】(1)由题知，这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数为(0.02＋0.03＋0.025)×10×40＝30.
(2)由频率分布直方图可知，年龄在[20,30)的有2人，分别记为a1，a2，年龄在[30,40)的有4人，分别记为b1，b2，b3，b4.现从这6人中任选2人，共有如下15种选法：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)．
其中恰有一人年龄在[30,40)的有8种，故这2名广场舞者中恰有一人年龄在[30,40)的概率P＝.
高频考点三　几何概型
例3．（2023·全国高考真题）在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：
设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．
设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．
故选：B.
【变式探究】(1)在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋3)与圆x2＋y2＝1相交的概率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的文化遗产，他提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】(1)因为圆心(0,0)，半径r＝1，直线与圆相交，所以d＝<1，解得－(2)如图所示，设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，圆内接正六边形的边长为R，面积为6××R2×sin ＝，则所求的概率P＝＝.故选B.
【答案】(1)C　(2)B
【举一反三】阳马是中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，且两个三角形侧面与底面垂直的四棱锥．在阳马P ABCD中，PC为阳马P ABCD中最长的棱，AB＝1，AD＝2，PC＝3.若在阳马P ABCD的外接球内部随机取一点，则该点位于阳马内的概率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，得PA⊥平面ABCD，PC的长等于阳马P ABCD外接球的直径．∵PC＝，∴PA＝2.∴VP ABCD＝×1×2×2＝.又V球＝π×3＝，∴该点位于阳马内的概率P＝＝.

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