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南阳市2023-2024学年高二上学期期终（期末）质量评估
数学试题
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.
2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若，则（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
2.点为两条直线和的交点，则点到直线：0的距离最大为（ ）
A. B. C. D.5
3.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.已知焦点在轴上的双曲线实轴长为4，渐近线方程为，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
5.南阳市博物院为国家二级博物馆，是豫西南最大的地方综合性博物馆、文化新地标，是展示南阳悠久历史和灿烂文化的重要窗口。南阳市博物院每周一闭馆（节假日除外）。某学校计划于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去南阳市博物院参观研学，每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（ ）
A.20种 B.50种 C.60种 D.100种
6.若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的面积值为（ ）
A.4 B.8 C.12 D.16
7.已知过点且法向量为的平面的方程为.若平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.在正方体中，点在底面所在的平面上运动.下列说法不正确的是（ ）
A.若点满足，则动点的轨迹为一条直线
B.若，动点满足，则动点的轨迹是圆
C.若点到点与点的距离比为，则动点的轨迹是椭圆
D.若点到直线的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹为抛物线
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.已知空间直角坐标系中，点，，，则下列各点在平面内的是（ ）
A. B. C. D.
10.下列说法不正确的是（ ）
A.过点且在，轴上的截距相等的直线方程为
B.过点与圆相切的直线有两条
C.若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式共有7项
D.设随机变量服从正态分布，若，则
11.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ）
A.
B.第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
C.记第行的第个数为，则
D.第20行中第12个数与第13个数之比为
12.已知抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，过的直线交于、两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.的最小值为2
C.的面积为定值 D.若在轴上，则为直角三角形
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则抛物线的标准方程为________.（写出一个即可）
14.已知，，，且，记随机变量为，，中的最小值，则________.
15.南阳素有“月季花城”的美誉，是“中国月季之乡”和世界月季名城。某社区对一个街心公园进行改造，在公园中央有一个正方形区域如图示，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该区域种植月季，有5种不同的月季可供选择，要求相邻区域种植的月季不同.在所有的种植方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到四种月季的概率是________.
16.已知椭圆：，经过原点的直线交于、两点.是上异于、的一点，直线交轴于点，且.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率________.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
在下列所给的两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.
①与直线垂直；②一个方向向量为；
问题：已知直线过点，且________.
（1）求直线的一般式方程；
（2）若直线与圆相交于、两点，求弦的长.
18.（本小题满分12分）
一个袋子里放有除颜色外完全相同的2个白球、3个黑球.
（1）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求两个小球颜色不同的概率；
（2）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求在第1次摸到的是黑球的条件下，第2次摸到的是黑球的概率.
19.（本小题满分12分）
已知平行六面体的底面是边长为1的正方形，，.
（1）求对角线的长；
（2）求直线与所成角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆：（，）的左、右焦点为，，且经过点，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于，（异于点）两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若以为直径的圆过点，求证直线过定点，并求该定点坐标.
21.（本小题满分12分）
如图，在四棱雉中，底面为直角梯形，，平面，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到面的距离；
（3）求平面与平面的夹角的余弦值.
22.（本小题满分12分）
某省2025年将开始全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共5个等级，各等级人数所占比例分别为、、、和，并按给定的公式进行转换赋分.该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.
（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：
原始分 91 90 89 88 87 85 83 82
转换分 100 99 97 95 94 91 88 86
人数 1 1 2 1 2 1 1 1
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为，求的分布列和均值；
（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布.若，令，则，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求取得最大值时的值.
附：若，则，.
南阳市2023-2024学年高二上学期期终（期末）质量评估
数学试题参考答案
一、选择题
1.B 2.B 3.C 4.D 5.C 6.A 7.A 8.C
二、多项选择题
9.BCD 10.ABC 11.AB 12.ABD
三、填空题
13.（答案不唯一，只要） 14.0.09（或）
15. 16.
四、解答题（答案仅供参考，各小题若有其他解法，请酌情给分）
17、解：（1）若选①，因为直线的斜率为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为.
依题意，直线的方程为，即；
若选②，因为直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率为，
直线的方程为，即.
（2）由（1）可得：直线的方程为。
圆的圆心到直线的距离为：.
又圆的半径为，
所以.
18、解：（1）设事件：用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球.
因为采取放回抽样方式，
所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个黑球的概率为，
所以.
即用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球的概率为.
（2）设事件为第一次摸到黑球，
事件为第一次摸到黑球，第二次也摸到黑球，
所以，，
所以在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为：
.
19、解：【方法一】
（1）因为，
又底面是正方形，，，，
所以，
所以
.
（2）因为，
所以，
又，
设直线与所成角为，
所以，
即直线与所成角的余弦值为.
【方法二】
如图示，以为原点，，分别为、轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，
，，，
（1），所以.
（2），.
设直线与所成角为，所以，
即直线与所成角的余弦值为.
20、解：（1）设椭圆的半焦距为，
则，，，
可得，即，则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意可知：.
若直线的斜率不为0时，设，
联立方程，消去得，
则，可得，，
又因为，，
由题意可知：，
则，
整理得，
则，
又因为，则，可得，
整理得，即直线：过定点；
若直线的斜率为0，则，，
又因为，，
由题意可知：，即
且，解得，此时直线：，不合题意；
综上所述：直线过定点.
21、（可用综合几何法证明、求解，请按照步骤酌情给分。）
解：由题意，可以为原点，，，分别为，，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.
（1）显然为平面的一个法向量.
而.
因为，所以.
又平面，所以平面.
（2）设为面的一个法向量，则，
不妨设，则.
记点到面的距离为，则.
即点到面的距离为.
（3）显然为平面的一个法向量.
设为面的一个法向量，则，
不妨设，则.
设平面与平面的夹角为，则
.
即平面与平面的夹角的余弦值为.
22、解：（1）随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3.
由题意可得：，，
，，
随机变量的分布列为
0 1 2 3
均值.
（2）①设该划线分为，由得，，
令，则，
由题意，，
即，
，，，
，，取.
②由①讨论及参考数据得
，
即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788，
，.
由
即
解得，
，，
当时，取得最大值.

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